ユークリッド環たまき

数学すうがくの特とくに抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくおよび環たまき論ろんにおけるユークリッド整せい域いき（ユークリッドせいいき、英えい: Euclidean domain）あるいはユークリッド環たまき（ユークリッドかん、英えい: Euclidean ring）とは、「ユークリッド写像しゃぞう（次数じすう写像しゃぞう）」とも呼よばれるある種しゅの構造こうぞうを備そなえた環たまきで、そこではユークリッドの互除法ほうを適当てきとうに一般いっぱん化かしたものが行おこなえる。この一般いっぱん化かされた互除法ほうは整数せいすうに対たいするもともとの互除法ほうアルゴリズムとほとんど同おなじ形がたで行おこなうことができ、任意にんいのユークリッド環たまきにおいて二に元げんの最大公約数さいだいこうやくすうを求もとめるのに適用てきようできる。特とくに、任意にんいの二に元げんに対たいしてそれらの最大公約数さいだいこうやくすうは存在そんざいし、それら二に元げんの線型せんけい結合けつごうとして書かき表あらわされる（ベズーの等式とうしき）。また、ユークリッド環たまきの任意にんいのイデアルは主しゅイデアル（つまり、単項たんこう生成せいせい）であり、したがって算術さんじゅつの基本きほん定理ていりの適当てきとうな一般いっぱん化かが成立せいりつする。すなわち、任意にんいのユークリッド環たまきは一意いちい分解ぶんかい環たまきである。

ユークリッド環たまきのクラスをより大おおきな主しゅイデアル環たまき (PID) のクラスと比較ひかくすることには大おおいに意味いみがある。勝手かってな PID はユークリッド環たまき（あるいは実際じっさいには有理ゆうり整数せいすう環たまきを考かんがえるので十分じゅうぶんだが）と多おおくの「構造こうぞう的てき性質せいしつ」を共有きょうゆうしているが、しかしユークリッド環たまきには明示めいじ的てきに与あたえられるユークリッド写像しゃぞうから得えられる具体ぐたい性せいがあるのでアルゴリズム的てきな応用おうように有用ゆうようである。特とくに、有理ゆうり整数せいすう環たまきや体からだ上じょう一変いっぺん数すうの任意にんいの多項式たこうしき環たまきが容易よういに計算けいさん可能かのうなユークリッド写像しゃぞうを持もつユークリッド環たまきとなることは、計算けいさん代数だいすうにおいて基本きほん的てきに重要じゅうような事実じじつである。

そういったことから、整せい域いき R が与あたえられたとき、R がユークリッド写像しゃぞうを持もつことがわかるとしばしば非常ひじょうに便利べんりなのである。特とくに、そのとき R が PID であることが分わかるが、しかし一般いっぱんにはユークリッド写像しゃぞうの存在そんざいが「明あきらか」でないときに R が PID かどうかを決定けっていする問題もんだいは、それがユークリッド環たまきであるかどうかの決定けっていよりも容易よういである。

可か換かわ環たまき ⊃ 整せい域いき ⊃ 整せい閉整域いき ⊃ 一意いちい分解ぶんかい環たまき ⊃ 単項たんこうイデアル整せい域いき ⊃ ユークリッド環たまき ⊃ 体からだ ⊃ 有限ゆうげん体たい

動機付どうきずけ

整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう Z に自然しぜんな演算えんざんとして加法かほう + と乗法じょうほう × を考かんがえる。よく知しられた整数せいすうに対たいする長ちょう除法じょほうは、Z における次つぎの事実じじつに強つよく依拠いきょしたものである：

除法じょほうの原理げんり

「整数せいすう a と 0 でない整数せいすう b が与あたえられたとき、a = q × b + r を満みたす整数せいすうの対たい q, r が存在そんざいして、さらにそのようなものの中なかに r = 0 または |r| < |b| を満みたすものが取とれる」

a および b が正せいである場合ばあいのみを考かんがえることにすれば、r と b に関かんする制約せいやく条件じょうけんは、単たんに「r = 0 または r < b」と表あらわすことができる。

