大円だいえん距離きょり

大円だいえん距離きょり(だいえんきょり、英えい: great-circular distance）は、球面きゅうめん上うえの大円だいえんに沿そう距離きょりをさす。大円だいえんの性質せいしつにより、球面きゅうめん上じょうの経路けいろとして2点てん間あいだの最短さいたん距離きょりである。

特とくに地球ちきゅう上じょうにおいては大圏たいけん距離きょり（たいけんきょり）とも言いう。なおこの記事きじでは回転かいてん楕円だえん体たい面めん上じょうの最短さいたん距離きょり（測地そくち距離きょり）は扱あつかわない。

概要がいよう

ユークリッド空間くうかんでは、球たま内部ないぶを通とおり2点てん間あいだを直線ちょくせんで結むすぶユークリッド距離きょりが最小さいしょうとなるが（したがって大円だいえん弦つる長ちょう）、球面きゅうめん上じょうには直線ちょくせんが存在そんざいしないためこれとは異ことなる。非ひユークリッド空間くうかんでは、直線ちょくせんを一般いっぱん化かした測地そくち線せんを使用しようする。球面きゅうめんにおいては測地そくち線せんは球っきゅうの中心ちゅうしんを中心ちゅうしんとする円えんである大円だいえんとなるため、大円だいえん距離きょりは大円だいえん上じょうの2点てん間あいだの弧この長ながさとなる。

球面きゅうめん上じょうの対蹠たいしょ点てん以外いがいの2点てんを通とおる大円だいえんは一意いちいに定さだまる。 2点てんは大円だいえんを2つの弧こに分割ぶんかつする。そのうち短みじかい方ほうの弧この長ながさが大円だいえん距離きょりとなる。

対蹠たいしょ点てんに関かんしては、その2点てんを通とおる任意にんいの円えんが大円だいえんとなるが、すべての円えんにおいて2点てん間あいだの弧この長ながさは一定いっていである。すなわち半円はんえんの円周えんしゅうであり、半径はんけい $r$ の球たまにおいては $\pi r$ である。

地球ちきゅうはほぼ球状きゅうじょうであるため、2点てん間あいだの距離きょりを球たまとして計算けいさんしても誤差ごさは0.5%以内いないとなる（後述こうじゅつ）。^[1]

大円だいえんの弧こ（大圏たいけんコース）は等角とうかく航路こうろやisoazimuthal線せんと同様どうように地球ちきゅう上じょうの任意にんいの2点てん間あいだを結むすぶことができる3つの手法しゅほうの一ひとつである。

数式すうしき

２点てん間あいだの大円だいえん距離きょり $d$ （球面きゅうめん上じょうの経路けいろとして距離きょり）は、両者りょうしゃ間あいだの中心ちゅうしん角かくである弧こ度ど $\Delta \sigma$ および球たまの半径はんけい $r$ から求もとめられる。

d=r\,\Delta \sigma

大円だいえん距離きょりの計算けいさんは、航空機こうくうきや船舶せんぱくの経路けいろ計算けいさんの一部いちぶであり、大円だいえん距離きょり以外いがいに、出発しゅっぱつ点てんおよび中間ちゅうかんの各かく点てんにおける方位ほうい角かくの計算けいさんも行おこなう。海うみ里さとの距離きょりの計算けいさんの際さいは度数どすう法ほうにおける分ぶんがそのまま海里かいりとして用もちいられる（度どで表あらわしたものの60倍ばい）。

球面きゅうめん余弦よげん定理ていり

弧こ度ど $\Delta \sigma$ は球面きゅうめん余弦よげん定理ていりを用もちいて計算けいさんされることが多おおい。 $\phi _{1},\lambda _{1}$ と $\phi _{2},\lambda _{2}$ をそれぞれ点てん1と点てん2の緯度いどと経度けいどとし、 $\Delta \phi ,\Delta \lambda$ はそれらの差さを表あらわす。

\Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\cdot \sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cdot \cos \phi _{2}\cdot \cos \Delta \lambda {\bigr )}

ただし、この $\arccos$ 関数かんすうは精度せいど（ビット数すう）が低ひくい浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうを扱あつかう計算けいさん機きにおいては、短みじかい距離きょりにおいて大おおきな丸まるめ誤差ごさが発生はっせいし精度せいど条件じょうけんが悪化あっかする^[2]。ただし現在げんざい用もちいられる64ビットの浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうにおいては数すうメートル以上いじょうの距離きょりにおいては問題もんだいを起おこさないとの意見いけんもある^[3]。

単位たんい球面きゅうめんにおける大円だいえんの弦つる長ちょうと弧こ度ど

単位たんい球面きゅうめんにおける大円だいえんの弦つる長ちょう $\Delta \sigma _{\text{c}}$ と弧こ度ど $\Delta \sigma$ との関係かんけいは^[4]、

\Delta \sigma _{\text{c}}=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}

\Delta \sigma =2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}}

$\arcsin$ 関数かんすう^[5]は短みじかい距離きょりにおいて計算けいさん精度せいど条件じょうけんが良よい（球面きゅうめん余弦よげん定理ていりの利用りようよりも）^[6]。これはhaversine関数かんすう^[7]を用もちいても表現ひょうげんでき、歴史れきし的てきに弧こ度どを求もとめる計算けいさんで、下記かきの弦つる長ちょう計算けいさん式しきとhaversineの関数かんすう表ひょうを用もちいた。

弦つる長ちょうの計算けいさん

弦つる長ちょう $\Delta \sigma _{\text{c}}$ の計算けいさん式しきは（ $\phi _{\textrm {m}}\triangleq {\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}$ )：

