判別はんべつ式しき

数学すうがくにおいて、多項式たこうしきの判別はんべつ式しき（はんべつしき、英えい: discriminant）とは、その多項式たこうしきの根ねが重根しこねを持もつための条件じょうけんを与あたえる、元もとの多項式たこうしき係数けいすうの多項式たこうしきで、最小さいしょうのもののことである。

一般いっぱんにdiscriminantの頭文字かしらもじを取とって、D で表記ひょうきされる。

概要がいよう

"discriminant"（判別はんべつ式しき）という用語ようごは1851年ねんにイギリス人数にんずう学者がくしゃジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造つくり出だされた。

通常つうじょうは、大文字おおもじの D あるいは大文字おおもじの Δでるた で表記ひょうきされる。

具体ぐたい的てきには、以下いかの式しきで定義ていぎされる：

x の n次つぎ式しき

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0)

の重複じゅうふくを含ふくめた根ねを αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n とすると、

$D={a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})$

この定義ていぎ式しきは、次つぎの手順てじゅんから、係数けいすう a_n, a_n−1, …, a₁, a₀ の分数ぶんすう式しきである（実際じっさいには多項式たこうしきになる）。

1. D は αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の対称たいしょう式しきである。
2. αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の対称たいしょう式しきは、αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の基本きほん対称たいしょう式しきの多項式たこうしきで表あらわせる。
3. αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の基本きほん対称たいしょう式しきは、根ねと係数けいすうの関係かんけいより、αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の分数ぶんすう式しきである。//

判別はんべつ式しき D を係数けいすう a_n, a_n−1, …, a₁, a₀ で表あらわすには、終結しゅうけつ式しき（シルべスター行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しき）を用もちいるのが最もっとも簡明かんめいである：

多項式たこうしき f の判別はんべつ式しき D は、f とその導しるべ関数かんすう f' の終結しゅうけつ式しきに ${\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}$ を掛かけた値ねに等ひとしい。すなわち、

$D={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}$

（対たい角かく成分せいぶんに a_n が (n − 1)個こ、1a₁ が n個こ）

二に次じ方程式ほうていしき ax² + bx + c = 0 の判別はんべつ式しきは

$\Delta =b^{2}-4ac$

である。

三さん次じ方程式ほうていしき ax³ + bx² + cx + d = 0 の判別はんべつ式しきは

$\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$

である。

四よん次じ方程式ほうていしき ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 の判別はんべつ式しきは

${\begin{aligned}\Delta =&\;256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$

である。

より高次こうじの方程式ほうていしきに対たいしても、判別はんべつ式しきは定義ていぎされ、係数けいすうたちの多項式たこうしきであるが、その式しきは非常ひじょうに長大ちょうだいなものになる。五ご次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しきは 59 の項こうを持もち、六ろく次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しきは 246 の項こうを持もち、項こうの個数こすうは次数じすうによって指数しすう的てきに増加ぞうかする。

（具体ぐたい的てきな高次こうじ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しきを最初さいしょの定義ていぎ式しきに基もとづいて求もとめようとすると、長大ちょうだいな係数けいすうの多項式たこうしきになり、計算けいさんすると時間じかんがかかる。判別はんべつ式しきを終結しゅうけつ式しきの形かたちで表あらわし、そこでの係数けいすうの値ねで表あらわされた行列ぎょうれつ式しきを計算けいさんするのが良よい。あるいは係数けいすう全体ぜんたいにごく少数しょうすうの変数へんすうだけが含ふくまれている場合ばあいにも、終結しゅうけつ式しきを用もちいて計算けいさんをするのが良よい。）

四よん次じまでの代数だいすう方程式ほうていしきに対たいしては、判別はんべつ式しきは解かいの公式こうしきに現あらわれるため、判別はんべつ式しきの定義ていぎとは、解かいの公式こうしきの一部いちぶと誤解ごかいされがちである。しかし五ご次じ以上いじょうの代数だいすう方程式ほうていしきには解かいの公式こうしきが存在そんざいしない（アーベル-ルフィニの定理ていり）が、判別はんべつ式しきは常つねに定義ていぎされる。

定義ていぎから、判別はんべつ式しきの値ねが 0 であるのは、重根しこね（すなわち重複じゅうふく度どが 2以上いじょうの根ね）が存在そんざいすることと同値どうちである。

