経緯 けいい 度 ど 英語 えいご longitude and latitude ）とは、経度 けいど longitude ）および緯度 いど latitude ）を指 さ 地球 ちきゅう 含 ふく 天体 てんたい 表面 ひょうめん 上 じょう 位置 いち 点 てん 示 しめ 座標 ざひょう 表現 ひょうげん 本稿 ほんこう 地理 ちり 座標 ざひょう 系 けい 用 もち 経緯 けいい 度 ど 説明 せつめい
基本 きほん 的 てき 天体 てんたい 表面 ひょうめん 点 てん 垂直 すいちょく 考 かんが 向 む 球面 きゅうめん 座標 ざひょう 角度 かくど 表現 ひょうげん [1]
経度 けいど
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
緯度 いど
ϕ
{\displaystyle \phi }
垂直 すいちょく 線 せん 赤 あか ECEF直交 ちょっこう 座標 ざひょう 地理 ちり 座標 ざひょう 局所 きょくしょ 座標 ざひょう 関係 かんけい 回転 かいてん 楕円 だえん 体面 たいめん 上 じょう
(
X
,
Y
,
Z
)
{\displaystyle (X,Y,Z)}
方位 ほうい 角 かく
θ しーた
{\displaystyle \theta }
取 と 方 かた 右手 みぎて 系 けい 経緯 けいい 度 ど 基本 きほん 的 てき 地表 ちひょう 点 てん 垂直 すいちょく 基 もと 方向 ほうこう 球面 きゅうめん 座標 ざひょう 角度 かくど 表現 ひょうげん
{経度 けいど
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
緯度 いど
ϕ
{\displaystyle \phi }
局所 きょくしょ 垂直 すいちょく
(
cos
ϕ
cos
λ らむだ ,
cos
ϕ
sin
λ らむだ ,
sin
ϕ
)
{\displaystyle (\cos \phi \cos \lambda ,\,\cos \phi \sin \lambda ,\,\sin \phi )}
地理 ちり 座標 ざひょう 系 けい 用 もち 地理 ちり 経緯 けいい 度 ど [2] 地球 ちきゅう 回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい 見 み 面 めん 法線 ほうせん 方向 ほうこう 基 もと [3]
歴史 れきし 的 てき 地表 ちひょう 鉛直線 えんちょくせん 基 もと 垂直 すいちょく 方向 ほうこう 天頂 てんちょう 天球 てんきゅう 指 さ 決 き 天文 てんもん 経緯 けいい 度 ど 使 つか 地球 ちきゅう 重力 じゅうりょく 鉛直線 えんちょくせん 偏差 へんさ 影響 えいきょう 加 くわ 地球 ちきゅう 極 ごく 運動 うんどう 影響 えいきょう 被 こうむ 従 したが 距離 きょり 面積 めんせき 関係 かんけい 簡素 かんそ
地理 ちり 学 がく 測地 そくち 学 がく 発展 はってん 経緯 けいい 度 ど 原点 げんてん 国内 こくない 設 もう 地点 ちてん 天文 てんもん 経緯 けいい 度 ど 原点 げんてん 位置 いち 接 せっ 準拠 じゅんきょ 楕円 だえん 体 たい 基 もと 地理 ちり 経緯 けいい 度 ど 用 もち 方式 ほうしき 行 おこな 地域 ちいき 的 てき 測地 そくち 系 けい
さらに近年 きんねん 全 ぜん 地球 ちきゅう 的 てき 準拠 じゅんきょ 楕円 だえん 体 たい 基 もと 方式 ほうしき 採用 さいよう 増 ふ 全 ぜん 地球 ちきゅう 的 てき 測地 そくち 系 けい
地理 ちり 座標 ざひょう 経度 けいど
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
緯度 いど
ϕ
{\displaystyle \phi }
高度 こうど 楕円 だえん 体高 たいこう
h
{\displaystyle h}
直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
変換 へんかん 微小 びしょう 量 りょう 式 しき 下記 かき 地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい 長 ちょう 半径 はんけい
a
{\displaystyle a}
離 はなれ 心 しん 率 りつ
e
=
f
(
