発散はっさん定理ていり

発散はっさん定理ていり（はっさんていり、英語えいご: divergence theorem）は、ベクトル場じょうの発散はっさんを、その場ばによって定義ていぎされる流ながれの面積めんせき分ぶんに結むすび付つけるものである。

ガウスの定理ていり（ガウスのていり、英語えいご: Gauss' theorem）とも呼よばれる。

発見はっけん

1762年ねんにジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見はっけんされ、その後ごカール・フリードリヒ・ガウス（1813年ねん）、ジョージ・グリーン（1825年ねん）、ミハイル・オストログラツキー（1831年ねん）によって、それぞれ独立どくりつに再さい発見はっけんされた。オストログラツキーは、またこの定理ていりに最初さいしょの証明しょうめいを与あたえた人物じんぶつでもある。

定理ていりの内容ないよう

数式すうしきを用もちいて述のべると次つぎのようになる。まず、R³ で定義ていぎされた滑なめらかなベクトル場じょう ${\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},F_{3})$ に対たいして F の発散はっさん div F を

$\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}:={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}$

と定義ていぎする。発散はっさんは∇(ナブラ;nabla)を用もちいると,

$\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {F}}$

と表あらわされ,ベクトルの内積ないせき(ドット積せき)となる.

V を R³ において滑なめらか（ここでは C¹ 級きゅうでよい）な境界きょうかい ∂V をもつ有界ゆうかいな領域りょういき（= 連結れんけつ開ひらけ集合しゅうごう）とし、F を V の閉包へいほうで定義ていぎされている滑なめらかなベクトル場じょうとすると、

$\iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {F}}\!\cdot \!{\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S$

が成なり立たつ。ここで、n は V の外そと向むき単位たんい法ほうベクトルとする。なお、定理ていりが成なり立たつためには ∂V が区分くぶん的てきに C¹ 級きゅうであれば十分じゅうぶんである。

この定理ていりは div という演算えんざんが発散はっさん（あるいは湧出ゆうしゅつ量りょう）と呼よばれる所以ゆえんでもある。右辺うへんはベクトル場じょうが領域りょういき V の表面ひょうめんから流出りゅうしゅつする量りょうであり、それが左辺さへんの表あらわす領域りょういき全体ぜんたいでのベクトル場じょうの発散はっさんの値ねの積分せきぶんに等ひとしいことを表あらわしている。

この定理ていりは、一般いっぱん的てきなストークスの定理ていりから導みちびくことができる。

一般いっぱん化かされたストークスの定理ていりとの対応たいおう

発散はっさん定理ていりは、以下いかのように一般いっぱん化かされたストークスの定理ていりにおいて、2次じ微分びぶん形式けいしきのωおめがを考かんがえた場合ばあいに相当そうとうする。

$\int _{\partial V}\omega =\int _{V}\mathrm {d} \omega$

ここでωおめがは

$\omega :=F_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+F_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+F_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

であり、その外そと微分びぶんは次つぎ式しきで与あたえられる。

$\mathrm {d} \omega :={\biggl (}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

応用おうよう

発散はっさん定理ていりを電磁気でんじき学がくに応用おうようして、電荷でんかから湧わき出だす電場でんじょうについてのガウスの法則ほうそくを数学すうがく的てきに記述きじゅつできる（⇒マクスウェルの方程式ほうていしき）。

$\oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$ 　積分せきぶん形がた表現ひょうげん

$\operatorname {div} {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$　　微分びぶん形がた表現ひょうげん（静せい電場でんじょうのガウスの発散はっさん定理ていり）

参考さんこう文献ぶんけん

• 太田おおた浩一こういち 『マクスウエル理論りろんの基礎きそ　相対そうたい論ろんと電磁気でんじき学がく』東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい（2002年ねん）ISBN 978-4130626040

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