緯度 いど 角 かく
ϕ
{\displaystyle \phi }
対応 たいおう 弧 こ 子午線 しごせん 弧 こ 子午線 しごせん 弧 こ 測地 そくち 学 がく 地球 ちきゅう 表面 ひょうめん 地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい 沿 そ 子午線 しごせん 経線 けいせん 弧 こ 指 さ 子午線 しごせん 楕円 だえん 弧 こ 南北 なんぼく 方向 ほうこう 延 の 測地 そくち 線 せん
天文学 てんもんがく 地点 ちてん 天文 てんもん 緯度 いど 測定 そくてい 子午線 しごせん 弧 こ 長 なが 結合 けつごう 地球 ちきゅう 円周 えんしゅう 半径 はんけい 決定 けってい 始 はじ 紀元前 きげんぜん 世紀 せいき エジプト のエラトステネス で、地球 ちきゅう 球体 きゅうたい 定量 ていりょう 的 てき 示 しめ
緯度 いど 差 さ 分 ぶん 相当 そうとう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 海 うみ 里 さと 定義 ていぎ 参考 さんこう
エラトステネスによる子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 推定 すいてい [ 編集 へんしゅう ] アレクサンドリア の科学 かがく 者 しゃ エラトステネス による測定 そくてい 地球 ちきゅう 大円 だいえん 周 しゅう 長 ちょう 計算 けいさん 最初 さいしょ 彼 かれ 夏至 げし 正午 しょうご 太陽 たいよう 古代 こだい 都市 とし 現在 げんざい アスワン ）で天頂 てんちょう 通過 つうか 知 し 一方 いっぽう 彼 かれ 自身 じしん 測定 そくてい 結果 けっか 彼 かれ 居住 きょじゅう 地 ち 同 どう 時刻 じこく 太陽 たいよう 天頂 てんちょう 距離 きょり 天球 てんきゅう 大 だい 円周 えんしゅう 長 ちょう 日時計 ひどけい 作 つく 角度 かくど 既知 きち 天球 てんきゅう 地球 ちきゅう 同心 どうしん 真 ま 北 きた 間 あいだ 距離 きょり 地球 ちきゅう 大 だい 円周 えんしゅう 長 ちょう 結論 けつろん 隊商 たいしょう 往来 おうらい 日数 にっすう 使 つか 彼 かれ 間 あいだ 距離 きょり スタディア であると推定 すいてい
この結果 けっか 地球 ちきゅう 周 しゅう 長 ちょう 意味 いみ 単位 たんい アッティカ スタディオン (185m) と仮定 かてい 相当 そうとう 現在 げんざい 値 ね 約 やく 大 おお 使 つか 彼 かれ 測定 そくてい 値 ち 程度 ていど 誤差 ごさ 分 わ 幾何 きか 設定 せってい 古代 こだい 状況 じょうきょう 斟酌 しんしゃく 誤差 ごさ 称賛 しょうさん 値 あたい
シエネは、正確 せいかく 真 ま 南 みなみ 太陽 たいよう 軌道 きどう 想定 そうてい 傾 かたむ ナイル川 がわ に沿 そ 砂漠 さばく 行旅 こうりょ 陸路 りくろ 距離 きょり 程度 ていど 誤差 ごさ
エラトステネスによる地球 ちきゅう 形状 けいじょう 見積 みつ 後 ご 何 なん 百 ひゃく 年 ねん 間 あいだ 受 う 入 い 年 ねん 後 ご ポセイドニオス が同様 どうよう 方法 ほうほう ロドス島 とう 間 あいだ 緯度 いど 差 さ 測定 そくてい 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 船 ふね 速度 そくど 航海 こうかい 期間 きかん 仮想 かそう 的 てき 割 わ 出 だ 地球 ちきゅう 周 しゅう 長 ちょう 算出 さんしゅつ 試 こころ
中世 ちゅうせい 近世 きんせい 子午線 しごせん 弧 こ 測量 そくりょう [ 編集 へんしゅう ] 8世紀 せいき に入 はい 中国 ちゅうごく 子午線 しごせん 計測 けいそく 行 おこな 玄 げん 宗 むね 新暦 しんれき 編纂 へんさん 勅命 ちょくめい 受 う 僧 そう 一 いち 行 ぎょう 鉄 てつ 交州 にかけての測量 そくりょう 実施 じっし 緯度 いど 度 ど 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 里 さと 歩 ほ 約 やく 算出 さんしゅつ 算定 さんてい 実際 じっさい 誤差 ごさ 9世紀 せいき 前期 ぜんき アッバース朝 あさ 第 だい 代 だい カリフ であるアル＝マアムーン の命 いのち アル＝フワーリズミー がシンジャール平原 へいげん 実施 じっし 角度 かくど 測量 そくりょう 多少 たしょう 良 よ 結果 けっか 算出 さんしゅつ ヨーロッパ では、それまで子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 測量 そくりょう 行 おこな 記録 きろく 残 のこ 14世紀 せいき にジョン・マンデヴィル が編纂 へんさん The Travels of Sir John Mandeville 大場 おおば 正史 せいし 訳 わけ 東方 とうほう 旅行 りょこう 記 き 東洋文庫 とうようぶんこ 第 だい 巻 かん 平凡社 へいぼんしゃ ISBN 9784582800197 ）において地球 ちきゅう 球形 きゅうけい 言及 げんきゅう 程度 ていど 16世紀 せいき になって、もともと医師 いし 生理学 せいりがく 者 しゃ 天文学 てんもんがく 数学 すうがく 関心 かんしん 持 も ジャン・フェルネル （フランス語 ふらんすご 版 ばん 英語 えいご 版 ばん 経度 けいど 等 ひと パリ -アミアン 間 あいだ 緯度 いど 差 さ 度 ど 上 うえ 荷車 にぐるま 車軸 しゃじく 回転 かいてん 数 すう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 決定 けってい 著書 ちょしょ Ioannis Fernelii Ambianatis Cosmotheoria, libros duos complexa 書 か
1615年 ねん には三角 さんかく 測量 そくりょう 最初 さいしょ 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 測量 そくりょう ヴィレブロルト・スネル により行 おこな 測量 そくりょう 結果 けっか 数 すう 誤差 ごさ 約 やく 半 はん 世紀 せいき 後 ご 1669年 ねん にジャン・ピカール が本格 ほんかく 的 てき 三角 さんかく 測量 そくりょう 行 おこな 緯度 いど 差 さ 度 ど 相当 そうとう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 程度 ていど 精度 せいど 測定 そくてい 頃 ころ 辺 あた 地球 ちきゅう 形状 けいじょう 真 しん 球 だま 前提 ぜんてい 下 した 議論 ぎろん 行 おこな
フランス科学 かがく 遠征 えんせい 隊 たい 派遣 はけん [ 編集 へんしゅう ] ピカールによる測量 そくりょう 以降 いこう 測量 そくりょう 精度 せいど 向上 こうじょう 地球 ちきゅう 正確 せいかく 形状 けいじょう 問題 もんだい 顕在 けんざい 化 か 地球 ちきゅう 正確 せいかく 真 しん 球 だま 回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい 考 かんが 意見 いけん 多 おお 長 ちょう 球 たま 扁 ひらた 球 だま 議論 ぎろん 分 わ ジャック・カッシーニ は、1713年 ねん に自 みずか 行 おこな ペルピニャン 間 あいだ 測量 そくりょう 結果 けっか 地球 ちきゅう 大 おお 形状 けいじょう De la grandeur et de la figure de la terre 1720年 ねん ）に取 と 結果 けっか ルネ・デカルト の渦動 かどう 説 せつ 地球 ちきゅう 南北 なんぼく 長 なが 長 ちょう 球 たま 提唱 ていしょう 一方 いっぽう 振 ふ 子 こ 時計 とけい 赤道 あかみち 付近 ふきん 持 も 遅 おそ ジャン・リシェ による報告 ほうこく 推測 すいそく アイザック・ニュートン が発表 はっぴょう 万有引力 ばんゆういんりょく 理論 りろん 赤道 あかみち 方向 ほうこう 長 なが 扁 ひらた 球 だま 主張 しゅちょう 学者 がくしゃ 多数 たすう
これを受 う 世紀 せいき 半 なか 1735年 ねん ～1740年 ねん ）には、フランス科学 かがく が、地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい 形状 けいじょう 論争 ろんそう 決着 けっちゃく 赤道 せきどう 近傍 きんぼう 北極 ほっきょく 近傍 きんぼう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 比較 ひかく 測量 そくりょう 事業 じぎょう ピエール・ブーゲ 、ルイ・ゴダン 、シャルル＝マリー・ド・ラ・コンダミーヌ 、ピエール・ルイ・モーペルテュイ 及 およ アントニオ・デ・ウジョーア らによってペルー （現在 げんざい エクアドル ）[1] ラップランド （トルネ谷 だに ）で実行 じっこう
測量 そくりょう 結果 けっか 地域 ちいき 同 どう 緯度 いど 差 さ 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 対 たい 有意 ゆうい 差 さ 示 しめ 極 ごく 付近 ふきん 弧 こ 長 ちょう 赤道 せきどう 付近 ふきん 弧 こ 長 ちょう 大 おお 赤道 せきどう 付近 ふきん 極 ごく 付近 ふきん 曲 きょく 率 りつ 大 おお 示唆 しさ 1687年 ねん にニュートンが彼 かれ 著書 ちょしょ 自然 しぜん 哲学 てつがく 数学 すうがく 的 てき 諸 しょ 原理 げんり 第 だい 巻 かん 提唱 ていしょう 地球 ちきゅう 数学 すうがく 的 てき 形状 けいじょう 扁 ひらた 球 だま 解釈 かいしゃく 確認 かくにん 得 え 測量 そくりょう 結果 けっか 不正確 ふせいかく 彼 かれ 弟子 でし ニコラ・ルイ・ド・ラカーユ が1739年 ねん から2年 ねん 費 つい 再 さい 測量 そくりょう 行 おこな 確認 かくにん
