W (x ) のグラフの W > −4 および x < 6 の部分 ぶぶん 。W ≥ −1 なる上 うえ の枝 えだ を主 おも 枝 えだ W 0 と言 い い、W ≤ −1 なる下 した 側 がわ の分 ぶん 枝 えだ を W −1 という。
ランベルトのW函数 かんすう (ランベルトのWかんすう、英 えい : Lambert W function )あるいはオメガ函数 かんすう (ω おめが function )、対数 たいすう 積 せき (product logarithm ; 乗 じょう 積 せき 対数 たいすう )は、函数 かんすう f (z ) = ze z の逆 ぎゃく 関係 かんけい の分 ぶん 枝 えだ として得 え られる函数 かんすう W の総称 そうしょう である。ここで、ez は指数 しすう 函数 かんすう 、z は任意 にんい の複素数 ふくそすう とする。すなわち、W は z = f −1 (ze z ) = W (ze z ) を満 み たす。
上記 じょうき の方程式 ほうていしき で、z' = ze z と置 お きかえれば、任意 にんい の複素数 ふくそすう z' に対 たい する W 函数 かんすう (一般 いっぱん には W 関係 かんけい )の定義 ていぎ 方程式 ほうていしき
z
′
=
W
(
z
′
)
e
W
(
z
′
)
{\displaystyle z'=W(z')e^{W(z')}}
を得 え る。
函数 かんすう ƒ は単 たん 射 い ではないから、関係 かんけい W は(0 を除 のぞ いて)多 た 価 あたい である。仮 かり に実 じつ 数値 すうち の W に注意 ちゅうい を制限 せいげん するとすれば、複素 ふくそ 変数 へんすう z は実 じつ 変数 へんすう x に取 と り換 か えられ、関係 かんけい の定義 ていぎ 域 いき は区間 くかん x ≥ −1/e に限 かぎ られ、また開 ひらけ 区間 くかん (−1/e , 0) 上 うえ で二 に 価 か の函数 かんすう になる。さらに制約 せいやく 条件 じょうけん として W ≥ −1 を追加 ついか すれば一価 いっか 函数 かんすう W 0 (x ) が定義 ていぎ されて、W 0 (0) = 0 および W 0 (−1/e ) = −1 を得 え る。それと同時 どうじ に、下 した 側 がわ の枝 えだ は W ≤ −1 であって、W −1 (x ) と書 か かれる。これは W −1 (−1/e ) = −1 から W −1 (−0) = −∞ まで単調 たんちょう 減少 げんしょう する。
ランベルト W 関係 かんけい は初等 しょとう 函数 かんすう では表 あらわ すことができない[1] 。ランベルト W は組合 くみあわ せ論 ろん において有用 ゆうよう で、例 たと えば木 き の数 かぞ え上 あ げに用 もち いられる。指数 しすう 函数 かんすう を含 ふく む様々 さまざま な方程式 ほうていしき (例 たと えばプランク分布 ぶんぷ 、ボーズ–アインシュタイン分布 ぶんぷ 、フェルミ–ディラック分布 ぶんぷ などの最大 さいだい 値 ち )を解 と くのに用 もち いられ、またy' (t ) = ay (t − 1) のような遅延 ちえん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき (英語 えいご 版 ばん ) の解 かい としても生 しょう じる。生化学 せいかがく において、また特 とく に酵素 こうそ 動力 どうりょく 学 がく において、ミカエリス–メンテン動力 どうりょく 学 がく の経時 きょうじ 動力 どうりょく 学 がく 解析 かいせき に対 たい する閉 と じた形 かたち の解 かい はランベルト W 函数 かんすう によって記述 きじゅつ される。
複素数 ふくそすう 平面 へいめん におけるランベルト W 函数 かんすう の主 しゅ 枝 えだ 。負 まけ の実 じつ 軸 じく に沿 そ った分岐 ぶんき 切断 せつだん は −1/e を端点 たんてん に持 も つ。この図 ず では、点 てん z における色相 しきそう を W の偏 へん 角 かく で、輝度 きど を W の絶対 ぜったい 値 ち で決定 けってい している。
二 ふた つの主 しゅ 枝 えだ W 0 , W −1
ランベルト W -函数 かんすう はヨハン・ハインリヒ・ランベルト に因 ちな んで名 な づけられた。Digital Library of Mathematical Functions では主 しゅ 枝 えだ W 0 を Wp , 分 ぶん 枝 えだ W −1 は Wm と書 か いている。ここでの表記 ひょうき の規約 きやく (つまり W 0 , W −1 )はランベルト W に関 かん する標準 ひょうじゅん 的 てき な参考 さんこう 文献 ぶんけん Corless et al. (1996) [2] に従 したが った。
ランベルトは初 はじ め「ランベルトの超越 ちょうえつ 方程式 ほうていしき 」に関連 かんれん して1758年 ねん に考察 こうさつ した[3] 。これはレオンハルト・オイラー の1783年 ねん の wew の特別 とくべつ な場合 ばあい を論 ろん じた論文 ろんぶん [4] に繋 つな がる。
