算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつ

数学すうがくにおける算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつ（さんじゅつきかすうれつ、仏ふつ: suite arithmético-géométrique; 英えい: arithmetico–geometric sequence）は、一いち次じの漸やや化か式しきを満足まんぞくする数列すうれつで、算術さんじゅつ数列すうれつおよび幾何きか数列すうれつをともに一般いっぱん化かする。

定義ていぎ

ここでは任意にんいの可か換かわ体からだ K をひとつ固定こていする（例たとえば実数じっすう体からだ ℝ や複素数ふくそすう体からだ ℂ）。K に値ねをとる数列すうれつ $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ が算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつであるとは、K の適当てきとうな元もと a, b が存在そんざいして、その数列すうれつが以下いかの漸やや化か式しき $$u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$ を満足まんぞくするときに言いう。

注意ちゅうい

途中とちゅうの番号ばんごうから始はじまる列れつ (u_n)_n≥n0 は、v_p = u_n0+p と置おくことにより、常つねに (v_p)_p∈ℕ なる形かたちに書かき直なおせる。そのような列れつ (u_n) が n ≥ n₀ において上記じょうきの漸すすむ化か式しきを満みたすことと、(v_p)_p∈ℕ が算術さんじゅつ幾何きか的てきであることとは同値どうちになる。

性質せいしつ

• 算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつは二に階かい線型せんけい回帰かいき数列すうれつで、斉ひとし次じ線型せんけい漸すすむ化か式しき ${\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}}$ の解かいとして与あたえられる。
• 算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつの「公差こうさ」b は以下いかの式しきで与あたえられる: $$b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.$$
• 算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつの階かい差さ数列すうれつ ${\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}}$ は、公おおやけ比ひ a の幾何きか数列すうれつである。
• 算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつの部分ぶぶん和わの列れつ S_n は三さん階かいの線型せんけい回帰かいき数列すうれつで $$S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}$$ を満足まんぞくする。
• 部分ぶぶん和わの列れつが算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつを成なすような数列すうれつは、それ自身じしんが幾何きか数列すうれつを成なす。

一般いっぱん項こう

a = 1 の場合ばあい

a = 1 のとき、漸やや化か式しきは、 $$u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$ となり、これは算術さんじゅつ数列すうれつの漸すすむ化か式しきであるから、一般いっぱん項こうは $$u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$ となる。

a ≠ 1 の場合ばあい

${\textstyle r={\frac {b}{1-a}}}$ と置おけば、一般いっぱん項こうは $$u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$ で与あたえられる（a = n = 0 のときは 0⁰ = 1 と約束やくそくする）。

平行へいこう移動いどうによる証明しょうめい

まず付随ふずいする函数かんすう x ↦ ax + b に対たいし f(r) = r を満みたす点てん r（f の不動点ふどうてん）を求もとめると、$$ar+b=r\iff r=b/(1-a).$$ と書かける。ここで${\textstyle v_{n}=u_{n}-r}$ と置おけば、漸やや化か式しき u_{n + 1} = au_n + b は v_{n + 1} + r = a(v_n + r) + b から$$v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}$$ となり、数列すうれつ (v_n) は公おおやけ比ひ a の幾何きか数列すうれつを成なす。したがって $$u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.$$

階かい差さによる証明しょうめい

一いち階かいの差分さぶん w_n = u_{n + 1} – u_n をとれば、算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつの線型せんけい漸すすむ化か式しきは $$w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}$$ となり、数列すうれつ (w_n) は公おおやけ比ひ a の幾何きか数列すうれつで、初はつ項こう ${\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b}$ を持もつ。したがって、幾何級数きかきゅうすうの部分ぶぶん和わの公式こうしきから、任意にんいの自然しぜん数すう n に対たいして（n = 0 のときは空そら和わは零れいとする規約きやくを用もちいて）、$$\sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)$$と書かける。これは r = b/(1 – a) と置おけば ${\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)}$ だから、所期しょきの式しき $$u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r$$に達たっする。

定義ていぎ節ぶしの注意ちゅういに従したがえば、より一般いっぱんに: $$u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})$$ と書かける。

部分ぶぶん和わ

a ≠ 1 で、常つねに r = b/(1 – a) と書かくことにすれば、最初さいしょの n 項こう（第だい 0-項こうから第だい (n − 1)-項こうまで）の和わは$$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$$で与あたえられる。

証明しょうめい

前節ぜんせつの一般いっぱん項こうの式しきに従したがえば、幾何きか数列すうれつの部分ぶぶん和わの公式こうしきも用もちいて、$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}$$

これを用もちいて、連続れんぞくする項こうの和わも計算けいさんできる。上うえと同おなじ仮定かていの下した n > p として $$\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r$$ となる。

収束しゅうそく性せい

一般いっぱん項こうおよび幾何きか数列すうれつの収束しゅうそく条件じょうけんから、算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつの極限きょくげんも a の値ね（必要ひつようならば u₀ – r の符号ふごうも）によって決定けっていすることができる（a ≠ 1 のとき r = b/(1 – a) と置おいたことに注意ちゅうい）。

|a| < 1 のときは、数列すうれつの極限きょくげんは初期しょき値ちが何なにであろうと r である。つまり、この場合ばあいの収束しゅうそく性せいは、完全かんぜんに初期しょき条件じょうけんに無関係むかんけいである。このような特徴とくちょうは（ロジスティック列れつのような）非ひ線型せんけい漸すすむ化か式しきが極きわめて初期しょき条件じょうけんに鋭敏えいびんであることと対照たいしょうである。マルコフ鎖くさりにおいて、これは鎖くさりが安定あんてい鎖くさりに収束しゅうそくすることを示しめす。

応用おうよう

算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつは、ある種しゅの人口じんこう変動へんどう（変動へんどう率りつが一定いってい）のモデリングとして現あらわれる。例たとえば、常つねに 10 の流入りゅうにゅうと 5% の流出りゅうしゅつがあることを ${\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}}$ と書かける。

算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつは返済へんさい計画けいかくにも現あらわれる。資本しほん C を月つき率りつ t で借かりて月額げつがく M で分割払ぶんかつばらいする返済へんさい計画けいかくを考かんがえると、n か月げつ後ごに残のこった借金しゃっきん R_n の成なす数列すうれつ (R_n) は漸やや化か式しき ${\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M}$ を満みたし、算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつを成なす。

算術さんじゅつ幾何きか数列すうれつは二に状態じょうたいマルコフ鎖くさりにも現あらわれる。推移すいい確かく率りつ行列ぎょうれつ を $${\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$$ とすると、関係かんけい式しき $$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$$ から ${\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}}$ が得えられ、一方いっぽう ${\textstyle q_{n}=1-p_{n}}$ であったから、代入だいにゅうして $$p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b$$ を得える。

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