2
−
f
)
{\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}
{
x
=
(
N
(
ϕ
)
+
h
)
cos
ϕ
cos
λ らむだ
,
y
=
(
N
(
ϕ
)
+
h
)
cos
ϕ
sin
λ らむだ
,
z
=
(
N
(
ϕ
)
(
1
−
e
2
)
+
h
)
sin
ϕ
,
{\displaystyle {\begin{cases}x=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda },\\y=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda },\\z=\left(N(\phi )(1-e^{2})+h\right)\sin {\phi },\end{cases}}}
(
d
x
d
y
d
z
)
=
(
−
sin
λ らむだ
−
sin
ϕ
cos
λ らむだ
cos
ϕ
cos
λ らむだ
cos
λ らむだ
−
sin
ϕ
sin
λ らむだ
cos
ϕ
sin
λ らむだ
0
cos
ϕ
sin
ϕ
)
(
d
E
d
N
d
U
)
,
(
d
E
d
N
d
U
)
=
(
(
N
(
ϕ
)
+
h
)
cos
ϕ
0
0
0
M
(
ϕ
)
+
h
0
0
0
1
)
(
d
λ らむだ
d
ϕ
d
h
)
,
N
(
ϕ
)
≜
a
1
−
e
2
sin
2
ϕ
,
M
(
ϕ
)
≜
a
(
1
−
e
2
)
(
1
−
e
2
sin
2
ϕ
)
3
/
2
=
{
N
(
ϕ
)
}
3
(
1
−
e
2
)
a
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\\\end{pmatrix}},\\{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\\\end{pmatrix}},\\N(\phi )&\triangleq {\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},\\M(\phi )&\triangleq {\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{3/2}}}={\frac {\{N(\phi )\}^{3}(1-e^{2})}{a^{2}}}.\end{aligned}}}
微小 びしょう 量 りょう 三 さん 成分 せいぶん 互 たが 直交 ちょっこう 方向 ほうこう
h
=
0
{\displaystyle h=0}
回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい 子午線 しごせん 弧 こ 経線 けいせん 弧 こ 曲 きょく 率 りつ 半径 はんけい
M
(
ϕ
)
{\displaystyle M(\phi )}
卯 う 酉 とり 線 せん 弧 こ
N
(
ϕ
)
{\displaystyle N(\phi )}
緯線 いせん 弧 こ
N
(
ϕ
)
cos
ϕ
{\displaystyle N(\phi )\cos \phi }
[4] [5]
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
λ らむだ ,
ϕ
,
h
)
{\displaystyle (\lambda ,\,\phi ,\,h)}
求 もと 変換 へんかん 計算 けいさん 上記 じょうき 導 みちび
ϕ
{\displaystyle \phi }
方程式 ほうていしき 解 と 必要 ひつよう [6]
回転 かいてん 楕円 だえん 体面 たいめん 沿 そ 最短 さいたん 距離 きょり 式 しき [ 編集 へんしゅう ] 回転 かいてん 楕円 だえん 体面 たいめん 沿 そ 最短 さいたん 距離 きょり 測地 そくち 線 せん 距離 きょり
s
{\displaystyle s}
微小 びしょう 量 りょう 上記 じょうき 得 え 微分 びぶん 幾何 きか 学 がく
h
=
0
{\displaystyle h=0}
U
=
0
{\displaystyle U=0}
下 もと
d
s
=
d
E
2
+
d
N
2
=
(
N
(
ϕ
)
cos
ϕ
d
λ らむだ
)
2
+
(
M
(
ϕ
)
d
ϕ
)
2
.
