ランベルトのW関数かんすう

W(x) のグラフの W > −4 および x < 6 の部分ぶぶん。W ≥ −1 なる上うえの枝えだを主おも枝えだ W₀ と言いい、W ≤ −1 なる下した側がわの分ぶん枝えだを W₋₁ という。

ランベルトのW函数かんすう（ランベルトのWかんすう、英えい: Lambert W function）あるいはオメガ函数かんすう (ωおめが function)、対数たいすう積せき（product logarithm; 乗じょう積せき対数たいすう）は、函数かんすう f(z) = ze^z の逆ぎゃく関係かんけいの分ぶん枝えだとして得えられる函数かんすう W の総称そうしょうである。ここで、e^z は指数しすう函数かんすう、z は任意にんいの複素数ふくそすうとする。すなわち、W は z = f⁻¹(ze^z) = W(ze^z) を満みたす。

上記じょうきの方程式ほうていしきで、z' = ze^z と置おきかえれば、任意にんいの複素数ふくそすう z' に対たいする W 函数かんすう（一般いっぱんには W 関係かんけい）の定義ていぎ方程式ほうていしき

$z'=W(z')e^{W(z')}$

を得える。

函数かんすう ƒ は単たん射いではないから、関係かんけい W は（0 を除のぞいて）多た価あたいである。仮かりに実じつ数値すうちの W に注意ちゅういを制限せいげんするとすれば、複素ふくそ変数へんすう z は実じつ変数へんすう x に取とり換かえられ、関係かんけいの定義ていぎ域いきは区間くかん x ≥ −1/e に限かぎられ、また開ひらけ区間くかん (−1/e, 0) 上うえで二に価かの函数かんすうになる。さらに制約せいやく条件じょうけんとして W ≥ −1 を追加ついかすれば一価いっか函数かんすう W₀(x) が定義ていぎされて、W₀(0) = 0 および W₀(−1/e) = −1 を得える。それと同時どうじに、下した側がわの枝えだは W ≤ −1 であって、W₋₁(x) と書かかれる。これは W₋₁(−1/e) = −1 から W₋₁(−0) = −∞ まで単調たんちょう減少げんしょうする。

ランベルト W 関係かんけいは初等しょとう函数かんすうでは表あらわすことができない。ランベルト W は組合くみあわせ論ろんにおいて有用ゆうようで、例たとえば木きの数かぞえ上あげに用もちいられる。指数しすう函数かんすうを含ふくむ様々さまざまな方程式ほうていしき（例たとえばプランク分布ぶんぷ、ボーズ–アインシュタイン分布ぶんぷ、フェルミ–ディラック分布ぶんぷなどの最大さいだい値ち）を解とくのに用もちいられ、またy'(t) = ay(t − 1) のような遅延ちえん微分びぶん方程式ほうていしき の解かいとしても生しょうじる。生化学せいかがくにおいて、また特とくに酵素こうそ動力どうりょく学がくにおいて、ミカエリス–メンテン動力どうりょく学がくの経時きょうじ動力どうりょく学がく解析かいせきに対たいする閉とじた形かたちの解かいはランベルト W 函数かんすうによって記述きじゅつされる。

複素数ふくそすう平面へいめんにおけるランベルト W 函数かんすうの主しゅ枝えだ。負まけの実じつ軸じくに沿そった分岐ぶんき切断せつだんは −1/e を端点たんてんに持もつ。この図ずでは、点てん z における色相しきそうを W の偏へん角かくで、輝度きどを W の絶対ぜったい値ちで決定けっていしている。

用語ようごについて

二ふたつの主しゅ枝えだ W₀, W₋₁

ランベルト W-函数かんすうはヨハン・ハインリヒ・ランベルトに因ちなんで名なづけられた。Digital Library of Mathematical Functions では主しゅ枝えだ W₀ を Wp, 分ぶん枝えだ W₋₁ は Wm と書かいている。ここでの表記ひょうきの規約きやく（つまり W₀, W₋₁）はランベルト W に関かんする標準ひょうじゅん的てきな参考さんこう文献ぶんけんCorless et al. (1996)に従したがった。

歴史れきし

ランベルトは初はじめ「ランベルトの超越ちょうえつ方程式ほうていしき」に関連かんれんして1758年ねんに考察こうさつした。これはレオンハルト・オイラーの1783年ねんの we^w の特別とくべつな場合ばあいを論ろんじた論文ろんぶんに繋つながる。

