平行へいこう

初等しょとう幾何きか学がく、特とくにユークリッド幾何きか学がくにおける平行へいこう性せい（へいこうせい、英えい: parallelism）は、ユークリッド平面へいめん上うえの直線ちょくせんが互たがいに交まじわらないという関係かんけい性せいを抽象ちゅうしょう化かするものである。三さん次元じげん空間くうかんにおいて、直線ちょくせんと平面へいめんや平面へいめん同士どうしについても共有きょうゆう点てんがないことを以って平行へいこう性せいを考かんがえることができる。ただし、三さん次元じげん空間くうかん内ないの直線ちょくせん同士どうしの場合ばあいには、それらが互たがいに平行へいこうとなるためには共とも面めん性せい(それらが同どう一いち平面へいめん上じょうにあること)を要請ようせいしなければならない（交まじわらない二に直線ちょくせんは、それらが同どう一いち平面へいめん上じょうにないならばねじれの位置いちにあるという）。

平行へいこう線せんはユークリッド原論げんろんにおける平行へいこう線せん公準こうじゅんの主しゅ対象たいしょうである^{[注釈ちゅうしゃく 1]}。平行へいこう性せいは第一義だいいちぎにはアフィン幾何きか学がくの性質せいしつの一ひとつであり、ユークリッド幾何きか学がくはその種たねの幾何きか学がくの特別とくべつな実例じつれいである。その他たの幾何きか学がくにおいては、例たとえば双そう曲きょく幾何きか学がくなどでは、同様どうようの（しかしまったく同おなじではない）特定とくていの性質せいしつを満みたすことを「平行へいこう」とい表いあらわす。

以下いか、特とくに言及げんきゅうのない限かぎり、主おもにユークリッド幾何きか学がくにおける平行へいこう性せいについて述のべる。

歴史れきし

平面へいめん上じょうの互たがいに交まじわらない直線ちょくせんの対たいとしての平行へいこう線せんの定義ていぎは『原論げんろん』第だい I 巻まきの定義ていぎ 23 に現あらわれている^[1]。古代こだいギリシア人じんは、おもに平行へいこう線せん公準こうじゅんを証明しょうめいしようと試こころみる中なかで、もっと別べつの平行へいこう線せんの定義ていぎについても議論ぎろんしている。プロクルスは等距離とうきょり直線ちょくせんとしての平行へいこう線せんの定義ていぎはポセイドニオスに帰きするとし、同おなじ脈絡みゃくらくにおいてゲミノスを引用いんようしている。シンプリキオスもポセイドニオスの定義ていぎに言及げんきゅうし、アガニスによるその修正しゅうせいについても述のべている^[1]。

19世紀せいきの終おわりごろ、イングランドにおいて『原論げんろん』はいまだ中学校ちゅうがっこうにおける標準ひょうじゅん的てきな教科書きょうかしょであった。新あらたな射影しゃえい幾何きか学がくおよび非ひユークリッド幾何きか学がくの勃興ぼっこうにより、旧来きゅうらいからの幾何きか学がくの取とり扱あつかいは変化へんかを余儀よぎなくされており、このころいくつか新あたらしい幾何きか学がくの教科書きょうかしょが書かかれている。これら新興しんこうの教科書きょうかしょにおける主要しゅような相違そうい点てんは—それら新興しんこう教科書きょうかしょの間あいだでも、またそれらと原論げんろんとの間あいだでも—平行へいこう線せんの取とり扱あつかいが異ことなることである^[2]。これらの改革かいかく的てきな教科書きょうかしょに批判ひはん的てきな人物じんぶつがいないはずはなく、そのうちの一人ひとりとしてチャールズ・ドッジソン（ルイス・キャロルとして知しられる）は戯曲ぎきょく Euclid and His Modern Rivals（『ユークリッドと彼かれの現代げんだいのライバルたち』）を書かき、それらテキストを扱こき下おろした^[3]

