整数 せいすう (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)は有理数 ゆうりすう (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)の一部 いちぶ であり、自然 しぜん 数 すう (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)を含 ふく む。
ℤ
数学 すうがく における整数 せいすう (せいすう、英 えい : integer; whole number 、独 どく : Ganze Zahl 、仏 ふつ : nombre entier 、西 にし : número entero )は、1 とそれに 1 ずつ加 くわ えて得 え られる自然 しぜん 数 すう (1, 2, 3, 4, …) 、これらに−1を乗 じょう じて得 え られる負数 ふすう (−1, −2, −3, −4, …) 、および 0 の総称 そうしょう である。
整数 せいすう は数 すう 直線 ちょくせん 上 じょう の格子 こうし 点 てん として視覚 しかく 化 か される
整数 せいすう の全体 ぜんたい からなる集合 しゅうごう は、一般 いっぱん に太字 ふとじ の
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
または黒板 こくばん 太字 ふとじ の
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
で表 あらわ す。これはドイツ語 ご "Zahlen "(ツァーレン。「数 かず 」の意 い ・複数 ふくすう 形 がた )に由来 ゆらい する。
抽象 ちゅうしょう 代 だい 数学 すうがく 、特 とく に代数 だいすう 的 てき 整数 せいすう 論 ろん では、しばしば「代数 だいすう 体 たい の整数 せいすう 環 たまき 」の元 もと という意味 いみ で代数 だいすう 的 てき 整数 せいすう あるいは「整数 せいすう 」という言葉 ことば を用 もち いる。有理数 ゆうりすう 全体 ぜんたい の成 な す体 からだ はそれ自身 じしん が代数 だいすう 体 たい の最 もっと も簡単 かんたん な例 れい であり、有理数 ゆうりすう 体 たい の代数 だいすう 体 たい としての整数 せいすう 環 たまき すなわち、「有理数 ゆうりすう の中 なか で整 せい なもの」の全体 ぜんたい の成 な す環 たまき は、本 ほん 項 こう でいう意味 いみ での整数 せいすう 全体 ぜんたい の成 な す環 たまき である。一般 いっぱん の「整数 せいすう 」との区別 くべつ のためにここでいう意味 いみ の整数 せいすう を有理 ゆうり 整数 せいすう (rational integer) と呼 よ ぶことがある[note 1] 。
「もの」の個数 こすう という素朴 そぼく な意味 いみ で理解 りかい される自然 しぜん 数 すう の中 なか では、足 た し算 ざん と掛 か け算 ざん は自由 じゆう にできるが、引 ひ き算 ざん については「引 ひ かれる数 かず が引 ひ く数 かず よりも大 おお きい」という前提 ぜんてい を満 み たさねばならず、その意味 いみ では自由 じゆう ではない。これを自由 じゆう に行 おこな うために「負 まけ の整数 せいすう 」を導入 どうにゅう して、数 かず の範囲 はんい を拡張 かくちょう しようというのが整数 せいすう の概念 がいねん である。すなわち、
a
+
x
=
b
{\displaystyle a+x=b}
の形 かたち の方程式 ほうていしき は、
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
が整数 せいすう ならば必 かなら ずただ一 ひと つの解 かい を持 も つ。
自然 しぜん 数 すう を「正 せい の整数 せいすう 」とし、自然 しぜん 数 すう n に対 たい して加法 かほう に関 かん する逆 ぎゃく 元 もと −n を導入 どうにゅう し、これを「負 まけ の整数 せいすう 」とする。「正 せい の整数 せいすう 」「0」「負 まけ の整数 せいすう 」をあわせた数 かず の中 なか で普通 ふつう に足 た し算 ざん ・引 ひ き算 ざん ・かけ算 ざん ができるように、また、「正 せい の整数 せいすう 」に対 たい する演算 えんざん はもともとの自然 しぜん 数 すう としてのそれであるように加法 かほう と乗法 じょうほう を定義 ていぎ することができる(足 た し算 ざん 引 ひ き算 ざん を包摂 ほうせつ して「加法 かほう 」と呼 よ んでいる)。
