零れい多項式たこうしき

数学すうがくにおける零れい多項式たこうしき（れいたこうしき、ゼロたこうしき、英えい: zero polynomial, null polynomial）は全すべての係数けいすうが 0 の多項式たこうしきを言いう。しばしば、零れい多項式たこうしき自身じしんをやはり 0 で表あらわす。零れい多項式たこうしきは、一変いっぺん数すうまたは多た変数へんすうの多項式たこうしき環たまきにおける零れい元げんである。

零れい多項式たこうしきを定数ていすう多項式たこうしきや任意にんい次数じすうの斉ひとし次じ多項式たこうしきと見みることもできるし、そうしないこともあり得える。

環たまきの零れい元げん

適当てきとうな体からだ K 上うえの多項式たこうしき環たまき K[x] の各かく元もと f に対たいして、零れい多項式たこうしき 0 は f + 0 = 0 + f = f を満みたす。すなわち 0 は K[x] の加法かほう群ぐんに関かんする単位たんい元もとである。任意にんいの環たまきにおいてそうであるように、多項式たこうしきの積せきに関かんして f⋅0 = 0⋅f = 0 が成なり立たち、0 は K[x] の乗法じょうほうに関かんする吸収きゅうしゅう元もとである。これら両方りょうほうの意味いみにおいて、零れい多項式たこうしき 0 は多項式たこうしき環たまき K[x] の零れい元げんである。

埋うめ込こみ 1_K ↦ x⁰ のもとで K ⊂ K[x] と見みるとき、各かくスカラー k ∈ K は K[x] の元もととして定数ていすう多項式たこうしきを定さだめるから、この意味いみにおいて零れい多項式たこうしきは定数ていすう多項式たこうしきである。

多項式たこうしき函数かんすう

「零れい函数かんすう」も参照さんしょう

零れい多項式たこうしきの定さだめる多項式たこうしき函数かんすうは零れい函数かんすうである。しかし逆ぎゃくは正ただしくない（例たとえば係数けいすう体たいが二元にげん体たい F₂ 上うえの非ひ零れい多項式たこうしき x² − x の定さだめる多項式たこうしき函数かんすう f: F₂ → F₂ は f(0) = f(1) = 0 だから零れい函数かんすうである）。一ひとつの十分じゅうぶん条件じょうけんとして、係数けいすう体たいが無限むげん体たいならば零れい函数かんすうを定さだめる多項式たこうしきは零れい多項式たこうしきに限かぎる。

定数ていすう多項式たこうしきの定さだめる多項式たこうしき函数かんすうが定数ていすう函数かんすうであり、零れい函数かんすうは定数ていすう 0 を割わり当あてる定数ていすう函数かんすうであるから、その意味いみにおいて零れい多項式たこうしきを定数ていすう多項式たこうしきに含ふくめることに齟齬そごはない。しかし、零れい函数かんすうは定義ていぎ域内いきないの全すべての元もとがその零れい点てんであり、その意味いみにおいて零れい多項式たこうしきは無数むすうの根ねを持もち得える（例たとえば、R 上うえの零れい多項式たこうしき函数かんすうはそのグラフが x-軸じくに一致いっちする）。他たの定数ていすう多項式たこうしきは根ねを持もたないから、その点てんで零れい多項式たこうしきは他たの定数ていすう多項式たこうしきとの共通きょうつう性せいを持もたない。

次数じすう

「多項式たこうしきの次数じすう」も参照さんしょう

零れい多項式たこうしきにおいて係数けいすうが非ひ零れいである項こうは存在そんざいしないから、非ひ零れい係数けいすうを持もつ項こうの変数へんすうが持もつ冪べき指数しすうの最小さいしょう値ちという通常つうじょうの定義ていぎによって次数じすうを定さだめることはできない。零れい多項式たこうしきの次数じすうは明示めいじ的てきに「定義ていぎしない」とするか、負ふ整数せいすうまたは負まけの無限むげん大だいとする規約きやくがよく用もちいられる。非ひ零れい定数ていすう多項式たこうしきの次数じすうは明あきらかに 0 であるから、定数ていすう多項式たこうしきに零れい多項式たこうしきを含ふくめないという規約きやくを定さだめるならば、多項式たこうしきに対たいして次数じすう 0 であることと定数ていすうであることとを同おなじ意味いみに用もちいることができる。

多項式たこうしきのユークリッド除法じょほうでは、多項式たこうしき P を M で割わった商しょう Q と剰余じょうよ R をP = QM + R (R = 0 または deg(R) < deg(M)) となるただ一いち組くみの (Q, R) として定義ていぎできる。零れい多項式たこうしきの次数じすう deg(0) を負数ふすうと定義ていぎすることは、単純たんじゅんに P = QM + R (deg(R) < deg(M))　と書かけるという点てんにおいて有意ゆういである。

整せい域いき上うえの非ひ零れい多項式たこうしきの和わに対たいしてその次数じすうは deg(P + Q) = max{deg(P), deg(Q}), あるいは積せきについて deg(PQ) = deg(P) + deg(Q), などが成なり立たつが、零れい多項式たこうしきの次数じすうを −∞ とすることで、P または Q が零れい多項式たこうしきとなる場合ばあいも除外じょがいせずに済すむ。

斉ひとし次じ多項式たこうしき

「斉ひとし次じ多項式たこうしき」も参照さんしょう

斉ひとし次じ多項式たこうしきはふつう全すべての項こうの（全あきら）次数じすうが斉ひとしい多た変数へんすうの多項式たこうしきを言いう。その意味いみにおいて、零れい多項式たこうしきはいかなる次数じすうの斉ひとし次じ多項式たこうしきでもない。しかし、斉ひとし次じ多項式たこうしき P はスカラー λらむだ ≠ 0 によるスカラー倍ばいに関かんして P(λらむだ⋅x) = λらむだ^k⋅P(x) となる自然しぜん数すう k が存在そんざいするという意味いみにおいて、斉ひとし k-次つぎの斉ひとし次じ函数かんすうである。零れい多項式たこうしきはその意味いみにおいて任意にんいの斉ひとし次次つぎつぎ数すうを持もつ斉ひとし次じ多項式たこうしきと見みなすことができる。

零れい多項式たこうしきが任意にんいの次数じすうの斉ひとし次じ多項式たこうしきと見みなすことは、k-次つぎの斉ひとし次じ多項式たこうしき全体ぜんたい A^k が多項式たこうしきの和わに関かんして加法かほう群ぐんとなるために、あるいは和わとスカラー倍ばいに関かんしてベクトル空間くうかんを成なすようにするために有用ゆうようである。このとき、多項式たこうしき環たまき K[x] は次数じすう環たまきとしての斉ひとし次じ成分せいぶんへの分解ぶんかい K[x] = A⁰ + A¹ + ⋯ ができ、これはまたベクトル空間くうかんの直和なおかず分解ぶんかいであり、したがって次数じすう付つき多元たげん環たまきとしての分解ぶんかいになる。

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Zero Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• zero polynomial - PlanetMath.（英語えいご）
• Definition:Null Polynomial at ProofWiki