ランベルト W -函数 かんすう は、特殊 とくしゅ 化 か された応用 おうよう において、十 じゅう 年 ねん 程度 ていど 毎 ごと に「再 さい 発見 はっけん 」されてきた[要 よう 出典 しゅってん ] 。1993年 ねん には、等 とう 電荷 でんか に対 たい する量子力学 りょうしりきがく 的 てき 二 に 重 じゅう 井戸 いど 型 がた ディラックデルタ函数 かんすう モデル(英語 えいご 版 ばん ) (物理 ぶつり 学 がく における基本 きほん 問題 もんだい )の厳密 げんみつ 解 かい をランベルト W -函数 かんすう が与 あた えることが報告 ほうこく されたとき、コーレスら計算 けいさん 機 き 代数 だいすう システムMaple の開発 かいはつ 者 しゃ たちはライブラリを精査 せいさ して、この函数 かんすう が自然 しぜん 界 かい に遍 あまね く存在 そんざい することを発見 はっけん した[2] [5] 。
陰 かげ 函数 かんすう 微分 びぶん 法 ほう により、W の任意 にんい の枝 えだ が常微分 じょうびぶん 方程式 ほうていしき
z
(
1
+
W
)
d
W
d
z
=
W
(
z
≠
−
1
/
e
)
{\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad (z\neq -1/e)}
を満 み たすことが示 しめ せる(z = −1/e では W は微分 びぶん できない)。従 したが って、W の導 しるべ 函数 かんすう は
d
W
d
z
=
W
(
z
)
z
(
1
+
W
(
z
)
)
(
z
∉
{
0
,
−
1
/
e
}
)
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad (z\notin \{0,-1/e\})}
を満 み たす。ここで恒等 こうとう 式 しき e W (z ) = z /W (z ) を用 もち いるならば、
d
W
d
z
=
1
z
+
e
W
(
z
)
(
z
≠
−
1
/
e
)
{\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad (z\neq -1/e)}
と書 か きなおすこともできる。
函数 かんすう W (x ) (およびそれを含 ふく む多 おお くの式 しき )は、w = W (x ), (x = wew ) と置 お いた置換 ちかん 積分 せきぶん によって
∫
W
(
x
)
d
x
=
x
W
(
x
)
−
x
+
e
W
(
x
)
+
C
=
x
(
W
(
x
)
−
1
+
1
W
(
x
)
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x){\mathit {dx}}&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}}
と積分 せきぶん できる。
したがって、(W (e ) = 1 であることも考慮 こうりょ して)等式 とうしき
∫
0
e
W
(
x
)
d
x
=
e
−
1
{\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\mathit {dx}}=e-1}
が得 え られる。
W 0 の 0 を中心 ちゅうしん とするテイラー級数 きゅうすう は、逆 ぎゃく に解 と いて(英語 えいご 版 ばん )
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
=
x
−
x
2
+
3
2
x
3
−
8
3
x
4
+
125
24
x
5
−
⋯
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }
ダランベールの収束 しゅうそく 判定 はんてい 法 ほう によると、収束 しゅうそく 半径 はんけい は 1 ⁄e である。この級数 きゅうすう の定 さだ める函数 かんすう は、区間 くかん (−∞, −1/e ] に沿 そ って分岐 ぶんき 切断 せつだん (英語 えいご 版 ばん ) を入 い れれば、ガウス平面 へいめん の全域 ぜんいき で定義 ていぎ される正則 せいそく 函数 かんすう に延長 えんちょう することができる。この正則 せいそく 函数 かんすう をランベルト W 函数 かんすう の主 おも 値 ち と定 さだ める。
x が十分 じゅうぶん 大 おお きければ、W 0 は漸近 ぜんきん 的 てき に
W
0
(
x
)
=
L
1
−
L
2
+
L
2
L
1
+
L
2
(
−
2
+
L
2
)
2
L
1
2
+
L
2
(
6
−
9
L
2
+
2
L
2
2
)
6
L
1
3
+
L
2
(
−
12
+
36
L
2
−
22
L
2
2
+
3
L
2
3
)
12
L
1
4
+
⋯
=
L
1
−
L
2
+
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
1
∞
(
−
1
)
ℓ
[
ℓ
+
m
ℓ
+
1
]
m
!