実数じっすう係数けいすうの代数だいすう方程式ほうていしきの実数じっすう解かいの個数こすうは、二に次じ方程式ほうていしきでは、判別はんべつ式しきの符号ふごうが正せいか零れいか負まけかにより2個こ、1個いっこ（重複じゅうふく度ど2）、0個こと判別はんべつできるが、三さん次じの場合ばあいにはそれぞれ3個こ、2個こ（片方かたがたは重複じゅうふく度ど2）あるいは1個いっこ（重複じゅうふく度ど3），1個いっことなる。

このように三さん次じ以上いじょうでは、判別はんべつ式しき以外いがいにも指標しひょうとなる式しきが必要ひつようとなる。

詳細しょうさいは「三さん次じ方程式ほうていしき#解かいの様子ようす」および「四よん次じ方程式ほうていしき#解かいの様子ようす」を参照さんしょう

判別はんべつ式しきの概念がいねんは、方程式ほうていしきの係数けいすうが複素数ふくそすう体からだに含ふくまれていない場合ばあいにも適用てきようできる。係数けいすうが整せい域いき R に属ぞくしていれば定義ていぎされ、この場合ばあいに判別はんべつ式しきは R の元もとである。特とくに、整数せいすう係数けいすう多項式たこうしきの判別はんべつ式しきは常つねに整数せいすうである。この性質せいしつは数かず論ろんにおいて広ひろく用もちいられる。

定義ていぎ

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0)

とする。n次じ方程式ほうていしき f(x) = 0 には、代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりより、重複じゅうふくを含ふくめて n 個この複素数ふくそすう解かいが存在そんざいする。それらを αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n とするとき、次つぎの等式とうしきが成なり立たち、多項式たこうしき f あるいは代数だいすう方程式ほうていしき f(x) = 0 の判別はんべつ式しきという。

${a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

$={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}$

（対たい角かく成分せいぶんに a_n が (n − 1)個こ、1a₁ が n個こ）

（注ちゅう）

• （注ちゅう1）左辺さへんの「$\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$」は、αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n の差さ積せきの平方へいほうであり、ヴァンデルモンドの行列ぎょうれつ式しきとして表あらわすことができる。
• （注ちゅう2）この行列ぎょうれつ式しきは、第だい1列れつが a_n で割わり切きれるため、右辺うへんは a_n−1, …, a₀ の (2n − 2)次つぎ斉ひとし次じ多項式たこうしきである。
• （注ちゅう3）この行列ぎょうれつ式しきの部分ぶぶんは f と f' の終結しゅうけつ式しき (resultant) であり、記号きごうで $\operatorname {Res} (f,f')$ と表あらわされる。

判別はんべつ式しきが終結しゅうけつ式しきを用もちいて表あらわされることの証明しょうめい

ここでは、文献ぶんけんに掲載けいさいされている方法ほうほうにより証明しょうめいする。

（証明しょうめい）

$\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

$=(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})$

$=(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (1)$

$f(x)=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n}(x-\alpha _{j})$

$f'(x)=a_{n}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq k)}(x-\alpha _{j})$

$f'(\alpha _{i})=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (2)$

ここで、f'(x) = 0 の根ねを βべーた₁, …, βべーた_n−1 とする。

$f'(x)=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x-\beta _{j})$

$f'(\alpha _{i})=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (3)$

(2) = (3) より、a_n ≠ 0 に注意ちゅういして

$\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=n\prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (4)$

(4) を (1) に代入だいにゅうすると、

$\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}n^{n}\prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (5)$

ここで、終結しゅうけつ式しきにおいてよく知しられている、次つぎの等式とうしきを使つかう。

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0) の根ねを αあるふぁ₁, …, αあるふぁ_n,

g(x) = b_mx^m + b_m−1x^m−1 + … + b₁x + b₀ (b_m ≠ 0) の根ねを βべーた₁, …, βべーた_m

とすると、次つぎが成なり立たつ：

${a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$

（対たい角かく成分せいぶんに a_n が m個こ、b₀ が n個こ）

この等式とうしきを f, f' に適用てきようすると、

${a_{n}}^{n-1}(na_{n})^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})$

$={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\quad \cdots \ (6)$

(5), (6) より、

${a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

$={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\ \blacksquare$

次数じすうごとの例れい

代数だいすう方程式ほうていしきの判別はんべつ式しきを、終結しゅうけつ式しきによる式しきで計算けいさんしてみる。判別はんべつ式しきを D とおく。

二に次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき

二に次じ方程式ほうていしきを

f(x) = ax² + bx + c = 0

とおく。

f'(x) = 2ax + b

${\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{2\cdot (2-1)/2}}{a}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\2a&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&b&c\\2&b&\\&2a&b\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-\{(b^{2}+4ac)-2b^{2}\}\\=&\;b^{2}-4ac\quad //\end{aligned}}$