18世紀 せいき 後半 こうはん フランス科学 かがく によってダンケルク -バルセロナ 間 あいだ 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 測量 そくりょう 行 おこな メートル の定義 ていぎ 使 つか
伊能 いのう 忠敬 ちゅうけい 子午線 しごせん 弧 こ 測量 そくりょう [ 編集 へんしゅう ] 日本 にっぽん 伊能 いのう 忠敬 ちゅうけい 第 だい 二 に 次 じ 測量 そくりょう 年 ねん 結果 けっか 緯度 いど 度 ど 相当 そうとう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 里 さと 導 みちび 出 だ
子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 計算 けいさん [ 編集 へんしゅう ] 地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい 基 もと 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 計算 けいさん 地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 特 とく 横 よこ 図法 ずほう ガウス・クリューゲル図法 ずほう ）において重要 じゅうよう 役割 やくわり 果 は 面 めん 上 じょう 二 に 点 てん 間 あいだ 測地 そくち 線 せん 距離 きょり 最短 さいたん 距離 きょり 求 もと 問題 もんだい 帰着 きちゃく
赤道 あかみち 地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
φ ふぁい )
{\displaystyle S(\varphi )\,}
楕円 だえん 積分 せきぶん 含 ふく 初等 しょとう 関数 かんすう 表 あらわ
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
一 いち 次 じ 単項式 たんこうしき
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
偶数 ぐうすう 倍 ばい 位相 いそう 正弦 せいげん 高調 こうちょう 波 は 無限 むげん 級数 きゅうすう 一般 いっぱん 式 しき 書 か 表 あらわ 指定 してい 次数 じすう 打 う 切 き 有限 ゆうげん 級数 きゅうすう 形 かたち 近似 きんじ 計算 けいさん 用 もち
第 だい 三 さん 離 はなれ 心 しん 率 りつ 用 もち 一般 いっぱん 式 しき [ 編集 へんしゅう ] オイラー は1755年 ねん に第 だい 三 さん 離 はなれ 心 しん 率 りつ
e
′
′
{\displaystyle e^{\prime \prime }\,}
二乗 にじょう 微小 びしょう 量 りょう 用 もち 無限 むげん 級数 きゅうすう 一般 いっぱん 式 しき 得 え
第 だい 一 いち 離 はなれ 心 しん 率 りつ 用 もち 表 ひょう 式 しき [ 編集 へんしゅう ] 地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい 長 ちょう 半径 はんけい
a
{\displaystyle a\,}
第 だい 一 いち 離 はなれ 心 しん 率 りつ
e
{\displaystyle e\,}
子午線 しごせん 曲 きょく 率 りつ 半径 はんけい [2]
M
φ ふぁい
=
a
(
1
−
e
2
)
(
1
−
e
2
sin
2
φ ふぁい
)
3
/
2
{\displaystyle M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,}
赤道 あかみち 地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
φ ふぁい )
{\displaystyle S(\varphi )\,}
以下 いか
M
φ ふぁい
{\displaystyle M_{\varphi }}
部分 ぶぶん 積分 せきぶん 与 あた
S
(
φ ふぁい )
=
∫
0
φ ふぁい
M
θ しーた
d
θ しーた =
a
(
1
−
e
2
)
Π ぱい (
e
2
;
φ ふぁい ,
e
)
{\displaystyle S(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }\mathrm {d} \theta =a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,e)}
歴史 れきし 的 てき 広 ひろ 用 もち
S
(
φ ふぁい )
{\displaystyle S(\varphi )\,}
無限 むげん 級数 きゅうすう 一般 いっぱん 式 しき ジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブル が1799年 ねん に公表 こうひょう 共通 きょうつう 係数 けいすう 率直 そっちょく
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle a(1-e^{2})}
括 くく 出 だ
e
2