L
1
−
ℓ
−
m
L
2
m
=
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
o
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[8pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\ell +m \atop \ell +1}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}\\&=\ln(x)-\ln(\ln(x))+o(1)\end{aligned}}}
と展開 てんかい される。ただし、L 1 = ln(x ), L 2 = ln(ln(x )) であり、[k n ] は非負 ひふ の第 だい 一 いち 種 しゅ スターリング数 すう である[6] 。
もう一 ひと つの、区間 くかん (−∞, −1/e ] 上 うえ で定義 ていぎ される実 じつ 函数 かんすう な枝 えだ W −1 は、L 1 = ln(−x ), L 2 = ln(−ln(−x )) と書 か けば、x が十 じゅう 分 ふん 0 に近 ちか いとき同 おな じ形 がた の漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ。
x ≥ e なるとき、
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
ln
(
ln
(
x
)
)
2
ln
(
x
)
≤
W
0
(
x
)
≤
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
e
e
−
1
ln
(
ln
(
x
)
)
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}}
という上下 じょうげ の評価 ひょうか が成 な り立 た つ[7] 。また もう一 ひと つの枝 えだ W −1 の評価 ひょうか は u > 0 に対 たい して
−
1
−
2
u
−
u
<
W
−
1
(
−
e
−
u
−
1
)
<
−
1
−
2
u
−
2
3
u
{\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-{\sqrt {2u}}-{\frac {2}{3}}u}
となる[8] 。
整数 せいすう 冪 べき ・複素数 ふくそすう 冪 べき の展開 てんかい [ 編集 へんしゅう ]
W 0 の整数 せいすう 乗 じょう もまた 0 において単純 たんじゅん なテイラー級数 きゅうすう (あるいはローラン級数 きゅうすう )展開 てんかい を持 も つ。例 たと えば
W
0
(
x
)
2
=
∑
n
=
2
∞
−
2
(
−
n
)
n
−
3
(
n
−
2
)
!
x
n
=
x
2
−
2
x
3
+
4
x
4
−
25
3
x
5
+
18
x
6
−
⋯
.
{\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}
より一般 いっぱん に、ラグランジュの反転 はんてん 公式 こうしき を用 もち いれば、r ∈ Z に対 たい して
W
0
(
x
)
r
=
∑
n
=
r
∞
−
r
(
−
n
)
n
−
r
−
1
(
n
−
r
)
!
x
n
{\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}}
となることが示 しめ せる(これは一般 いっぱん に、位 い 数 すう r のローラン級数 きゅうすう になっている)。あるいは同 おな じことだが、この式 しき を W 0 (x )/x の冪 べき に関 かん するテイラー級数 きゅうすう として
(
W
0
(
x
)
x
)
r
=
exp
(
−
r
W
0
(
x
)
)
=
∑
n
=
0
∞
r
(
n
+
r
)
n
−
1
n
!