a
−
b
=
a
+
(
−
b
)
{\displaystyle a-b=a+(-b)}
しかし、例 たと えば
2
×
x
=
1
{\displaystyle 2\times x=1}
となる整数 せいすう
x
{\displaystyle x}
が存在 そんざい しないように、依然 いぜん として一般 いっぱん に除法 じょほう は不自由 ふじゆう なままである(自由 じゆう にできるようにするためには有理数 ゆうりすう にまで数 かず の範囲 はんい を広 ひろ げなければならない)。
負 まけ の数 かず について論 ろん じた最古 さいこ の文献 ぶんけん は、紀元前 きげんぜん 1世紀 せいき から紀元 きげん 後 ご 2世紀 せいき に成立 せいりつ した古代 こだい 中国 ちゅうごく の『九 きゅう 章 しょう 算術 さんじゅつ 』であり、0および負数 ふすう の加減 かげん 演算 えんざん が扱 あつか われている[1] 。また、インドの数学 すうがく 者 しゃ アリヤバータ による今日 きょう 『アーリヤバティーヤ』と呼 よ ばれるテキストでは、負数 ふすう の加法 かほう と減法 げんぽう の満 み たす規則 きそく が定 さだ められており、また負数 ふすう は負債 ふさい を表 あらわ し、正数 せいすう は収入 しゅうにゅう を表 あらわ すものとして表 あらわ れている。数 かず 世紀 せいき のち、ペルシアの数学 すうがく 者 しゃ アブル・ワファー は負数 ふすう 同士 どうし の積 せき が正数 せいすう であることを記 しる しているが、しかし依然 いぜん として数 かず は何 なん らかの物理 ぶつり 的 てき な量 りょう に結 むす び付 つ けられており、負数 ふすう が実存 じつぞん のものとして市民 しみん 権 けん を得 え るのは困難 こんなん な状態 じょうたい であった。例 たと えばフワーリズミー は二 に 次 じ 方程式 ほうていしき を係数 けいすう に負数 ふすう が現 あらわ れないように6種類 しゅるい に還元 かんげん 帰着 きちゃく することによって扱 あつか っている。
ヨーロッパで整数 せいすう の概念 がいねん が現 あらわ れるのは遅 おそ く、よく知 し られた二 に 整数 せいすう の積 せき に対 たい する符号 ふごう の規則 きそく は一般 いっぱん にステヴィン に帰 かえ せられる。またダランベール は、彼 かれ の百科全書 ひゃっかぜんしょ において整数 せいすう が危 あや うい概念 がいねん であると述 の べている。
自然 しぜん 数 すう の成 な す同値 どうち 類 るい を用 もち いた厳密 げんみつ な構成 こうせい を行 おこな うことによる整数 せいすう の概念 がいねん の定式 ていしき 化 か が現 あらわ れるのは、そこからさらに二 ふた つの世紀 せいき を待 ま たねばならなかった。この重要 じゅうよう な発展 はってん は、数学 すうがく の基礎 きそ をより厳密 げんみつ に定義 ていぎ することを目指 めざ す19世紀 せいき 後半 こうはん の数学 すうがく 者 しゃ たちによってもたらされました。この構成 こうせい を成 な した一人 ひとり であるデデキント は、整数 せいすう 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう を表 あらわ すのに K を用 もち いたが、ブルバキ によるドイツ語 ご で「数 かず 」を意味 いみ する "Zahlen" の頭文字 かしらもじ が普及 ふきゅう するまで、ほかにもいくつかの規約 きやく が用 もち いられていた[2] 。
整数 せいすう の集合 しゅうごう における基本 きほん 性質 せいしつ
加法 かほう
乗法 じょうほう
演算 えんざん の閉性
a + b は整数 せいすう
a × b は整数 せいすう
結合 けつごう 性 せい
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a × (b × c ) = (a × b ) × c
可 か 換 かわ 性 せい
a + b = b + a
a × b = b × a
