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二進法 にしんほう ( にしんほう 、( 英 えい : binary numeral system, base-2 numeral system )とは、底 そこ を2 とする位取 くらいど り記数 きすう 法 ほう および命数 めいすう 法 ほう である。二進法 にしんほう によって表 あらわ された数 かず を二 に 進数 しんすう ( にしんすう 、( 英 えい : binary number )と呼 よ ぶ。二進法 にしんほう において、位 くらい は順 じゅん に底 そこ 2の冪 べき (…, 1 / 4 , 1 / 2 , 1, 2, 4, … )ごとに取 と り、位 くらい の値 ね は 0 または 1 を取 と る(例 れい :十 じゅう 進数 しんすう の 7 (= 4 + 2 + 1) は二進法 にしんほう で 111 、1.75 (= 1 + 0.5 + 0.25) は 1.11 と表 あらわ される)。
二進法 にしんほう で表 あらわ された数 かず
二 に を底 そこ とする位取 くらいど り記数 きすう 法 ほう を二 に 進 しん 記数 きすう 法 ほう または単 たん に二進法 にしんほう と呼 よ ぶ。二進法 にしんほう による数 かず の表示 ひょうじ は、一 いち の位 い を k = 0 とし添字 そえじ k で位 くらい の位置 いち を表 あらわ し、位 くらい の値 ね を d k ∈ {0, 1} で表 あらわ せば、以下 いか のように書 か ける:
d
n
−
1
⋯
d
1
d
0
.
d
−
1
⋯
.
{\displaystyle d_{n-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}\cdots \,.}
これは以下 いか の総和 そうわ の略記 りゃっき と見 み なせる:
∑
k
n
−
1
d
k
2
k
=
d
n
−
1
2
n
−
1
+
⋯
+
2
d
1
+
d
0
+
d
−
1
2
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{k}^{n-1}d_{k}2^{k}=d_{n-1}2^{n-1}+\cdots +2d_{1}+d_{0}+{\frac {d_{-1}}{2}}+\dotsm {}\,.}
例 たと えば十進法 じっしんほう における 21.25 は二進法 にしんほう において、
10101.01
2
=
16
+
4
+
1
+
1
4
=
21.25
{\displaystyle 10101.01_{2}=16+4+1+{\frac {1}{4}}=21.25}
と表 あらわ される(添字 そえじ の 2 は二 に 進 しん 表記 ひょうき であることを示 しめ す)。負 まけ の数 かず は一般 いっぱん 的 てき な記数 きすう 法 ほう と同 おな じく、負号 ふごう をつけて表 あらわ す(例 れい :−10101.012 )。
十進法 じっしんほう など一般 いっぱん の位取 くらいど り記数 きすう 法 ほう と同様 どうよう に、二進法 にしんほう においても小数 しょうすう 部 ぶ が有限 ゆうげん の長 なが さとなる数 かず は一部 いちぶ の有理数 ゆうりすう に限 かぎ られ、また円周 えんしゅう 率 りつ のような無理 むり 数 すう を厳密 げんみつ に表 あらわ すことはできない。二進法 にしんほう の場合 ばあい 、有理数 ゆうりすう を表 あらわ す既 すんで 約分 やくぶん 数 すう について、分母 ぶんぼ が2の冪 べき ならば有限 ゆうげん 小数 しょうすう として書 か けるが、そうでないならば有限 ゆうげん 小数 しょうすう としては書 か けない。例 たと えば十進法 じっしんほう では 1 / 5 を有限 ゆうげん 小数 しょうすう 0.2 で表 あらわ せるが、二進法 にしんほう では循環 じゅんかん 小数 しょうすう 0.0011 2 = 0.00110011…2 で表 あらわ さなければならない。
電子 でんし 式 しき コンピュータ の電子 でんし 回路 かいろ などのデジタル回路 かいろ (デジタル論理 ろんり 回路 かいろ )、磁気 じき ディスク等 ひとし の記憶 きおく メディアでは、電圧 でんあつ の高低 こうてい 、磁極 じきょく の N/S など、物理 ぶつり 現象 げんしょう を二 に 状態 じょうたい のみに縮退 しゅくたい して扱 あつか う(離散 りさん 化 か などと言 い う[ 注 ちゅう 1] )ので、それに、真 しん と偽 にせ の2つの値 ね (2値 ち の真理 しんり 値 ち )のみを使用 しよう する二 に 値 ち 論理 ろんり (しばしば、電子 でんし 的 てき には H と L 、論理 ろんり 的 てき には T と F という記号 きごう が使 つか われる)をマッピングする。更 さら にそこで数値 すうち を扱 あつか うには、それに「0 と 1 」の二進法 にしんほう をマッピングするのが最適 さいてき である。