(
−
x
)
n
{\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}(-x)^{n}}
と書 か くことができる。これは任意 にんい の r ∈ C と |x | < e −1 に対 たい して成立 せいりつ する。
任意 にんい の非 ひ 零 れい 代数 だいすう 的 てき 数 すう x に対 たい して W (x ) は超越 ちょうえつ 数 すう になる。実際 じっさい 、W (x ) が零 れい ならば x も零 れい でなければならず、また W (x ) が非 ひ 零 れい 代数 だいすう 的 てき 数 すう ならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理 ていり により e W (x ) は超越 ちょうえつ 的 てき でなければならず、従 したが ってx = W (x )e W (x ) もまた超越 ちょうえつ 的 てき でなければならない。
W
(
−
π ぱい
/
2
)
=
i
π ぱい
/
2
{\displaystyle W(-\pi /2)=i\pi /2}
W
(
ln
4
)
=
ln
2
{\displaystyle W({\ln 4})=\ln 2}
W
0
(
−
(
ln
2
)
/
2
)
=
−
ln
2
{\displaystyle W_{0}(-(\ln 2)/2)=-\ln 2}
W
−
1
(
−
(
ln
2
)
/
2
)
=
W
−
1
(
−
(
ln
4
)
/
4
)
=
−
ln
4
{\displaystyle W_{-1}(-(\ln 2)/2)=W_{-1}(-(\ln 4)/4)=-\ln 4}
W
(
−
(
ln
a
)
/
a
)
=
−
ln
a
(
1
/
e
≤
a
≤
e
)
{\displaystyle W(-(\ln a)/a)=-\ln a\quad (1/e\leq a\leq e)}
W
(
−
1
/
e
)
=
−
1
{\displaystyle W(-1/e)=-1}
W
(
0
)
=
0
{\displaystyle W(0)=0}
W
(
1
)
=
Ω おめが
=
1
∫
−
∞
+
∞
d
t
(
e
t
−
t
)
2
+
π ぱい
2
−
1
≈
0.56714329
…
{\displaystyle W(1)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots }
(オメガ定数 ていすう )
W
(
1
)
=
e
−
W
(
1
)
=
−
ln
W
(
1
)
{\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=-\ln W(1)}
W
(
e
)
=
1
{\displaystyle W(e)=1}
−
W
(
−
1
)
=
e
−
W
(
−
1
)
=
ln
(
−
W
(
−
1
)
)
≈
0.31813
…
+
1.33723
…
i
{\displaystyle -W(-1)=e^{-W(-1)}=\ln(-{W(-1)})\approx 0.31813\dots \ +1.33723\dots \,i}
W
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle W'(0)=1}
いくつかの等式 とうしき は定義 ていぎ から直 ただ ちに得 え られる:
W
(
x
e
x
)
=
x
(
x
≥
0
,
x
=
−
1
)
W
0
(
x
e
x
)
=
x
(
x
≥
−
1
)
W
−
1
(
x
e
x
)
=
x
(
x
≤
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W(xe^{x})&=x&(x\geq 0,\,x=-1)\\W_{0}(xe^{x})&=x&(x\geq -1)\\W_{-1}(xe^{x})&=x&(x\leq -1)\end{aligned}}}
ここで、f (x ) = x⋅ex は単 たん 射 しゃ でないから、W (f (x )) = x は常 つね には成 な りたないことに注意 ちゅうい すべきである。x < 0 かつ x ≠ -1 なる x を固定 こてい して、方程式 ほうていしき x⋅ex = y⋅ey は y に関 かん して二 ふた つの解 かい を持 も ち、その一方 いっぽう はもちろん y = x である。もう一方 いっぽう の解 かい は、W 0 の場合 ばあい x < -1 に、W −1 の場合 ばあい x ∈ (-1, 0) にある。これらを踏 ふ まえて、次 つぎ の式 しき を導 みちび くことができる。
W
0
(
x
e
x
)
=
y
(
x
<
−
1
)
.
{\displaystyle W_{0}(xe^{x})=y\quad (x<-1).}
W
−
1
(
x
e
x
)
=
y
(
x
>
−
1
)
.
{\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=y\quad (x>-1).}
W
(
x
)
e
W
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x.}
e
W
(
x
)
=
x
/
W
(
x
)
.