{\displaystyle e^{2}}
微小 びしょう 量 りょう 級数 きゅうすう 展開 てんかい [3]
S
(
φ ふぁい )
=
a
(
1
−
e
2
)
(
D
0
φ ふぁい +
D
2
sin
2
φ ふぁい +
D
4
sin
4
φ ふぁい +
D
6
sin
6
φ ふぁい +
D
8
sin
8
φ ふぁい +
⋯
)
,
D
0
=
1
+
3
4
e
2
+
45
64
e
4
+
175
256
e
6
+
11025
16384
e
8
+
⋯
,
D
2
=
−
3
8
e
2
(
1
+
5
4
e
2
+
175
128
e
4
+
735
512
e
6
+
⋯
)
,
D
4
=
15
256
e
4
(
1
+
7
4
e
2
+
147
64
e
4
+
⋯
)
,
D
6
=
−
35
3072
e
6
(
1
+
9
4
e
2
+
⋯
)
,
D
8
=
315
131072
e
8
(
1
+
⋯
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\varphi \right)&=a\left(1-e^{2}\right)\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right),\\D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}\left(1+{\tfrac {5}{4}}e^{2}+{\tfrac {175}{128}}e^{4}+{\tfrac {735}{512}}e^{6}+\cdots \right),\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}\left(1+{\tfrac {7}{4}}e^{2}+{\tfrac {147}{64}}e^{4}+\cdots \right),\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}\left(1+{\tfrac {9}{4}}e^{2}+\cdots \right),\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}\left(1+\cdots \right).\end{aligned}}}
しかしながら、これはヘルメルトの式 しき 比 くら 係数 けいすう
D
{\displaystyle D}
(
)
{\displaystyle (\ )}
内 うち
e
2
,
e
6
,
⋯
{\displaystyle e^{2},\ e^{6},\ \cdots }
項 こう 現 あらわ 多 おお 項 こう 数 すう 必要 ひつよう 共通 きょうつう 係数 けいすう
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
括 くく 出 だ 原因 げんいん [4]
(
⋯
)
{\displaystyle \left(\cdots \right)}
内 うち
e
2
{\displaystyle e^{2}}
冪 べき 乗 じょう 級数 きゅうすう 収束 しゅうそく 性 せい 劣 おと
第 だい 三 さん 扁平 へんぺい 率 りつ 用 もち 表 ひょう 式 しき [ 編集 へんしゅう ] 更 さら 成 なり 緯度 いど 表 あらわ 表 ひょう 式 しき [ 編集 へんしゅう ] フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル は1825年 ねん 更 さら 成 なり 緯度 いど
β べーた =
tan
−
1
(
1
−
e
2
tan
φ ふぁい
)
{\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)}
表 あらわ 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
β べーた )
{\displaystyle S(\beta )}
対 たい 第 だい 三 さん 扁平 へんぺい 率 りつ
n
=
1
−
1
−
e
2
1
+
1
−
e
2
{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}
用 もち 共通 きょうつう 係数 けいすう
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
括 くく 出 だ 微小 びしょう 量 りょう
n
{\displaystyle n}
用 もち 二 に 項 こう 定理 ていり 利用 りよう 級数 きゅうすう 展開 てんかい 行 おこな 一般 いっぱん 式 しき 得 え [5] 級数 きゅうすう 係数 けいすう
n
{\displaystyle n}
偶数 ぐうすう 奇数 きすう 冪 べき 乗 じょう 冪 べき 級数 きゅうすう
S
(
β べーた )
=
a
1
+
n
∫
0
β べーた
1
−
2
n
cos
2
β べーた +
n
2
d
β べーた
=
a
1
+
n
(
c
0
β べーた +
∑
l
=
1
∞
(
−
1
)
l
c
l
l
sin
2
l
β べーた
)
.
