出典 しゅってん 列挙 れっきょ 脚注 きゃくちゅう 用 もち どの記述 きじゅつ 情報 じょうほう 源 げん 明記 めいき してください。記事 きじ 信頼 しんらい 性 せい 向上 こうじょう 協力 きょうりょく 願 ねが （2022年 ねん 月 がつ ）
数学 すうがく 複雑 ふくざつ 形状 けいじょう 曲線 きょくせん 弧状 こじょう 線分 せんぶん 弧 こ 長 ちょう 英 えい arc length 決定 けってい 問題 もんだい 曲線 きょくせん 求 もとめ 長 ちょう (rectification) とも呼 よ 特定 とくてい 曲線 きょくせん 対 たい 求 もとめ 長 ちょう 法 ほう 歴史 れきし 的 てき 様々 さまざま 考 かんが 無限 むげん 小 しょう 解析 かいせき 到来 とうらい 曲線 きょくせん 依 よ 一般 いっぱん 論 ろん 導 みちび 場合 ばあい 閉 と 形 かたち 式 しき （英語 えいご 版 ばん 得 え
複数 ふくすう 線分 せんぶん 近似 きんじ 平面 へいめん 内 うち 曲線 きょくせん 曲線 きょくせん 上 じょう 有限 ゆうげん 個 こ 点 てん 線分 せんぶん 結 むす 得 え 折線 おれせん 近似 きんじ 各 かく 線分 せんぶん 長 なが 空間 くうかん ピタゴラスの定理 ていり などから直接 ちょくせつ 求 もと 近似 きんじ 折線 おれせん 総 そう 延長 えんちょう 線分 せんぶん 長 なが 総和 そうわ 決定 けってい
考 かんが 曲線 きょくせん 折線 おれせん 用 もち 線分 せんぶん 長 なが 短 みじか 数 かず 増 ふ 曲線 きょくせん 近 ちか 形 かたち 折線 おれせん 近似 きんじ 得 え 近似 きんじ 折線 おれせん 次々 つぎつぎ 長 なが 減 へ 場合 ばあい 無制限 むせいげん 増加 ぞうか 続 つづ 可能 かのう 性 せい 殊 こと 滑 なめ 曲線 きょくせん 限 かぎ 線分 せんぶん 長 なが 無限 むげん 小 ちい 極限 きょくげん 必 かなら 一定 いってい 極限 きょくげん 値 ち 収斂 しゅうれん 種 しゅ 曲線 きょくせん 対 たい 任意 にんい 近似 きんじ 折線 おれせん 長 なが 上 うえ 界 かい 最小 さいしょう 値 ち L 存在 そんざい 曲線 きょくせん 有限 ゆうげん 長 ちょう 値 ね L 曲線 きょくせん 弧 こ 長 ちょう 呼 よ
X ユークリッド空間 くうかん R n 一般 いっぱん 距離 きょり 空間 くうかん C 空間 くうかん X 内 うち 曲線 きょくせん C 実数 じっすう 直線 ちょくせん 内 うち 閉区間 あいだ [a , b ] から X 連続 れんぞく 写像 しゃぞう f : [a , b ] → X 像 ぞう
区間 くかん [a , b ] に対 たい 区間 くかん 分割 ぶんかつ
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
n
−
1
<
t
n
=
b
{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b}
を考 かんが 曲線 きょくせん C 上 うえ 有限 ゆうげん 個 こ 点 てん f (t 0 ), f (t 1 ), ... , f (t n -1f (t n f (t i f (t i +1距離 きょり d (f (t i d (f (t i +1表 あらわ 点 てん 結 むす 線分 せんぶん 長 なが
曲線 きょくせん C 弧 こ 長 ちょう L = L (C )
L
(
C
)
=
sup
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
n
=
b
∑
i
=
0
n
−
1
d
(
f
(
t
i
)
,
f
(
t
i
+
1
)
)
{\displaystyle L(C)=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
で与 あた 上限 じょうげん sup は区間 くかん [a , b ] の分割 ぶんかつ 個数 こすう n 大 おお 分割 ぶんかつ 亘 わた
弧 こ 長 ちょう L 有限 ゆうげん 無限 むげん L ≠ ∞C 有限 ゆうげん 長 ちょう rectifiable 求 もとめ 長 ちょう 可能 かのう [注 ちゅう 無限 むげん 長 ちょう non-rectifiable 求 もとめ 長 ちょう 不能 ふのう 弧 こ 長 ちょう 定義 ていぎ C 可 か 微分 びぶん 函数 かんすう f 定義 ていぎ 必要 ひつよう 実際 じっさい 一般 いっぱん 距離 きょり 空間 くうかん 上 じょう 考 かんが 場合 ばあい 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい 定義 ていぎ 一般 いっぱん 期待 きたい