{\displaystyle e^{W(x)}=x/W(x).}
W
(
x
)
=
ln
x
−
ln
W
(
x
)
(
x
≥
−
1
/
e
)
.
{\displaystyle W(x)=\ln x-\ln W(x)\quad (x\geq -1/e).}
ln
W
(
x
)
=
ln
x
−
W
(
x
)
(
x
>
0
)
.
{\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x)\quad (x>0).}
[9]
W
(
n
x
n
/
W
(
x
)
n
−
1
)
=
n
W
(
x
)
(
n
>
0
,
x
>
0
)
.
{\displaystyle W(nx^{n}/W(x)^{n-1})=nW(x)\quad (n>0,x>0).}
(これは正 まさ しく枝 えだ を選 えら べば他 た の n, x に対 たい しても拡張 かくちょう できる)
f (ln(x )) を反転 はんてん すれば
W
(
x
ln
x
)
=
ln
x
=
W
(
x
)
+
ln
W
(
x
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle W(x\ln x)=\ln x=W(x)+\ln W(x)\quad (x>0)}
を得 え る。
オイラーの反復 はんぷく 指数 しすう 函数 かんすう h (x ) を用 もち いれば
h
(
x
)
=
e
−
W
(
−
ln
(
x
)
)
=
W
(
−
ln
(
x
)
)
−
ln
(
x
)
(
x
≠
1
)
{\displaystyle h(x)=e^{-W(-\ln(x))}={\frac {W(-\ln(x))}{-\ln(x)}}\quad (x\neq 1)}
を得 え る。
W を含 ふく む有用 ゆうよう な積分 せきぶん 公式 こうしき がいくつか存在 そんざい し、例 たと えば以下 いか のようなものが挙 あ げられる:
一 ひと つ目 め の等式 とうしき
∫
0
π ぱい
W
(
2
cot
2
(
x
)
)
sec
2
(
x
)
d
x
=
4
π ぱい
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }W(2\cot ^{2}(x))\sec ^{2}(x)dx=4{\sqrt {\pi }}}
はガウス積分 せきぶん を極座標 きょくざひょう で書 か き表 あらわ すときに現 あらわ れる。
∫
0
∞
W
(
x
)
x
x
d
x
=
2
2
π ぱい
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.}
証明 しょうめい
u = W (x ) と置換 ちかん すれば、
x
=
u
e
u
,
d
x
d
u
=
(
u
+
1
)
e
u
{\displaystyle x=ue^{u},\quad {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}}
で、
∫
0
∞
W
(
x
)
x
x
d
x
=
∫
0
∞
u
u
e
u
u
e
u
(
u
+
1
)
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
+
1
u
1
e
u
d
u
=
∫
0
∞
u
1
2
e
−
u
2
d
u
+
∫
0
∞
u
−
1
2
e
−
u
2
d
u
=
2
∫
0
∞
(
2
w
)
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
(
2
w
)
−
1
2
e
−
w
d
w
(
u
=
2
w
)
=
2
2
∫
0
∞
w
1
2
e
−
w
d
w
+
2
∫
0
∞
w
−
1
2
e
−
w
d
w
=
2
2
⋅
Γ がんま
(
3
2
)
+
2
⋅
Γ がんま
(
1
2
)
=
2
2
(
1
2
π ぱい
)
+
2
(
π ぱい
)
=
2
2
π ぱい
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})\\&=2{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})\\&=2{\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}
三 みっ つ目 め の式 しき
∫
0
∞
W
(
1
x
2
)
d
x
=
2
π ぱい
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }W({\tfrac {1}{x^{2}}})\,dx={\sqrt {2\pi }}}
は、二 ふた つ目 め の式 しき で u = 1/x 2 と置 お き換 か えることによって得 え られる。また一 ひと つ目 め の式 しき はこの三 みっ つ目 め の式 しき で z = tan(x ) ⁄√ 2 と置 お くことでも得 え られる。