多 おお くの応用 おうよう で見 み られるように桁 けた 数 かず が有限 ゆうげん の場合 ばあい は、数学 すうがく 的 てき に言 い うなら「有理数 ゆうりすう の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 」が表現 ひょうげん されているわけであるが、通常 つうじょう は「有限 ゆうげん 精度 せいど の実数 じっすう 」が表現 ひょうげん されていると解釈 かいしゃく される。このため、コンピュータやデジタル機器 きき は二 に 進数 しんすう が使用 しよう される。
また、八 はち 進 しん 法 ほう や十 じゅう 六 ろく 進 しん 法 ほう や三 さん 十 じゅう 二進法 にしんほう は同 おな じく2の冪 べき を底 そこ とするためしばしば利用 りよう される。
ビット 列 れつ によって負 まけ の数 かず の値 ね を表 あらわ すため広 ひろ く用 もち いられる方法 ほうほう の一 ひと つとして、2の補数 ほすう 表現 ひょうげん がある。2の補数 ほすう 表現 ひょうげん は、n 桁 けた のビット列 びっとれつ の最 さい 上位 じょうい ビットの重 おも みを +2n −1 ではなく −2n −1 とするものである。2の補数 ほすう 表現 ひょうげん は、そのビットパターンが、加減 かげん (及 およ び、乗 じょう )の演算 えんざん において特別 とくべつ な処理 しょり が不要 ふよう なものになる、という特長 とくちょう を持 も つ。ただし、溢 あふ れ(オーバーフロー)の扱 あつか いが違 ちが ってくる(これは、例 たと えばx86プロセッサにおける、キャリーフラグとオーバフローフラグの違 ちが いのことである(ステータスレジスタ#キャリーとオーバーフロー を参照 さんしょう ))。
他 た のN進 すすむ 法 ほう から二進法 にしんほう への変換 へんかん 方法 ほうほう [ 編集 へんしゅう ]
「十進法 じっしんほう から二進法 にしんほう への変換 へんかん 方法 ほうほう 」などといったものを考 かんが える必要 ひつよう はない。どちらも数 かず の「表現 ひょうげん 法 ほう 」 に過 す ぎないのだから、単 たん に「表現 ひょうげん 法 ほう → 数 かず → 表現 ひょうげん 法 ほう 」といったようにして変換 へんかん すれば良 よ いのである。
正 せい の整数 せいすう m を十進法 じっしんほう から二進法 にしんほう に変換 へんかん するのは次 つぎ のようにする。
m を x に代入 だいにゅう する。
x を 2 で割 わ って、余 あま りを求 もと める。
x/2 の商 しょう を x に代入 だいにゅう する。
2. に戻 もど る。x = 0 であれば終了 しゅうりょう 。
余 あま りを求 もと めた順 じゅん の逆 ぎゃく に並 なら べると、それが二進法 にしんほう に変換 へんかん された結果 けっか になる。
例 れい :192 を二進法 にしんほう に変換 へんかん する。
2)192 192=20 ×192
2) 96 …0 192=21 × 96+20 ×0
2) 48 …0 192=22 × 48+21 ×0+20 ×0
2) 24 …0 192=23 × 24+22 ×0+21 ×0+20 ×0
2) 12 …0 192=24 × 12+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×0
2) 6 …0 192=25 × 6+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×0
2) 3 …0 192=26 × 3+25 ×0+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×0
2) 1 …1 192=27 × 1+26 ×1+25 ×0+24 ×0+23 ×0+22 ×0+21 ×0+20 ×0
0…1
よって 19210 = 110000002 である。
正 せい で 1 未満 みまん (0 < m < 1) である数 かず m を十進法 じっしんほう から二進法 にしんほう に変換 へんかん するのは次 つぎ のようにする。
