整数せいすう

整数せいすう（$\mathbb {Z}$）は有理数ゆうりすう（$\mathbb {Q}$）の一部いちぶであり、自然しぜん数すう（$\mathbb {N}$）を含ふくむ。

ℤ

数学すうがくにおける整数せいすう（せいすう、英えい: integer; whole number、独どく: Ganze Zahl、仏ふつ: nombre entier、西にし: número entero）は、1 とそれに 1 ずつ加くわえて得えられる自然しぜん数すう (1, 2, 3, 4, …) 、これらに−1を乗じょうじて得えられる負数ふすう (−1, −2, −3, −4, …) 、および 0 の総称そうしょうである。

整数せいすうは数すう直線ちょくせん上じょうの格子こうし点てんとして視覚しかく化かされる

整数せいすうの全体ぜんたいからなる集合しゅうごうは、一般いっぱんに太字ふとじの $\mathbf {Z}$ または黒板こくばん太字ふとじの $\mathbb {Z}$ で表あらわす。これはドイツ語ご"Zahlen"（ツァーレン。「数かず」の意い・複数ふくすう形がた）に由来ゆらいする。

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく、特とくに代数だいすう的てき整数せいすう論ろんでは、しばしば「代数だいすう体たいの整数せいすう環たまき」の元もとという意味いみで代数だいすう的てき整数せいすうあるいは「整数せいすう」という言葉ことばを用もちいる。有理数ゆうりすう全体ぜんたいの成なす体からだはそれ自身じしんが代数だいすう体たいの最もっとも簡単かんたんな例れいであり、有理数ゆうりすう体たいの代数だいすう体たいとしての整数せいすう環たまきすなわち、「有理数ゆうりすうの中なかで整せいなもの」の全体ぜんたいの成なす環たまきは、本ほん項こうでいう意味いみでの整数せいすう全体ぜんたいの成なす環たまきである。一般いっぱんの「整数せいすう」との区別くべつのためにここでいう意味いみの整数せいすうを有理ゆうり整数せいすう (rational integer) と呼よぶことがある。

素朴そぼくな説明せつめい

「もの」の個数こすうという素朴そぼくな意味いみで理解りかいされる自然しぜん数すうの中なかでは、足たし算ざんと掛かけ算ざんは自由じゆうにできるが、引ひき算ざんについては「引ひかれる数かずが引ひく数かずよりも大おおきい」という前提ぜんていを満みたさねばならず、その意味いみでは自由じゆうではない。これを自由じゆうに行おこなうために「負まけの整数せいすう」を導入どうにゅうして、数かずの範囲はんいを拡張かくちょうしようというのが整数せいすうの概念がいねんである。すなわち、

$a+x=b$

の形かたちの方程式ほうていしきは、$a$, $b$ が整数せいすうならば必かならずただ一ひとつの解かいを持もつ。

自然しぜん数すうを「正せいの整数せいすう」とし、自然しぜん数すう n に対たいして加法かほうに関かんする逆ぎゃく元もと −n を導入どうにゅうし、これを「負まけの整数せいすう」とする。「正せいの整数せいすう」「0」「負まけの整数せいすう」をあわせた数かずの中なかで普通ふつうに足たし算ざん・引ひき算ざん・かけ算ざんができるように、また、「正せいの整数せいすう」に対たいする演算えんざんはもともとの自然しぜん数すうとしてのそれであるように加法かほうと乗法じょうほうを定義ていぎすることができる（足たし算ざん引ひき算ざんを包摂ほうせつして「加法かほう」と呼よんでいる）。

$a-b=a+(-b)$

しかし、例たとえば $2\times x=1$ となる整数せいすう $x$ が存在そんざいしないように、依然いぜんとして一般いっぱんに除法じょほうは不自由ふじゆうなままである（自由じゆうにできるようにするためには有理数ゆうりすうにまで数かずの範囲はんいを広ひろげなければならない）。

概がい歴れき

負まけの数かずについて論ろんじた最古さいこの文献ぶんけんは、紀元前きげんぜん1世紀せいきから紀元きげん後ご2世紀せいきに成立せいりつした古代こだい中国ちゅうごくの『九きゅう章しょう算術さんじゅつ』であり、0および負数ふすうの加減かげん演算えんざんが扱あつかわれている。また、インドの数学すうがく者しゃアリヤバータによる今日きょう『アーリヤバティーヤ』と呼よばれるテキストでは、負数ふすうの加法かほうと減法げんぽうの満みたす規則きそくが定さだめられており、また負数ふすうは負債ふさいを表あらわし、正数せいすうは収入しゅうにゅうを表あらわすものとして表あらわれている。数かず世紀せいきのち、ペルシアの数学すうがく者しゃアブル・ワファーは負数ふすう同士どうしの積せきが正数せいすうであることを記しるしているが、しかし依然いぜんとして数かずは何なんらかの物理ぶつり的てきな量りょうに結むすび付つけられており、負数ふすうが実存じつぞんのものとして市民しみん権けんを得えるのは困難こんなんな状態じょうたいであった。例たとえばフワーリズミーは二に次じ方程式ほうていしきを係数けいすうに負数ふすうが現あらわれないように6種類しゅるいに還元かんげん帰着きちゃくすることによって扱あつかっている。