曲線 きょくせん 様々 さまざま 方法 ほうほう 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 曲線 きょくせん C 定義 ていぎ 写像 しゃぞう f 以外 いがい 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ g : [c , d ] → X 持 も 場合 ばあい 考 かんが f g 単 たん 射 い 連続 れんぞく 単調 たんちょう 写像 しゃぞう S : [a , b ] → [c , d ]存在 そんざい g (S (t )) = f (t )成 な 立 た 逆 ぎゃく 写像 しゃぞう S -1 : [c , d ] → [a , b ]存在 そんざい 明 あき 任意 にんい
∑
i
=
0
n
−
1
d
(
f
(
t
i
)
,
f
(
t
i
+
1
)
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
の形 かたち 和 わ u i S (t i
∑
i
=
0
n
−
1
d
(
g
(
u
i
)
,
g
(
u
i
+
1
)
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(g(u_{i}),g(u_{i+1}))}
の形 かたち 和 わ 等 ひと 逆 ぎゃく 同様 どうよう 従 したが 弧 こ 長 ちょう 媒介 ばいかい 変数 へんすう 取 と 方 かた 依 よ 意味 いみ 曲線 きょくせん 内在 ないざい 性質 せいしつ
曲線 きょくせん 対 たい 弧 こ 長 ちょう 定義 ていぎ 実 じつ 数値 すうち 函数 かんすう 対 たい 全 ぜん 変 へん 分 ぶん 全 ぜん 変動 へんどう 定義 ていぎ 類似 るいじ
実 じつ 函数 かんすう f (x )f 導 しるべ 函数 かんすう f ’間 あいだ [a , b ] 上 うえ 連続 れんぞく 函数 かんすう 考 かんが f x = a x = b 間 あいだ 弧 こ 長 ちょう s
s
=
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
で与 あた
曲線 きょくせん x = X (t )y = Y (t )媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 場合 ばあい f ’(x ) = dy / dx dy / dt / dx / dt
s
=
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
=
∫
a
b
1
+
[
Y
′
(
t
)
X
′
(
t
)
]
2
d
x
=
∫
a
b
1
X
′
(
t
)
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
x
=
∫
a
b
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
x
⋅
d
t
d
x
=
∫
X
−
1
(
a
)
X
−
1
(
b
)
[
X
′
(
t
)
]
2
+
[
Y
′
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}}
が成 な 立 た 十分 じゅうぶん 小 ちい 増分 ぞうぶん Δ でるた Δ でるた 対 たい 距離 きょり 公式 こうしき 求 もと 式 しき Δ でるた Δ でるた 代 か 極限 きょくげん 取 と 考 かんが
また、極座標 きょくざひょう 系 けい r = f (θ しーた 定義 ていぎ 函数 かんすう θ しーた α あるふぁ θ しーた β べーた 間 あいだ 弧 こ 長 ちょう s
s
=
∫
α あるふぁ
β べーた
r
2
+
(
d
r
d
θ しーた
)
2
d
θ しーた
{\displaystyle s=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{\!\!2}}}\,d\theta }
で与 あた
単純 たんじゅん 曲線 きょくせん 含 ふく 多 おお 場合 ばあい 弧 こ 長 ちょう 閉 と 形 かたち 式 しき （英語 えいご 版 ばん 得 え 積分 せきぶん 数値 すうち 的 てき 行 おこな 弧 こ 長 ちょう 閉 と 形 かたち 公式 こうしき 持 も 曲線 きょくせん 懸垂 けんすい 線 せん 円 えん 擺線 、対数 たいすう 螺旋 らせん 抛物線 ほうぶつせん 半 はん 立方 りっぽう 抛物線 ほうぶつせん （英語 えいご 版 ばん 直線 ちょくせん 挙 あ 楕円 だえん 弧 こ 長 ちょう 閉 と 形 かたち 式 しき 導 みちび 試 こころ 楕円 だえん 積分 せきぶん 理論 りろん 発展 はってん
曲線 きょくせん 小片 しょうへん Δ でるた ピタゴラスの定理 ていり を使 つか 近似 きんじ 曲線 きょくせん 弧 こ 長 ちょう 近似 きんじ 曲線 きょくせん 線分 せんぶん 分解 ぶんかい 弧 こ 長 ちょう 長 なが 近似 きんじ 値 ち 真 しん 値 ね 得 え 無限 むげん 多 おお 線分 せんぶん 必要 ひつよう 各 かく 線分 せんぶん 無限 むげん 小 ちい 意味 いみ 後 のち 積分 せきぶん 用 もち 際 さい 効 き
