メルカトル図法ずほう

1569年ねんにメルカトルが作成さくせいした地図ちず

メルカトル図法ずほう（英えい:Mercator projection）は、1569年ねんにフランドル（現げんベルギー）出身しゅっしんの地理ちり学者がくしゃゲラルドゥス・メルカトルがデュースブルク（現げんドイツ）で発表はっぴょうした地図ちずに使つかわれた投影とうえい法ほうである。図ずの性質せいしつと作成さくせい方法ほうほうから正せい角かく円筒えんとう図法ずほうともいう。等角とうかく航路こうろが直線ちょくせんで表あらわされるため、海図かいず・航路こうろ用地ようち図ずとして使つかわれてきた。メルカトルが発案はつあん者ものというわけではなく、ドイツのエアハルト・エッツラウプが1511年ねんに作成さくせいした地図ちずにはすでに使つかわれていた。

特徴とくちょう

この図法ずほうでは経線けいせんは平行へいこう直線ちょくせんに、緯線いせんは経線けいせんに直交ちょっこうする平行へいこう直線ちょくせんになる。ところが正せい角かく性せいを維持いじするには、横よこ方向ほうこう・縦たて方向ほうこうの拡大かくだい率りつを一致いっちさせる必要ひつようがある。緯線いせんはすべて赤道あかみちと同おなじ長ながさになるので、高緯度こういど地方ちほうに向むかうにつれて実際じっさいの長ながさ（地球儀ちきゅうぎ上じょうの長ながさ）より横よこ方向ほうこうに拡大かくだいされる。それに応おうじて縦たて方向ほうこう（経線けいせん方向ほうこう）にも拡大かくだいさせるので、高緯度こういどに向むかうにつれ距離きょりや面積めんせきが拡大かくだいされることになる。例たとえば緯度いど60度どでは、本来ほんらいの緯線いせんの長ながさは赤道せきどうの半分はんぶんなので2倍ばいに拡大かくだいされ、したがって経線けいせんも2倍ばいに拡大かくだいされるので、面積めんせきは4倍ばいに拡大かくだいされる。より高緯度こういどのグリーンランドの面積めんせきは実際じっさいより17倍ばいも拡大かくだいされている。

メルカトル図法ずほうの地図ちずにおいて、出発しゅっぱつ地ちと目的もくてき地ちとの間あいだに直線ちょくせんを引ひいて経線けいせんとなす角度かくど（「舵かじ角かく」という）を測はかり、方位ほうい磁針じしんを見みながら常つねにその角度かくどへ進すすむようにすれば、（北きた磁極じきょくと真ま北きたの差さを誤差ごさとして）目的もくてき地ちに到着とうちゃくする。このコースは航こう程ほど線せん（等角とうかく航路こうろ）と呼よばれ、多おおくの場合ばあいに最短さいたん距離きょり（大圏たいけんコース）から大おおきく外はずれるが、舵取かじとりが容易よういなため羅針盤らしんばんが発明はつめいされた時代じだいから広ひろく利用りようされてきた。なお航こう程ほど線せんが直線ちょくせんになるのは経線けいせんが平行へいこう直線ちょくせんであり、正せい角かく図法ずほうだからである。

赤あかい円えん（テイソーの指示しじ楕円だえん）は、地球ちきゅう上じょうの同おなじ大おおきさの円えんをメルカトル図法ずほうで投影とうえいしたもの。どの円えんも小ちいさければ歪いがむことなく円えんになるが、大おおきさは緯度いどによって異ことなる

メルカトル図法ずほうの大おおきな特徴とくちょうは角度かくどが正ただしい、すなわち十分じゅうぶん狭せまい範囲はんいだけを見みると形かたちが正ただしいことである。一方いっぽうで緯度いどによって縮尺しゅくしゃくが変化へんかし、特とくに高緯度こういど地方ちほうは著いちじるしく拡大かくだいされてしまう。そのため、広ひろい範囲はんいでの角度かくど、距離きょり、面積めんせき比ひは正ただしくない。また極きょくにおいては、極きょくも赤道せきどうと同おなじ長ながさで表現ひょうげんされるので横よこ方向ほうこうに無限むげん大だいに拡大かくだいされ、正せい角かく性せいを維持いじするため縦たて方向ほうこうも無限むげん大だいに拡大かくだいしなければならない。これは実際じっさいには不可能ふかのうなので、極きょくを表現ひょうげんできない。よってメルカトル図法ずほうでは原理げんり的てきに世界せかい全ぜん図ずを描えがけない。そこで高緯度こういど地方ちほうが拡大かくだいしないよう、経線けいせん方向ほうこうの伸のびを圧縮あっしゅくしたのがミラー図法ずほうである。世界せかい全ぜん図ずが表現ひょうげんできるようになったが、正せい角かく性せいは失うしなわれている。

