標しるべ数すう

標しるべ数すう（ひょうすう、英えい: characteristic）は、環たまきあるいは体からだの特徴とくちょうを表あらわす非負ひふ整数せいすうのひとつ。整せい域いきの標しるべ数すうは 0 または素数そすうに限かぎられる。

定義ていぎ

R を単位たんい元もとを持もつ環たまき（単位たんい的てき環たまき）、1_R をその乗法じょうほう単位たんい元もととする。また、正せい整数せいすう n に対たいし

$n\,1_{R}:=1_{R}+1_{R}+\dotsb +1_{R}$ (n 個この和わ)

と定さだめるとき、 n 1_R = 0_R （0_R は R の零れい元げん）なる整数せいすう n > 0 が存在そんざいするならば、その最小さいしょう値ちを環たまき R の標しるべ数すうという。他方たほう、このような n が存在そんざいしないとき、環たまき R の標しるべ数すうは 0 と定さだめる。標しるべ数すうが 0 でないことを表あらわすのに正せい標しるべ数すうという用語ようごを用もちいることもある。環たまき R の標しるべ数すうをしばしば ch(R), char(R) のように記しるす。

素もと整せい域いき・素もと体たい

R を任意にんいの単位たんい的てき環たまきとする。単位たんい的てき環たまき R の（単位たんい的てき環たまきとしての）部分ぶぶん環たまきは必かならず単位たんい元もと 1_R を含ふくむ。したがって、1_R の生成せいせいする環たまきは全すべての部分ぶぶん環たまきに含ふくまれ、R の最小さいしょうの部分ぶぶん環たまきとなる。ここで、写像しゃぞう

$\varphi _{R}\colon \mathbb {Z} \to R;\,n\mapsto n\,1_{R}$

を 0 および負まけの整数せいすう m = −n (n > 0) に対たいしては

$\varphi _{R}(0)=0_{R},\quad \varphi _{R}(m)=-(n\,1_{R})$

と定さだめることによって定義ていぎする。このとき、φふぁい_R は環たまきの準じゅん同型どうけいを定さだめ、像ぞう φふぁい_R(Z) = { n 1_R | n ∈ Z } は単位たんい元もと 1_R の生成せいせいする単位たんい的てき環たまきに一致いっちする。一方いっぽう、準じゅん同型どうけい φふぁい_R の核かく Ker(φふぁい_R) = { n ∈ Z | n 1_R = 0 } は Z のイデアルを成なすが、Z はユークリッド整せい域いきゆえ、Ker(φふぁい_R) は単項たんこうイデアル mZ（ただし m ≧ 0）で、m は R の標しるべ数すう char(R) に一致いっちする。以上いじょうより、環たまきの準じゅん同型どうけい定理ていりにより R において 1_R の生成せいせいする単位たんい的てき環たまきは m = char(R) を法ほうとする剰余じょうよ環たまき Z / m Z に同型どうけいである。

さらに単位たんい的てき環たまき R が整せい域いきであるとき、φふぁい_R(Z) は整せい域いきを成なす。これを整せい域いき R の素もと整せい域いきと呼よぶ。像ぞうが整せい域いきであることから、この準じゅん同型どうけい φふぁい_R の核かくは Z の素すイデアルで、したがって {0} または素数そすう p の生成せいせいする単項たんこうイデアル (p) = p Z の形かたちに書かける。ゆえに、いずれの整せい域いきについてもその標しるべ数すうは 0 か素数そすうに限かぎられる。

素もと体たい（そたい、prime field）は自分じぶん自身じしん以外いがいに部分ぶぶん体たいを持もたない体からだのことである。体からだは整せい域いきであるから、上うえで見みたことから F が正せい標しるべ数すう p の体からだならば F は必かならず Z / p Z に同型どうけいなる素もと整せい域いきを含ふくむ。一方いっぽう、Z / p Z は体からだであるので、正せい標しるべ数すうの体からだの素もと整せい域いきはそれ自身じしんが素もと体たいとなる。F の標しるべ数すうが 0 の場合ばあいには、有理ゆうり整数せいすう環たまき Z が F に含ふくまれるが、F が体からだであることから有理数ゆうりすう体たい Q（に同型どうけいな体からだ）が F に含ふくまれる。よって Q は標しるべ数すう 0 の素もと体たいである。ゆえに、素もと体たいは Q および Z / p Z （p は素数そすう）によって（同型どうけいの違ちがいを除のぞいて）すべて尽つくされているということができる。また、ここから標しるべ数すう 0 の体からだは必かならず Q を含ふくむので無限むげん体たいであり、有限ゆうげん体たいは必かならず正せい標しるべ数すうを持もつことも確認かくにんできる。

体からだ F に対たいし、max(char(F), 1) を characteristic exponent という。

例れい

• Z / m Z の標しるべ数すうは m である。
• 複素数ふくそすう体からだ C の標しるべ数すうは 0 である。
• 順序じゅんじょ体たいの標しるべ数すうは 0 である。
• 有限ゆうげん体たい F の位い数すうが素数そすう p の冪べき p^f ならば、F の標しるべ数すうは p である。逆ぎゃくに、標しるべ数すう p の有限ゆうげん体たいの位い数すうは必かならず p の冪べきになる。
• 有限ゆうげん体たい F 上うえの多項式たこうしき環たまき F[x] やローラン級数きゅうすう体からだ F((x)) などは正せい標しるべ数すうの無限むげん整せい域いき・無限むげん体たいの例れいである。
• 標しるべ数すうが素数そすう p である整せい域いき R の元もと x,y に対たいし、二に項こう定理ていりにより (x + y)^p = x^p + y^p が成なり立たつため、写像しゃぞう Frob: R → R, Frob(x) = x^p は環たまき準じゅん同型どうけいとなる。Frob はフロベニウス写像しゃぞうと呼よばれ、体からだ論ろんで重要じゅうような役割やくわりを果はたす。

性質せいしつ

ある環たまき R とその任意にんいの部分ぶぶん環たまき S に対たいして、S の標しるべ数すうは R の標しるべ数すうに等ひとしい。 一方いっぽう、剰余じょうよ環たまきの標しるべ数すうは元もとの環たまきの標しるべ数すうに等ひとしいとは限かぎらない。例たとえば、p-進すすむ整数せいすう環たまき Z_p は Z を部分ぶぶん環たまきとして含ふくみ、標しるべ数すう 0 であるが、その唯一ゆいいつの極大きょくだいイデアル p Z_p による剰余じょうよ環たまきは Z / p Z に同型どうけいで標しるべ数すうは p である。環たまき R とそのイデアル I （とくに、DVRとその極大きょくだいイデアル）に対たいし、 R と R/I の標しるべ数すうが等ひとしい状況じょうきょうを等とう標しるべ数すう、異ことなる状況じょうきょうを混こん標しるべ数すうとよぶことがある。

関連かんれん項目こうもく

• 準じゅん同型どうけい
• 有限ゆうげん体たい
• 体からだ

外部がいぶリンク

• Field Characteristic -- From MathWorld（標しるべ数すう）（英語えいご）