c
l
=
∑
k
=
0
∞
a
k
a
k
+
l
.
a
k
=
(
1
/
2
k
)
n
k
=
(
−
1
)
k
+
1
(
2
k
−
3
)
!
!
(
2
k
)
!
!
n
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1-2n\cos 2\beta +n^{2}}}\,d\beta \\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\beta +\sum _{l=1}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\beta \right).\\c_{l}&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,a_{k+l}.\\a_{k}&={\binom {1/2}{k}}n^{k}=(-1)^{k+1}{\frac {\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!}}n^{k}.\end{aligned}}}
ここで、
j
!
!
{\displaystyle j!!}
j
{\displaystyle j}
二 に 重 じゅう 階 かい 乗 じょう 表 あらわ 式 しき 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 計算 けいさん 広 ひろ 用 もち 一般 いっぱん 式 しき 求 もとめ 長 ちょう 緯度 いど
μ みゅー =
π ぱい 2
S
S
(
π ぱい
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {S}{S\!\left(\pi /2\right)}}}
β べーた
{\displaystyle \beta }
表 あらわ 逆 ぎゃく 関数 かんすう 当 あ 級数 きゅうすう 展開 てんかい 示 しめ
地理 ちり 緯度 いど 表 あらわ 表 ひょう 式 しき [ 編集 へんしゅう ] ここで楕円 だえん 積分 せきぶん 関係 かんけい 式 しき 及 およ
n
{\displaystyle n}
符号 ふごう 反転 はんてん 考 かんが 地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
S
{\displaystyle S}
表 あらわ 一般 いっぱん 式 しき 得 え 級数 きゅうすう 収束 しゅうそく 性 せい 他 た 知 し 計算 けいさん 式 しき 優 すぐ 級数 きゅうすう 展開 てんかい
n
{\displaystyle n}
奇数 きすう 次項 じこう 現 あらわ
S
(
φ ふぁい )
=
a
1
+
n
∫
0
φ ふぁい
(
1
−
n
2
)
2
(
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい +
n
2
)
3
2
d
φ ふぁい
=
a
1
+
n
(
∫
0
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい +
n
2
d
φ ふぁい −
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい +
n
2
)
=
a
1
+
n
(
c
0
φ ふぁい +
∑
l
=
1
∞
c
l
l
sin
2
l
φ ふぁい −
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい +
n
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\left(1-n^{2}\right)^{2}}{\left(1+2n\cos 2\varphi +n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{1+n}}\left(\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\,d\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\end{aligned}}}
これらの無限 むげん 級数 きゅうすう 含 ふく
n
{\displaystyle n}
次数 じすう
l
max
{\displaystyle l_{\max }}
打 う 切 き 有限 ゆうげん 級数 きゅうすう
c
l
{\displaystyle c_{l}}
下記 かき 近似 きんじ
c
l
,
approx
=
{
∑
k
=
0
⌊
(
l
max
−
l
)
/
2
⌋
a
k
a
k
+
l
(
l
≤
l
max
)
0
(
l
>
l
max
)
{\displaystyle c_{l,\,{\textrm {approx}}}={\begin{cases}\sum _{k=0}^{\lfloor (l_{\max }-l)/2\rfloor }a_{k}\,a_{k+l}&(l\leq l_{\max })\\0&(l>l_{\max })\end{cases}}}
ただし、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
床 ゆか 関数 かんすう
x
{\displaystyle x\,}
超 こ 最大 さいだい 整数 せいすう 表 あらわ
ヘルメルト・ベッセルの式 しき [ 編集 へんしゅう ] ベッセルはまた1837年 ねん 上記 じょうき
S
(
φ ふぁい )
{\displaystyle S(\varphi )}
対 たい 同 おな 二 に 項 こう 定理 ていり 手法 しゅほう 級数 きゅうすう 展開 てんかい 一般 いっぱん 式 しき 得 え 括 くく 出 だ 共通 きょうつう 係数 けいすう
a
(
1
−
n
)
2
(
1