中立 ちゅうりつ 元 もと の存在 そんざい 性 せい
a + 0 = a (零 れい 元 げん )
a × 1 = a (単位 たんい 元 もと )
逆 ぎゃく 元 もと の存在 そんざい 性 せい
a + (−a ) = 0(反 はん 数 かず )
±1 × ±1 = 1 (それ以外 いがい は逆 ぎゃく 元 もと 無 な し)
分配 ぶんぱい 性 せい
a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c ), および (a + b )× c = a × c + b × c
零 れい 因子 いんし がない
a × b = 0 ならば a = 0 または b = 0
加法 かほう についての五 ご 性質 せいしつ は、整数 せいすう の全体 ぜんたい Z が加法 かほう に対 たい してアーベル群 ぐん となることを主張 しゅちょう するものである。また、任意 にんい の整数 せいすう n は
n
=
{
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
n
times
(
n
>
0
)
0
(
n
=
0
)
(
−
1
)
+
⋯
+
(
−
1
)
⏟
|
n
|
times
(
n
<
0
)
{\displaystyle n=\left\{{\begin{aligned}[ll]&\underbrace {\,1+1+\cdots +1\,} _{n{\text{ times}}}&(n>0)\\&0&(n=0)\\&\underbrace {\!(-1)+\cdots +(-1)\!} _{|n|{\text{ times}}}&(n<0)\end{aligned}}\right.}
なる形 かたち に書 か けるから、Z は 1 の生成 せいせい する無限 むげん 巡回 じゅんかい 群 ぐん ⟨1⟩ になる。特 とく に Z は同型 どうけい の違 ちが いを除 のぞ いて 唯一 ゆいいつ の無限 むげん 巡回 じゅんかい 群 ぐん である。
乗法 じょうほう についての四 よん 性質 せいしつ は、Z が乗法 じょうほう に関 かん しては可 か 換 かわ モノイド をなすことを言 い うものである。
零 れい 因子 いんし の非 ひ 存在 そんざい 以外 いがい の全 すべ ての性質 せいしつ を合 あ わせれば、整数 せいすう の全体 ぜんたい Z は単位 たんい 的 てき 可 か 換 かわ 環 たまき であることがわかる。整数 せいすう 全体 ぜんたい の成 な す環 たまき は整数 せいすう 環 たまき と呼 よ ばれる。例 たと えば負 まけ の数 すう 同士 どうし の積 せき が正 せい となるという性質 せいしつ
(−a ) × (−b ) = a × b
は、整数 せいすう の全体 ぜんたい が環 たまき であることを用 もち いれば、n を任意 にんい の整数 せいすう とするとき、逆 ぎゃく 元 もと の一意 いちい 性 せい による −(−n ) = n と 0 が吸収 きゅうしゅう 元 もと すなわち n × 0 = 0 = 0 × n = 0 となることなどを使 つか って証明 しょうめい できる。
整数 せいすう 環 たまき Z は零 れい 因子 いんし を持 も たない単位 たんい 的 てき 可 か 換 かわ 環 かん ゆえに整 せい 域 いき である。逆 ぎゃく 元 もと を持 も つ整数 せいすう は {±1} の二 ふた つだけであり、Z から 0 を除 のぞ いた集合 しゅうごう は除法 じょほう について閉 と じていないので、Z は体 からだ にならない。
乗法 じょうほう の逆 ぎゃく 演算 えんざん としての通常 つうじょう の除法 じょほう は Z 上 うえ で定義 ていぎ された演算 えんざん とはならないけれども、しかし Z は除法 じょほう の原理 げんり と呼 よ ばれる性質 せいしつ 「任意 にんい の整数 せいすう a と任意 にんい の整数 せいすう b ≠ 0 に対 たい して、a = qb + r かつ 0 ≦ r < |b | を満 み たす二 ふた つの整数 せいすう q とr が存在 そんざい する」が成 な り立 た つので、「余 あま りのある除法 じょほう 」を定義 ていぎ することができて、Z はユークリッド整 せい 域 いき となる。特 とく に x と y の最大公約数 さいだいこうやくすう が d のとき、ax + by = d を満 み たす整数 せいすう a , b が存在 そんざい することはユークリッドの互除法 ほう などにより保証 ほしょう され