ランベルト W-函数かんすうは、特殊とくしゅ化かされた応用おうようにおいて、十じゅう年ねん程度ていど毎ごとに「再さい発見はっけん」されてきた。1993年ねんには、等とう電荷でんかに対たいする量子力学りょうしりきがく的てき二に重じゅう井戸いど型がたディラックデルタ函数かんすうモデル（物理ぶつり学がくにおける基本きほん問題もんだい）の厳密げんみつ解かいをランベルト W-函数かんすうが与あたえることが報告ほうこくされたとき、コーレスら計算けいさん機き代数だいすうシステムMapleの開発かいはつ者しゃたちはライブラリを精査せいさして、この函数かんすうが自然しぜん界かいに遍あまねく存在そんざいすることを発見はっけんした。

微分びぶん積分せきぶん学がく

導しるべ函数かんすう

陰かげ函数かんすう微分びぶん法ほうにより、W の任意にんいの枝えだが常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad (z\neq -1/e)$

を満みたすことが示しめせる（z = −1/e では W は微分びぶんできない）。従したがって、W の導しるべ函数かんすうは

${\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad (z\notin \{0,-1/e\})$

を満みたす。ここで恒等こうとう式しき e^W(z) = z/W(z) を用もちいるならば、

${\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad (z\neq -1/e)$

と書かきなおすこともできる。

原始げんし函数かんすう

函数かんすう W(x)（およびそれを含ふくむ多おおくの式しき）は、w = W(x), (x = we^w) と置おいた置換ちかん積分せきぶんによって

${\begin{aligned}\int W(x){\mathit {dx}}&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}$

と積分せきぶんできる。

したがって、（W(e) = 1 であることも考慮こうりょして）等式とうしき

$\int _{0}^{e}W(x)\,{\mathit {dx}}=e-1$

が得えられる。

漸近ぜんきん展開てんかい

W₀ の 0 を中心ちゅうしんとするテイラー級数きゅうすうは、逆ぎゃくに解といて

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうによると、収束しゅうそく半径はんけいは 1⁄e である。この級数きゅうすうの定さだめる函数かんすうは、区間くかん (−∞, −1/e]に沿そって分岐ぶんき切断せつだんを入いれれば、ガウス平面へいめんの全域ぜんいきで定義ていぎされる正則せいそく函数かんすうに延長えんちょうすることができる。この正則せいそく函数かんすうをランベルト W 函数かんすうの主おも値ちと定さだめる。

x が十分じゅうぶん大おおきければ、W₀ は漸近ぜんきん的てきに

${\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[8pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\ell +m \atop \ell +1}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}\\&=\ln(x)-\ln(\ln(x))+o(1)\end{aligned}}$

と展開てんかいされる。ただし、L₁ = ln(x), L₂ = ln(ln(x)) であり、[k
n ] は非負ひふの第だい一いち種しゅスターリング数すうである。

もう一ひとつの、区間くかん (−∞, −1/e] 上うえで定義ていぎされる実じつ函数かんすうな枝えだ W₋₁ は、L₁ = ln(−x), L₂ = ln(−ln(−x)) と書かけば、x が十じゅう分ふん 0 に近ちかいとき同おなじ形がたの漸近ぜんきん展開てんかいを持もつ。

x ≥ e なるとき、

$\ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}$

という上下じょうげの評価ひょうかが成なり立たつ。また もう一ひとつの枝えだ W₋₁ の評価ひょうかは u > 0 に対たいして

$-1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-{\sqrt {2u}}-{\frac {2}{3}}u$

となる。

整数せいすう冪べき・複素数ふくそすう冪べきの展開てんかい

W₀ の整数せいすう乗じょうもまた 0 において単純たんじゅんなテイラー級数きゅうすう（あるいはローラン級数きゅうすう）展開てんかいを持もつ。例たとえば

$W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .$

より一般いっぱんに、ラグランジュの反転はんてん公式こうしきを用もちいれば、r ∈ Z に対たいして

$W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}$

となることが示しめせる（これは一般いっぱんに、位い数すう r のローラン級数きゅうすうになっている）。あるいは同おなじことだが、この式しきを W₀(x)/x の冪べきに関かんするテイラー級数きゅうすうとして