+
n
)
{\displaystyle a(1-n)^{2}(1+n)}
さらに、1880年 ねん にフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルト が、括 くく 出 だ 共通 きょうつう 係数 けいすう 前節 ぜんせつ 同 おな
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
変更 へんこう
n
4
{\displaystyle n^{4}}
打切 うちき 近似 きんじ 式 しき 提示 ていじ [6]
S
(
φ ふぁい )
≈
a
1
+
n
{
(
1
+
n
2
4
+
n
4
64
)
φ ふぁい −
3
2
n
(
1
−
n
2
8
)
sin
2
φ ふぁい
+
15
16
n
2
(
1
−
n
2
4
)
sin
4
φ ふぁい −
35
48
n
3
sin
6
φ ふぁい +
315
512
n
4
sin
8
φ ふぁい
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}n\left(1-{\frac {n^{2}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}n^{2}\left(1-{\frac {n^{2}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}}
これは一般 いっぱん 式 しき 下記 かき
S
(
φ ふぁい )
=
a
1
+
n
(
c
0
φ ふぁい +
∑
l
=
1
∞
(
1
−
4
l
2
)
c
l
l
sin
2
l
φ ふぁい
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }\left(1-4l^{2}\right){\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi \right).\end{aligned}}}
しかしながら前節 ぜんせつ 一般 いっぱん 式 しき 比 くら
−
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい +
n
2
{\displaystyle {\frac {-2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}
項 こう [7] 級数 きゅうすう 展開 てんかい 収束 しゅうそく 性 せい 悪 わる 乗数 じょうすう 中 なか
−
4
l
2
{\displaystyle -4l^{2}}
加 くわ
加 くわ 導出 どうしゅつ 過程 かてい 一般 いっぱん 論 ろん 不備 ふび 一般 いっぱん 式 しき 導出 どうしゅつ 証明 しょうめい 至 いた 式 しき 簡潔 かんけつ 精度 せいど 良 よ 近似 きんじ 式 しき 普及 ふきゅう
一般 いっぱん 式 しき 式 しき 証明 しょうめい 自体 じたい 長年 ながねん 放置 ほうち 最終 さいしゅう 的 てき 2009年 ねん に河瀬 かわせ 和重 かずえ 証明 しょうめい 行 おこな
その際 さい 用 もち 一般 いっぱん 式 しき 二 に 項 こう 定理 ていり 経由 けいゆ ゲーゲンバウアー多項式 たこうしき による級数 きゅうすう 展開 てんかい 利用 りよう 一 いち 種類 しゅるい 無限 むげん 和 わ 集約 しゅうやく 形 かたち [8]
S
(
φ ふぁい )
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε いぷしろん
k
)
2
{
φ ふぁい +
∑
l
=
1
2
j
(
1
l
−
4
l
)
sin
2
l
φ ふぁい
∏
m
=
1
l
ε いぷしろん
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}\\\end{aligned}}}
ここで、
ε いぷしろん
i
=
3
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \varepsilon _{i}=3n/2i-n\,}
上 うえ 式 しき
j
=
2
{\displaystyle j=2\,}
取 と 提示 ていじ 近似 きんじ 式 しき 得 え [9] [10] 級数 きゅうすう
j
=
J
{\displaystyle j=J\,}
打 う 切 き
n
{\displaystyle n\,}
2
J
{\displaystyle 2J\,}
次 つぎ 打 う 切 き 近似 きんじ 式 しき 得 え
^ 18世紀 せいき 国 くに 存在 そんざい 当該 とうがい 地域 ちいき 当時 とうじ スペイン の管轄 かんかつ 下 か 置 お 後 ご キト 市 し 特別 とくべつ 行政 ぎょうせい 区 く 呼 よ 1830年 ねん に独立 どくりつ 果 は 際 さい 国 くに 名称 めいしょう 採用 さいよう 共和 きょうわ 国 こく 語 ご 赤道 せきどう 意味 いみ 赤道 あかみち 付近 ふきん 地域 ちいき 選 えら 地 ち 実施 じっし 測地 そくち 測量 そくりょう 事業 じぎょう 名声 めいせい 影響 えいきょう 考 かんが
^ 子午線 しごせん 曲 きょく 率 りつ 半径 はんけい 平面 へいめん 曲線 きょくせん 楕円 だえん 幾何 きか 学 がく 的 てき 性質 せいしつ 初等 しょとう 的 てき 求 もと 例 たと Geometric Geodesy, Part I , §3.5.1, pp. 28–32参照 さんしょう ^ この式 しき 日本 にっぽん 広 ひろ 用 もち 昭和 しょうわ 年版 ねんばん 平成 へいせい 年版 ねんばん 理科 りか 年表 ねんぴょう 地学 ちがく 部 ぶ 掲載 けいさい
^ 共通 きょうつう 係数 けいすう
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