初期しょきの改革かいかく的てき教科書きょうかしょの一ひとつが、ジェームス・ウィルソン・モリス（英語えいご版ばん）の1868年ねんの著書ちょしょ Elementary Geometry^[4]（「初等しょとう幾何きか学がく」）である。ウィルソンは自身じしんの「方向ほうこう」(direction) という原始げんし概念がいねん（英語えいご版ばん）に依拠いきょした平行へいこう線せんの定義ていぎに基もとづいていた。ヴィルヘルム・キリング（英語えいご版ばん）に従したがえば^[5]、この考かんがえ方かたはライプニッツにまで遡さかのぼれる^[6]。ウィルソンは、原始げんし概念がいねんとして未定義みていぎのまま「方向ほうこう」という言葉ことばをほかの定義ていぎで用もちいており、例たとえば6番目ばんめの定義ていぎは「互たがいに交まじわる二ふたつの直線ちょくせんはそれぞれ異ことなる方向ほうこうを持もち、それら方向ほうこうの差さはそれらの間あいだの「角かく」である」のように述のべている^[7]。定義ていぎ 15 において平行へいこう線せんは以下いかのように導入どうにゅうされる:「同おなじ向むきを持もつが一ひとつの同おなじ直線ちょくせんの部分ぶぶんとなっていない直線ちょくせんを平行へいこう線せんと呼よぶ」^[8]。オーガスタス・ド・モルガンはこの教科書きょうかしょを批評ひひょうして、主おもにこの定義ていぎおよびウィルソンが平行へいこう線せんに関かんする内容ないようを証明しょうめいするのに用もちいた方法ほうほうに基もとづいて誤あやまりであると断だんじた。ドッジソンもまた、ウィルソンによる平行へいこう線せんの取とり扱あつかいを非難ひなんするために、彼かれの戯曲ぎきょくの大だい部分ぶぶんを当あてている (Act II, Scene VI § 1)。ウィルソンは自身じしんの教科書きょうかしょの第だい三さん版はん以降いこう、これを改あらためている^[9]。

他たの改革かいかく者しゃたちによって提案ていあんされた、平行へいこう線せんの定義ていぎの置おき換かえとして用もちいられた他ほかの性質せいしつも、大おおきく優すぐれるものはなかった。主おもな難点なんてんは、ドッジソンの指摘してきしたように、それらを用もちいるために系けいに余計よけいな公理こうりを追加ついかする必要ひつようがあったことである。ポセイドニウスの等距離とうきょり直線ちょくせんとしての定義ていぎは、Francis Cuthbertson が1874年ねんの著書ちょしょ Euclidean Geometry で解説かいせつしたように、直線ちょくせんの片側かたがわに与あたえられた一定いっていの距離きょりに位置いちする点てんの全体ぜんたいが直線ちょくせんを成なすことを示しめさなければならないという問題もんだいから逃のがれられない。これは証明しょうめいできることではなく、それが真しんであるというのは改あらためて公理こうりとして要請ようせいしなければならないのである^[10]。横断おうだん線せんによる同位どうい角かくの性質せいしつを用もちいた定義ていぎは W. D. Cooley が1860年ねんの著書ちょしょ The Elements of Geometry, simplified and explained で用もちいたが、この性質せいしつを利用りようするには「一ひとつの直線ちょくせんが直線ちょくせんの対たいに横断おうだん的てきに交まじわるとき同位どうい角かくが合同ごうどうとなるならば、任意にんいの横断おうだん線せんにおいてもそうでなければならない」という主張しゅちょうの証明しょうめいが求もとめられ、その正当せいとう化かにはやはり新あらたな公理こうりが必要ひつようであった。

平面へいめん幾何きか

平行へいこう条件じょうけん

ユークリッド空間くうかん内うちの互たがいに平行へいこうな直線ちょくせん $l, m$ に対たいし、以下いかの性質せいしつは互たがいに同値どうちである:

