テイラー展開てんかい

テイラー多項式たこうしきの次数じすうが上あがるにつれて、正ただしい関数かんすうに近ちかづく。この図ずは sin x と、そのテイラー近似きんじのうち、1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 次つぎの多項式たこうしきを示しめしている。

指数しすう関数かんすう e^x (青あお) と、その 0 におけるテイラー級数きゅうすうの最初さいしょの n + 1 項こうの和わ (赤あか)。

数学すうがくにおいてテイラー級数きゅうすう（テイラーきゅうすう、英えい: Taylor series）は、関数かんすうのある一いち点てんでの導しるべ関数かんすうの値ねから計算けいさんされる項こうの無限むげん和わとして関数かんすうを表あらわしたものである。そのような級数きゅうすうを得えることをテイラー展開てんかい（テイラーてんかい）という。

テイラー級数きゅうすうの概念がいねんはスコットランドの数学すうがく者しゃジェームズ・グレゴリーにより定式ていしき化かされ、フォーマルにはイギリスの数学すうがく者しゃブルック・テイラーによって1715年ねんに導入どうにゅうされた。0 を中心ちゅうしんとしたテイラー級数きゅうすうは、マクローリン級数きゅうすう (英えい: Maclaurin series) とも呼よばれる。これはスコットランドの数学すうがく者しゃコリン・マクローリンにちなんでおり、彼かれは18世紀せいきにテイラー級数きゅうすうのこの特別とくべつな場合ばあいを積極せっきょく的てきに活用かつようした。

関数かんすうはそのテイラー級数きゅうすうの有限ゆうげん個この項こうを用もちいて近似きんじすることができる。テイラーの定理ていりはそのような近似きんじによる誤差ごさの定量ていりょう的てきな評価ひょうかを与あたえる。テイラー級数きゅうすうの最初さいしょのいくつかの項こうとして得えられる多項式たこうしきはテイラー多項式たこうしきと呼よばれる。関数かんすうのテイラー級数きゅうすうは、その関数かんすうのテイラー多項式たこうしきで次数じすうを増ふやした極限きょくげんが存在そんざいすればその極限きょくげんである。関数かんすうはそのテイラー級数きゅうすうがすべての点てんで収束しゅうそくするときでさえもテイラー級数きゅうすうに等ひとしいとは限かぎらない。開ひらき区間くかん（あるいは複素ふくそ平面へいめんの開ひらき円えん板ばん）でテイラー級数きゅうすうに等ひとしい関数かんすうはその区間くかん上じょうの解析かいせき関数かんすうと呼よばれる。

前述ぜんじゅつの通とおり、一定いっていの条件じょうけんの下したでテイラー展開てんかいの高次こうじの項こうを無視むしすることができる。例たとえば単たん振ふり子この問題もんだいでは、振ふり子この振ふれ角かく x が充分じゅうぶん小ちいさいことを利用りようして、正弦せいげん関数かんすう sin x を x で近似きんじできる。このように、関数かんすうをテイラー展開てんかいすることで計算けいさんが容易よういになり、また原点げんてん近傍きんぼうの振ふる舞まいを詳細しょうさいに調しらべることができるようになる。

一実かずみ変数へんすう関数かんすうのテイラー展開てんかい

「テイラーの定理ていり」も参照さんしょう

正弦せいげん関数かんすう$f(x)=\sin x$の$x=a$におけるテイラー級数きゅうすうのうち次数じすうの少すくない項こうのみを抽出ちゅうしゅつしたもの

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

（マウスホイールで$n$を変更へんこう）

点てん a を含ふくむ実数じっすうの開ひらき区間くかん I ⊆ R 上うえで無限むげん階かい微分びぶん可能かのうな関数かんすう f ∈ C^∞(I) が与あたえられたとき、べき級数きゅうすう

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

を関数かんすう f の点てん a まわりのテイラー級数きゅうすうという。ここで n! は n の階かい乗じょう、f ⁽ⁿ⁾(a) は x = a における f の n 次つぎ微分びぶん係数けいすうである。また、便宜べんぎ的てきに (x − a)⁰ は 1 であると定義ていぎする。テイラー級数きゅうすうが収束しゅうそくし、元もとの関数かんすう f に一致いっちするとき、f はテイラー展開てんかい可能かのうであるという。テイラー展開てんかいがある大域たいいき的てきな領域りょういきの各かく点てんで可能かのうな関数かんすうは、その領域りょういきにおいて解析かいせき的てき (analytic) である、またはその領域りょういき上じょうの解析かいせき関数かんすう (analytic function) であるという。

ここで一般いっぱんには関数かんすう f が無限むげん回かい微分びぶん可能かのうであってもそのテイラー級数きゅうすうが x ≠ a で収束しゅうそくするとは限かぎらず、たとえ収束しゅうそくしても一致いっちするとは限かぎらないことに注意ちゅういが必要ひつようである。一致いっちするかどうかは、テイラーの定理ていりにおける剰余じょうよ項こう R_n が 0 に収束しゅうそくするかどうかによって判定はんていできる；ここで剰余じょうよ項こう R_n は、ある c ∈ (a, x) が存在そんざいして、

$R_{n}(x)={f^{(n)}(c) \over n!}(x-a)^{n}$

と書かける。または積分せきぶんを用もちいて、次つぎのように表あらわせる。

$R_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t$

また、この剰余じょうよ項こうを評価ひょうかすることで関数かんすうの近似きんじ値ちを精度せいど保証ほしょうつきで数値すうち的てきに求もとめることもできる（テイラーの定理ていり#例れいを参照さんしょう）。