(x ) + (y ) = (d )
が成 な り立 た つから、Z が単項 たんこう イデアル整 せい 域 いき であることがわかる。ここから導 みちび かれる、任意 にんい の整数 せいすう が単元 たんげん を掛 か ける違 ちが いを除 のぞ いて素数 そすう の積 せき として一意 いちい に表 あらわ されるという重要 じゅうよう な事実 じじつ は算術 さんじゅつ の基本 きほん 定理 ていり と呼 よ ばれ、Z が一意 いちい 分解 ぶんかい 環 たまき であることを示 しめ す。
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
における通常 つうじょう の大小 だいしょう 関係 かんけい
…
<
−
3
<
−
2
<
−
1
<
0
<
1
<
2
<
3
<
…
{\displaystyle \ldots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\ldots }
は、上 うえ にも下 した にも有界 ゆうかい でない全 ぜん 順序 じゅんじょ 関係 かんけい であり、
a
<
b
{\displaystyle a<b}
かつ
c
<
d
{\displaystyle c<d}
ならば
a
+
c
<
b
+
d
{\displaystyle a+c<b+d}
,
a
<
b
{\displaystyle a<b}
かつ
0
<
c
{\displaystyle 0<c}
ならば
a
c
<
b
c
{\displaystyle ac<bc}
が成 な り立 た つという意味 いみ で
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
の環 かん 構造 こうぞう と両立 りょうりつ し、
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
は順序 じゅんじょ 環 たまき となる。0 より大 おお きな元 もと は「正 ただし 」、0 より小 ちい さな元 もと は「負 まけ 」である。正 せい の整数 せいすう 全体 ぜんたい
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
は、任意 にんい の整数 せいすう
x
{\displaystyle x}
に対 たい し
x
{\displaystyle x}
または
−
x
{\displaystyle -x}
が
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
に属 ぞく するという意味 いみ で
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
の賦 ふ 値 ち 環 たまき である。
格子 こうし 点 てん と整数 せいすう との対応 たいおう
自然 しぜん 数 すう の全体 ぜんたい N は減法 げんぽう について閉 と じていないが、上 うえ ではそれを補完 ほかん するものとして負 ふ 整数 せいすう を導入 どうにゅう し、整数 せいすう の全体 ぜんたい Z を構成 こうせい した。それと本質 ほんしつ 的 てき には変 か わらないが、よく知 し られる方法 ほうほう [3] としてここでは、減法 げんぽう を陽 ひ に持 も ち出 だ さずに、自然 しぜん 数 すう の加法 かほう と乗法 じょうほう のみから同値 どうち 関係 かんけい や商 しょう 集合 しゅうごう といった道具 どうぐ を使 つか って、整数 せいすう が厳密 げんみつ に構成 こうせい できることを記 しる しておく。なお、以下 いか の構成 こうせい では、自然 しぜん 数 すう には 0 を含 ふく まないとする[note 2] 。
まず、直積 ちょくせき 集合 しゅうごう N 2 = N × N = {(a , b ) | a , b は自然 しぜん 数 すう } を考 かんが える[note 3] 。N 2 に同値 どうち 関係 かんけい ∼ を
(a , b ) ∼ (c , d ) ⇔ a + d = b + c