互たがいに一様いちよう等距離とうきょり（英語えいご版ばん）: 直線ちょくせん $m$ 上うえの点てんは、直線ちょくせん $l$ との（最短さいたん）距離きょりがどの点てんにおいても同一どういつの値ねを持もつ
直線ちょくせん $m$ は直線ちょくせん $l$ と同どう一いち平面へいめん上じょうにあるが、 $l$ とは交まじわらない（ここで、直線ちょくせんとは何いずれの方向ほうこうにも無限むげんに伸のびているものを言いうことに注意ちゅうい）
二に直線ちょくせん $m, l$ がともに同どう一いち平面へいめん上じょうにある第だい三さんの直線ちょくせん（横断おうだん線せん）と交まじわるとき、それらが横断おうだん線せんとの交まじわりで生しょうじる同位どうい角かくが互たがいに合同ごうどうである。

これらの性質せいしつは互たがいに同値どうちであるから、これらのうち任意にんいの一ひとつをユークリッド空間くうかんにおける平行へいこう線せんの定義ていぎとして採用さいようすることができるが、最初さいしょと最後さいごのものは長ながさや角度かくどを測はかったりする操作そうさが含ふくまれ、そのぶん真まん中なかの性質せいしつよりは複雑ふくざつになっている。そこで、真まん中なかの性質せいしつをユークリッド空間くうかんにおける平行へいこう性せいの定義ていぎに採用さいようするのが普通ふつうである^[11]。そしてほかのふたつの性質せいしつは平行へいこう線せんの公理こうりからの帰結きけつということになる。ほかにも、傾かたむきを測はかる操作そうさを含ふくめれば、直線ちょくせんが互たがいに平行へいこうということをそれらの傾かたむきが同おなじであることによって定義ていぎすることができる。

作図さくず

上記じょうきの三さん性質せいしつからは三さん種類しゅるいのそれぞれ異ことなる平行へいこう線せんの作図さくず法ほうが与あたえられる^{[注釈ちゅうしゃく 2]}

問題もんだい: 点てん $a$ を通とおり、直線ちょくせん $l$ に平行へいこうな直線ちょくせんを引ひくこと

問題: 点 a を通り、直線 l に平行な直線を引くこと — 問題もんだい: 点てん $a$ を通とおり、直線ちょくせん $l$ に平行へいこうな直線ちょくせんを引ひくこと

作図さくず法ほう

1: 直線ちょくせん $m$ は直線ちょくせん $l$ に対たいする距離きょりが至いたる所ところ同おなじ
2: $a$ を通とおる任意にんいの直線ちょくせんが $l$ と $x$ において交まじわるとき、 $x$ を無限むげん遠とおへ動うごかす
3: $a$ を通とおる $l, m$ に共通きょうつうの横断おうだん線せんが、両者りょうしゃと直角ちょっかくに交まじわる

平行へいこう線せんの間あいだの距離きょり

詳細しょうさいは「二に直線ちょくせん間あいだの距離きょり（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

ユークリッド平面へいめん内ないの平行へいこう線せんは等距離とうきょり（英語えいご版ばん）だから、平行へいこうな二に直線ちょくせん間あいだの距離きょりは一意いちいに決きまる。軸じくに平行へいこうでない平行へいこう二に直線ちょくせんの方程式ほうていしきを ${\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=mx+b_{2}\end{cases}}$ としてこれらに直線ちょくせんの間あいだの距離きょりは、これら平行へいこう線せんの共通きょうつう垂線すいせんとの交点こうてんとなる二に点てんの位置いちを決定けっていし、それらの間あいだの距離きょりを測はかれば求もとめられる。共通きょうつうの傾かたむきを $m$ としたから、共通きょうつう垂線すいせんの傾かたむきは $-1/ m$ であり、用もちいる垂線すいせんは何なんでもよいので、 $y = - x / m$ を用もちいることにすれば、二ふたつの交点こうてんは ${\textstyle (x_{i},y_{i})=({\frac {-b_{i}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{i}}{m^{2}+1}})\quad (i=1,2)}$ と求もとまる（ただし、この交点こうてんの座標ざひょうは $m = 0$ でも有効ゆうこう）から、これら二に点てん間あいだの距離きょり $d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}$ が得えられる。

同様どうように、直線ちょくせんを一般いっぱん形がたの方程式ほうていしき ${\begin{cases}ax+by+c_{1}=0\\ax+by+c_{2}=0\end{cases}}$ で与あたえたときのそれらの間あいだの距離きょりは $d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ と書かける。