任意にんいの環たまきにも加法かほうと乗法じょうほうの概念がいねんがあるから、長ちょう除法じょほうの概念がいねんが任意にんいの環たまきで展開てんかいできないかを考かんがえるのはある意味いみで自然しぜんなことだが、しかし剰余じょうよや商しょうに関かんする条件じょうけん（つまり「r = 0 または r < b」）を単たんなる環たまきの文脈ぶんみゃくで定義ていぎすることは（もちろん、環たまき上じょうに何なにらの順序じゅんじょ関係かんけいも定義ていぎされていないので）容易よういにはできない。こうして、各かく元もとに加法かほう単位たんい元もと 0 からの「距離きょり」を導みちびく（「次数じすう」や「賦ふ値ち」などとも呼よばれる）ある種しゅのノルムd を備そなえた環たまきとしてのユークリッド環たまきの概念がいねんが導みちびかれる。そうして、制約せいやく条件じょうけん「r = 0 または r < b」は「r = 0 または d(r) < d(b)」で置おき換かわる。

ユークリッド環たまきの裏うらにある本質ほんしつ的てきな考かんがえ方かたは、それが環たまきであって「その任意にんいの元もと a と任意にんいの非ひ零れい元げん b に対たいして、b の倍ばい元もとの中なかに a に十分じゅうぶん近ちかい元もとが存在そんざいする」という性質せいしつを持もつということである。もちろん、その環たまきが可か除じょ環たまき（あるいは体からだ）であったならば、a × b⁻¹ を倍率ばいりつとして左ひだりから b に掛かければ a が得えられる。つまり、体からだや可か除じょ環たまきについては a に「ちょうど」一致いっちするような b の倍ばい元もとが存在そんざいする。もちろんこのことは一般いっぱんの環たまきでは成立せいりつするとは限かぎらない（例たとえば整数せいすう環たまき Z では成なりたない）から、制約せいやく条件じょうけんは「b の倍ばい元もとの中なかに a に十分じゅうぶん近ちかい元もとが存在そんざいする」というだけに緩ゆるめるのである。

自然しぜんな問といとして「次数じすうはどのような集合しゅうごうに値ねを取とるのか」という問題もんだいが考かんがえられるが、多おおくの目的もくてきで（特とくにユークリッドの互除法ほうが自由じゆうにできるという目的もくてきで）、自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう N に値ねをとるものと定さだめるのが普通ふつうである。自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう N の持もつ、この文脈ぶんみゃくで重要じゅうようになる性質せいしつは、それが整列せいれつ集合しゅうごうを成なすことである。

定義ていぎ

R を整せい域いきとする。R 上うえのユークリッド函数かんすう f: R ∖ {0} → N は除法じょほうの原理げんり

(EF1)

a および b は R の元もとで、b は零れいでないとすると、R の元もと q および r で、a = bq + r, かつ r = 0 または f(r) < f(b) のいずれかを満みたすようなものが存在そんざいする

を満みたす。少すくなくとも一ひとつのユークリッド函数かんすうを備そなえた整せい域いきをユークリッド環たまきと呼よぶ。ここで、ユークリッド環たまきの構造こうぞうが「特定とくてい」のユークリッド函数かんすうを持もつことを要求ようきゅうしていないことに注意ちゅういすべきである。一般いっぱんに一ひとつのユークリッド環たまきが複数ふくすうのユークリッド函数かんすうを持もちうるが、そのようなものはどれでも一ひとつあればよいのである。

多おおくの代数だいすう学がくの教科書きょうかしょでは、ユークリッド函数かんすうがさらに次つぎのような性質せいしつ

(EF2)

ともに零れい元げんでない R の任意にんいの二に元げん a および b に対たいして f(a) ≤ f(ab) が成立せいりつする。

をも満みたすことを仮定かていしている。しかし、これは次つぎのような意味いみで冗長じょうちょうである：

条件じょうけん (EF1) を満みたす g を備そなえた任意にんいの整せい域いき R に対たいして、(EF1) および (EF2) をともに満みたす f: R ∖ {0} → N が取とれる。