{\displaystyle ds={\sqrt {dE^{2}+dN^{2}}}={\sqrt {\left(N\left(\phi \right)\cos \phi \,d\lambda \right)^{2}+\left(M\left(\phi \right)d\phi \right)^{2}}}.}
ただし、両極 りょうきょく 特異 とくい 点 てん
二 に 点 てん 間 あいだ 測地 そくち 線 せん 距離 きょり
Δ でるた s
{\displaystyle \Delta s}
短距離 たんきょり 場合 ばあい 簡素 かんそ 近似 きんじ 形 がた 導出 どうしゅつ
Δ でるた λ らむだ =
λ らむだ
1
−
λ らむだ
2
,
Δ でるた ϕ
=
ϕ
1
−
ϕ
2
,
{\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{1}-\lambda _{2},\ \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2},}
ϕ
m
=
ϕ
1
+
ϕ
2
2
{\displaystyle \phi _{\textrm {m}}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}}
短距離 たんきょり 条件 じょうけん
|
Δ でるた ϕ
|
≪
1
{\displaystyle |\Delta \phi |\ll 1}
|
cos
ϕ
m
Δ でるた λ らむだ
|
≪
1
{\displaystyle |\cos \phi _{\textrm {m}}\Delta \lambda |\ll 1}
表 あらわ
これに従 したが
Δ でるた s
{\displaystyle \Delta s}
近似 きんじ 式 しき 導出 みちびきだ 誤差 ごさ
|
Δ でるた
s
approx
−
Δ でるた
s
true
|
⪅
Δ でるた
s
3
24
a
2
{\displaystyle |\Delta s_{\text{approx}}-\Delta s_{\text{true}}|\lessapprox {\frac {\Delta s^{3}}{24a^{2}}}}
精度 せいど
Δ でるた s
=
(
2
N
(
ϕ
m
)
cos
ϕ
m
sin
Δ でるた λ らむだ
2
)
2
+
(
M
(
ϕ
m
)
Δ でるた ϕ
cos
Δ でるた λ らむだ
2
)
2
{\displaystyle \Delta s={\sqrt {\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}}
他 た 計算 けいさん 式 しき
|
Δ でるた ϕ
|
≪
1
{\displaystyle |\Delta \phi |\ll 1}
|
Δ でるた λ らむだ
|
≪
1
{\displaystyle |\Delta \lambda |\ll 1}
仮定 かてい 上記 じょうき 微小 びしょう 量 りょう 式 しき 率直 そっちょく 一 いち 次 じ 式 しき
d
{\displaystyle d}
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
見 み 相当 そうとう 簡素 かんそ 下記 かき 近似 きんじ 計算 けいさん 式 しき 導出 みちびきだ [7] 平面 へいめん 法 ほう 呼 よ [8]
Δ でるた s
=
(
N
(
ϕ
m
)
cos
ϕ
m
Δ でるた λ らむだ
)
2
+
(
M
(
ϕ
m
)
Δ でるた ϕ
)
2
.
{\displaystyle \Delta s={\sqrt {\left(N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\Delta \lambda \right)^{2}+\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \right)^{2}}}.}
しかしながら、この
|
Δ でるた λ らむだ
|
≪
1
{\displaystyle |\Delta \lambda |\ll 1}
高緯度 こういど 極 ごく 近傍 きんぼう 必 かなら 適切 てきせつ 短距離 たんきょり 条件 じょうけん 言 い 三角 さんかく 関数 かんすう 近似 きんじ 行 おこな 両極 りょうきょく 特異 とくい 性 せい 生 しょう 難点 なんてん 持 も [9] 高緯度 こういど 極 ごく 近傍 きんぼう 除 のぞ 短距離 たんきょり 近似 きんじ 妥当 だとう 多用 たよう
さらに中 ちゅう 長距離 ちょうきょり 近似 きんじ 精度 せいど 改善 かいぜん 計算 けいさん 法 ほう 歴史 れきし 的 てき 多 おお 研究 けんきゅう 者 しゃ 開発 かいはつ 高次 こうじ 級数 きゅうすう 計算 けいさん 反復 はんぷく 含 ふく 多 おお [10]
平均 へいきん 緯度 いど 法 ほう 中間 なかま 緯度 いど 法 ほう [ 編集 へんしゅう ] 二 に 点 てん 間 あいだ 測地 そくち 線 せん 計算 けいさん 球面 きゅうめん 近似 きんじ 一種 いっしゅ [11] 近似 きんじ 精度 せいど 改善 かいぜん [12] 誤差 ごさ
|
Δ でるた
s
approx
−
Δ でるた
s
true
|
⪅
Δ でるた
s
3
400
a
2
{\displaystyle |\Delta s_{\text{approx}}-\Delta s_{\text{true}}|\lessapprox {\frac {\Delta s^{3}}{400a^{2}}}}
精度 せいど
Δ でるた s
=
2
N
(
ϕ
m
)
arcsin
(
sin
Δ でるた λ らむだ
2
cos
ϕ
m
)
2
+
(
cos
Δ でるた λ らむだ
2
sin
M
(
ϕ
m
)
Δ でるた ϕ
2
N
(
ϕ
m
)
)
2
.