近年きんねんでは、ネット上じょうにおけるシームレスな世界せかい地図ちずの表現ひょうげん方法ほうほうとして、メルカトル図法ずほうが用もちいられている。北きたが必かならず上うえであり、正せい角かく図法ずほうであるため十じゅう分ふん拡大かくだいすれば歪ゆがみが問題もんだいとならない。実際じっさいには、縮尺しゅくしゃくごとに巨大きょだいなメルカトル図法ずほうの世界せかい地図ちず画像がぞうを用意よういし、要求ようきゅうされた範囲はんいだけを四角しかくく切きり抜ぬいて送おくり出だせばよい。ただし縮尺しゅくしゃくは緯度いどによって変かわるので、比較ひかくのための尺しゃくを変化へんかさせる必要ひつようがある。

投影とうえい法ほうの表ひょう式しき

地図ちずの中央ちゅうおうの経度けいどが $\lambda _{0}$ であるとき、半径はんけいを1とする単位たんい球面きゅうめんにおける地理ちり経緯けいい度ど $\lambda ,\,\varphi$ の点てんが投影とうえいされるメルカトル図法ずほうの地図ちず上じょうの点てん $x,\,y$ は次つぎ式しきで与あたえられる。

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\sin \varphi \\&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi \\\end{aligned}}$

次つぎ式しきは逆ぎゃく変換へんかん、すなわち図上ずじょう位置いち $x,\,y$ から経緯けいい度どを与あたえる。

${\begin{aligned}\lambda &=x+\lambda _{0}\\\varphi &=2\tan ^{-1}\exp y-{\frac {\pi }{2}}\\&=\sin ^{-1}\tanh y\\&=\operatorname {gd} y\\\end{aligned}}$

ここで $\operatorname {gd} y$ はグーデルマン関数かんすうである。グーデルマン関数かんすうの逆ぎゃく関数かんすう $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi$ はランベルト関数かんすうとも呼よばれている。

ただし地球ちきゅうは扁ひらた球だま回転かいてん楕円だえん体たいモデルがより正確せいかくなので、 $y$ 座標ざひょうを縮減しゅくげんする必要ひつようがあり、長ちょう半径はんけいを1、第だい一いち離はなれ心しん率りつを $e$ として、

${\begin{aligned}y=\tanh ^{-1}\sin \varphi -e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\end{aligned}}$

となる。この量りょうを新あらたな緯度いどと見立みたてることもでき、その際さいにはこの量りょうは“等ひとし長ちょう緯度いど“と称しょうされる。

この地表ちひょう面めん上じょうの微小びしょう距離きょり$dt$と地図ちず上じょうの微小びしょう距離きょり$ds$との関係かんけい（縮尺しゅくしゃく）は正せい角かく投影とうえいであるので方位ほうい角かくには依存いぞんしない。

$ds=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ dt$

なおGoogle Maps（他たの提供ていきょう元もとの「web地図ちず」も同様どうよう）では、$y$ 座標ざひょうの投影とうえい式しきで$e=0$とおいているので正確せいかくな正せい角かく投影とうえいにはならない。また投影とうえい上じょうの地球ちきゅう半径はんけいはズームレベルに応おうじた値ねを用もちいている

$a_{\text{map}}={\frac {256\times 2^{zoomLevel}}{2\pi }}\ {\text{pixels}}$

歴史れきし

メルカトルは、直線ちょくせんを引ひくことで等角とうかく航路こうろが求もとまる地図ちずを作つくろうとしていたようである。 しかしながらメルカトルの時代じだいにはまだ積分せきぶん法ほうが知しられておらず、赤道せきどうから各かく緯度いどまでの地図ちず上じょうの距離きょりを示しめす定じょう積分せきぶん

${\textstyle u=\int _{0}^{\varphi }\sec \theta {\rm {d}}\theta =\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)=\tanh ^{-1}\sin \varphi =\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$

をメルカトルは級数きゅうすうとして近似きんじ的てきに計算けいさんしたにとどまり、作図さくずに必要ひつような数学すうがく的てき根拠こんきょを明あきらかにしなかったので、メルカトル図法ずほうは普及ふきゅうしなかった。

海図かいずをはじめ世界せかい図ずにも用もちいられるようになったのは、1599年ねんにイギリスのエドワード・ライトが数値すうち計算けいさん法ほう（今日きょうでいうリーマン和わによる方法ほうほう）を用もちいて緯線いせん距離きょりを導みちびき出だし、作図さくずに必要ひつような数かず表ひょうを作成さくせいしてからである。この定てい積分せきぶんを求もとめる問題もんだいは17世紀せいき中期ちゅうきに地図ちず学がくを目的もくてきとする数学すうがく上じょうの関心事かんしんじとして取とり沙汰ざたされていた（正せい割わり関数かんすうの積分せきぶん問題もんだい）が、当該とうがい積分せきぶんはアイザック・バローによって初はじめて閉とじた式しきとして求もとめられたとされ（年代ねんだい不ふ詳しょう）、1668年ねんにジェームス・グレゴリーによっても求もとめられた。今日きょうでは、この緯線いせん距離きょり $u$ の式しきは上述じょうじゅつのランベルト関数かんすう（逆ぎゃくグーデルマン関数かんすう）$\operatorname {gd} ^{-1}\varphi$ に相当そうとうすると解釈かいしゃくされる。