実際じっさい a ∈ R ∖ {0}に対たいして f(a) を

$f(a)=\min _{x\in R\smallsetminus \{0\}}g(xa)$

のように定さだめればこの f は条件じょうけんを満みたす(Rogers 1971)。言葉ことばで書かけば、f(a) の値ねとして、a が生成せいせいする主しゅイデアルの非ひ零れい元げん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうでの g の最小さいしょう値ちを与あたえるのである。

定義ていぎに関かんする注意ちゅうい

「ユークリッド函数かんすう」と言いうかわりに「次数じすう」、「賦ふ値ち」、「ゲージ函数かんすう」、「ノルム」などといったような用語ようごを用もちいているものも多おおい（特とくに名称めいしょうを提示ていじせず、単たんに条件じょうけんを満みたす写像しゃぞう/函数かんすうとだけ言いっている場合ばあいも少すくなくないが）。

ユークリッド函数かんすうの定義ていぎとして任意にんいの整列せいれつ集合しゅうごうに値ねを取とることを許ゆるして一般いっぱん化かする場合ばあいもある。このように条件じょうけんを弱よわめても、ユークリッド性せいの最もっとも重要じゅうような部分ぶぶんには何なにも影響えいきょうしない。またユークリッド函数かんすうの定義ていぎ域いきから零れい元げん 0_R を抜ぬかず R 全体ぜんたいで定義ていぎされることを仮定かていする文献ぶんけんもある。この場合ばあい、例たとえば一変いっぺん数すう多項式たこうしき環たまき K[X] に対たいして通常つうじょうの次数じすう函数かんすう deg は（ユークリッド函数かんすうの値域ちいきを N とするとそのままでは使つかえないが）零れい多項式たこうしき 0 の次数じすう deg(0) = −∞ を最小さいしょう値ちとして付与ふよした N ∪ {−∞} に値ねをとるユークリッド函数かんすうにはなる。

条件じょうけん (EF1) を次つぎのような形かたちに書かきなおすこともできる：

R の任意にんいの非ひ零れい元げん b が生成せいせいする主しゅイデアル I = (b) に対たいして、剰余じょうよ環たまき R⁄I の零れいでない同値どうち類るいは必かならず f(r) < f(b) を満みたす代表だいひょう元もと r を含ふくむ。

f の取とりうる値ねは整列せいれつ順序付じゅんじょづけられているから、I に属ぞくさない元もと r のうち、それが属ぞくする同値どうち類るいにおいて f(r) の値ねが最小さいしょうとなるものだけについて、必かならず f(r) < f(b) が成なり立たっていることを示しめせば、この条件じょうけんが満みたされることが言いえる。この条件じょうけんの下したで確定かくていされるユークリッド函数かんすうに対たいして (EF1) における q と r が効果こうか的てきに決定けっていできる方法ほうほうが存在そんざいすることは必要ひつようとされていないことに注意ちゅうい。

例れい

以下いかにユークリッド環たまきの例れいを挙あげる。

• 任意にんいの体からだ K, f(x) = 1 (∀x ≠ 0).
• 有理ゆうり整数せいすう環たまき Z, f(n) = |n|（絶対ぜったい値ち）.
• ガウス整数せいすう環たまき Z[i], f(a + bi) = a² + b²（ガウス整数せいすうの標準ひょうじゅんノルム）.
• アイゼンシュタイン整数せいすう環たまき Z[ωおめが] (ωおめが は 1 の虚きょ立方根りっぽうこん), f(a + bωおめが) = a² − ab + b²（アイゼンシュタイン整数せいすうの標準ひょうじゅんノルム）.
• 体からだ K 上うえの多項式たこうしき環たまき K[X], 零れい多項式たこうしきでない任意にんいの多項式たこうしき P に対たいして f(P) = deg(P) （多項式たこうしきの次数じすう）.
• 体からだ K 上うえの形式けいしき冪べき級数きゅうすう環たまき K[[X]], 非ひ零れい冪べき級数きゅうすう P に対たいし、f(P) = ord(P) (冪べき級数きゅうすうの位い数すう: P に現あらわれる（係数けいすうが 0 でない）項こうの最小さいしょう次数じすう)。特とくに二ふたつの非ひ零れい冪べき級数きゅうすう P, Q に対たいして、f(P) ≤ f(Q) ⇔ P | Q.
• 任意にんいの離散りさん賦ふ値ち環たまき, f(x) は x を含ふくむ極大きょくだいイデアルの最高さいこう冪べき。上述じょうじゅつの K[[X]] はこの特別とくべつの場合ばあいである。
• 有限ゆうげん個この非ひ零れい素もとイデアル P₁, …, P_n を持もつデデキント整せい域いき, f(x) = ∑n
  i=1 v_i(x) (v_i はイデアル P_i に対応たいおうする離散りさん賦ふ値ち)