空間くうかん幾何きか

空間くうかん直線ちょくせん同士どうしの場合ばあい: 同一どういつの三さん次元じげん空間くうかん内ないにある二に直線ちょくせんが互たがいに交まじわらないとき、それらは平行へいこうとは限かぎらない。それらが平行へいこうとなるのは、それらが同どう一いち平面へいめん上じょうにある場合ばあいに限かぎる。そうでないとき、それらはねじれの位置いちにある。; 三さん次元じげん空間くうかん内ないの相そう異ことなる直線ちょくせん $l, m$ が平行へいこうとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、 $m$ 上うえの点てん $P$ から測はかった $l$ 上うえの最もっとも近ちかい点てんへの距離きょりが、 $P$ のとり方かたに依よらないことである。これはねじれの位置いちにある場合ばあいには絶対ぜったいに成なりたない。
直線ちょくせんと平面へいめんの場合ばあい: 同おなじ三さん次元じげん空間くうかん内ないにある直線ちょくせん $m$ と平面へいめん $q$ で、 $m$ が平面へいめん $q$ 上うえにないとき、それらが平行へいこうとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それらが交まじわらないことである。; もちろん、それらが平行へいこうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんを、 $m$ 上うえの任意にんいの点てん $P$ から測はかった $q$ 上うえの最もっとも近ちかい点てんへの距離きょりが $P$ の位置いちのとり方かたに依よらないことと述のべることもできる。
平面へいめん同士どうしの場合ばあい: 「互たがいに平行へいこうとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんがそれらが共有きょうゆう点てんを持もたないことである」という同どう一いち平面へいめん上じょうの平行へいこう線せんに対たいすると同様どうようの事実じじつが、同どう一いち三さん次元じげん空間くうかん内ないの平行へいこう面めんに対たいしても成立せいりつする。; また、同どう一いち三さん次元じげん空間くうかん内ないの相そう異ことなる二ふたつの平面へいめん $q, r$ が平行へいこうとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、平面へいめん $q$ 上うえの点てん $P$ から平面へいめん $r$ 上うえの最もっとも近ちかい点てんへ測はかった距離きょりが $P$ の位置いちの選えらび方かたに依よらないことである。このことは、より高次こうじの空間くうかん内ないで考かんがえる場合ばあいには、同どう一いち三さん次元じげん空間くうかん内ないにない二ふたつの平面へいめんでは成なりたない。

反射はんしゃ的てきな平行へいこう性せい

綜合そうごう的てきアフィン幾何きか学がくにおいて、直線ちょくせんが互たがいに平行へいこうであるという関係かんけいは、ユークリッド幾何きか学がくにおける用法ようほうからやや修正しゅうせいした基本きほん概念がいねんである。平行へいこう性せいが対称たいしょうかつ推移すいい的てきな関係かんけいであることは明あきらかであり、それが反射はんしゃ的てきならば同値どうち関係かんけいが定さだまる。ふつう、ユークリッド幾何きか学がくにおいて直線ちょくせんは自分じぶん自身じしんと平行へいこうとは考かんがえないが、アフィン幾何きか学がくにおいては自分じぶん自身じしんと平行へいこう（したがって同値どうち関係かんけいを成なす）と考かんがえる^[12]^:192^[13]^:17 のが便利べんりである。

この種たねの平行へいこう関係かんけいを記述きじゅつする別べつの方法ほうほうは、交まじわりが一いち点てんでない交線も考かんがえることである。すなわち、二ふたつの直線ちょくせんが互たがいに平行へいこうとは、それらの全すべての点てんが共通きょうつう点てんであるか、さもなくば共有きょうゆう点てんが一ひとつもないこととする。このことは、アフィン幾何きか学がくおよびユークリッド幾何きか学がくで用もちいられるプレイフェアの公理こうりでは、平行へいこう関係かんけいが平面へいめん上じょうの直線ちょくせん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうの推移すいい的てき関係かんけいを成なすという主張しゅちょうに同値どうちであるとの注意ちゅういがある^[14]^:372