分岐 ぶんき 切断 せつだん (−∞, 1/e ] に沿 そ う z を除 のぞ けば(そのような z では以下 いか の積分 せきぶん が確定 かくてい しない)、ランベルト W 函数 かんすう の主 しゅ 枝 えだ は、以下 いか の積分 せきぶん
W
(
z
)
=
z
2
π ぱい
∫
−
π ぱい
π ぱい
(
1
−
ν にゅー
cot
ν にゅー
)
2
+
ν にゅー
2
z
+
ν にゅー
csc
ν にゅー
e
−
ν にゅー
cot
ν にゅー
d
ν にゅー
=
z
π ぱい
∫
0
π ぱい
(
1
−
ν にゅー
cot
ν にゅー
)
2
+
ν にゅー
2
z
+
ν にゅー
csc
ν にゅー
e
−
ν にゅー
cot
ν にゅー
d
ν にゅー
{\displaystyle W(z)={\frac {z}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu ={\frac {z}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu }
によって計算 けいさん できる[10] 。この二 ふた つの積分 せきぶん の値 ね が等 ひと しいことは被 ひ 積分 せきぶん 函数 かんすう の対称 たいしょう 性 せい による。
指数 しすう 関数 かんすう を含 ふく む方程式 ほうていしき の多 おお くは、W関数 かんすう を用 もち いることで解 と くことができる。主 おも な方針 ほうしん は、未知数 みちすう を含 ふく む項 こう を方程式 ほうていしき の左辺 さへん (あるいは右辺 うへん )に寄 よ せ、W関数 かんすう で解 かい を表現 ひょうげん できる
x
e
x
{\displaystyle xe^{x}}
の形 かたち にすることである。例 たと えば、方程式 ほうていしき
2
t
=
5
t
{\displaystyle 2^{t}=5t}
を解 と くには、両辺 りょうへん に
−
ln
2
⋅
2
−
t
5
{\displaystyle -{\frac {\ln 2\cdot 2^{-t}}{5}}}
を掛 か け、
−
ln
2
5
=
−
t
ln
2
⋅
e
−
t
ln
2
{\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}=-t\ln 2\cdot e^{-t\ln 2}}
を得 え る。
ここで、両辺 りょうへん のW関数 かんすう をとれば、
W
(
−
ln
2
5
)
=
−
t
ln
2
{\displaystyle W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)=-t\ln 2}
、即 すなわ ち
t
=
−
W
(
−
ln
2
5
)
ln
2
=
0.235
…
,
4.488
…
{\displaystyle t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln {2}}{5}}\right)}{\ln {2}}}=0.235\dots ,4.488\dots }
となる。
同様 どうよう の方法 ほうほう で、x x = z
の解 かい は、
x
=
ln
(
z
)
W
(
ln
(
z
)
)
{\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln(z))}}}
あるいは
x
=
exp
(
W
(
ln
(
z
)
)
)
{\displaystyle x=\exp(W(\ln(z)))}
となる。
複素数 ふくそすう の無限 むげん 回 かい の累乗 るいじょう
z
z
z
⋯
{\displaystyle z^{z^{z^{\cdots }}}\!}
が収束 しゅうそく するとき、ランベルトのW関数 かんすう を用 もち いれば、その極限 きょくげん 値 ち を次 つぎ のように表現 ひょうげん できる。
c
=
W
(
−
log
(
z
)
)
−
log
(
z
)
{\displaystyle c={\frac {W(-\log(z))}{-\log(z)}}}
ただし、log(z ) は複素 ふくそ 対数 たいすう 函数 かんすう の主 おも 値 ち とする。
通常 つうじょう のランベルト W は x に関 かん する
e
−
c
x
=
a
0
(
x
−
r
)
{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}
(1 )
の形 かたち (ただし、a 0 , c , r は実定 じってい 数 すう )の「超越 ちょうえつ 代数 だいすう 」方程式 ほうていしき の厳密 げんみつ 解 かい x = r + 1 / c W (ce −cr / a 0 ) を記述 きじゅつ することができる。
ランベルト W 函数 かんすう の一般 いっぱん 化 か [11] [12] [13] [14] として以下 いか のようなものを挙 あ げることができる:
e
−
c
x
=
a
0
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})}
(2 )