1 を n に、m を x に代入 だいにゅう する。
2x < 1 ならば、小数点 しょうすうてん 以下 いか 第 だい n 位 くらい は 0 になる。2x > 1 ならば、小数点 しょうすうてん 以下 いか 第 だい n 位 くらい は 1 になる。
2x = 1 ならば終了 しゅうりょう 。
2x > 1 ならば 2x - 1 を x に代入 だいにゅう する。2x < 1 ならば 2x を x に代入 だいにゅう する。
n + 1 を n に代入 だいにゅう する。
小数点 しょうすうてん 以下 いか の桁数 けたすう が必要 ひつよう な桁数 けたすう まで求 もと まっているか、循環 じゅんかん 小数 しょうすう となったら終了 しゅうりょう する。
2. へ戻 もど る。
計算 けいさん の例 れい 1: 1/3 を二進法 にしんほう に変換 へんかん する。
処理 しょり
(途中 とちゅう )結果 けっか
1
3
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}}
0.
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
0.0
2
3
×
2
=
1
1
3
≥
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}
0.01
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
0.010
ここで「処理 しょり 」の部分 ぶぶん の最後 さいご 「
1
3
×
2
=
2
3
<
1
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}
」はそれ以前 いぜん に出 で てきた式 しき である。このため、これ以上 いじょう 続 つづ けても同 おな じ式 しき の繰 く り返 かえ しで永久 えいきゅう に終 お わらないことがわかる。すなわち小数 しょうすう 部 ぶ の「01」が循環 じゅんかん することがわかるので終了 しゅうりょう する。
よって1/310 =0.010101…2 =0.01 2
(なお、アンダーバーの部分 ぶぶん (01 )は無限 むげん に繰 く り返 かえ しという意味 いみ )
計算 けいさん の例 れい 2: 十進法 じっしんほう での 0.1 を二進法 にしんほう に変換 へんかん する。
処理 しょり
(途中 とちゅう )結果 けっか
0.1
0.
0.1×2=0.2 <1
0.0
0.2×2=0.4 <1
0.00
0.4×2=0.8 <1
0.000
0.8×2=1.6 ≥1
0.0001
0.6×2=1.2 ≥1
0.00011
0.2×2=0.4 <1
0.000110
0.4×2=0.8 <1
0.0001100
ここで「処理 しょり 」の部分 ぶぶん の最後 さいご 「0.4×2 = 0.8 < 1」はそれ以前 いぜん に出 で てきた式 しき である。このため、これ以上 いじょう 続 つづ けても同 おな じ式 しき の繰 く り返 かえ しで永久 えいきゅう に終 お わらないことがわかる。すなわち小数 しょうすう 部 ぶ の「0011」が循環 じゅんかん することがわかるので終了 しゅうりょう する。
よって 0.110 = 0.0001100110011…2 = 0.00011 2 である。
二 に 進 しん 命数 めいすう 法 ほう とは、2 を底 そこ とする命数 めいすう 法 ほう である。
通常 つうじょう 、二進法 にしんほう の数詞 すうし を持 も つとされるものは二 ふた つ組 ぐみ で数 かぞ える体系 たいけい であり、乗算 じょうざん が含 ふく まれない。以下 いか にパプアニューギニアの南 みなみ キワイ語 ご [ 1] (Southern Kiwai) およびシッサノ語 ご [ 2] (Sissano) の数詞 すうし を示 しめ す[ 3] 。
十 じゅう 進 しん
二 に 進 しん
南 みなみ キワイ語 ご
シッサノ語 ご
1
1
neis
puntanen
2
10
netewa
eltin
3
11
netewa nao
eltin puntanen
4
100
netewa netewa
eltin eltin
5
101
netewa netewa nao
eltin eltin puntanen
現代 げんだい 日本 にっぽん における万 まん 進 しん 、あるいは十 じゅう 二進法 にしんほう 体系 たいけい であるダース ・グロスなどのように、2倍 ばい ごとに新 あたら しい単位 たんい が命名 めいめい される体系 たいけい は、自然 しぜん 言語 げんご では、パプアニューギニア のメルパ語 ご [ 4] (Melpa) でのみ知 し られている[ 3] 。