特とくに a = 0 における以下いかのような展開てんかい

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

をマクローリン展開てんかい（マクローリンてんかい、英えい: Maclaurin expansion; 名称めいしょうは数学すうがく者しゃコリン・マクローリンに由来ゆらいする）と呼よぶ。

マクローリン級数きゅうすうの例れい

いくつかの重要じゅうような関数かんすうのテイラー展開てんかいを以下いかに示しめす。これらはすべて複素ふくそ解析かいせき的てきな関数かんすうであり、複素ふくそ変数へんすうであると考かんがえても成なり立たつ。xについてのforの範囲はんい外がいの実数じっすうをxに代入だいにゅうしたら発散はっさんする（ただし、元もとの関数かんすうが収束しゅうそくすることもある）。

なお、tan(x), csc(x), cot(x), tanh(x) の展開てんかいに現あらわれる B_k 、二に項こう展開てんかいの $\textstyle {\binom {\alpha }{n}}$ 、sec(x) の展開てんかいに現あらわれる E_k はそれぞれベルヌーイ数すう、二に項こう係数けいすう、オイラー数すうである。また、f ⁻¹(x) は f (x) の逆ぎゃく関数かんすうであるとする。

多項式たこうしき

多項式たこうしきをマクローリン展開てんかいしたものは元もとの多項式たこうしき自身じしんである。

指数しすう関数かんすう

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x$

自然しぜん対数たいすう

$\log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

幾何級数きかきゅうすう

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1$

${\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!$

${\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!$

${\frac {2}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)nx^{n-2}\quad {\text{ for }}|x|<1\!$

${\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n-1)nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!$

二に項こう定理ていり

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1{\mbox{ and any complex }}\alpha$

三角さんかく関数かんすう

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi$

$\sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

$\cos ^{-1}x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

$\tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

双曲線そうきょくせん関数かんすう

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

$\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

ランベルトのW関数かんすう

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {1}{e}}$

一変いっぺん数すう複素ふくそ関数かんすうのテイラー展開てんかい

点てん a を含ふくむ開ひらけ集合しゅうごう D ⊆ C 上うえで微分びぶん可能かのう、すなわち正則せいそくな複素ふくそ関数かんすう f が与あたえられたとき、べき級数きゅうすう

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}$

を関数かんすう f の点てん a まわりのテイラー級数きゅうすうという。正則せいそく関数かんすうの解析かいせき性せいから、点てん a を中心ちゅうしんとして D に包含ほうがんされるような任意にんいの開ひらき円えん板ばん B(a,r) = { z ∈ C | |z − a| < r } ⊆ D 上うえでこの級数きゅうすうは f (a) に収束しゅうそくする。

剰余じょうよ項こう R_n は複素ふくそ線せん積分せきぶんを用もちいて、次つぎのように表あらわせる：

$R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]$

ここで C は、点てん a とz を囲かこみ、周しゅうおよび内部ないぶが D に含ふくまれるような反はん時計とけい回まわりの円周えんしゅうである。

多た変数へんすう関数かんすうのテイラー展開てんかい

テイラー展開てんかいは一変いっぺん数すう関数かんすうのみならず、多た変数へんすう関数かんすうにも適用てきようできる。d 変数へんすう関数かんすう f のテイラー展開てんかいは以下いかの式しきである。

$f(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!$

多重たじゅう指数しすう記法きほうを用もちいれば、d 変数へんすう関数かんすう f (x) のテイラー展開てんかいは次つぎ式しきで表現ひょうげんされる。

$f(\mathbf {x} )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )$

アインシュタインの縮ちぢみ約やく記法きほうを用もちいれば、多た変数へんすう関数かんすう f (x^μみゅー) のテイラー展開てんかいは次つぎ式しきである。

$f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[(x^{\mu }-\alpha ^{\mu })\partial _{\mu }\right]^{n}f(\alpha ^{\mu })$

上うえ式しきの ∂_μみゅー は微分びぶん演算えんざん子こであり、ベクトル解析かいせきの記法きほうでは ∇ に置おき換かえられる。一番いちばん後うしろに f (αあるふぁ^μみゅー) があるが、これは f (x^μみゅー) に左ひだりの演算えんざん子こを作用さようさせてから f (x^μみゅー) の引数ひきすうとして αあるふぁ^μみゅー を与あたえることを表あらわしていることに注意ちゅういする。

参考さんこう文献ぶんけん

• ハイラー, E.、ヴァンナー, G. 著ちょ、蟹江かにえ幸博ゆきひろ 訳やく『解析かいせき教程きょうてい』 下した、丸善まるぜん出版しゅっぱん、2012年ねん。ISBN 978-4-621-06190-9。https://books.google.co.jp/books?id=zML3A8iCmeUC。 

関連かんれん項目こうもく

• 正則せいそく関数かんすう
• 解析かいせき関数かんすう
• 整せい関数かんすう
• 収束しゅうそく半径はんけい
• ローラン展開てんかい
• 漸近ぜんきん展開てんかい
• パデ近似きんじ

外部がいぶリンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Taylor series”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Taylor_series 
• 微積分びせきぶんI (2012) (12) 漸近ぜんきん展開てんかい (1) (Calculus I (2012), Lecture 12) - YouTube