$\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}(-x)^{n}$

と書かくことができる。これは任意にんいの r ∈ C と |x| < e⁻¹ に対たいして成立せいりつする。

特殊とくしゅ値ち

任意にんいの非ひ零れい代数だいすう的てき数すう x に対たいして W(x) は超越ちょうえつ数すうになる。実際じっさい、W(x) が零れいならば x も零れいでなければならず、また W(x) が非ひ零れい代数だいすう的てき数すうならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理ていりにより e^W(x) は超越ちょうえつ的てきでなければならず、従したがってx = W(x)e^W(x) もまた超越ちょうえつ的てきでなければならない。

$W(-\pi /2)=i\pi /2$

$W({\ln 4})=\ln 2$

$W_{0}(-(\ln 2)/2)=-\ln 2$

$W_{-1}(-(\ln 2)/2)=W_{-1}(-(\ln 4)/4)=-\ln 4$

$W(-(\ln a)/a)=-\ln a\quad (1/e\leq a\leq e)$

$W(-1/e)=-1$

$W(0)=0$

$W(1)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots$ (オメガ定数ていすう)

$W(1)=e^{-W(1)}=-\ln W(1)$

$W(e)=1$

$-W(-1)=e^{-W(-1)}=\ln(-{W(-1)})\approx 0.31813\dots \ +1.33723\dots \,i$

$W'(0)=1$

等式とうしき

いくつかの等式とうしきは定義ていぎから直ただちに得えられる:

${\begin{aligned}W(xe^{x})&=x&(x\geq 0,\,x=-1)\\W_{0}(xe^{x})&=x&(x\geq -1)\\W_{-1}(xe^{x})&=x&(x\leq -1)\end{aligned}}$

ここで、f(x) = x⋅e^x は単たん射しゃでないから、W(f(x)) = x は常つねには成なりたないことに注意ちゅういすべきである。x < 0 かつ x ≠ -1 なる x を固定こていして、方程式ほうていしき x⋅e^x = y⋅e^y は y に関かんして二ふたつの解かいを持もち、その一方いっぽうはもちろん y = x である。もう一方いっぽうの解かいは、W₀ の場合ばあい x < -1 に、W₋₁ の場合ばあい x ∈ (-1, 0) にある。これらを踏ふまえて、次つぎの式しきを導みちびくことができる。

$W_{0}(xe^{x})=y\quad (x<-1).$

$W_{-1}(xe^{x})=y\quad (x>-1).$

$W(x)e^{W(x)}=x.$

$e^{W(x)}=x/W(x).$

$W(x)=\ln x-\ln W(x)\quad (x\geq -1/e).$

$\ln W(x)=\ln x-W(x)\quad (x>0).$

$W(nx^{n}/W(x)^{n-1})=nW(x)\quad (n>0,x>0).$（これは正まさしく枝えだを選えらべば他たの n, x に対たいしても拡張かくちょうできる）

f(ln(x)) を反転はんてんすれば

$W(x\ln x)=\ln x=W(x)+\ln W(x)\quad (x>0)$

を得える。

オイラーの反復はんぷく指数しすう函数かんすう h(x) を用もちいれば

$h(x)=e^{-W(-\ln(x))}={\frac {W(-\ln(x))}{-\ln(x)}}\quad (x\neq 1)$

を得える。

W を含ふくむ有用ゆうような積分せきぶん公式こうしきがいくつか存在そんざいし、例たとえば以下いかのようなものが挙あげられる:

1. 一ひとつ目めの等式とうしき

   $\int _{0}^{\pi }W(2\cot ^{2}(x))\sec ^{2}(x)dx=4{\sqrt {\pi }}$

   はガウス積分せきぶんを極座標きょくざひょうで書かき表あらわすときに現あらわれる。
2. $\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.$
   証明しょうめい

   u = W(x) と置換ちかんすれば、

   $x=ue^{u},\quad {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}$

   で、

   ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})\\&=2{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})\\&=2{\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}$
3. 三みっつ目めの式しき

   $\int _{0}^{\infty }W({\tfrac {1}{x^{2}}})\,dx={\sqrt {2\pi }}$

   は、二ふたつ目めの式しきで u = 1/x² と置おき換かえることによって得えられる。また一ひとつ目めの式しきはこの三みっつ目めの式しきで z = tan(x)⁄√2 と置おくことでも得えられる。

