モニック多項式たこうしき

代数だいすう学がくにおけるモニック多項式たこうしき（モニックたこうしき、英えい: monic polynomial; モノ多項式たこうしき、単たん多項式たこうしき^[1]）は最高さいこう次じ係数けいすうが $1$ である一変いっぺん数すう多項式たこうしき。

概要がいよう

変数へんすう $x$ に関かんする次数じすう $n$ の多項式たこうしきは、一般いっぱん的てきに $c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$ の形かたちに書かくことができる。ここで、 $c n \neq 0, c n -1, \dots, c 2, c 1, c 0$ はこの多項式たこうしきの係数けいすうと呼よばれる定数ていすうであり、特とくに係数けいすう $c n$ は最高さいこう次じ係数けいすうという。したがって、 $n$ -次じ多項式たこうしきがモニックとは $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$ の形かたちであることである。

モニック多項式たこうしきに付随ふずいする多項式たこうしき方程式ほうていしきの性質せいしつは、係数けいすう環たまき $A$ に極きわめて依存いぞんする。

$A$ が体からだならば、任意にんいの非ひ零れい多項式たこうしき $p$ はちょうど一ひとつの同伴どうはんモニック多項式たこうしき $q$ をもつ（明あきらかに $q$ は $p$ を主おも係数けいすうで割わったものである）。したがって、このとき任意にんいの自明じめいでない多項式たこうしき方程式ほうていしき $p (x) = 0$ はそれと同値どうちなモニック方程式ほうていしき $q (x) = 0$ に置おき換かえることができる。例たとえば、実じつ二に次じ方程式ほうていしきの一般いっぱん形がた $ax 2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ は $x^{2}+sx+t=0\quad (s:=b/a,\ t:=c/a)$ に置おき換かえることができる。これによって、二に次じ方程式ほうていしきの一般いっぱん解かいを $x={\frac {1}{2}}\left(-s\pm {\sqrt {s^{2}-4t}}\right)$ というやや簡素かんそな形かたちに書かくことができる。

他方たほう、係数けいすう環たまきが体からだでない場合ばあいには大おおきな違ちがいが生しょうじる。整せい域いき上うえのモニック方程式ほうていしき（整せい方程式ほうていしき）は代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおいて重要じゅうようである。

定義ていぎ

不定ふてい元もと（変数へんすう）を一ひとつしかもたない多項式たこうしき（一元いちげん多項式たこうしき）の場合ばあい、高次こうじから低てい次つぎへ（降くだ冪べき、descending powers）の順じゅんか、低てい次つぎから高次こうじへ（昇のぼり冪べき、ascending powers）の順じゅんに項こうを書かき並ならべるのが普通ふつうである。したがって、不定ふてい元もと $x$ に関かんする次数じすう $n$ の一元いちげん多項式たこうしきは、その一般いっぱん形がたを $c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$ の形かたちに書かくことができる。ここで、 $c n \neq 0, c n -1, \dots, c 2, c 1, c 0$ はこの多項式たこうしきの係数けいすうと呼よばれる定数ていすうである。ここに、項こう $c n \cdot x n$ は最高さいこう次項じこうまたは主しゅ項こう (leading term) と呼よび、その係数けいすう $c n$ は最高さいこう次じ係数けいすうまたは主しゅ係数けいすう (leading coefficient) という。

定義ていぎ: （一変いっぺん数すう）多項式たこうしきは、その主しゅ係数けいすうが $1$ に等ひとしいとき、モニック (monic; 主しゅ係数けいすう $1$ ) であるという。

すなわちモニックな多項式たこうしきは、 $n$ を自然しぜん数すう、 $x$ を変数へんすう、 $c_{i}$ を定数ていすうとして、次つぎ式しきの形かたちである。 $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

