重根しこね (多項式たこうしき)

重根しこね（じゅうこん、英えい: multiple root）とは、1変数へんすう多項式たこうしき $f(x)$ の根ねのうち重複じゅうふく度どが2以上いじょうのもののことをいう。

概要がいよう

1 変数へんすう多項式たこうしき $f(x)$ が、定数ていすう $a(\neq 0)$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{n}$を用もちいて

$f(x)=a(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$

の形かたちに因数いんすう分解ぶんかいされ、$\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{n}$ の中なかに 2 つ以上いじょう同おなじ値ちがある場合ばあい、その値ねを $f(x)$ の重根しこねという。

方程式ほうていしき $f(x)=0$ の解かいは一般いっぱんに

${\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}}$

つまり xy-座標ざひょう系けいにおいて $y=f(x)$ と x 軸じくとの交点こうてんの x 座標ざひょうである。$f(x)$ が1変数へんすう多項式たこうしきのとき、$y=f(x)$ が $x=\alpha$ で x 軸じくに接せっするなら、$\alpha$は $f(x)$ の重根しこねとなる。

したがって $f(x)$ は $x=\alpha$ における微分びぶんも 0 となり、 $x=\alpha$ が $f(x)$ の重じゅう根ねであることと

$f(\alpha )=f'(\alpha )=0$

であることは同値どうちである。

定義ていぎ

体からだ K 上うえの多項式たこうしき $f(x)$ と K の元もと $\alpha$に対たいし、$(x-\alpha )^{2}\mid f(x)$ が成立せいりつするとき、すなわち 2 以上いじょうの自然しぜん数すう $k$ と多項式たこうしき $g(x)$ で

$f(x)=(x-\alpha )^{k}g(x)$

を満みたすものが存在そんざいするとき、$\alpha$ を $f(x)$ の重根しこねという。特とくに $g(x)$ が $\alpha$ を根ねに持もたないならば、$k$ を根ね $\alpha$ の重複じゅうふく度ど（ちょうふくど、multiplicity）という。

判別はんべつ式しき

詳細しょうさいは「判別はんべつ式しき」を参照さんしょう

多項式たこうしき $f(x)$ の根ねを $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{n}$ とし、その全体ぜんたいから作つくられる最さい簡交代こうたい式しき（差さ積せき）の平方へいほう

$D_{f}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

を多項式たこうしき $f(x)$ あるいは方程式ほうていしき $f(x)=0$ の判別はんべつ式しき（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数だいすう方程式ほうていしきが重根しこねを持もつかどうか」 を判別はんべつするための式しきである。すなわち、判別はんべつ式しきが $0$ であることとその代数だいすう方程式ほうていしきが重根しこねを持もつこととが同値どうちとなる。このことは判別はんべつ式しきを差さ積せきに取とり替かえても変かわらない。にもかかわらず差さ積せきの平方へいほうを判別はんべつ式しきとするのは、それが方程式ほうていしきの係数けいすうによって必かならず記述きじゅつできるからである。

これは、

1. 差さ積せきの平方へいほうが根ねに関かんする対称たいしょう式しきとなること
2. 対称たいしょう式しきが基本きほん対称たいしょう式しきで表あらわすことができること
3. 根ねの基本きほん対称たいしょう式しきが方程式ほうていしきの係数けいすうによって記述きじゅつされること（根ねと係数けいすうの関係かんけい）

によって保証ほしょうされる。

たとえば、二に次じ方程式ほうていしき $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$） の根ねを $\alpha$, $\beta$ とすると、根ねと係数けいすうの関係かんけいにより

$\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},$

$\alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

が成なり立たち、判別はんべつ式しきすなわち差さ積せきの二に乗じょうは

$(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta =\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\times {\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}$

となる。$a\neq 0$より$a^{2}>0$ であるので、実用じつよう上じょうは分母ぶんぼを掃った $b^{2}-4ac$ を判別はんべつ式しきとして用もちいることが多おおい。

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