{\displaystyle \Delta s=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi }{2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)^{2}}}.}
並 なら 順序 じゅんじょ 異 こと 慣行 かんこう 存在 そんざい 正負 せいふ 東経 とうけい 正 せい 経度 けいど
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
北緯 ほくい 正 せい 緯度 いど
ϕ
{\displaystyle \phi }
南緯 なんい 向 む 正 せい 余 よ 緯度 いど
右手 みぎて 系 けい 経度 けいど 緯度 いど 及 およ 高度 こうど 順 じゅん [13] [14] これに対 たい 左手 ひだりて 系 けい [15] 緯度 いど 経度 けいど 及 およ 高度 こうど 順 じゅん 局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい 地平 ちへい 面 めん
x
{\displaystyle x}
方向 ほうこう 北 きた 緯度 いど 座標 ざひょう
y
{\displaystyle y}
方向 ほうこう 東 ひがし 経度 けいど 座標 ざひょう 地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 表 ひょう 式 しき
x
,
y
{\displaystyle x,\ y}
平面 へいめん 座標 ざひょう 取 と 方 かた [ 編集 へんしゅう ] 地図 ちず 学 がく 地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 表 ひょう 式 しき
x
,
y
{\displaystyle x,\ y}
平面 へいめん 座標 ざひょう 取 と 方 かた 右手 みぎて 系 けい 表 あらわ 多 おお
右手 みぎて 系 けい
x
{\displaystyle x}
方向 ほうこう 右 みぎ 横 よこ 方向 ほうこう
y
{\displaystyle y}
方向 ほうこう 上 うえ 縦 たて 方向 ほうこう 左手 ひだりて 系 けい
x
{\displaystyle x}
方向 ほうこう 上 うえ 縦 たて 方向 ほうこう
y
{\displaystyle y}
方向 ほうこう 右 みぎ 横 よこ 方向 ほうこう [16] [17] 方位 ほうい 角 かく 上記 じょうき 対応 たいおう 関係 かんけい 存在 そんざい
方位 ほうい 角 かく
θ しーた
{\displaystyle \theta }
局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい 地平 ちへい 面 めん 単位 たんい 円 えん
(
x
,
y
,
z
)
=
(
cos
θ しーた ,
sin
θ しーた ,
0
)
{\displaystyle (x,y,z)=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)}
下記 かき 右手 みぎて 系 けい 経緯 けいい 度 ど 採用 さいよう
右手 みぎて 系 けい 経緯 けいい 度 ど 採用 さいよう polygon の頂点 ちょうてん 配列 はいれつ 順 じゅん 時計 とけい 周 まわ 順 じゅん 左手 ひだりて 系 けい 採用 さいよう
下記 かき 左手 ひだりて 系 けい 経緯 けいい 度 ど 緯度 いど 経度 けいど 順 じゅん 採用 さいよう
左手 ひだりて 系 けい 地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 採用 さいよう [ 編集 へんしゅう ] 下記 かき 左手 ひだりて 系 けい 地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 採用 さいよう 平面 へいめん 座標 ざひょう
x
{\displaystyle x}
軸 じく 右 みぎ 横 よこ 方向 ほうこう 正 せい
y
{\displaystyle y}
軸 じく 下 しも 縦 たて 方向 ほうこう 正 せい [20]
^ 天体 てんたい 球体 きゅうたい 球面 きゅうめん 上 じょう 垂直 すいちょく 中心 ちゅうしん 通 とお 地理 ちり 経緯 けいい 度 ど 地 ち 心 こころ 経緯 けいい 度 ど 等 ひと ^ 地理 ちり 経緯 けいい 度 ど 測地 そくち 経緯 けいい 度 ど 測地 そくち 学 がく 的 てき 経緯 けいい 度 ど 呼 よ ^ 扁 ひらた 長 なが 扁平 へんぺい 楕円 だえん 体 たい 座標 ざひょう 系 けい 異 こと ^ ムーニエの定理 ていり も参照 さんしょう ^ 微分 びぶん 関係 かんけい 式 しき
d
[
N
(
ϕ
)
cos
ϕ