線分 せんぶん 代表 だいひょう 元 もと 見 み 長 なが 線 せん 素 もと 微分 びぶん ds 確認 かくにん 変位 へんい 水平 すいへい 成分 せいぶん dx 垂直 すいちょく 成分 せいぶん dy 表 あらわ ピタゴラスの定理 ていり から
d
s
=
d
2
x
+
d
2
y
{\displaystyle ds={\sqrt {d^{2}x+d^{2}y}}}
が従 したが 曲線 きょくせん 媒介 ばいかい 変数 へんすう t 表 あらわ 弧 こ 長 ちょう 線 せん 素 もと ds 無限 むげん 小 しょう 区間 くかん dt 亘 わた 次々 つぎつぎ 足 た 合 あ 積分 せきぶん
∫
a
b
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}+{\Bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dt}
によって弧 こ 長 ちょう s 求 もと y x 函数 かんすう t = x
s
=
∫
a
b
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx}
を得 え y = f (x )x = a x = b 弧 こ 長 ちょう 与 あた
曲線 きょくせん y = t 5 , x = t 3 線 せん 素 もと 例 れい 曲線 きょくせん
{
y
=
t
5
,
x
=
t
3
{\displaystyle {\begin{cases}y=t^{5},\\x=t^{3}\end{cases}}}
で与 あた t が −1 から 1 までの値 ね 弧 こ 長 ちょう 表 あらわ 積分 せきぶん
∫
−
1
1
(
3
t
2
)
2
+
(
5
t
4
)
2
d
t
=
∫
−
1
1
9
t
4
+
25
t
8
d
t
≈
2.9053418626
⋯
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {(3t^{2})^{2}+(5t^{4})^{2}}}\,dt=\int _{-1}^{1}{\sqrt {9t^{4}+25t^{8}}}\,dt\approx 2.9053418626\cdots }
となる。数値 すうち 計算 けいさん 弧 こ 長 ちょう 近 ちか 超 ちょう 幾何 きか 函数 かんすう 用 もち 表 あらわ
2
2
F
1
(
−
1
2
,
3
4
;
7
4
;
−
25
9
)
{\displaystyle 2\,{}_{2}F_{1}\!\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {7}{4}};-{\frac {25}{9}}\right)}
になる。
複数 ふくすう 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 斜辺 しゃへん 曲線 きょくせん 近似 きんじ 函数 かんすう y = f (x )与 あた 曲線 きょくせん 求 もとめ 長 ちょう 可能 かのう 仮定 かてい 曲線 きょくせん 上 じょう 点 てん a b f 沿 そ 弧 こ 長 ちょう S 近似 きんじ 斜辺 しゃへん 連結 れんけつ 曲線 きょくせん 弧 こ 被覆 ひふく 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 列 れつ 構成 こうせい 簡単 かんたん 全 すべ 三角形 さんかっけい 底辺 ていへん 等 ひと Δ でるた 各々 おのおの 三角形 さんかっけい 対 たい 高 たか Δ でるた 対応 たいおう 斜辺 しゃへん 長 なが ピタゴラスの定理 ていり により
Δ でるた
x
2
+
Δ でるた
y
2
=
1
+
(
Δ でるた y
Δ でるた x
)
2
Δ でるた x
{\displaystyle {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x}
と与 あた S 近似 きんじ n 個 こ 斜辺 しゃへん 長 なが 和 わ
S
≈
∑
i
=
1
n
1
+
(
Δ でるた
y
i
Δ でるた
x
i
)
2
Δ でるた
x
i
{\displaystyle S\approx \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}}
と書 か Δ でるた 小 ちい 取 と 近似 きんじ 精度 せいど 上 あ Δ でるた 0 に近 ちか 極限 きょくげん S 等 ひと
S
=
lim
Δ でるた
x
i
→
0
∑
i
=
1
∞
1
+
(
Δ でるた
y
i
Δ でるた
x
i
)
2
Δ でるた
x
i
=
∫
a
b
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
=
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle S=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