を考 かんが える。ここで、この二 に 次 じ 多項式 たこうしき の根 ね r 1 , r 2 は相 あい 異 こと なる実定 じってい 数 すう とする。この方程式 ほうていしき の解 かい は一 ひと つの引数 ひきすう x を持 も つ函数 かんすう だが、ri や a 0 のような項 こう は解 かい 函数 かんすう のパラメータとして働 はたら く。そのような側面 そくめん で見 み れば、この一般 いっぱん 化 か は超 ちょう 幾何 きか 函数 かんすう やメイヤーG函数 かんすう (英語 えいご 版 ばん ) を作 つく るのと似 に たような方式 ほうしき とも思 おも えるが、これらの函数 かんすう とは異 こと なる「クラス」に属 ぞく する。r 1 = r 2 のときは、式 しき 2 の両辺 りょうへん は因数 いんすう 分解 ぶんかい できて、1 に帰着 きちゃく されるから、解 かい 函数 かんすう も通常 つうじょう の W 函数 かんすう に還元 かんげん される。式 しき 2 はディラトン 場 ば を支配 しはい する方程式 ほうていしき を表 あらわ すから、それにより不等 ふとう 静止 せいし 質量 しつりょう の場合 ばあい に対 たい する 1+ 1 -次元 じげん (空間 くうかん 一 いち 次元 じげん ・時間 じかん 一 いち 次元 じげん )における R=T (英語 えいご 版 ばん ) あるいは「直列 ちょくれつ 」(lineal ) 二 に 体 たい 重力 じゅうりょく 問題 もんだい の計量 けいりょう や、一 いち 次元 じげん の不等 ふとう 電荷 でんか に対 たい する量子力学 りょうしりきがく 的 てき 二 に 重 じゅう 井戸 いど 型 がた デルタ函数 かんすう モデル(英語 えいご 版 ばん ) の固有 こゆう エネルギーが導 みちび かれる。
e
−
c
x
=
a
0
∏
i
=
1
∞
(
x
−
r
i
)
∏
i
=
1
∞
(
x
−
s
i
)
{\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}
(3 )
を考 かんが える。各 かく ri , si は実定 じってい 数 すう 、x は固有 こゆう エネルギーと核 かく 間 あいだ 距離 きょり R の函数 かんすう である。式 しき 3 は、その特別 とくべつ の場合 ばあい として式 しき 1 および 2 も含 ふく めて、遅延 ちえん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき (英語 えいご 版 ばん ) の成 な す大 おお きなクラスに関係 かんけい する。
(1)式 しき で表現 ひょうげん される標準 ひょうじゅん 的 てき な場合 ばあい においても、原子 げんし ・分子 ぶんし ・光物 ひかりもの 理学 りがく [17] などの分野 ぶんや >からリーマン仮説 かせつ [18] に対 たい するKeiper-Li基準 きじゅん に至 いた るまで、ランベルトのW函数 かんすう の応用 おうよう 分野 ぶんや についての議論 ぎろん は十分 じゅうぶん 尽 つ くされたとは言 い えていない。
W 函数 かんすう はニュートン法 ほう を用 もち いて近似 きんじ することができて、w = W (z ) (したがって z = wew )に対 たい する逐次 ちくじ 近似 きんじ は
w
j
+
1
=
w
j
−
w
j
e
w
j
−
z
e
w
j
+
w
j
e
w
j
{\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}}
として与 あた えられる。また、ハレー法 ほう (英語 えいご 版 ばん ) を用 もち いた近似 きんじ
w
j
+
1
=
w
j
−
w
j
e
w
j
−
z
e
w
j
(
w
j
+
1
)
−
(
w
j
+
2
)
(
w
j
e
w
j
−
z
)
2
w
j
+
2
{\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}
を Corless et al. (1996) は W の計算 けいさん において与 あた えている。
W 函数 かんすう の実装 じっそう は:
LambertW in Maple ,
lambertw
in GP (glambertW
in PARI),
lambertw
in MATLAB,[19]
lambertw
in octave with the 'specfun' package,
lambert_w
in Maxima,[20]
ProductLog
(with a silent alias LambertW
) in Mathematica,[21]
lambertw
in Python scipy's special function package[22]
gsl_sf_lambert_W0
and gsl_sf_lambert_Wm1
functions in special functions section of the GNU Scientific Library - GSL.