非ひユークリッド幾何きかにおける平行へいこう性せい

非ひユークリッド幾何きか学がくにおいては、直線ちょくせんの代かわりに測地そくち線せんに対たいして述のべるのがより一般いっぱん的てきで、測地そくち線せんの意味いみで「直線ちょくせん」の語かたりがしばしば用もちいられる。測地そくち線せんとはすなわち与あたえられた幾何きかにおける二に点てん間あいだの最短さいたん経路けいろを意味いみする。楕円だえん幾何きかや双そう曲きょく幾何きかでは、上うえで述のべた三さん性質せいしつは互たがいに同値どうちではなく、特とくに長ながさや角度かくどを測はかる操作そうさを含ふくまないものだけが非ひユークリッド幾何きかにおいても有効ゆうこうである。三さん性質せいしつは、このような一般いっぱんの幾何きかにおいては、それぞれ等距離とうきょりを保たもつ曲線きょくせん (equidistant curves), 互たがいに平行へいこうな測地そくち線せん (parallel geodesics), 共通きょうつう垂線すいせんを持もつ測地そくち線せん (geodesics sharing a common perpendicular) という異ことなる種類しゅるいの関係かんけいを定さだめる。

双そう曲きょく幾何きか

「双そう曲きょく幾何きか学がく」も参照さんしょう

ユークリッド幾何きか学がくにおいて二ふたつの測地そくち線せん（直線ちょくせん）は交まじわるか平行へいこうの二に択よしかないが、双そう曲きょく幾何きか学がくでは選択肢せんたくしは三みっつある。すなわち、同どう一いち平面へいめん上じょうにある二ふたつの測地そくち線せんは:

交まじわる: その平面へいめん内ないの一ひとつの共有きょうゆう点てんでそれらは交まじわる;
平行へいこう: 平面へいめん内ないでは交点こうてんを持もたないが、共通きょうつうの無限むげん遠とお点てんに収束しゅうそくする（無限むげん遠とお点てんで交まじわる）;
超ちょう平行へいこう: 極限きょくげんにおいて共通きょうつうの無限むげん遠とお点てんを持もたない

文献ぶんけんによっては「超ちょう平行へいこう」(ultra parallel) な測地そくち線せんは「交まじわらない」というい方いかたもしばしば用もちいられる。「無限むげん遠とお点てんで交まじわる」測地そくち線せんは漸近ぜんきん的てき平行へいこう線せん（英語えいご版ばん）ともいう。

直線ちょくせん $l$ 上うえにない点てん $a$ を通とおる漸近ぜんきん的てき平行へいこう線せんは二ふたつ存在そんざいし、それぞれ $l$ の各かく方向ほうこうにおける理想りそう点てん（無限むげん遠とお点てん）（英語えいご版ばん）に対応たいおうしている。この二ふたつの直線ちょくせんは、 $l$ に交まじわる直線ちょくせんと、 $l$ に超ちょう平行へいこうな直線ちょくせんとを隔へだてる境界きょうかい線せんになっている。

超ちょう平行へいこう線せんは共通きょうつう垂線すいせんをただ一ひとつ持もち（超ちょう平行へいこう定理ていり（英語えいご版ばん））、この共通きょうつう垂線すいせんの両側りょうがわで発散はっさんする。

楕円だえん幾何きか

「球面きゅうめん幾何きか学がく」および「楕円だえん幾何きか学がく」も参照さんしょう

球面きゅうめん幾何きかにおける測地そくち線せんは大円だいえんであり、大円だいえんは球面きゅうめんを二ふたつの等ひとしい半球はんきゅう面めんに分割ぶんかつ、またどの二ふたつの大円だいえんも互たがいに交まじわる。したがって、与あたえられた測地そくち線せんに平行へいこうは測地そくち線せんは存在そんざいせず、すべて交まじわる測地そくち線せんに分類ぶんるいされる。球面きゅうめん上じょうの互たがいに距離きょりを保たもつ曲線きょくせんを平行へいこう緯線いせん (parallels of latitude) と呼よぶ。互たがいに平行へいこうな緯線いせんは、球面きゅうめんの中心ちゅうしんを通とおる平面へいめんに平行へいこうな平面へいめんとその球面きゅうめんとの交まじわりによって生成せいせいされる。

