体積たいせき積分せきぶん

体積たいせき積分せきぶん(たいせきせきぶん、英えい: volume integral)とは、数学すうがく、特とくに多た変数へんすう解析かいせきにおける用語ようごで、3次元じげん領域りょういき上うえの積分せきぶんを指さす。すなわち、多重たじゅう積分せきぶんの特殊とくしゅな例れいである。積分せきぶんの記号きごうとして∰が用もちいられる。 体積たいせき積分せきぶんは特とくに物理ぶつり学がくにおいて多おおくの応用おうようがなされており、例たとえば流ながれ束たば密度みつどを求もとめることに利用りようされる。

座標ざひょう系けいごとの表示ひょうじ

体積たいせき積分せきぶんは直交ちょっこう座標ざひょう系けいにおける関数かんすう$f(x,y,z)$を領域りょういき$D\subset \mathbb {R} ^{3}$で三重みえ積分せきぶんすることと見みなせるから、一般いっぱんには以下いかのように表あらわせる。

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

また円筒えんとう座標ざひょう系けいでは、以下いかのようになる。

$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.$

球面きゅうめん座標ざひょう系けい(ISOの表記ひょうき法ほうに従したがい、$\varphi$を方位ほうい角かく、 $\theta$を極ごく角かくとする。)では以下いかのようになる。

$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

例れい

3変数へんすう関数かんすう$f(x,y,z)=1$を単位たんい立方体りっぽうたい上うえで積分せきぶんすると以下いかのようになる。

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$

単位たんい立方体りっぽうたいの体積たいせきが1であるという予想よそう通どおりの結果けっかが得えられる。これは自明じめいな例れいだが、体積たいせき積分せきぶんははるかに有用ゆうようである。例たとえば、単位たんい立方体りっぽうたいの密度みつど分布ぶんぷを表あらわすスカラー密度みつど関数かんすうを体積たいせき積分せきぶんすることにより、その単位たんい立方体りっぽうたいの質量しつりょうを得えることができる。ここでは以下いかの密度みつど関数かんすうを考かんがえる。

${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$

このような密度みつど関数かんすうを持もつ単位たんい立方体りっぽうたいの質量しつりょうは以下いかで得えられる。

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$

関連かんれん項目こうもく

• 発散はっさん定理ていり
• 面積めんせき分ぶん
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