などがある。
^ Chow, Timothy Y. (1999), “What is a closed-form number?”, American Mathematical Monthly 106 (5): 440–448, doi :10.2307/2589148 , MR 1699262 .
^ a b Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). “On the Lambert W function” (PostScript). Advances in Computational Mathematics 5 : 329–359. doi :10.1007/BF02124750 . http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/LambertW.ps .
^ Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica , Band III, 128–168, 1758 (facsimile )
^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae . Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile )
^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J. (1993). “Lambert's W function in Maple”. The Maple Technical Newsletter (MapleTech) 9 : 12–22. CiteSeerx : 10.1.1.33.2556 .
^ Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function , Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.
^ http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/107_07_JIPAM/107_07_www.pdf
^ Chatzigeorgiou, I. (2013). “Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation” (PDF). IEEE Communications Letters 17 (8): 1505–1508. doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972 . http://arxiv.org/pdf/1601.04895v1.pdf .
^ Weisstein, Eric W. "Lambert W-Function" . mathworld.wolfram.com (英語 えいご ).
^ The Lambert W Function , Ontario Research Centre, http://www.orcca.on.ca/LambertW/
^ Scott, T. C.; Mann, R. B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). “General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. arXiv :math-ph/0607011 . doi :10.1007/s00200-006-0196-1 .
^ Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). “Asymptotic series of Generalized Lambert W Function” . SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83. doi :10.1145/2576802.2576804 . http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html .
^ Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W.Z. (2014). “Numerics of the Generalized Lambert W Function” . SIGSAM 48 (188): 42–56. doi :10.1145/2644288.2644298 . http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html .
^ Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). “Fleshing out the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 50 (2): 45–60. doi :10.1145/2992274.2992275 .
^ Farrugia, P. S.; Mann, R. B.; Scott, T. C. (2007). “N -body Gravity and the Schrödinger Equation”. Class. Quantum Grav. 24 (18): 4647–4659. arXiv :gr-qc/0611144 . doi :10.1088/0264-9381/24/18/006 .
^ Scott, T. C.; Aubert-Frécon, M.; Grotendorst, J. (2006). “New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion”. Chem. Phys. 324 (2–3): 323–338. arXiv :physics/0607081 . doi :10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
^ Scott, T. C.; Lüchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, J. D. III (2007). “The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions”. Phys. Rev. A 75 (6): 060101. doi :10.1103/PhysRevA.75.060101 .
^ McPhedran, R. C.; Scott, T.C.; Maignan, Aude (2023). “The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions”. ACM Commun. Comput. Algebra 57 (3): 85-110. doi :10.1145/3637529.3637530 .
^ lambertw - MATLAB
^ Maxima, a Computer Algebra System
^ ProductLog at WolframAlpha
^ [1]
Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). “On the Lambert W function” . Advances in Computational Mathematics (Berlin, New York: Springer-Verlag ) 5 : 329–359. doi :10.1007/BF02124750 . ISSN 1019-7168 . http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). “Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2” . IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf .
Francis (2000). “Quantitative General Theory for Periodic Breathing” . Circulation 102 (18): 2214–21. doi :10.1161/01.cir.102.18.2214 . PMID 11056095 . http://circ.ahajournals.org/cgi/reprint/102/18/2214 . (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
Hayes, B. (2005). “Why W ?” . American Scientist 93 : 104–108. doi :10.1511/2005.2.104 . http://www.americanscientist.org/issues/pub/why-w .
Roy, R.; Olver, F. W. J. (2010), “Lambert W function” , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 , http://dlmf.nist.gov/4.13
Stewart, Seán M. (2005). “A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal (Australian Association of Mathematics Teachers ) 19 (2): 8–26. ISSN 0819-4564 . ERIC EJ720055. http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf .
Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010) ; Veberic, D. (2012). “Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183 : 2622–2628. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008 .
Chatzigeorgiou, I. (2013). “Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation” . IEEE Communications Letters 17 (8): 1505–1508. doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972 . http://arxiv.org/abs/1601.04895 .