性質せいしつ

積せき閉性

適当てきとうな単位たんい的てき環たまき $A$ および変数へんすう $x$ を所与しょよとして、モニック多項式たこうしき全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは多項式たこうしきの乗法じょうほうに関かんして閉とじている（これは、二ふたつの多項式たこうしきの積せきの主しゅ項こうが各かく多項式たこうしきの主しゅ項こうの積せきに等ひとしいことから明あきらか）。したがって、モニック多項式たこうしきの全体ぜんたいは、多項式たこうしき環たまき $A [x]$ の乗法じょうほう部分ぶぶん半はん群ぐんを成なす。特とくに、 $A [x]$ の乗法じょうほう単位たんい元もとである定数ていすう多項式たこうしき $1$ はモニックであるから、この半はん群ぐんはモノイドを成なす。

半はん順序じゅんじょ

多項式たこうしきの整除せいじょ関係かんけい（英語えいご版ばん）をモニック多項式たこうしき全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうに制限せいげんしたものは、この集合しゅうごう上じょうの半はん順序じゅんじょ関係かんけいとなる。実際じっさい、二ふたつのモニック多項式たこうしき $p, q$ に対たいし、 $p (x)$ が $q (x)$ を整除せいじょし、かつ $q (x)$ が $p (x)$ を整除せいじょするならば、 $p, q$ は一致いっちしなければならない。このことは、モニックでない一般いっぱんの多項式たこうしきに対たいしては必かならずしも成なりたない（例たとえば、係数けいすう環たまきが $1$ 以外いがいの単元たんげんをもつときは成なりたない）から、モニックに制限せいげんしない場合ばあいの整除せいじょ関係かんけいは半はん順序じゅんじょとは限かぎらない。

整せい性せい

整数せいすう係数けいすうモニック方程式ほうていしきは整数せいすう解かい以外いがいの有理数ゆうりすう解かいをもたない。つまり、モニックでない方程式ほうていしき $2 x 2 + 3 x + 1 = 0$ は整数せいすうでない有理数ゆうりすう解かいをもち得える（これはたまたま有理数ゆうりすう解かい、とくに $-1/2$ を解かいにもつ）が、 $x 2 + 5 x + 6 = 0$ や $x 2 + 7 x + 8 = 0$ は整数せいすう解かいかさもなければ無理むり数すう^{[注釈ちゅうしゃく 1]}解かいしかもち得えないということである。整数せいすう係数けいすうモニック多項式たこうしきの根ねは代数だいすう的てき整数せいすうと呼よばれる。

代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおいて、整せい域いき上うえのモニック多項式たこうしき方程式ほうていしきの解かいは整せい拡大かくだいおよび整せい閉整域いきの理論りろんを考かんがえるうえで重要じゅうようである。一般いっぱんに、 $A$ は整せい域いきで、別べつの整せい域いき $B$ の部分ぶぶん環たまきと仮定かていするとき、部分ぶぶん集合しゅうごう $C \subset B$ を $A$ 上うえのモニック方程式ほうていしきを満足まんぞくする $B$ の元もと全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう $C:=\{b\in B\mid p(b)=0\quad (\exists p\in A[x],\;p\colon {\text{ monic}})\}$ とすれば、 $C$ は $A$ を含ふくむ。（実際じっさい、任意にんいの $a \in A$ はモニック方程式ほうていしき $x - a = 0$ を満足まんぞくする。）さらに、 $C$ が加法かほうおよび乗法じょうほうについて閉とじていることが示しめせるから、 $C$ は $B$ の部分ぶぶん環たまきである。この環たまき $C$ を $A$ の $B$ における整せい閉包へいほうと呼よぶ（ $B$ が $A$ の商しょう体たいであるときは、単たんに $A$ の整せい閉包へいほうと呼よぶ）。また $C$ の元もとは $A$ 上うえ整せいであるという。

$A$ が有理ゆうり整数せいすう環たまき $Z$ で $B$ が複素数ふくそすう体からだ $C$ であるとき、 $C$ は代数だいすう的てき整数せいすう環たまき^{[注釈ちゅうしゃく 2]}と呼よばれる。