注ちゅう

注釈ちゅうしゃく

^ 平行へいこう線せん公準こうじゅんは直線ちょくせんが互たがいに交まじわる場合ばあいのみ言及げんきゅうしているけれども、それはプレイフェアの公理こうりの意味いみでの平行へいこう線せんの一意いちい性せいを示しめすことが必要ひつような内容ないようである
^ 三さん番目ばんめのみが定木じょうぎとコンパスを用もちいた作図さくずであり、前ぜん二ふたつは「無限むげん回かいの手順てじゅん」を要ようする無限むげん作図さくずになる

出典しゅってん

^ ^a ^b Heath 1956, pp. 190–194.
^ Richards 1988, pp. 161–200, Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild..
^ Carroll, Lewis (2009) [1879], Euclid and His Modern Rivals, Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9
^ Wilson 1868.
^ Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, p. 5
^ Heath 1956, p. 194.
^ Wilson 1868, p. 2.
^ Wilson 1868, p. 12.
^ Richards 1988, pp. 180–184.
^ Heath 1956.
^ Wylie, Jr. 1964, pp. 92–94.
^ Coxeter, H. S. M. (1961), Introduction to Geometry, John Wiley & Sons
^ Szmielew, Wanda (1983), From Affine to Euclidean Geometry, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3
^ Liu, Andy (2011), “Is parallelism an equivalence relation?”, The College Mathematics Journal 42 (5)

参考さんこう文献ぶんけん

Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.), New York: Dover Publications

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st ed.), London: Macmillan and Co.
Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, McGraw–Hill

外部がいぶリンク

Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge

Weisstein, Eric W. "Parallel". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Definition:Parallel at ProofWiki
parallel lines in hyperbolic geometry - PlanetMath.（英語えいご）
parallelism of line and plane - PlanetMath.（英語えいご）
compass and straightedge construction of parallel line - PlanetMath.（英語えいご）
BSE-3 (2001), “Parallel straight lines”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Ivanov, A.B. (2001), “Anti-parallel straight lines”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Sabitov, I.Kh. (2001), “Parallel surfaces”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 平行へいこう線せん公準こうじゅんは直線ちょくせんが互たがいに交まじわる場合ばあいのみ言及げんきゅうしているけれども、それはプレイフェアの公理こうりの意味いみでの平行へいこう線せんの一意いちい性せいを示しめすことが必要ひつような内容ないようである

[13] 三さん番目ばんめのみが定木じょうぎとコンパスを用もちいた作図さくずであり、前ぜん二ふたつは「無限むげん回かいの手順てじゅん」を要ようする無限むげん作図さくずになる

[FOOTNOTEHeath1956190–194-2] Heath 1956, pp. 190–194.

[FOOTNOTERichards1988161–200Chap._4:_Euclid_and_the_English_Schoolchild.-3] Richards 1988, pp. 161–200, Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild..

[4] Carroll, Lewis (2009) [1879], Euclid and His Modern Rivals, Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9

[FOOTNOTEWilson1868-5] Wilson 1868.

[6] Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, p. 5

[FOOTNOTEHeath1956194-7] Heath 1956, p. 194.

[FOOTNOTEWilson18682-8] Wilson 1868, p. 2.

[FOOTNOTEWilson186812-9] Wilson 1868, p. 12.

[FOOTNOTERichards1988180–184-10] Richards 1988, pp. 180–184.

[FOOTNOTEHeath1956-11] Heath 1956.

[FOOTNOTEWylie,_Jr.196492–94-12] Wylie, Jr. 1964, pp. 92–94.

[14] Coxeter, H. S. M. (1961), Introduction to Geometry, John Wiley & Sons

[15] Szmielew, Wanda (1983), From Affine to Euclidean Geometry, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3

[16] Liu, Andy (2011), “Is parallelism an equivalence relation?”, The College Mathematics Journal 42 (5)

[注釈ちゅうしゃく 1]

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[2]

[3]

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[5]

[6]

[7]

[8]

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[注釈ちゅうしゃく 2]

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