{\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}

逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうを用もちいる計算けいさん式しき

上記じょうきの計算けいさん式しきは球面きゅうめん上じょうのほとんどの点てんの間あいだにおいて正確せいかくだが、対蹠たいしょ点てん間あいだに対たいしては $\arcsin$ 関数かんすうの計算けいさん精度せいどが低下ていかする。

対策たいさくとして、すべての距離きょりに用もちいることができる式しきとして逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう $\arctan$ ^[8]を用もちいる下記かきの式しきがある（Vincenty formula内ないで全すべての軸じくの経けいが等ひとしい楕円だえん体たいからも導みちびかれる）^[9]。

\Delta \sigma =\arctan {\frac {\sin \Delta \sigma }{\cos \Delta \sigma }},

\cos \Delta \sigma =\sin \phi _{1}\cdot \sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cdot \cos \phi _{2}\cdot \cos \Delta \lambda ,

\sin \Delta \sigma ={\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\cdot \sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\cdot \sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cdot \cos \phi _{2}\cdot \cos \Delta \lambda \right)^{2}}}.

直交ちょっこう座標ざひょう系けいによる弦つる長ちょうの計算けいさん

単位たんい球面きゅうめんにおける大円だいえん弦つる長ちょう $\Delta \sigma _{\text{c}}$ は直交ちょっこう座標ざひょう系けいを経由けいゆしても計算けいさんできる。

{\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\\Delta {X}&\triangleq \cos \phi _{2}\cdot \cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cdot \cos \lambda _{1}\\\Delta {Y}&\triangleq \cos \phi _{2}\cdot \sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cdot \sin \lambda _{1}\\\Delta {Z}&\triangleq \sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\end{aligned}}

ベクトル表現ひょうげん

弧こ度ど $\Delta \sigma$ は、ユークリッド空間くうかん上じょうの単位たんい長ちょう3次元じげんベクトルの内積ないせきと外積がいせきにより以下いかのように表あらわすことができる^[10]。 $\mathbf {n} _{1}$ と $\mathbf {n} _{2}$ は球面きゅうめん上じょうの2点てんの単位たんい法線ほうせんベクトルを表あらわす。計算けいさん精度せいど条件じょうけんの比較ひかくは上記じょうきと同様どうようとなる。

{\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})\\\Delta \sigma &=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\\Delta \sigma &=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}\,\!

回転かいてん楕円だえん体面たいめん上じょうの距離きょり

詳細しょうさいは「経緯けいい度ど#回転かいてん楕円だえん体面たいめんに沿そう最短さいたん距離きょりの式しき」を参照さんしょう

地球ちきゅう半径はんけい

地球ちきゅうの形状けいじょうは回転かいてん軸じく方向ほうこうに潰つぶれた球たま（扁ひらた球だま）とみなすことができる。この時とき赤道あかみち半径はんけい $a$ は6378.137 km、極ごく半径はんけい $b$ は6356.752 kmとなる。赤道せきどう付近ふきんの短みじかい南北なんぼく方向ほうこうの線せんにおいては半径はんけい $b^{2}/a$ (6335.439 km)とした際さいが最もっとも良よい近似きんじとなり、極きょくにおいては半径はんけい $a^{2}/b$ (6399.594 km) が最もっとも良よい。この差さは1%である。つまり、地球ちきゅうを球体きゅうたいと仮定かていした計算けいさんにおいては、地球ちきゅう上じょうの任意にんいの2点てん間あいだの距離きょりに対たいする1つの計算けいさんによる誤差ごさは 0.5% 以内いないとすることができる（ただし、限かぎられた地域ちいきに関かんしてはより誤差ごさの少すくない値ねを使用しようすることもできる。）。

この値ねとして平均へいきん地球ちきゅう半径はんけいを用もちいるとよく^[11]、その値ねは $R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371\,\mathrm {km}$ (値ねはGRS 80における回転かいてん楕円だえん体たい近似きんじに対たいして)である。扁平へんぺい率りつが小ちいさい場合ばあいはこの値ねが平均へいきん自乗じじょう誤差ごさを最小さいしょう化かする。

脚注きゃくちゅう

^ Admiralty Manual of Navigation, Volume 1, The Stationery Office, (1987), p. 10, ISBN 9780117728806
^ たとえば地球ちきゅう上じょうにおいては1 kmの距離きょりに対たいして0.99999999となる。
^ “Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points”. 10 Aug 2013閲覧えつらん。
^ $\Delta \sigma _{\text{c}}=0$ における級数きゅうすう展開てんかい形がたは、 $\Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}^{2}}{24}}+{\frac {3\Delta \sigma _{\text{c}}^{4}}{640}}+\cdots \right)$ 。
^ もしくは逆ぎゃくhaversine関数かんすう。
^ Sinnott, Roger W. (August 1984). “Virtues of the Haversine”. Sky and Telescope 68 (2): 159.
^ $\operatorname {hav} (\theta )\triangleq \sin ^{2}(\theta /2)$
^ プログラミングの際さいは通常つうじょうの逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう(atan())よりも atan2() 関数かんすうを用もちいたほうが、 $\Delta \sigma$ が全ぜん象限しょうげんで出力しゅつりょくされるため良よい。
^ Vincenty, Thaddeus (1975-04-01). “Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with Application of Nested Equations” (PDF). Survey Review (Kingston Road, Tolworth, Surrey: Directorate of Overseas Surveys) 23 (176): 88–93. doi:10.1179/sre.1975.23.176.88 2008年ねん7月がつ21日にち閲覧えつらん。.
^ Gade, Kenneth (2010). “A non-singular horizontal position representation” (PDF). The Journal of Navigation (Cambridge University Press) 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415.
^ McCaw, G. T. (1932). “Long lines on the Earth”. Empire Survey Review 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.