括 くく 出 だ 級数 きゅうすう 組 く 込 こ
(
1
−
1
4
e
2
)
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{4}}e^{2}\right)}
括 くく 出 だ 収束 しゅうそく 性 せい 改善 かいぜん ^ 二 に 項 こう 定理 ていり 利用 りよう 級数 きゅうすう 展開 てんかい
(
1
+
2
n
cos
θ しーた +
n
2
)
α あるふぁ
=
(
1
+
n
e
i
θ しーた
)
α あるふぁ
(
1
+
n
e
−
i
θ しーた
)
α あるふぁ
=
(
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ k
)
n
k
e
i
k
θ しーた
)
(
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ k
)
n
k
e
−
i
k
θ しーた
)
=
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ k
)
2
n
2
k
+
2
∑
l
=
1
∞
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ k
)
(
α あるふぁ
k
+
l
)
n
2
k
+
l
cos
l
θ しーた
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\left(1+n\,e^{i\theta }\right)^{\alpha }\left(1+n\,e^{-i\theta }\right)^{\alpha }\\&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}e^{ik\theta }\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}\,e^{-ik\theta }\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}^{2}n^{2k}+2\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}{\binom {\alpha }{k+l}}\,n^{2k+l}\cos l\theta \\\end{aligned}}}
^ ヘルメルトの提示 ていじ 実際 じっさい 式 しき 形 かたち 1912年 ねん にヨハン・ハインリヒ・ルイ・クリューゲル （ドイツ語 ご 版 ばん ） 結果 けっか 式 しき 形 かたち 取 と
^ この項 こう 不完全 ふかんぜん 楕円 だえん 積分 せきぶん 項 こう
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
関 かん 二 に 階 かい 微分 びぶん 等 ひと 級数 きゅうすう 展開 てんかい 形 がた 乗数 じょうすう
−
4
l
2
{\displaystyle -4l^{2}}
得 え
^ ゲーゲンバウアー多項式 たこうしき 利用 りよう 級数 きゅうすう 展開 てんかい 二 に 項 こう 定理 ていり 利用 りよう 級数 きゅうすう 展開 てんかい 和 わ 取 と 方 かた 変 か 同様 どうよう 結果 けっか 得 え
(
1
+
2
n
cos
θ しーた +
n
2
)
α あるふぁ
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
C
k
(
−
α あるふぁ )
(
cos
θ しーた )
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
∑
l
=
0
k
(
k
−
l
−
α あるふぁ −
1
k
−
l
)
(
l
−
α あるふぁ −
1
l
)
cos
(
k
−
2
l
)
θ しーた
=
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ν にゅー
k
α あるふぁ
)
2
(
1
+
2
∑
l
=
1
2
j
cos
2
l
θ しーた
∏
m
=
1
l
(
ν にゅー
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
α あるふぁ
)
(
−
1
)
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}C_{k}^{(-\alpha )}(\cos \theta )\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}\sum _{l=0}^{k}{\binom {k-l-\alpha -1}{k-l}}{\binom {l-\alpha -1}{l}}\cos(k-2l)\theta \\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\nu _{k}^{\alpha }\right)^{2}\left(1+2\sum _{l=1}^{2j}\cos 2l\theta \prod _{m=1}^{l}\left(\nu _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{\alpha }\right)^{(-1)^{m}}\right)\\\end{aligned}}}
ν にゅー
i
α あるふぁ
=
(
α あるふぁ +
1
i
−
1
)
n
{\displaystyle \nu _{i}^{\alpha }=\left({\frac {\alpha +1}{i}}-1\right)n}
^ 平成 へいせい 年版 ねんばん 理科 りか 年表 ねんぴょう 掲載 けいさい 近似 きんじ 式 しき 取 と 代 が 河瀬 かわせ 一般 いっぱん 式 しき 近似 きんじ 式 しき 掲載 けいさい ^ 同 おな 考 かんが 方 かた 立 た 年 ねん 得 え