と定義 ていぎ することができる。ここで、N 2 を同値 どうち 関係 かんけい ∼ で類別 るいべつ した集合 しゅうごう (商 しょう 集合 しゅうごう )N 2 /∼ を考 かんが える。これは、互 たが いに同値 どうち なもの全体 ぜんたい の集合 しゅうごう (同値 どうち 類 るい )を元 もと とするような集合 しゅうごう であり、直観 ちょっかん 的 てき には互 たが いに同値 どうち であるようなものを同一 どういつ 視 し する操作 そうさ である。(a , b ) ∈ N 2 の属 ぞく する同値 どうち 類 るい を [a , b ] ∈ N 2 /R と表 あらわ すことにする。つまり、[a , b ] は
[a , b ] = {(c , d ) ∈ N 2 | (a , b ) ∼ (c , d )}
となる集合 しゅうごう である。同値 どうち 類 るい を [a , b ] のように表 あらわ すとき、(a , b ) をこの同値 どうち 類 るい の代表 だいひょう 元 もと と呼 よ ぶ。代表 だいひょう 元 もと は同値 どうち なものでありさえすれば、他 た のものに取 と り替 か えることができる[note 3] 。商 しょう 集合 しゅうごう N 2 /∼ に加法 かほう + と乗法 じょうほう × を
[a , b ] + [c , d ] = [a + c , b + d ]
[a , b ] × [c , d ] = [ac + bd , ad + bc ]
と定義 ていぎ すると、これらは代表 だいひょう 元 もと の取 と り方 かた によらずに、同値 どうち 類 るい 同士 どうし の演算 えんざん としてうまく定義 ていぎ されていることが確 たし かめられる[note 3] 。
このとき、[a , b ] + [m , m ] = [a + m , b + m ] = [a , b ] であるから、R = {(m , m ) | m ∈ N } は N 2 /∼ の加法 かほう に関 かん する単位 たんい 元 もと である。
また、自然 しぜん 数 すう m に対 たい して [m + 1, 1] を対応 たいおう させる写像 しゃぞう は単 たん 射 い で、
[m + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n ) + 1, 1],
[m + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]
を満 み たす(準 じゅん 同型 どうけい )から、 N は N 2 /∼ に演算 えんざん まで込 こ めて埋 う め込 こ める
[note 4] 。
記号 きごう の濫用 らんよう ではあるが、自然 しぜん 数 すう m を埋 う め込 こ んだ先 さき と同一 どういつ 視 し して m = [m + 1, 1] と書 か くことにし、これを(正 せい の)整数 せいすう m と呼 よ ぶ
[note 5] 。
同様 どうよう の埋 う め込 こ みは、自然 しぜん 数 すう m に対 たい して [1, m + 1] を対応 たいおう させることでも得 え られるが、和 わ と積 せき は
[1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, (m + n ) + 1],
[1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]
となる。自然 しぜん 数 すう m に対 たい し、新 あら たな記号 きごう −m を [1, m + 1] を表 あらわ すものとして導入 どうにゅう し、これを負 ふ 整数 せいすう −m と呼 よ ぶ
[note 6] 。
負 ふ 整数 せいすう 同士 どうし の積 せき が正 せい 整数 せいすう になっていることが確認 かくにん できる。
このとき、m + (−m ) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R だから、負 ふ 整数 せいすう −m = [1, m + 1] は N 2 /∼ においてはちょうど、正 せい 整数 せいすう m = [m + 1, 1] の加法 かほう に関 かん する逆 ぎゃく 元 もと になっている
[note 7] 。
R をあらためて 0 と書 か くことにして、N 2 /∼ = {m , 0, −m | m ∈ N } を整数 せいすう 全体 ぜんたい の集合 しゅうごう と呼 よ び、改 あらた めて Z と書 か くことにしよう。