十 じゅう 進 しん
二 に 進 しん
メルパ語 ご
1
1
tenta
2
10
ralg
3
11
raltika
4
100
timbakaka
5
101
timbakaka pamb ti
6
110
timbakaka pamb ralg
7
111
timbakakagul raltika
8
1000
engaka
9
1001
engaka pamb ti
10
1010
engaka pamb ralg pip
ライプニッツによる八卦 はっけ と二進法 にしんほう の比較 ひかく [ 5]
中国 ちゅうごく には古 ふる くから易 えき の八卦 はっけ や六 ろく 十 じゅう 四 よん 卦 け があり、それぞれ 3 ビットと 6 ビットに相当 そうとう している。易 えき 経 けい の六 ろく 十 じゅう 四 よん 卦 け の配列 はいれつ は対応 たいおう する整数 せいすう の順 じゅん になっていて、それらを 1→2→4→8→16→32→64 と進展 しんてん させる「加 か 一 いち 倍 ばい の法 ほう 」を11世紀 せいき の儒学 じゅがく 者 しゃ 邵雍 が考案 こうあん した。ただし、彼 かれ らがそれを整数 せいすう (ないし、数 かず )に対応 たいおう するとして理解 りかい していたという証拠 しょうこ はない。その配列 はいれつ はそれぞれが二 に 種類 しゅるい の値 ね をとる要素 ようそ の 6 タプル を辞書 じしょ 式 しき 順序 じゅんじょ に並 なら べたものと見 み ることもできる。
インド の学者 がくしゃ ピンガラ (Pingala , 紀元前 きげんぜん 200年 ねん 頃 ごろ ) は韻律 いんりつ を数学 すうがく 的 てき に表現 ひょうげん する方法 ほうほう を考案 こうあん し、それが現在 げんざい 知 し られている最古 さいこ の二進法 にしんほう の記述 きじゅつ の一 ひと つとされている[ 6] [ 7] 。
同様 どうよう の二進法 にしんほう 的 てき 組合 くみあわ せの使用 しよう は、アフリカのヨルバ人 じん が行 おこな っていた占 うらな い Ifá にもあり、中世 ちゅうせい ヨーロッパやアフリカのジオマンシー にも見 み られる。2 を底 そこ とする体系 たいけい はサハラ以南 いなん のアフリカでジオマンシーに長 なが く使 つか われていた。
1605年 ねん 、フランシス・ベーコン はアルファベットの文字 もじ を2種 しゅ の記号 きごう の列 れつ で表 あらわ す体系 たいけい を論 ろん じ、任意 にんい の無作為 むさくい なテキストで微 かす かに判別 はんべつ 可能 かのう なフォントの変化 へんか に符号 ふごう 化 か できるとした。一般 いっぱん 理論 りろん として彼 かれ が指摘 してき した重要 じゅうよう な点 てん は、同 おな じ方法 ほうほう をあらゆる物 もの に適用 てきよう できるという点 てん であり、「2種類 しゅるい の異 こと なる状態 じょうたい をそれらの物 もの で表現 ひょうげん できればよく、鐘 かね 、トランペット 、光 ひかり 、松明 たいまつ 、マスケット銃 じゅう など同様 どうよう の性質 せいしつ があればどんなものでもよい」とした[ 8] 。これをベーコンの暗号 あんごう (英語 えいご 版 ばん ) と呼 よ ぶ。
数学 すうがく 的 てき に二進法 にしんほう を確立 かくりつ したのは17世紀 せいき のゴットフリート・ライプニッツ で、"Explication de l'Arithmétique Binaire" という論文 ろんぶん も発表 はっぴょう している。ライプニッツは現代 げんだい の二進法 にしんほう と同 おな じく、1 と 0 を使 つか って二進法 にしんほう を表 あらわ した。ライプニッツは中国 ちゅうごく 愛好 あいこう 家 か でもあり、後 のち に「易 えき 経 けい 」を知 し って、その八卦 はっけ に 000 から 111 を対応 たいおう させ、彼 かれ の賞賛 しょうさん してきた中国 ちゅうごく の哲学 てつがく 的 てき 数学 すうがく の偉大 いだい な成果 せいか の証拠 しょうこ だとした[ 5] 。
1800年代 ねんだい 中頃 なかごろ 、イギリス の数学 すうがく 者 しゃ ジョージ・ブール がブール代数 だいすう (ブール論理 ろんり )により、二 に 進 しん 的 てき な数 かず (ここで言 い う「数 かず 」は、数学 すうがく 的 てき な広義 こうぎ の意味 いみ であり、普通 ふつう の二進法 にしんほう の対象 たいしょう である、数値 すうち という意味 いみ ではない)の代数 だいすう による命題 めいだい 論理 ろんり の形式 けいしき 化 か を示 しめ した。