S
(
β べーた )
{\displaystyle S(\beta )}
及 およ 年 ねん 得 え
S
(
φ ふぁい )
{\displaystyle S(\varphi )}
次 つぎ 書 か 下 くだ
S
(
β べーた )
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε いぷしろん ¯
k
)
2
(
β べーた +
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
β べーた
l
∏
m
=
1
l
ε いぷしろん ¯
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
,
S
(
φ ふぁい )
=
a
(
1
−
n
2
)
2
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
δ でるた
k
)
2
(
φ ふぁい +
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
φ ふぁい
l
∏
m
=
1
l
δ でるた
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}{\bar {\varepsilon }}_{k}\right)^{2}\left(\beta +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\beta }{l}}\prod _{m=1}^{l}{\bar {\varepsilon }}_{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right),\\S(\varphi )&={\frac {a(1-n^{2})^{2}}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\delta _{k}\right)^{2}\left(\varphi +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\varphi }{l}}\prod _{m=1}^{l}\delta _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right).\end{aligned}}}
ε いぷしろん ¯
i
=
−
ε いぷしろん
i
=
n
−
3
n
/
2
i
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{i}=-\varepsilon _{i}=n-3n/2i}
及 およ
δ でるた
i
=
−
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \delta _{i}=-n/2i-n}
Euler, L. (1755). “Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits” . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753 9 : 258–293. https://books.google.co.jp/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA258&redir_esc=y&hl=ja . Figures . Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien ; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre
Bessel, F. W. (1825): Ueber die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen , Astronomische Nachrichten 4 , 241–254
Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht , Astronomische Nachrichten, 14 , 333–346
Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil
Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene 52 , Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam, 12
Florence, Trystram (2001). L'épopée du méridien terrestre (Le procès des étoiles) . ISBN 978-2277220138 Florence, Trystram (1983/07). 地球 ちきゅう 測 はか 男 おとこ ISBN 978-4845700974 河瀬 かわせ 和重 かずえ 緯度 いど 与 あた 赤道 せきどう 子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 求 もと 一般 いっぱん 的 てき 計算 けいさん 式 しき 国土 こくど 地理 ちり 院 いん 時報 じほう 119 , 45–55飛田 ひだ 幹男 みきお 河瀬 かわせ 和重 かずえ 政春 まさはる 尋 ひろ 志 こころざし 赤道 せきどう 緯度 いど 子午線 しごせん 長 ちょう 計算 けいさん 計算 けいさん 式 しき 比較 ひかく 測地 そくち 学会 がっかい 誌 し 年 ねん 巻 かん 号 ごう 日本 にっぽん 測地 そくち 学会 がっかい 