ヨーロッパで整数せいすうの概念がいねんが現あらわれるのは遅おそく、よく知しられた二に整数せいすうの積せきに対たいする符号ふごうの規則きそくは一般いっぱんにステヴィンに帰かえせられる。またダランベールは、彼かれの百科全書ひゃっかぜんしょにおいて整数せいすうが危あやうい概念がいねんであると述のべている。

自然しぜん数すうの成なす同値どうち類るいを用もちいた厳密げんみつな構成こうせいを行おこなうことによる整数せいすうの概念がいねんの定式ていしき化かが現あらわれるのは、そこからさらに二ふたつの世紀せいきを待またねばならなかった。この重要じゅうような発展はってんは、数学すうがくの基礎きそをより厳密げんみつに定義ていぎすることを目指めざす19世紀せいき後半こうはんの数学すうがく者しゃたちによってもたらされました。この構成こうせいを成なした一人ひとりであるデデキントは、整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを表あらわすのに K を用もちいたが、ブルバキによるドイツ語ごで「数かず」を意味いみする "Zahlen" の頭文字かしらもじが普及ふきゅうするまで、ほかにもいくつかの規約きやくが用もちいられていた。

代数だいすう構造こうぞう

整数せいすうの集合しゅうごうにおける基本きほん性質せいしつ

	加法かほう	乗法じょうほう
演算えんざんの閉性	a + b は整数せいすう	a × b は整数せいすう
結合けつごう性せい	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
可か換かわ性せい	a + b = b + a	a × b = b × a
中立ちゅうりつ元もとの存在そんざい性せい	a + 0 = a （零れい元げん）	a × 1 = a （単位たんい元もと）
逆ぎゃく元もとの存在そんざい性せい	a + (−a) = 0（反はん数かず）	±1 × ±1 = 1 （それ以外いがいは逆ぎゃく元もと無なし）
分配ぶんぱい性せい	a × (b + c) = (a × b) + (a × c), および (a + b)× c = a × c + b × c
零れい因子いんしがない		a × b = 0 ならば a = 0 または b = 0

加法かほうについての五ご性質せいしつは、整数せいすうの全体ぜんたい Z が加法かほうに対たいしてアーベル群ぐんとなることを主張しゅちょうするものである。また、任意にんいの整数せいすう n は

$n=\left\{{\begin{aligned}[ll]&\underbrace {\,1+1+\cdots +1\,} _{n{\text{ times}}}&(n>0)\\&0&(n=0)\\&\underbrace {\!(-1)+\cdots +(-1)\!} _{|n|{\text{ times}}}&(n<0)\end{aligned}}\right.$

なる形かたちに書かけるから、Z は 1 の生成せいせいする無限むげん巡回じゅんかい群ぐん ⟨1⟩ になる。特とくに Z は同型どうけいの違ちがいを除のぞいて唯一ゆいいつの無限むげん巡回じゅんかい群ぐんである。

乗法じょうほうについての四よん性質せいしつは、Z が乗法じょうほうに関かんしては可か換かわモノイドをなすことを言いうものである。

零れい因子いんしの非ひ存在そんざい以外いがいの全すべての性質せいしつを合あわせれば、整数せいすうの全体ぜんたい Z は単位たんい的てき可か換かわ環たまきであることがわかる。整数せいすう全体ぜんたいの成なす環たまきは整数せいすう環たまきと呼よばれる。例たとえば負まけの数すう同士どうしの積せきが正せいとなるという性質せいしつ

(−a) × (−b) = a × b

は、整数せいすうの全体ぜんたいが環たまきであることを用もちいれば、n を任意にんいの整数せいすうとするとき、逆ぎゃく元もとの一意いちい性せいによる −(−n) = n と 0 が吸収きゅうしゅう元もとすなわち n × 0 = 0 = 0 × n = 0 となることなどを使つかって証明しょうめいできる。

整数せいすう環たまき Z は零れい因子いんしを持もたない単位たんい的てき可か換かわ環かんゆえに整せい域いきである。逆ぎゃく元もとを持もつ整数せいすうは {±1} の二ふたつだけであり、Z から 0 を除のぞいた集合しゅうごうは除法じょほうについて閉とじていないので、Z は体からだにならない。