性質せいしつ

整せい域いき R とその上うえのユークリッド函数かんすう f について：

• R は主しゅイデアル整せい域いきを成なす。実じつは、I が R の非ひ零れいイデアルならば、I ∖ {0} の各かく元もと a のうち f(a) が最小さいしょうとなるもので I は生成せいせいされる。ここから R が一意いちい分解ぶんかい環たまきかつネーター環たまきでもあることが帰結きけつされる。一般いっぱんの主しゅイデアル整せい域いきに比くらべ、分解ぶんかいの存在そんざい性せい（つまり R が分解ぶんかい整せい域いきであること）は、ユークリッド環たまきの場合ばあいには特とくに容易よういに示しめせる。ユークリッド函数かんすう f を (EF2) を満みたすように取とり、x は f(x) 個こよりも多おおくの非ひ単元たんげん因子いんしに分解ぶんかいできないものとして、x から繰くり返かえし既すんで約やく因子いんしに分解ぶんかいしていけば、必かならず既すんで約やく元もとへの分解ぶんかいが得えられる。
• f がそこで大域たいいき的てきな最小さいしょう値ちを取とるような R の点てんは必かならず R の可逆かぎゃく元もとである。f が (EF2) を満みたすように選えらばれているならば、逆ぎゃくも成なり立たち、しかも f は R の可逆かぎゃく元もとにおいてのみ最小さいしょう値ちを取とる。
• ユークリッド性せいはアルゴリズム的てきである。すなわち、与あたえられた a, b(≠ 0) から「a = bq + r かつ [r = 0 または f(r) < f(b)]」を満みたす商しょう q と剰余じょうよ r を得える割わり算ざんアルゴリズムが存在そんざいするならば、この除法じょほうに関かんする意味いみでの拡張かくちょうユークリッド互除法ほうが定義ていぎできる。

全すべての PID がユークリッドというわけではない。例たとえば d = −19, −43, −67, −163 のときの二に次じ体たい Q(√d) の整数せいすう環たまきは PID だがユークリッドでない。他方たほう、d = −1, −2, −3, −7, −11 の場合ばあいにはユークリッドになる。

しかし、自明じめいなイデアル類るい群ぐんを持もつ Q の有限ゆうげん次じ拡大かくだい体たいの多おおくにおいて、その整数せいすう環たまきはユークリッドになる（ただし、必かならずしも体からだのノルムの絶対ぜったい値ちに関かんしてというわけではない。後述こうじゅつ）。拡張かくちょうリーマン予想よそう (ERH) を仮定かていすると、K が Q の有限ゆうげん次じ拡大かくだいで、かつ K の整数せいすう環たまきが無限むげん個この単元たんげんを持もつ PID ならば、その整数せいすう環たまきはユークリッドであることが従したがう。 特とくにこのことを自明じめいな類るい群ぐんを持もつ総そう実み二に次じ体たいの場合ばあいに応用おうようできる。さらに（ERH の仮定かていなしに）体からだ K が Q のガロワ拡大かくだいで自明じめい類るい群ぐんを持もち、かつ階数かいすう (unit rank) が 3 より真しんに大おおきいならば、その整数せいすう環たまきはユークリッドである。 ここから直ただちに得えられる系けいとして、数すう体たい K が Q 上うえガロワで類るい群ぐんが自明じめいかつ拡大かくだい次数じすうが 8 より大おおきいならば、その整数せいすう環たまきはユークリッドでなければならない。