分岐ぶんき切断せつだん (−∞, 1/e] に沿そう z を除のぞけば（そのような z では以下いかの積分せきぶんが確定かくていしない）、ランベルト W 函数かんすうの主しゅ枝えだは、以下いかの積分せきぶん

$W(z)={\frac {z}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu ={\frac {z}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu$

によって計算けいさんできる。この二ふたつの積分せきぶんの値ねが等ひとしいことは被ひ積分せきぶん函数かんすうの対称たいしょう性せいによる。

応用おうよう

指数しすう関数かんすうを含ふくむ方程式ほうていしきの多おおくは、W関数かんすうを用もちいることで解とくことができる。主おもな方針ほうしんは、未知数みちすうを含ふくむ項こうを方程式ほうていしきの左辺さへん（あるいは右辺うへん）に寄よせ、W関数かんすうで解かいを表現ひょうげんできる $xe^{x}$の形かたちにすることである。例たとえば、方程式ほうていしき $2^{t}=5t$ を解とくには、両辺りょうへんに $-{\frac {\ln 2\cdot 2^{-t}}{5}}$を掛かけ、$-{\frac {\ln 2}{5}}=-t\ln 2\cdot e^{-t\ln 2}$を得える。

ここで、両辺りょうへんのW関数かんすうをとれば、$W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)=-t\ln 2$、即すなわち $t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln {2}}{5}}\right)}{\ln {2}}}=0.235\dots ,4.488\dots$となる。

同様どうようの方法ほうほうで、x^x = z の解かいは、

$x={\frac {\ln(z)}{W(\ln(z))}}$

あるいは

$x=\exp(W(\ln(z)))$

となる。

複素数ふくそすうの無限むげん回かいの累乗るいじょう

$z^{z^{z^{\cdots }}}\!$

が収束しゅうそくするとき、ランベルトのW関数かんすうを用もちいれば、その極限きょくげん値ちを次つぎのように表現ひょうげんできる。

$c={\frac {W(-\log(z))}{-\log(z)}}$

ただし、log(z) は複素ふくそ対数たいすう函数かんすうの主おも値ちとする。

一般いっぱん化か

通常つうじょうのランベルト W は x に関かんする

$e^{-cx}=a_{0}(x-r)$

(1)

の形かたち（ただし、a₀, c, r は実定じってい数すう）の「超越ちょうえつ代数だいすう」方程式ほうていしきの厳密げんみつ解かい x = r + 1/cW(ce^−cr/a₀) を記述きじゅつすることができる。

ランベルト W 函数かんすうの一般いっぱん化かとして以下いかのようなものを挙あげることができる:

• 低てい次元じげんにおける一般いっぱん相対そうたい論ろんおよび量子力学りょうしりきがく（量子りょうし重力じゅうりょく）（実じつは、両りょう分野ぶんやの繋つながりは、以前いぜんには知しられていなかった）への応用おうようでは、式しき 1 の右辺うへんを今度こんどは x の二に次じ多項式たこうしきとした

$e^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})$

(2)

を考かんがえる。ここで、この二に次じ多項式たこうしきの根ね r₁, r₂ は相あい異ことなる実定じってい数すうとする。この方程式ほうていしきの解かいは一ひとつの引数ひきすう x を持もつ函数かんすうだが、r_i や a₀ のような項こうは解かい函数かんすうのパラメータとして働はたらく。そのような側面そくめんで見みれば、この一般いっぱん化かは超ちょう幾何きか函数かんすうやメイヤーG函数かんすうを作つくるのと似にたような方式ほうしきとも思おもえるが、これらの函数かんすうとは異ことなる「クラス」に属ぞくする。r₁ = r₂ のときは、式しき 2 の両辺りょうへんは因数いんすう分解ぶんかいできて、1 に帰着きちゃくされるから、解かい函数かんすうも通常つうじょうの W 函数かんすうに還元かんげんされる。式しき 2 はディラトン場ばを支配しはいする方程式ほうていしきを表あらわすから、それにより不等ふとう静止せいし質量しつりょうの場合ばあいに対たいする 1+1-次元じげん（空間くうかん一いち次元じげん・時間じかん一いち次元じげん）における R=Tあるいは「直列ちょくれつ」(lineal) 二に体たい重力じゅうりょく問題もんだいの計量けいりょうや、一いち次元じげんの不等ふとう電荷でんかに対たいする量子力学りょうしりきがく的てき二に重じゅう井戸いど型がたデルタ函数かんすうモデルの固有こゆうエネルギーが導みちびかれる。