が得 え
円弧 えんこ 長 なが 中心 ちゅうしん 角 かく 周 しゅう 角 かく 割 わ 周 しゅう 長 ちょう 一致 いっち 半径 はんけい r 直径 ちょっけい d 円 えん 周 しゅう 長 ちょう C = 2π ぱい r C = π ぱい d 角度 かくど ラジアン で測 はか 半径 はんけい r 弧 こ 見込 みこ 角 かく θ しーた 弧 こ 長 ちょう s = rθ しーた 与 あた 弧 こ 長 ちょう s 表 あらわ 角 かく 弧 こ 見込 みこ subtend 由来 ゆらい 特 とく 半円 はんえん 弧 こ 長 ちょう s = π ぱい r s 単位 たんい 半径 はんけい 単位 たんい 同 おな
数学 すうがく 史 し 大半 たいはん 時期 じき 偉大 いだい 思想家 しそうか 特異 とくい 弧 こ 長 なが 計算 けいさん 不可能 ふかのう 考 かんが 窄出法 ほう （積 せき 尽 つき 法 ほう 呼 よ 独自 どくじ 方法 ほうほう 用 もち 曲線 きょくせん 囲 かこ 領域 りょういき 面積 めんせき 求 もと 先駆 せんく 者 しゃ アルキメデス でさえも、直線 ちょくせん 持 も 同様 どうよう 確 たし 長 なが 曲線 きょくせん 持 も 可能 かのう 信 しん 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 起源 きげん 考 かんが 分野 ぶんや 開拓 かいたく 最初 さいしょ 足掛 あしが 近似 きんじ 法 ほう 用 もち 人々 ひとびと 曲線 きょくせん 内接 ないせつ 多角 たかく 形 がた 考 かんが 辺 あたり 長 なが 曲線 きょくせん 幾分 いくぶん 精密 せいみつ 長 なが 知 し 計算 けいさん 始 はじ 線分 せんぶん 数 かず 増 ふ 各 かく 線分 せんぶん 長 なが 記述 きじゅつ 精密 せいみつ 近似 きんじ 得 え 特 とく 円 えん 内接 ないせつ 多角 たかく 形 がた 辺 あたり 数 かず 増 ふ 円周 えんしゅう 率 りつ π ぱい 近似 きんじ 値 ち 求 もと
17世紀 せいき 法 ほう 基 もと 様々 さまざま 超越 ちょうえつ 曲線 きょくせん 関 かん 幾何 きか 学 がく 的 てき 方法 ほうほう 求 もとめ 長 ちょう 法 ほう 導 みちび 例 たと 対数 たいすう 螺旋 らせん 年 ねん トリチェリ によって（文献 ぶんけん 年代 ねんだい ウォリス によって）、擺線 は1658年 ねん レン によって、懸垂 けんすい 線 せん 年 ねん ライプニッツ によって、それぞれ求 もとめ 長 ちょう
1659年 ねん ウィリアム・ニール による非 ひ 自明 じめい 代数 だいすう 曲線 きょくせん 最初 さいしょ 求 もとめ 長 ちょう 法 ほう 発見 はっけん 認 みと 半 はん 立方 りっぽう 抛物線 ほうぶつせん 求 もとめ 長 ちょう 成 な
微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 完全 かんぜん 厳密 げんみつ 展開 てんかい 以前 いぜん 弧 こ 長 ちょう 対 たい 現代 げんだい 的 てき 積分 せきぶん 公式 こうしき 基礎 きそ ファン・ヘラート （オランダ語 ご 版 ばん ） フェルマー によって独立 どくりつ 発見 はっけん 年 ねん 曲線 きょくせん 囲 かこ 面積 めんせき 実質 じっしつ 的 てき 積分 せきぶん 弧 こ 長 ちょう 解釈 かいしゃく 示 しめ 構成 こうせい 法 ほう 公表 こうひょう 放物線 ほうぶつせん 適用 てきよう 一方 いっぽう 年 ねん 同 おな 結果 けっか 含 ふく 一般 いっぱん 理論 りろん 著書 ちょしょ De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica 曲線 きょくせん 直線 ちょくせん 比較 ひかく 幾何 きか 学 がく 的 てき 論述 ろんじゅつ 出版 しゅっぱん
フェルマーの求 もとめ 長 ちょう 法 ほう フェルマーはそれまでの自身 じしん 接線 せっせん 用 もち 方法 ほうほう 基 もと 曲線 きょくせん
y
=
x
2
3
{\displaystyle y=x^{\frac {2}{3}}}
を用 もち x = a 接線 せっせん 傾 かたむ
3
2
a
1
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\,a^{\frac {1}{2}}}
を持 も 接線 せっせん 方程式 ほうていしき
y
=
3
2
a
1
2
(
x
−
a
)
+
f
(
a
)
{\displaystyle y={\tfrac {3}{2}}\,{a^{\frac {1}{2}}}(x-a)+f(a)}
で与 あた a a + ε いぷしろん 変更 へんこう 線分 せんぶん AC が A から D までの曲線 きょくせん 弧 こ 長 ちょう 比較的 ひかくてき 近似 きんじ 線分 せんぶん AC の長 なが 求 もと ピタゴラスの定理 ていり を用 もち