二に次じ方程式ほうていしき f(x) = ax² + bx + c = 0 において、特とくに b が 2 を因数いんすうに持もつ場合ばあい、

b = 2b'

とおくと、

${\frac {D}{4}}=b'^{2}-ac$

となる。

二に次じ方程式ほうていしきの係数けいすうが実数じっすうである場合ばあいに、実数じっすう解かいの個数こすうを判定はんていするのによく用もちいられる。

三さん次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき

三さん次じ方程式ほうていしきを

f(x) = x³ + px + q = 0

とおく。

f'(x) = 3x² + p

${\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{3\cdot (3-1)/2}}{1}}{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\3&0&p&&\\&3&0&p&\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\&\\&({\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}})\\&\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\0&0&-2p&-3q&\\&0&0&-2p&-3q\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}-2p&-3q&\\0&-2p&-3q\\3&0&p\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-(4p^{3}+27q^{2})\quad //\end{aligned}}$

一般いっぱんの三さん次じ方程式ほうていしき ax³ + bx² + cx + d = 0 の判別はんべつ式しきは

$\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$

である。

解かいの公式こうしきにおける判別はんべつ式しき

5次じ以上いじょうの代数だいすう方程式ほうていしきには、解かいの公式こうしきが存在そんざいしない（アーベル-ルフィニの定理ていり）。

4次じ以下いかの代数だいすう方程式ほうていしきには、解かいの公式こうしきに判別はんべつ式しきが現あらわれる。

二に次じ方程式ほうていしきの解かい

二に次じ方程式ほうていしき

f(x) = ax² + bx + c = 0

の解かいには、判別はんべつ式しき Δでるた が含ふくまれる：

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

係数けいすう a, b, c が実数じっすうの場合ばあい：

• Δでるた > 0 のとき、f(x) = 0 は異ことなる 2 個この実数じっすう解かいをもつ。
• Δでるた = 0 のとき、f(x) = 0 は 1 個この重複じゅうふくする実数じっすう解かいをもつ。
  • 重じゅう解かいは $x=-{\frac {b}{2a}}$
• Δでるた < 0 のとき、f(x) = 0 は1組くみの共役きょうやく虚数きょすう解かいをもつ。
  • 虚数きょすう解かいは $x={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$

三さん次じ方程式ほうていしきの解かい

「三さん次じ方程式ほうていしき#解かいの様子ようす」を参照さんしょう

四よん次じ方程式ほうていしきの解かい

「四よん次じ方程式ほうていしき#解かいの様子ようす」を参照さんしょう

高次こうじ方程式ほうていしきの解かい

より一般いっぱんに、実数じっすう係数けいすうの n次つぎ代数だいすう方程式ほうていしきに対たいして、

• Δでるた > 0：$0\leq k\leq {\frac {n}{4}}$ なるある整数せいすう k に対たいして、2k対たいの共役きょうやく虚数きょすう解かいと (n − 4k)個この実数じっすう解かいがあり、全すべて異ことなる；
• Δでるた < 0：$0\leq k\leq {\frac {n-2}{4}}$ なるある整数せいすう k に対たいして、(2k + 1)対たいの共役きょうやく虚数きょすう解かいと (n − 4k − 2)個この実数じっすう解かいがあり、全すべて異ことなる；
• Δでるた = 0：少すくなくとも 1個いっこの重じゅう解かいが存在そんざいする。実数じっすう係数けいすうであっても、重根しこねは実数じっすうであるとは限かぎらず、虚数きょすうの場合ばあいもある。

