因数いんすう定理ていり

多項式たこうしき f(x) = 1/4(x³ + 3x² − 6x − 8) は x = −4, −1, 2 を根ね（零れい点てん）に持もつ。このことから、因数いんすう定理ていりより f(x) = 1/4(x + 4)(x + 1)(x − 2) と因数いんすう分解ぶんかいされる。

因数いんすう定理ていり（いんすうていり、英えい: factor theorem）とは、多項式たこうしきの根ねから元もとの多項式たこうしきを因数いんすう分解ぶんかいすることができるという定理ていりである。因数いんすう定理ていりは剰余じょうよの定理ていりの特別とくべつの場合ばあいになっている。

定理ていり (Ruffini)

多項式たこうしき f(x) が一いち次じ式しき x − αあるふぁ を因子いんしに持もつ必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは f(αあるふぁ) = 0、すなわち αあるふぁ が多項式たこうしき f(x) の根ねとなることである。

概要がいよう

多項式たこうしきの因数いんすう分解ぶんかい

詳細しょうさいは「多項式たこうしきの因数いんすう分解ぶんかい」を参照さんしょう

多項式たこうしきを一いち次じ式しきの積せきに因数いんすう分解ぶんかいするのは、「多項式たこうしきの根ねを求もとめること」と本質ほんしつ的てきに等価とうかな問題もんだいであることが分わかる。

多項式たこうしきの根ねが1つ求もとまれば、因数いんすう分解ぶんかいにより、未知みちの根ねからなる多項式たこうしきは次数じすうは下さがるため、根ねをより求もとめやすくなる。多項式たこうしきの全すべての根ねを求もとめる手順てじゅんは以下いかの通とおりである：

1. 多項式たこうしき f の根ね αあるふぁ を「推測すいそくする」。（一般いっぱんにはこれは「非常ひじょうに困難こんなん」である。ただし、係数けいすう体たいが有理数ゆうりすうの場合ばあいは、有理ゆうり根ね定理ていりにより、有理ゆうり根ねの候補こうほが有限ゆうげん個こに絞しぼれる。係数けいすう体たいが実数じっすうの場合ばあいは、グラフから根ねの近似きんじ値ちを求もとめることができる）
2. 因数いんすう定理ていりにより x − αあるふぁ は f の因子いんしである。
3. (x − αあるふぁ)g(x) = f(x) となる多項式たこうしき g を、実際じっさいに f(x) を x − αあるふぁ で多項式たこうしきとして（多項式たこうしきの長ちょう除法じょほう、組立くみたて除法じょほうなどにより）割わることで求もとめる。
4. f の αあるふぁ 以外いがいの根ねは、g の根ねである。g の次数じすうは f より一ひとつ下さがるから、f の αあるふぁ 以外いがいの根ねを求もとめることは、簡単かんたんになる。

多た変数へんすう多項式たこうしきの因数いんすう定理ていり

f を n 個この変数へんすう X₁, X₂, …, X_n の多項式たこうしき、g を X₁ 以外いがいの n − 1 個この変数へんすう X₂, …, X_n の多項式たこうしきとする。

定理ていり

f(X₁, X₂, …, X_n) が X₁ − g(X₂, …, X_n) を因子いんしに持もつための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、f(g(X₂, …, X_n), X₂, …, X_n) = 0 となることである。

これは f, g を X₁ の多項式たこうしきと見みれば g は X₁ に関かんして定数ていすうであるから、一変いっぺん数すうの場合ばあいの因数いんすう定理ていりから従したがう。注目ちゅうもくする変数へんすうを変かえれば、各かく変数へんすうについて同様どうようの主張しゅちょうが成なり立たつ。

例たとえば f をヴァンデルモンドの行列ぎょうれつ式しき

$f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}):={\begin{vmatrix}1&X_{1}&{X_{1}}^{2}&\cdots &{X_{1}}^{n-1}\\1&X_{2}&{X_{2}}^{2}&\cdots &{X_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&{X_{n}}^{2}&\cdots &{X_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}$

とするとき f(X₂, X₂, …, X_n) = 0 が明あきらかに成なり立たつから、g(X₂, …, X_n) ≔ X₂ として因数いんすう定理ていりを適用てきようすれば、f は X₁ − X₂ で割わり切きれると分わかる。同様どうようの議論ぎろんにより、f は差さ積せき ⊿(X₁, X₂, …, X_n) で割わり切きれると分わかる。

例れい

f(x) = x³ + 4x² + 3x − 2

を有理数ゆうりすうの範囲はんいで因数いんすう分解ぶんかいする。

有理ゆうり根ね定理ていりより、f(x) の根ねの候補こうほは

x = ±2/1, ±1/1

このうち根ねとして適てきするのは x = −2 のみである。

因数いんすう定理ていりより、f(x) は x − (−2) を因数いんすうに持もつ。

組立くみたて除法じょほうなどにより

x³ + 4x² + 3x − 2 = (x + 2)(x² + 2x − 1)

外部がいぶリンク

• 『因数いんすう定理ていり』 - コトバンク
• 『因数いんすう定理ていりの意味いみと因数いんすう分解ぶんかいへの応用おうよう・重じゅう解かいバージョンの証明しょうめい』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• Hudson, Mark. "Polynomial Factor Theorem". mathworld.wolfram.com (英語えいご).