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実 じつ 数値 すうち 関数 かんすう 英 えい real-valued function ）とは、値 ね 実数 じっすう 与 あた 関数 かんすう 定義 ていぎ 域 いき 元 もと 対 たい 実数 じっすう 割 わ 当 あ 関数 かんすう 特 とく 定義 ていぎ 域 いき 実数 じっすう 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 実 じつ 変数 へんすう 実 じつ 数値 すうち 関数 かんすう 実 じつ 関数 かんすう 英 えい real function ）という。
多 おお 重要 じゅうよう 関数 かんすう 空間 くうかん 実 じつ 数値 すうち 関数 かんすう 定義 ていぎ
X を任意 にんい 集合 しゅうごう F (X , R )X から R 関数 かんすう 全体 ぜんたい 集合 しゅうごう 表 あらわ R 可 か 換 かわ 体 からだ F (X , R )ベクトル空間 くうかん であり、実数 じっすう 上 うえ 結合 けつごう 多元 たげん 環 たまき 以下 いか 定義 ていぎ
ベクトル和 わ : f + g : x ↦ f (x ) + g (x )加法 かほう 単位 たんい 元 もと 0 : x ↦ 0スカラーとの積 せき cf : x ↦ cf (x ), c ∈ R
各 かく 点 てん 積 せき fg : x ↦ f (x )g (x )また、R 順序 じゅんじょ 集合 しゅうごう F (X , R )以下 いか 半 はん 順序 じゅんじょ 入 はい
f
≤
g
⟺
∀
x
:
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
.
{\displaystyle \ f\leq g\iff \forall x\colon f(x)\leq g(x).}
これによって、F (X , R )半 はん 順序 じゅんじょ 環 たまき （英語 えいご 版 ばん
ボレル集合 しゅうごう の σ しぐま 代数 だいすう 実数 じっすう 上 うえ 定義 ていぎ 重要 じゅうよう 構造 こうぞう X が σ しぐま 代数 だいすう 持 も 関数 かんすう f が、すべてのボレル集合 しゅうごう B に対 たい 原 はら 像 ぞう f −1 (B )X の σ しぐま 代数 だいすう 属 ぞく f は可 か 測 はか 可 か 測 はか 関数 かんすう 説明 せつめい 空間 くうかん 代数 だいすう
実数 じっすう 位相 いそう 空間 くうかん 完備 かんび 距離 きょり 空間 くうかん 連続 れんぞく 実 じつ 数値 すうち 関数 かんすう 暗黙 あんもく X が位相 いそう 空間 くうかん 主張 しゅちょう 位相 いそう 空間 くうかん 距離 きょり 空間 くうかん 理論 りろん 重要 じゅうよう 極 きょく 値 ち 定理 ていり コンパクト空間 くうかん 上 うえ 連続 れんぞく 実 じつ 数値 すうち 関数 かんすう 極小 きょくしょう 極大 きょくだい 大域 たいいき 的 てき 最小 さいしょう 値 ち 最大 さいだい 値 ち 存在 そんざい 主張 しゅちょう
