扁平へんぺい率りつ

扁平へんぺい率りつ（へんぺいりつ、扁ひらた率りつ、扁平へんぺい度どとも、flattening, oblateness）とは、楕円だえんもしくは回転かいてん楕円だえん体たいが、円えんもしくは球たまに比くらべてどれくらい扁平へんぺいか（つぶれているか）を表あらわす値ねである。円えんもしくは球たまでは値ねが 0 である。つぶれるに従したがって値ねは 1 に近ちかづく。

楕円だえんまたは回転かいてん楕円だえん体たいの長ちょう半径はんけいを a、短たん半径はんけいを b とすると、扁平へんぺい率りつ$f$は

$f={\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}$

で定義ていぎされる。 (a - b) : a のように比ひの形かたちで表あらわすこともある。楕円だえん率りつ εいぷしろん を使つかえば

f = 1 - εいぷしろん

とも書かける。

自転じてんする天体てんたいの場合ばあい、遠心えんしん力りょくによって赤道あかみち半径はんけいが極ごく半径はんけいに比くらべて大おおきい扁ひらた球だまとなる。したがって a が赤道せきどう半径はんけい、b が極ごく半径はんけいとなる。地球ちきゅう楕円だえん体たいの扁平へんぺい率りつとしては、GRS80（測地そくち系けい）のパラメータ値ちが用もちいられることが多おおい。

第だい一いち扁平へんぺい率りつ

冒頭ぼうとうで定義ていぎされた扁平へんぺい率りつ $f$は“第だい一いち扁平へんぺい率りつ”と称しょうされる。

第だい二に扁平へんぺい率りつ

次つぎのように定義ていぎされる第だい二に扁平へんぺい率りつ $f^{\prime }$も用もちいられる。

$f'={\frac {a-b}{b}}={\frac {f}{1-f}}$

第だい三さん扁平へんぺい率りつ

また第だい三さん扁平へんぺい率りつ $f^{\prime \prime }$ も用もちいられ、$n$と表記ひょうきされることもある。古ふるくはフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが子午線しごせん弧こ長ちょうの計算けいさんに用もちいていることが認みとめられる。

$f''={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}$

${\begin{aligned}n&={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {1}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}+\cdots \\e^{2}&={\frac {4n}{\left(1+n\right)^{2}}}\end{aligned}}$

離はなれ心しん率りつとの関係かんけい

楕円だえんの離はなれ心しん率りつ$e$との関係かんけいは、

$e\triangleq {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\sqrt {f(2-f)}}$

となる。

例たとえば、扁平へんぺい率りつが 0.1 の楕円だえんの離はなれ心しん率りつはおよそ 0.43 である。離はなれ心しん率りつも扁平へんぺい率りつと同様どうように、真ま円えんで 0 となり、つぶれるに従したがって 1 に近ちかづくが、こちらは一般いっぱんの円錐えんすい曲線きょくせんに対たいする概念がいねんである。

地球ちきゅうの扁平へんぺい率りつ

詳細しょうさいは「地球ちきゅう楕円だえん体たい」を参照さんしょう

地球ちきゅうの扁平へんぺい率りつとしては、陸りく域いきの測地そくち系けいでは全ぜん世界せかい的てきにGRS80のパラメータ値ちが用もちいられる。日本にっぽんの陸地りくち測量そくりょうの基準きじゅんも同様どうようである。ただし、未いまだにGRS80以外いがいの古ふるい測地そくち系けいを用もちいている開発途上国かいはつとじょうこくがある。

赤道あかみち半径はんけい（＝長ちょう半径はんけい） a = 6 378 137m（正確せいかくに）

扁平へんぺい率りつ　:$f={\frac {1}{298.257\ 222\ 101}}$（正確せいかくに）

この定義ていぎから、極ごく半径はんけい b = 6 356 752.314 140 356 m （近似きんじ値ち）となる。

日本にっぽんでは以上いじょうの基準きじゅんは、日本にっぽんの陸地りくちにおける測量そくりょうの基準きじゅんを定さだめている測量そくりょう法ほう施行しこう令れい第だい3条じょうにおいて、地球ちきゅうの赤道せきどう半径はんけい（測量そくりょう法ほうでは「長ちょう半径はんけい」）と扁平へんぺい率りつを上記じょうきのGRS80と同おなじ値ちで定義ていぎしている。