ノルムユークリッド体からだ

代数だいすう体たい K には体からだのノルム N（各かく代数だいすう的てきな元もと αあるふぁ をその共軛きょうやく元もと全すべての積せきへ写うつす写像しゃぞう）の絶対ぜったい値ちによる標準ひょうじゅんノルム写像しゃぞうが存在そんざいする。このノルムは数すう体たい K の整数せいすう環たまき O_K を非負ひふ有理ゆうり整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうのなかへ写うつすから、この環たまき上じょうのユークリッド函数かんすうの候補こうほとなり得える。このノルムがユークリッド函数かんすうの公理こうりを満足まんぞくするならば、数すう体たい K はノルムに関かんしてユークリッド的てきあるいはノルムユークリッド的てき (norm-Euclidean) であるという。厳密げんみつに言いえば、（体からだは自明じめいなユークリッド環たまきであるし）整数せいすう環たまきのほうがユークリッド的てきだということを言いっているのだが、このような語法ごほうが標準ひょうじゅん的てきである。

「体からだがノルムユークリッドでない」というのは、整数せいすう環たまきがユークリッド環たまきにならないことを必かならずしも意味いみしない。単たんに体からだのノルムがユークリッド函数かんすうの公理こうりを満足まんぞくしないというだけである。実際じっさい、その整数せいすう環たまきがユークリッド環たまきになるが自身じしんはノルムユークリッドでないような数すう体たいは存在そんざいする。簡単かんたんな例れいとして二に次じ体たい Q(√69) があるが、このような体からだを（特とくに二に次じ体たいの場合ばあいに）全すべて決定けっていする問題もんだいは重要じゅうような未み解決かいけつ問題もんだいである。

ノルムユークリッド二に次じ体たいの分類ぶんるいは済すんでおり、そのような二に次じ体たい Q(√d) を成なす整数せいすう d の値ねは

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (OEIS: A048981).

であたえられる。

参考さんこう文献ぶんけん

• 山やま﨑圭次郎じろう『環たまきと加か群ぐん I』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ講座こうざ 基礎きそ数学すうがく 代数だいすう学がくii〉、1976年ねん。 
• 森田もりた康夫やすお『代数だいすう概論がいろん』裳も華はな房ぼう〈数学すうがく選書せんしょ9〉、1987年ねん。 
• Rogers, Kenneth (1971), “The Axioms for Euclidean Domains”, American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 10) 78 (10): 1127–1128, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, https://jstor.org/stable/2316324 
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967), A first course in abstract algebra (5 ed. ed.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3 
• Samuel, Pierre (1971). “About Euclidean rings”. Journal of Algebra 19 (2): 282-301. doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. http://math.uga.edu/~pete/Samuel-Euclidean.pdf. 
• 加古かこ, 富とみ志雄しお (2009年ねん). “ユークリッド整せい域いき”. 計算けいさん機き代数だいすう 講義こうぎ資料しりょう. 奈良女子大学ならじょしだいがく理学部りがくぶ情報じょうほう科学かがく科か. 2012年ねん5月がつ閲覧えつらん。
• 坂井さかい, 公おおやけ (2012年ねん). “計算けいさん機き数学すうがくI 講義こうぎノート” (PDF). 筑波大学つくばだいがく 数理すうり物質ぶっしつ系けい 数学すうがく域いき. 2012年ねん5月がつ閲覧えつらん。
• 草刈くさかり, 圭一けいいち朗ろう (2005年ねん). “離散りさん数学すうがく 講義こうぎ資料しりょう(10)” (PDF). 2012年ねん5月がつ閲覧えつらん。
• 都築つづき, 正男まさお (2008年ねん). “ユークリッド整せい域いき上じょうの単たん因子いんし論ろん” (PDF). 代数だいすう学がくIe 授業じゅぎょうプリント. 上智大学じょうちだいがく 理工学部りこうがくぶ数すう学科がっか. 2012年ねん5月がつ閲覧えつらん。

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Euclidean Ring". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Euclidean domain in nLab
• Euclidean domain - PlanetMath.（英語えいご）
• Definition:Euclidean Domain at ProofWiki
• Ivanova, O.A. (2001), “Euclidean ring”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euclidean_ring