• 量子力学りょうしりきがく的てき三さん体たい問題もんだいの特別とくべつの場合ばあい、具体ぐたい的てきには（三さん次元じげん）水素すいそ分子ぶんしイオンの固有こゆうエネルギーの解析かいせき解かいの場合ばあい、今度こんどは式しき 1 の（あるいは式しき 2 の）右辺うへんを x に関かんする無限むげん次じ多項式たこうしきの比ひとした

$e^{-cx}=a_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}$

(3)

を考かんがえる。各かく r_i, s_i は実定じってい数すう、x は固有こゆうエネルギーと核かく間あいだ距離きょり R の函数かんすうである。式しき 3 は、その特別とくべつの場合ばあいとして式しき 1 および 2 も含ふくめて、遅延ちえん微分びぶん方程式ほうていしきの成なす大おおきなクラスに関係かんけいする。

(1)式しきで表現ひょうげんされる標準ひょうじゅん的てきな場合ばあいにおいても、原子げんし・分子ぶんし・光物ひかりもの理学りがく などの分野ぶんや>からリーマン仮説かせつに対たいするKeiper-Li基準きじゅんに至いたるまで、ランベルトのW函数かんすうの応用おうよう分野ぶんやについての議論ぎろんは十分じゅうぶん尽つくされたとは言いえていない。

複素ふくそ平面へいめん上じょうのグラフ

• Plots of the Lambert W function on the complex plane
• 
  z = Re(W₀(x + iy))
• 
  z = Im(W₀(x + iy))
• 
  z = |W₀(x + iy)|
• 
  Superimposition of the previous three plots

数値すうち的てき評価ひょうか

W 函数かんすうはニュートン法ほうを用もちいて近似きんじすることができて、w = W(z)（したがって z = we^w）に対たいする逐次ちくじ近似きんじは

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}$

として与あたえられる。また、ハレー法ほう を用もちいた近似きんじ

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

を Corless et al. (1996) は W の計算けいさんにおいて与あたえている。

ソフトウェア実装じっそう

W 函数かんすうの実装じっそうは:

• LambertW in Maple,
• lambertw in GP (glambertW in PARI),
• lambertw in MATLAB,
• lambertw in octave with the 'specfun' package,
• lambert_w in Maxima,
• ProductLog (with a silent alias LambertW) in Mathematica,
• lambertw in Python scipy's special function package
• gsl_sf_lambert_W0 and gsl_sf_lambert_Wm1 functions in special functions section of the GNU Scientific Library - GSL.

などがある。

関連かんれん項目こうもく

• 重おもみ付つきオメガ函数かんすう
• ランベルトの三さん項こう方程式ほうていしき
• ラグランジュの反転はんてん定理ていり
• 実験じっけん数学すうがく
• ホルスタイン–ヘーリング法ほう
• R=Tモデル
• ロスのπぱい補題ほだい

参考さんこう文献ぶんけん

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). “On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics (Berlin, New York: Springer-Verlag) 5: 329–359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf 
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). “Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2”. IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf. 
• Francis (2000). “Quantitative General Theory for Periodic Breathing”. Circulation 102 (18): 2214–21. doi:10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID 11056095. http://circ.ahajournals.org/cgi/reprint/102/18/2214.  (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Hayes, B. (2005). “Why W?”. American Scientist 93: 104–108. doi:10.1511/2005.2.104. http://www.americanscientist.org/issues/pub/why-w. 
• Roy, R.; Olver, F. W. J. (2010), “Lambert W function”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/4.13 
• Stewart, Seán M. (2005). “A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal (Australian Association of Mathematics Teachers) 19 (2): 8–26. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055. http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf. 
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). “Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183: 2622–2628. doi:10.1016/j.cpc.2012.07.008. 
• Chatzigeorgiou, I. (2013). “Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation”. IEEE Communications Letters 17 (8): 1505–1508. doi:10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. http://arxiv.org/abs/1601.04895. 

外部がいぶリンク

• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
• Weisstein, Eric W. "Lambert W-Function". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL
• An implementation of the Lambert W function for C99