海図かいずにおける扁平へんぺい率りつ（WGS84)

海図かいずなど海域かいいきにおける測量そくりょうの基準きじゅんとしては、赤道あかみち半径はんけい（＝長ちょう半径はんけい）は同一どういつだが、扁平へんぺい率りつについてはWGS84測地そくち系けいと呼よばれる別べつの測地そくち系けいに基もとづくものが、全ぜん世界せかい的てきに使用しようされている。この値ねは、GRS80とはごくわずかに異ことなっている。

$f={\frac {1}{298.257\ 223\ 563}}$

このWGS84における極ごく半径はんけいは b = 6 356 752.314 245 179m（近似きんじ値ち）となり、GRS80に比くらべて、約やく0.105 mmだけ長ながいが、実用じつよう上じょうは全まったく問題もんだいとはならない差さである。

日本にっぽんではこの扁平へんぺい率りつは、海図かいずなどの海域かいいきにおける測量そくりょうの基準きじゅんを定さだめている（水路すいろ業務ぎょうむ法ほう施行しこう令れい第だい2条じょう第だい2号ごうにおいて規定きていされている）。

地球ちきゅうの赤道せきどう面めんの扁平へんぺい率りつ

測量そくりょうの基準きじゅんとする地球ちきゅう楕円だえん体たいでは、赤道あかみち面めんは正せい円えんと仮定かていしている。しかし、現実げんじつの地球ちきゅうの赤道せきどう面めんは正せい円えんではない。赤道せきどう面めん楕円だえんの扁平へんぺい率りつ（f1）は、

$f1={\frac {1}{91026}}$

であり、その長ちょう軸じくの向むき（λらむだ1）は、西経せいけい14.9291±0.0010°である。

他たの天体てんたいの扁平へんぺい率りつ

土星どせいは太陽系たいようけいの惑星わくせいの中なかで最大さいだいの扁平へんぺい率りつを持もつ。

太陽たいようは極きわめて球たまに近ちかく、その扁平へんぺい率りつはおよそ 9×10⁻⁶とされる。太陽系たいようけいの惑星わくせいの扁平へんぺい率りつは、水星すいせいが 0.0006 未満みまん、金星かなぼしが 0.0002 未満みまん、地球ちきゅうが前述ぜんじゅつの通とおりおよそ 0.0033528、火星かせいが 0.00589 ± 0.00015、木星もくせいが 0.06487 ± 0.00015、土星どせいが 0.09796 ± 0.00018、天王星てんのうせいが 0.0229 ± 0.0008、海王星かいおうせいが 0.0171 ± 0.0013 である。自転じてん時間じかんが長ながく、密度みつどの大おおきい岩石がんせき質しつの固体こたいで構成こうせいされている地球ちきゅう型がた惑星わくせいで比較的ひかくてき小ちいさく、自転じてん時間じかんが短みじかく、密度みつどが極きわめて小ちいさいガス質しつの気体きたいで構成こうせいされている木星もくせい型がた惑星わくせいで比較的ひかくてき大おおきい傾向けいこうにある。扁平へんぺい率りつが大おおきい土星どせいは、倍率ばいりつがそれほど大おおきくない天体てんたい望遠鏡ぼうえんきょうでも、扁平へんぺいであることが視認しにんできる。実際じっさい、土星どせいの極きょく半径はんけいが約やく 54,364km であるのに対たいし、赤道あかみち半径はんけいは約やく 60,268km である。

関連かんれん項目こうもく

• 測地そくち学がく
• 地球ちきゅう楕円だえん体たい

参考さんこう文献ぶんけん

• 国家こっか画像がぞう地図ちず局きょく（現げん アメリカ国家こっか地球ちきゅう空間くうかん情報じょうほう局きょく）技術ぎじゅつ報告ほうこく8350.2, 7.3節せつ
• König, R. and Weise, K. H. (1951): Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
• Ганьшин, В. Н. (1967): Геометрия земного эллипсоида, Издательство «Недра», Москва
• Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht, Astronomische Nachrichten, 14, 333-346