]
d
ϕ
=
−
M
(
ϕ
)
sin
ϕ
{\displaystyle {\frac {d[N(\phi )\cos \phi ]}{d\phi }}=-M(\phi )\sin \phi }
^ 解 と
ϕ
{\displaystyle \phi }
方程式 ほうていしき
p
cos
ϕ
−
z
sin
ϕ
−
e
2
N
(
ϕ
)
=
0
,
p
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,\\&p={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}}
変数 へんすう
κ かっぱ =
p
z
tan
ϕ
{\displaystyle \kappa ={\frac {p}{z}}\tan \phi }
方程式 ほうていしき 帰着 きちゃく
κ かっぱ −
1
−
e
2
a
κ かっぱ
p
2
+
(
1
−
e
2
)
z
2
κ かっぱ
2
=
0
{\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+(1-e^{2})z^{2}\kappa ^{2}}}}=0}
解 と 方 かた Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_geodetic_coordinates 等 ひとし 参照 さんしょう
h
=
e
−
2
(
κ かっぱ
−
1
−
(
1
−
e
2
)
)
p
2
+
z
2
κ かっぱ
2
{\displaystyle h=e^{-2}(\kappa ^{-1}-(1-e^{2})){\sqrt {p^{2}+z^{2}\kappa ^{2}}}}
^ Williams, E. (2013年 ねん Aviation Formulary. ”. 2024年 ねん 月 がつ 日 にち 閲覧 えつらん ^ 日本 にっぽん 簡易 かんい 式 しき 呼 よ 名称 めいしょう 適切 てきせつ ^ 180度 ど 経線 けいせん 対 たい 特異 とくい 性 せい 持 も 対処 たいしょ 容易 ようい
^ 例 たと 平均 へいきん 中 ちゅう 間 あいだ 緯度 いど 法 ほう 式 しき 級数 きゅうすう 展開 てんかい ^ したがって「haversine関数 かんすう を用 もち 大円 だいえん 距離 きょり 計算 けいさん 円 えん 弦 つる 長 ちょう 基 もと 弧 こ 長 ちょう 求 もと 回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい
e
≠
0
{\displaystyle e\neq 0}
拡張 かくちょう 形 かたち
^
Rapp, R, H (1991). Geometric Geodesy, Part I (Report). Ohio Start Univ. hdl :1811/24333 。
^ 和漢 わかん 用例 ようれい 経度 けいど 緯度 いど 順 じゅん 経緯 けいい 度 ど 例 たと 日本 にっぽん 経緯 けいい 度 ど 原点 げんてん 経緯 けいい 線 せん ^ 右手 みぎて 系 けい 別 べつ 慣行 かんこう 変数 へんすう 及 およ 順序 じゅんじょ 余 よ 緯度 いど 経度 けいど 及 およ 高度 こうど 数学 すうがく 物理 ぶつり 学 がく 球面 きゅうめん 座標 ざひょう 系 けい 標準 ひょうじゅん 当 あ ^ a b この左手 ひだりて 系 けい 使用 しよう 一般 いっぱん 的 てき 非 ひ 推奨 すいしょう 測量 そくりょう 航海 こうかい 術 じゅつ 地理 ちり 学 がく 分野 ぶんや 左手 ひだりて 系 けい 使用 しよう 極 きわ 標準 ひょうじゅん 的 てき
^ 左手 ひだりて 系 けい 別 べつ 慣行 かんこう
x
{\displaystyle x}
方向 ほうこう 右 みぎ 横 よこ 方向 ほうこう
y
{\displaystyle y}
方向 ほうこう 下 した 縦 たて 方向 ほうこう ^ 平面 へいめん 直角 ちょっかく 座標 ざひょう 系 けい 日本 にっぽん 規格 きかく 左手 ひだりて 系 けい ^ 右手 みぎて 系 けい 別 べつ 慣行 かんこう 南 みなみ 東 ひがし 北 きた 西 にし ^ OGCによるSRS/CRS の定義 ていぎ 大 だい 多数 たすう 測地 そくち 系 けい 左手 ひだりて 系 けい 経緯 けいい 度 ど 定義 ていぎ
^ 他 た SVG フォーマットでは左手 ひだりて 系 けい 座標 ざひょう 採用 さいよう
![{\displaystyle {\frac {d[N(\phi )\cos \phi ]}{d\phi }}=-M(\phi )\sin \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f66bdbf4b6bf637e02ec238a05b9aad8afbb67)