1936 -1937年 ねん の中嶋 なかじま 章 あきら と榛 はしばみ 沢 さわ 正男 まさお による「継電器 けいでんき 回路 かいろ に於 お ける単 たん 部分 ぶぶん 路 ろ の等価 とうか 変換 へんかん の理論 りろん 」、1937年 ねん のクロード・シャノン による "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits" (英語 えいご 版 ばん )
[ 9]
により相次 あいつ いで、リレーのようなスイッチング素子 そし による回路 かいろ (ディジタル回路 かいろ )の設計 せっけい がブール代数 だいすう によって行 おこな えることが示 しめ され、1940年代 ねんだい に始 はじ まり今日 きょう まで続 つづ くコンピュータの理論 りろん の基礎 きそ のひとつとなっている。
^ 量子 りょうし 化 か とも言 い うが、量子 りょうし 物理 ぶつり におけるいわゆる量子 りょうし のような意味 いみ (重 かさ ね合 あ わせ状態 じょうたい など)ではない。
^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Kiwai, Southern” , Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=kjd 2008年 ねん 3月 がつ 12日 にち 閲覧 えつらん 。
^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Sissano” , Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=sso 2008年 ねん 3月 がつ 12日 にち 閲覧 えつらん 。
^ a b Lean, Glendon Angove (1992). “TALLIES AND 2-CYCLE SYSTEMS” . Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania . Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology. オリジナル の2007年 ねん 9月 がつ 5日 にち 時点 じてん におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20160304132322/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch2web/ch2.htm
^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Melpa” , Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=med 2008年 ねん 3月 がつ 12日 にち 閲覧 えつらん 。
^ a b ライプニッツ『ライプニッツ著作 ちょさく 集 しゅう 10 中国 ちゅうごく 学 がく ・地質 ちしつ 学 がく ・普遍 ふへん 学 がく 』下村 しもむら 寅太郎 とらたろう ほか 監修 かんしゅう 、工作 こうさく 舎 しゃ 、1991年 ねん 、p12。
^ Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming : the microchip PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN 0-8493-7189-9
^ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
^ Bacon, Francis (1605), The Advancement of Learning (英語 えいご ), vol. 6, London, Chapter 1
^
Claude E. Shanon (1937), A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits , Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering, http://hdl.handle.net/1721.1/11173
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