一般いっぱんの可か換かわ環かん上うえでの判別はんべつ式しき

係数けいすうが一般いっぱんの可か換かわ環たまき上うえの代数だいすう方程式ほうていしきに対たいしても、判別はんべつ式しきを定義ていぎすることができる。ただし、環たまきが整せい域いきでない場合ばあい、そのような環たまきにおいては除法じょほうが常つねには定義ていぎされないから、行列ぎょうれつ式しきの第だい1列れつを最高さいこう次じ係数けいすう $a_{n}$ で割わる替かわりに、最高さいこう次じ係数けいすうを 1 に置おき換かえなければならない。この一般いっぱん化かされた判別はんべつ式しきは代数だいすう幾何きか学がくにおいて基本きほん的てきな次つぎの性質せいしつを持もつ。

f を係数けいすうを可か換かわ環たまき A に持もつ多項式たこうしきとし、D をその判別はんべつ式しきとする。φふぁい を A から体からだ K の中なかへの環たまき準じゅん同型どうけいとし、φふぁい(f) を f の係数けいすうを φふぁい によるそれらの像ぞうによって置おき換かえて得えられる K 上うえの多項式たこうしきとする。すると φふぁい(D) = 0 であるのは f と φふぁい(f) の次数じすうの差さが少すくなくとも 2 であるかまたは φふぁい(f) が K の代数だいすう的てき閉包へいほうにおいて重根しこねを持もつとき、かつそのときに限かぎる。1つ目めのケースは φふぁい(f) が無限むげん遠とお点てんで重根しこねを持もつと解釈かいしゃくできる。

この性質せいしつが応用おうようされる典型てんけい的てきな状況じょうきょうは A が体からだ k 上うえの（一いち変数へんすうあるいは多た変数へんすう）多項式たこうしき環たまきであり φふぁい が A の不定ふてい元もとへの k の体からだの拡大かくだい K の元もとの代入だいにゅうであるときである。

例たとえば、f が実じつ係数けいすうの X と Y の二に変数へんすう多項式たこうしきであって、f = 0 は平面へいめん代数だいすう曲線きょくせんの陰かげ方程式ほうていしきであるとしよう。f を Y についての（係数けいすうが X の式しきである）一変いっぺん数すう多項式たこうしきと見みると、判別はんべつ式しきは根ねが特異とくい点てん、Y 軸じくに平行へいこうな接線せっせんとの点てん、Y 軸じくに平行へいこうな漸近ぜんきん線せんのいくつか、の X 座標ざひょうであるような、X の多項式たこうしきである。い換いかえると Y-判別はんべつ式しきと X-判別はんべつ式しきの根ねの計算けいさんによって変へん曲きょく点てんを除のぞいて曲線きょくせんのすべての注目ちゅうもくすべき点てんを計算けいさんできる。

一般いっぱん化か

判別はんべつ式しきの概念がいねんは一変いっぺん数すうの多項式たこうしきに加くわえて円錐えんすい曲線きょくせん、二に次じ形式けいしき、代数だいすう体たいを含ふくむ他ほかの代数だいすう的てき構造こうぞうに一般いっぱん化かされている。代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおける判別はんべつ式しきは密接みっせつに関係かんけいし、分岐ぶんきについての情報じょうほうを含ふくむ。実じつは、分岐ぶんきのより幾何きか的てきなタイプは判別はんべつ式しきのより抽象ちゅうしょう的てきなタイプにも関係かんけいし、それによって多おおくの応用おうようにおいてこれが中心ちゅうしん的てきな代数だいすう的てきアイデアになる。

円錐えんすい曲線きょくせんの判別はんべつ式しき

二元にげん二に次じ方程式ほうていしき

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

で表あらわされる平面へいめん幾何きかにおける円錐えんすい曲線きょくせんに対たいして、判別はんべつ式しきは

$B^{2}-4AC$

に等ひとしく、円錐えんすい曲線きょくせんの形かたちを決定けっていする。判別はんべつ式しきが 0 よりも小ちいさければ、楕円だえんか円えんの方程式ほうていしきである。判別はんべつ式しきが 0 に等ひとしければ、放物線ほうぶつせんの方程式ほうていしきである。判別はんべつ式しきが 0 よりも大おおきければ、双曲線そうきょくせんの方程式ほうていしきである。この公式こうしきは退化たいかの場合ばあい（多項式たこうしきが分解ぶんかいするとき）働はたらかない。

二に次じ形式けいしきの判別はんべつ式しき

判別はんべつ式しきは、標しるべ数すう ≠ 2 の任意にんいの体からだ K 上うえの二に次じ形式けいしき Q へ実質じっしつ的てきに一般いっぱん化かできる。標しるべ数すう 2 に対たいしては、対応たいおうする不ふ変量へんりょうはアーフ不ふ変量へんりょうである。