乗法じょうほうの逆ぎゃく演算えんざんとしての通常つうじょうの除法じょほうは Z 上うえで定義ていぎされた演算えんざんとはならないけれども、しかし Z は除法じょほうの原理げんりと呼よばれる性質せいしつ「任意にんいの整数せいすうa と任意にんいの整数せいすう b ≠ 0 に対たいして、a = qb + r かつ 0 ≦ r < |b| を満みたす二ふたつの整数せいすうq とr が存在そんざいする」が成なり立たつので、「余あまりのある除法じょほう」を定義ていぎすることができて、Z はユークリッド整せい域いきとなる。特とくに x と y の最大公約数さいだいこうやくすうが d のとき、ax + by = d を満みたす整数せいすう a, b が存在そんざいすることはユークリッドの互除法ほうなどにより保証ほしょうされ

(x) + (y) = (d)

が成なり立たつから、Z が単項たんこうイデアル整せい域いきであることがわかる。ここから導みちびかれる、任意にんいの整数せいすうが単元たんげんを掛かける違ちがいを除のぞいて素数そすうの積せきとして一意いちいに表あらわされるという重要じゅうような事実じじつは算術さんじゅつの基本きほん定理ていりと呼よばれ、Z が一意いちい分解ぶんかい環たまきであることを示しめす。

順序じゅんじょ構造こうぞう

$\mathbf {Z}$ における通常つうじょうの大小だいしょう関係かんけい

$\ldots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\ldots$

は、上うえにも下したにも有界ゆうかいでない全ぜん順序じゅんじょ関係かんけいであり、

1. $a<b$ かつ $c<d$ ならば $a+c<b+d$,
2. $a<b$ かつ $0<c$ ならば $ac<bc$

が成なり立たつという意味いみで $\mathbf {Z}$ の環かん構造こうぞうと両立りょうりつし、$\mathbf {Z}$ は順序じゅんじょ環たまきとなる。0 より大おおきな元もとは「正ただし」、0 より小ちいさな元もとは「負まけ」である。正せいの整数せいすう全体ぜんたい $\mathbf {N}$ は、任意にんいの整数せいすう $x$ に対たいし $x$ または $-x$ が $\mathbf {N}$ に属ぞくするという意味いみで $\mathbf {Z}$ の賦ふ値ち環たまきである。

厳密げんみつな構成こうせい

格子こうし点てんと整数せいすうとの対応たいおう

自然しぜん数すうの全体ぜんたい N は減法げんぽうについて閉とじていないが、上うえではそれを補完ほかんするものとして負ふ整数せいすうを導入どうにゅうし、整数せいすうの全体ぜんたい Z を構成こうせいした。それと本質ほんしつ的てきには変かわらないが、よく知しられる方法ほうほうとしてここでは、減法げんぽうを陽ひに持もち出ださずに、自然しぜん数すうの加法かほうと乗法じょうほうのみから同値どうち関係かんけいや商しょう集合しゅうごうといった道具どうぐを使つかって、整数せいすうが厳密げんみつに構成こうせいできることを記しるしておく。なお、以下いかの構成こうせいでは、自然しぜん数すうには 0 を含ふくまないとする。

まず、直積ちょくせき集合しゅうごう N² = N × N = {(a, b) | a, b は自然しぜん数すう} を考かんがえる。N² に同値どうち関係かんけい ∼ を

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c

と定義ていぎすることができる。ここで、N² を同値どうち関係かんけい ∼ で類別るいべつした集合しゅうごう（商しょう集合しゅうごう）N²/∼ を考かんがえる。これは、互たがいに同値どうちなもの全体ぜんたいの集合しゅうごう（同値どうち類るい）を元もととするような集合しゅうごうであり、直観ちょっかん的てきには互たがいに同値どうちであるようなものを同一どういつ視しする操作そうさである。(a, b) ∈ N² の属ぞくする同値どうち類るいを [a, b] ∈ N²/R と表あらわすことにする。つまり、[a, b] は

[a, b] = {(c, d) ∈ N² | (a, b) ∼ (c, d)}

となる集合しゅうごうである。同値どうち類るいを [a, b] のように表あらわすとき、(a, b) をこの同値どうち類るいの代表だいひょう元もとと呼よぶ。代表だいひょう元もとは同値どうちなものでありさえすれば、他たのものに取とり替かえることができる。商しょう集合しゅうごう N²/∼ に加法かほう + と乗法じょうほう × を

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]

[a, b] × [c, d] = [ac + bd, ad + bc]

と定義ていぎすると、これらは代表だいひょう元もとの取とり方かたによらずに、同値どうち類るい同士どうしの演算えんざんとしてうまく定義ていぎされていることが確たしかめられる。

このとき、[a, b] + [m, m] = [a + m, b + m] = [a, b] であるから、R = {(m, m) | m ∈ N} は N²/∼ の加法かほうに関かんする単位たんい元もとである。

