大だい圆距离

大だい圆距离（英語えいご：Great-circle distance，縮寫しゅくしゃ：GCD）指ゆび的てき是ぜ从球面めん的てき一いち点てんA出で发到达球面めん上じょう另一いち点てんB，所しょ经过的てき最短さいたん路ろ径みち的てき长度。一般いっぱん说来，球面きゅうめん上じょう任意にんい两点A和わB都と可か以与球心きゅうしん确定唯一ゆいいつ的てき大だい圆，这个大だい圆被称しょう为黎はじむ曼圆，而在大だい圆上连接这两点てん的てき较短的てき一条弧的长度就是大圆距离。若わか这两点てん和わ球心きゅうしん正ただし好こう都と在ざい球たま的てき直径ちょっけい上じょう，则过这三点可以有无数大圆，但ただし两点之の间的弧こ长都相等そうとう，且等于该大だい圆周长的一半いっぱん$\pi r$, r 是ぜ球だま的てき半径はんけい。由よし于地球ちきゅう类似球体きゅうたい，地球ちきゅう上じょう任にん何なん两点沿球面めん的てき最短さいたん距离都と可か以通过大圆距离的公式こうしき估算的てき出で，这在航空こうくう和わ航海こうかい上うえ都と有ゆう很大作用さよう。

公式こうしき

令れい$\phi _{s},\lambda _{s};\ \phi _{f},\lambda _{f}\;\!$ 分ぶん别代表だいひょう球面きゅうめん上じょう两点的てき纬度和わ经度，(s代表だいひょう出で发点，f代表だいひょう前ぜん往点)，$\Delta \phi ,\Delta \lambda \;\!$ 是ぜ两者差さ的てき绝对值，那な么两点てん之の间的圆心角かく可か由ゆかり球面きゅうめん余弦よげん定律ていりつ所ところ给出:

${\color {white}{\Big |}}\Delta {\widehat {\sigma }}=\arccos {\big (}\sin \phi _{s}\sin \phi _{f}+\cos \phi _{s}\cos \phi _{f}\cos \Delta \lambda {\big )}.\;\!$

此两点てん间的大だい圆距离 d，即そく可か根ね据すえ弧こ长公式しき得とく出で，

$d=r\,\Delta {\widehat {\sigma }}.\,\!$

在ざい两点之の间的大だい圆距离相对球体きゅうたい的てき半径はんけい很短时，其圆心しん角かく很小，余弦よげん函数かんすう接近せっきん于1，按照以上いじょう的てき反はん余弦よげん函数かんすう公式こうしき会かい有ゆう较大的てき舍しゃ入にゅう误差。此时可か使用しよう半はん正せい矢や函数かんすう的てき定てい义和两角和わ的てき余弦よげん函数かんすう展てん开式求もとめ出で使用しよう半はん正せい矢や函数かんすう计算大だい圆距离的公式こうしき。

${\color {white}{\frac {\bigg |}{|}}}\Delta {\widehat {\sigma }}=2\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{s}}\cos {\phi _{f}}\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right).\;\!$

这就是ぜ在ざい航海こうかい上じょう运用广泛的てき半はん正せい矢や公式こうしき，历史上しじょう会かい将はた距离和かず半なかば正せい矢や函数かんすう值的关系直接ちょくせつ制せい成なり表ひょう格かく，方便ほうべん使用しよう。

矢や量りょう形式けいしき

另一种表达方式しき是ぜ使用しよう出で发点和わ到いた达点的てき法ほう矢や量りょう与あずか矢や量的りょうてき数量すうりょう积、向むこう量りょう积和混合こんごう积来表ひょう达大圆距离

${\begin{aligned}&\Delta {\hat {\sigma }}={\text{arccos}}\left({\boldsymbol {n}}_{es}^{e}\cdot {\boldsymbol {n}}_{ef}^{e}\right)\\&\Delta {\hat {\sigma }}={\text{arcsin}}\left(\left|{\boldsymbol {n}}_{es}^{e}\times {\boldsymbol {n}}_{ef}^{e}\right|\right)\\&\Delta {\hat {\sigma }}={\text{arctan}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {n}}_{es}^{e}\times {\boldsymbol {n}}_{ef}^{e}\right|}{{\boldsymbol {n}}_{es}^{e}\cdot {\boldsymbol {n}}_{ef}^{e}}}\right)\\\end{aligned}}\,\!$

此处的てき${\boldsymbol {n}}_{es}^{e}\,\!$ and ${\boldsymbol {n}}_{ef}^{e}\,\!$ 分ぶん别是起点きてん和わ终点的てきn矢や量りょう。此处使用しよう的てき是ぜ反はん正せい切きり函数かんすう，相そう对于反はん余弦よげん函数かんすう较为精せい确，但ただし如果原始げんし数すう据すえ是ぜ以经纬度形式けいしき给出，则需要じゅよう先さき将はた经纬度数どすう据すえ转化成かせいn矢や量りょう。

从弦长求大だい圆距离

链接球面きゅうめん上じょう两点之の间的线段就是这两点てん所在しょざい大だい圆上两点之の间的弦つる，这条弦つる所しょ对的圆心角かく可か通どおり过几何なん关系求もとめ出で，然しか后きさき再さい通つう过弧长公式しき求もとめ出で这条弧こ的てき弧こ长，即そく两点间的大だい圆距离。

${\begin{aligned}&\Delta {X}=\cos(\phi _{f})\cos(\lambda _{f})-\cos(\phi _{s})\cos(\lambda _{s});\\&\Delta {Y}=\cos(\phi _{f})\sin(\lambda _{f})-\cos(\phi _{s})\sin(\lambda _{s});\\&\Delta {Z}=\sin(\phi _{f})-\sin(\phi _{s});\\\end{aligned}}\,\!$

$\mathbb {C} _{h}={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}$

圆心角かく等とう于：

$\Delta {\widehat {\sigma }}=2\arcsin \left({\frac {C_{h}}{2}}\right).\,\!$

大だい圆距离等于：

$d=r\Delta {\widehat {\sigma }}.\,\!$

地球ちきゅう上じょう两点间的大だい圆距离

参まいり见：地球ちきゅう半径はんけい

对于近似きんじ于球体きゅうたい的てき立体りったい，比ひ如地球ちきゅう。其形状じょう接近せっきん一いち个表面めん平坦へいたん、赤道せきどう稍やや鼓こ（6378.137千せん米まい）、两极稍やや扁ひらた（6356.752千せん米まい）的てき扁ひらた球体きゅうたい。对其半径はんけい的てき估计有ゆう多た种方法ほう：国くに际大地ち测量学がく与あずか地球ちきゅう物理ぶつり学がく联合会かい定てい义地球ちきゅう的てき平均へいきん半径はんけい为：

$R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!$

将はた极半径はんけい和わ赤道せきどう半径はんけい代入だいにゅう后きさき，求もとめ出で其平均へいきん半径はんけい为6,371.009公里くり（3,958.761英里えり）。知道ともみち地球ちきゅう的てき平均へいきん半径はんけい后きさき，将はた所ところ求もとむ两点的てき经纬度ど代入だいにゅう公式こうしき，即そく可か求もとめ出で两点间的大だい圆距离。

參まいり見み

• 球面きゅうめん幾何きか
• 極地きょくち航こう線せん
• 西北せいほく水道すいどう
• 北方ほっぽう海路かいろ

外部がいぶ链接

• Great Circle Calculation, Distance, Vertex, Initial and Final Course (English) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）