二に次じ形式けいしき Q が与あたえられたとき、その判別はんべつ式しき (discriminant) または行列ぎょうれつ式しき (determinant) は Q の対称たいしょう行列ぎょうれつ S の行列ぎょうれつ式しきである。

行列ぎょうれつ A による変数へんすう変換へんかんで対称たいしょう行列ぎょうれつは $A^{T}SA$ に変かわるが、この行列ぎょうれつ式しきは $(\det A)^{2}\det S$ なので、変数へんすう変換へんかんにおいて判別はんべつ式しきは 0 でない平方へいほうによって変化へんかし、したがって判別はんべつ式しきの類るいは K/(K^*)² において well-defined である。すなわち、0 でない平方へいほうを除のぞいて定さだまる。平方へいほう剰余じょうよも参照さんしょう。

あまり直観ちょっかん的てきでないが、（二に次じ形式けいしきに関かんする）ヤコビの定理ていりによって、$K^{n}$ 上うえの二に次じ形式けいしきは変数へんすうの線型せんけい変換へんかんの後のち、

$a_{1}{x_{1}}^{2}+\cdots +a_{n}{x_{n}}^{2}$

として対たい角形かくがた式しき (diagonal form) で表現ひょうげんできる。より正確せいかくには、V 上うえの二に次じ形式けいしきを和わ

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}{L_{i}}^{2}$

として表現ひょうげんできる、ここで L_i は独立どくりつな線型せんけい形式けいしきであり n は変数へんすうの数かずである（a_i のいくつかは 0 でもよい）。すると判別はんべつ式しきは a_i の積せきであり、これは K/(K^*)² における類るいとして well-defined である。

K=R（実数じっすう体たい）に対たいして、(R^*)² は正せいの実数じっすう全体ぜんたいであり（任意にんいの正数せいすうは 0 でない数かずの平方へいほうである）、したがって商しょう R/(R^*)² は 3 つの元もと、正ただし、0、負まけを持もつ。これは符号ふごう (n₀, n₊, n₋) よりも粗あらい不ふ変量へんりょうである。ここで n₀ は対たい角形かくがた式しきにおける 0 の数かずであり n_± は ±1 の数かずである。すると判別はんべつ式しきは、形式けいしきが退化たいか ($n_{0}>0$) であれば 0 であり、そうでなければ負まけの係数けいすうの数かずのパリティ $(-1)^{n_{-}}$ である。

K=C （複素数ふくそすう体たい）に対たいして、(C^*)² は 0 でない複素数ふくそすうであり（任意にんいの複素数ふくそすうは平方へいほうである）、したがって商しょう C/(C^*)² は 2 つの元もと、非ひ零れいと零れいからなる。

この定義ていぎは二に次じ多項式たこうしきの判別はんべつ式しきに一般いっぱん化かされる。多項式たこうしき $ax^{2}+bx+c$ を斉ひとし次つぎ化かすると二に次じ形式けいしき $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ になり、これは対称たいしょう行列ぎょうれつ

${\begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}}$

で表現ひょうげんされ、この行列ぎょうれつ式しきは $ac-(b/2)^{2}=ac-b^{2}/4$ である。−4倍ばいの違ちがいを除のぞいて $b^{2}-4ac$ と一致いっちする。

実じつ形式けいしきの判別はんべつ式しきの類るいの不ふ変量へんりょう（正ただし、0、負まけ）は、実じつ形式けいしきが対応たいおうする円錐えんすい曲線きょくせん楕円だえん、放物線ほうぶつせん、双曲線そうきょくせんにそれぞれ対応たいおうする。

代数だいすう体たいの判別はんべつ式しき

「代数だいすう体たいの判別はんべつ式しき」を参照さんしょう

交代こうたい式しき

判別はんべつ式しきは根ねたちの対称たいしょう式しきである。その平方根へいほうこん（各かく冪べきの半分はんぶん：ヴァンデルモンド多項式たこうしき）を n変数へんすうの対称たいしょう多項式たこうしきの環たまき $\Lambda _{n}$ に添加てんかすれば、交代こうたい式しきの環たまきを得え、これはしたがって $\Lambda _{n}$ の二に次じ拡大かくだいである。

簡単かんたんにいえば、判別はんべつ式しきはその定義ていぎ式しきの形かたちから、その平方根へいほうこんは根ねの偶置換ちかんにより不変ふへんであり、奇き置換ちかんにより符号ふごうが反転はんてんする。

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Polynomial Discriminant". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• discriminant - PlanetMath.（英語えいご）