縮尺しゅくしゃく

世界せかい地図ちずレベルの広域こういき地図ちずの場合ばあいは赤道せきどう上じょうの縮尺しゅくしゃくをその地図ちずの縮尺しゅくしゃくとして表示ひょうじすることが多おおいが、縮尺しゅくしゃくの変化へんかがあまりに大おおきいので、緯度いど別べつのスケールを書かくことも多おおい。

海図かいずのように比較的ひかくてき限かぎられた範囲はんいを描えがく場合ばあいは「1/1,000,000（北緯ほくい35度ど）」のように緯度いどを指定していして縮尺しゅくしゃくを表示ひょうじする。さらに狭せまい範囲はんいの場合ばあいは、地図ちずの中央ちゅうおうなど図ず中ちゅうの決きめられた地点ちてんの縮尺しゅくしゃくを表示ひょうじする。（十分じゅうぶん狭せまい場合ばあいは縮尺しゅくしゃくの変化へんかを無視むしできる）。赤道せきどう上じょうを縮尺しゅくしゃくの基準きじゅんとする場合ばあいを接せっ円筒えんとう型がた (tangent type) 、赤道あかみち以外いがいの緯度いどを縮尺しゅくしゃくの基準きじゅんとする場合ばあいを割わり円筒えんとう型がた (secant type) と呼よぶ場合ばあいがある。

短みじかい距離きょりの簡易かんい的てきな測定そくてい方法ほうほうとしては、地図ちず上じょうで長ながさを測はかり、その長ながさを同おなじ緯度いど付近ふきんで経線けいせん方向ほうこうにし、緯度いど差さが何なん度どに相当そうとうするかを確認かくにんし、1度どあたりの子午線しごせん弧こ長ちょうを約やく111km（1分ぶんあたり1海うみ里さと）で換算かんさんする。

横よこメルカトル図法ずほうや斜はす軸じくメルカトル図法ずほうのように、緯度いどだけあるいは経度けいどだけで簡単かんたんに縮尺しゅくしゃく変化へんかを表現ひょうげんできない場合ばあい、表記ひょうき縮尺しゅくしゃくに対たいして基準きじゅん線せんの縮尺しゅくしゃくをどれだけ小ちいさくするかを縮尺しゅくしゃく係数けいすうとして指定していする。ただしこれらの図法ずほうは比較的ひかくてき大おおきな縮尺しゅくしゃくで用もちいられるので、精密せいみつな測定そくていをするのでなければ意識いしきする必要ひつようはない。

派生はせい図法ずほう

通常つうじょう「メルカトル図法ずほう」といえば赤道せきどうを基準きじゅん線せんとして、南北なんぼくに離はなれると拡大かくだいする図法ずほうを指さすが、他たの大円だいえんも基準きじゅん線せんにできる。子午線しごせんを基準きじゅん線せんとしたものを横よこメルカトル図法ずほう、それ以外いがいの大円だいえんを基準きじゅん線せんとしたものを斜はす軸じくメルカトル図法ずほうという。さらに地球ちきゅうを回転かいてん楕円だえん体たいとして考慮こうりょした横よこメルカトル図法ずほうは特とくにガウス・クリューゲル図法ずほうとも呼よばれる。これらは通常つうじょうのメルカトル図法ずほう（円筒えんとう図法ずほう）のもっとも目立めだつ特徴とくちょうである「経線けいせんと緯線いせんが直交ちょっこうする直線ちょくせんである」性質せいしつが失うしなわれるので、小しょう縮尺しゅくしゃくの世界せかい地図ちずにはあまり使つかわれない。しかし、他たの正せい角かく図法ずほうである平射へいしゃ図法ずほうやランベルト正せい角かく円錐えんすい図法ずほうと比くらべると、

• 基準きじゅん線せんが直線ちょくせんになる
• その基準きじゅん線せんと平行へいこうな直線ちょくせん上じょうで縮尺しゅくしゃくが同おなじ

などの利点りてんもある。そのため地形ちけい図ずなど中ちゅう縮尺しゅくしゃく～大だい縮尺しゅくしゃく地図ちずの図法ずほうとして、対象たいしょう地域ちいきの近ちかくに基準きじゅん線せんを設定せっていし、基準きじゅん線せん近辺きんぺんのごく狭せまい範囲はんいに限定げんていして使用しようされることが多おおい（ユニバーサル横よこメルカトル図法ずほう参照さんしょう）。

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