A
C
2
=
A
B
2
+
B
C
2
=
ε いぷしろん
2
+
9
4
a
ε いぷしろん
2
=
ε いぷしろん
2
(
1
+
9
4
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AC} ^{2}&=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {BC} ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{\frac {9}{4}}\,a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{\frac {9}{4}}\,a\right)\end{aligned}}}
から、両辺 りょうへん 平方根 へいほうこん
A
C
=
ε いぷしろん
1
+
9
4
a
{\displaystyle \mathrm {AC} =\varepsilon {\sqrt {1+{\frac {9}{4}}\,a\ }}}
を得 え 弧 こ 長 ちょう 近似 きんじ 小 しょう 線分 せんぶん 列 れつ 足 た 上 あ
コッホ曲線 きょくせん x sin(1 / x 既 すで 述 の 曲線 きょくせん 中 なか 求 もとめ 長 ちょう 不能 ふのう 折線 おれせん 近似 きんじ 長 なが 上 うえ 界 かい 長 なが 大 おお 存在 そんざい 少 すこ 砕 くだ 表現 ひょうげん 曲線 きょくせん 長 なが 無限 むげん 大 だい 曲線 きょくせん 上 じょう 少 すく 二 に 点 てん 以上 いじょう 含 ふく 任意 にんい 弧 こ 無限 むげん 長 ちょう 持 も 連続 れんぞく 曲線 きょくせん 存在 そんざい 曲線 きょくせん 例 れい コッホ曲線 きょくせん や、0 をいずれかの端点 たんてん 任意 にんい 開 ひらき 区間 くかん 上 じょう f (x ) = x sin(1 / x f (0) = 0定義 ていぎ 函数 かんすう 無限 むげん 長 ちょう 曲線 きょくせん 大 おお 測 はか ハウスドルフ次元 じげん やハウスドルフ測度 そくど （英語 えいご 版 ばん 用 もち
M （擬 なずらえ 多様 たよう 体 たい とし、γ がんま M M 内 うち 曲線 きょくせん g 擬 なずらえ 計量 けいりょう 曲線 きょくせん γ がんま 長 なが
ℓ
(
γ がんま )
=
∫
0
1
±
g
(
γ がんま ′
(
t
)
,
γ がんま ′
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {\pm g(\gamma '(t),\gamma '(t))}}\,dt}
と定義 ていぎ γ がんま t ) ∈ T γ がんま t )M γ がんま t 接 せっ 根号 こんごう 内 ない 符号 ふごう 与 あた 曲線 きょくせん 正方 せいほう 根 ね 実数 じっすう 保証 ほしょう 選 えら 空間 くうかん 様 さま 曲 きょく 線 せん 対 たい 正 せい 符号 ふごう 擬 なずらえ 多様 たよう 体 たい 時間 じかん 様 さま 曲 きょく 線 せん 対 たい 負 まけ 符号 ふごう 選 えら
相対性理論 そうたいせいりろん 時間 じかん 様 さま 曲線 きょくせん 世界 せかい 線 せん 弧 こ 長 ちょう 世界 せかい 線 せん 沿 そ 経過 けいか 固有 こゆう 時 じ
^ このような曲線 きょくせん 長 なが 曲線 きょくせん rectifiable curve ) ということがある[1]
^ 一松 いちまつ 信 しん 解析 かいせき 学 がく 序説 じょせつ 上巻 じょうかん 裳 も 華 はな 房 ぼう 年 ねん 月 がつ 日 にち 頁 ぺーじ
Farouki, Rida T. (1999). Curves from motion, motion from curves. In P-J. Laurent, P. Sablonniere, and L. L. Schumaker (Eds.), Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999 , pp.63–90, Vanderbilt Univ. Press. ISBN 0-8265-1356-5 .
![{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b05f8c5aa910b4bb893560dd67ff90c00c7fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0399f04725f1187d840bdd06f728cb75d5254d4e)
![{\displaystyle S=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26f91dc082db734fb650de01e72ecf0ec5048a)