また、自然しぜん数すう m に対たいして [m + 1, 1] を対応たいおうさせる写像しゃぞうは単たん射いで、

[m + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n) + 1, 1],

[m + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

を満みたす（準じゅん同型どうけい）から、 N は N²/∼ に演算えんざんまで込こめて埋うめ込こめる 。

記号きごうの濫用らんようではあるが、自然しぜん数すう m を埋うめ込こんだ先さきと同一どういつ視しして m = [m + 1, 1] と書かくことにし、これを（正せいの）整数せいすう m と呼よぶ 。

同様どうようの埋うめ込こみは、自然しぜん数すう m に対たいして [1, m + 1] を対応たいおうさせることでも得えられるが、和わと積せきは

[1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, (m + n) + 1],

[1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

となる。自然しぜん数すう m に対たいし、新あらたな記号きごう −m を [1, m + 1] を表あらわすものとして導入どうにゅうし、これを負ふ整数せいすう −m と呼よぶ 。

負ふ整数せいすう同士どうしの積せきが正せい整数せいすうになっていることが確認かくにんできる。

このとき、m + (−m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R だから、負ふ整数せいすう −m = [1, m + 1] は N²/∼ においてはちょうど、正せい整数せいすう m = [m + 1, 1] の加法かほうに関かんする逆ぎゃく元もとになっている 。

R をあらためて 0 と書かくことにして、N²/∼ = {m, 0, −m | m ∈ N} を整数せいすう全体ぜんたいの集合しゅうごうと呼よび、改あらためて Z と書かくことにしよう。

このようにして整数せいすうの全体ぜんたい Z が厳密げんみつに定義ていぎされたが、なお定義ていぎに従したがえば Z において結合けつごう法則ほうそくや分配ぶんぱい法則ほうそくなどの環たまきの公理こうりが満みたされることが証明しょうめいできる。

一般いっぱん化か

• 二に次じの整数せいすう
  • ガウス整数せいすう
  • アイゼンシュタイン整数せいすう

コンピュータにおける整数せいすう表現ひょうげん

詳細しょうさいは「整数せいすう型がた」を参照さんしょう

コンピュータの内部ないぶでは電気でんき的てきな信号しんごうの有無うむを 1 と 0 に割わり当あてて、2進しん法ほうを用もちいて整数せいすうを表現ひょうげんするのが基本きほんである。通常つうじょうは、2 バイト（16 ビット）または 4 バイト（32 ビット）の範囲はんいで表現ひょうげんできる範囲はんいの数かずを扱あつかう。負まけの値ねを扱あつかう場合ばあいは、2の補数ほすう表現ひょうげんなどが用もちいられる。通常つうじょうは有限ゆうげんの範囲はんいの整数せいすうしか扱あつかうことができないが、処理しょり速度そくどを犠牲ぎせいにして無限むげんの整数せいすうを扱あつかう方法ほうほうもある。

事務じむ処理しょりなど金額きんがくなどの大おおきな桁けたや 10 進しん小数しょうすうを正確せいかくに扱あつかう必要ひつようがある場合ばあい、二に進化しんか十じゅう進しん表現ひょうげんを用もちいる。

参考さんこう文献ぶんけん

• 足立あだち恒雄つねお『数かずの発明はつめい』岩波書店いわなみしょてん、2013年ねん12月20日にち。ISBN 978-4-00-029619-9。 
• 彌永やなが昌吉しょうきち『数かずの体系たいけい』 (下した)、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ新書しんしょ 黄き版ばん 43〉、1978年ねん4月がつ20日はつか。ISBN 978-4-00-420043-7。 
• H.‐D.エビングハウス他た 著ちょ、成木なりき 勇夫いさお 訳やく『数かず』 (上うえ)（新装しんそう版ばん）、丸善まるぜん出版しゅっぱん〈シュプリンガー数学すうがくリーディングス 6〉、2004年ねん11月。ISBN 978-4-621-06411-5。 
• 高木たかぎ貞治さだはる『数かずの概念がいねん』（改版かいはん）岩波書店いわなみしょてん、1970年ねん9月がつ19日にち。ISBN 978-4-00-005153-8。 
  • 高木たかぎ貞治さだはる『数かずの概念がいねん』講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス B-2114〉、2019年ねん10月がつ20日はつか。ISBN 978-4-06-517067-0。 
• 保ほ江こう邦夫くにお『数かずの論理ろんり　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？』講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス B-1397〉、2002年ねん12月。ISBN 978-4-06-257397-9。 

関連かんれん項目こうもく

• 自然しぜん数すう
• 剰余じょうよ類るい環たまき
• 整数せいすう型がた
• ユークリッド整せい域いき
• 有理数ゆうりすう

外部がいぶリンク

• 『整数せいすう』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com (英語えいご).