このようにして整数 せいすう の全体 ぜんたい Z が厳密 げんみつ に定義 ていぎ されたが、なお定義 ていぎ に従 したが えば Z において結合 けつごう 法則 ほうそく や分配 ぶんぱい 法則 ほうそく などの環 たまき の公理 こうり が満 み たされることが証明 しょうめい できる。
コンピュータ の内部 ないぶ では電気 でんき 的 てき な信号 しんごう の有無 うむ を 1 と 0 に割 わ り当 あて て、2進 しん 法 ほう を用 もち いて整数 せいすう を表現 ひょうげん するのが基本 きほん である。通常 つうじょう は、2 バイト (16 ビット )または 4 バイト(32 ビット)の範囲 はんい で表現 ひょうげん できる範囲 はんい の数 かず を扱 あつか う。負 まけ の値 ね を扱 あつか う場合 ばあい は、2の補数 ほすう 表現 ひょうげん などが用 もち いられる。通常 つうじょう は有限 ゆうげん の範囲 はんい の整数 せいすう しか扱 あつか うことができないが、処理 しょり 速度 そくど を犠牲 ぎせい にして無限 むげん の整数 せいすう を扱 あつか う方法 ほうほう もある。
事務 じむ 処理 しょり など金額 きんがく などの大 おお きな桁 けた や 10 進 しん 小数 しょうすう を正確 せいかく に扱 あつか う必要 ひつよう がある場合 ばあい 、二 に 進化 しんか 十 じゅう 進 しん 表現 ひょうげん を用 もち いる。
^ 接頭 せっとう 辞 じ 「有理 ゆうり (的 まと )」(rational) はそもそも「整数 せいすう 比 ひ 」であるという意味 いみ なので、この呼称 こしょう は自己 じこ 循環 じゅんかん 的 てき にもみえる。しかし、有理 ゆうり 整数 せいすう と呼 よ ぶ場合 ばあい の「有理 ゆうり 」は「有理数 ゆうりすう の中 なか で」という程度 ていど の意味 いみ の単 たん なる符牒 ふちょう であって、「整数 せいすう 比 ひ 」という本来 ほんらい の意味合 いみあ いに拘 かかわ るのは徒労 とろう である。
^ つまり、整数 せいすう の構成 こうせい に際 さい して、自然 しぜん 数 すう に 0 を含 ふく んでも含 ふく まなくてもどちらでも構 かま わないことも注意 ちゅうい する必要 ひつよう がある。
^ a b c かなり技巧 ぎこう 的 てき な作業 さぎょう のように見 み えるが、自然 しぜん 数 すう を二 ふた つの自然 しぜん 数 すう の差 さ として (a , b ) = a − b というつもりで書 か いてあるものとして読 よ んで差 さ し支 つか えない。差 さ が一定 いってい の自然 しぜん 数 すう の組 くみ は無数 むすう にあるので、実際 じっさい には [a , b ] = a − b と考 かんが えるべきだが、そう考 かんが えることに整合 せいごう 性 せい があることを確 たし かめるのが、多少 たしょう 抽象 ちゅうしょう 的 てき であるが、途中 とちゅう で同値 どうち 関係 かんけい で割 わ ったり、同値 どうち 類 るい の間 あいだ に演算 えんざん を導入 どうにゅう したりする部分 ぶぶん である。
^ 0を自然 しぜん 数 すう と認 みと める場合 ばあい 、自然 しぜん 数 すう m に対 たい して [m , 0] を対応 たいおう させる写像 しゃぞう が単 たん 射 しゃ になる。
[m , 0] + [n , 0] = [m + n , 0],
[m , 0] × [n , 0] = [mn , 0]
を満 み たすので、演算 えんざん まで込 こ めて埋 う め込 こ める。
^ 0を自然 しぜん 数 すう と認 みと める場合 ばあい 、m = [m , 0]と書 か く。
^ 0を自然 しぜん 数 すう と認 みと める場合 ばあい 、0でない自然 しぜん 数 すう m に対 たい して [0, m ] を対応 たいおう させることで負 まけ の整数 せいすう −m が構成 こうせい できる。このとき、
[0, m ] + [0, n ] = [0, m + n ],
[0, m ] × [0, n ] = [mn , 0]
となる。
^ 0を自然 しぜん 数 すう と認 みと める場合 ばあい 、m + (−m ) = [m , 0] + [0, m ] = [m , m ] = R となり、やはり負 まけ の整数 せいすう −m は N 2 /∼ において、正 せい の整数 せいすう m の加法 かほう に関 かん する逆 ぎゃく 元 もと になっている