多た変数へんすうの場合ばあい

通常つうじょうは、多た変数へんすう多項式たこうしきに対たいして「最高さいこう次じの項こう」は一意いちいではないから「モニック」の概念がいねんも意味いみをなさない。ただし、多た変数へんすう多項式たこうしきを、係数けいすうが「主しゅ変数へんすう以外いがいの変数へんすうに関かんする多項式たこうしき」となっているような、変数へんすうが主しゅ変数へんすうだけの「一変いっぺん数すう多項式たこうしき」とみなすことはできる。これには、どの変数へんすうを主おも変数へんすうとみなすかによって選択肢せんたくしは複数ふくすうある。例たとえば、実じつ多項式たこうしき ${\textstyle p(x,y):=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$ を考かんがえるとき、これを $y$ に関かんする一変いっぺん数すう多項式たこうしきを係数けいすうとする $x$ に関かんする一変いっぺん数すう多項式たこうしき $p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)\in \mathbb {R} [y][x]$ と見みれば、モニックである。しかし、 $p(x,y)=(2x-1)\cdot y^{2}+5\cdot y+(x^{2}+3x-8)\in \mathbb {R} [x][y]$ と見みれば、最高さいこう次じ係数けいすう（ $y 2$ の係数けいすう） $2 x - 1$ は $1$ でないから $y$ に関かんしてモニックではない。

別べつな規約きやくを設もうけることもできて、それは特とくにグレブナ基底きていの文脈ぶんみゃくでは有効ゆうこうである。すなわち、多項式たこうしきがモニックであるとは、「多た変数へんすう多項式たこうしきの意味いみでの」主しゅ係数けいすうが $1$ に等ひとしいこととする。より精確せいかくに、 $n$ -変数へんすうの非ひ零れい多項式たこうしき $p = p (x 1, \dots, x n)$ を考かんがえるとき、同おなじ変数へんすうに関かんする「モニック」単項式たんこうしき^{[注釈ちゅうしゃく 3]}全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうの単項式たんこうしき順序じゅんじょ（ $x 1, \dots, x n$ の生成せいせいする自由じゆう可か換かわモノイド上じょうの全ぜん順序じゅんじょで、単位たんい元もとを最小さいしょう元もとにもち、多項式たこうしきの乗法じょうほうと両立りょうりつするもの）が与あたえられているとする。このとき多項式たこうしき $p$ の主しゅ項こうとは $p$ の係数けいすうが消きえていない（与あたえられた単項式たんこうしき順序じゅんじょに関かんして）最大さいだいの項こうをいい、その係数けいすうが $1$ であるとき $p$ はモニックであるという。

「多た変数へんすうモニック多項式たこうしき」を適当てきとうな定義ていぎのもとで考かんがえる場合ばあいは、通常つうじょうの（一変いっぺん数すうの）モニック多項式たこうしきのもつ性質せいしつと共通きょうつうしていることが望のぞましい。特とくに上うえに挙あげた二ふたつの定義ていぎでは、モニック多項式たこうしきの積せきが再ふたたびモニックになる。

注ちゅう

注釈ちゅうしゃく

^ ここでは有理数ゆうりすうでない複素数ふくそすうの意味いみでいう。
^ 代数だいすう体たいの整数せいすう環たまきと混同こんどうしてはならない。
^ 係数けいすう $1$ の単項式たんこうしき、すなわち変数へんすうの冪べき積せき。

出典しゅってん

^ リフレッシュ数学すうがく―高校こうこう数学すうがくから大学だいがく数学すうがくへ―, p. 131, - Google ブックス

参考さんこう文献ぶんけん

Pinter, Charles C. (2010) [Unabridged republication of the 1990 second edition of the work originally published in 1982 by the McGraw–Hill Publishing Company]. A Book of Abstract Algebra. Dover. ISBN 978-0486474175

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Monic Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
monic polynomial in nLab
monic - PlanetMath.（英語えいご）
Definition:Monic Polynomial at ProofWiki
Content of Monic Polynomial at ProofWiki

[2] ここでは有理数ゆうりすうでない複素数ふくそすうの意味いみでいう。

[3] 代数だいすう体たいの整数せいすう環たまきと混同こんどうしてはならない。

[4] 係数けいすう $1$ の単項式たんこうしき、すなわち変数へんすうの冪べき積せき。

[1] リフレッシュ数学すうがく―高校こうこう数学すうがくから大学だいがく数学すうがくへ―, p. 131, - Google ブックス

[1]

[注釈ちゅうしゃく 1]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[注釈ちゅうしゃく 3]