無限むげん

∞

無限むげん（むげん、infinity、∞）とは、限かぎりの無ないことである。

「限界げんかいを持もたない」というだけの単純たんじゅんに理解りかいできそうな概念がいねんである一方いっぽうで、有限ゆうげんな世界せかいしか知しりえないと思おもわれる人間にんげんにとって、無限むげんというものが一体いったいどういうことであるのかを厳密げんみつに理解りかいすることは非常ひじょうに難むずかしい問題もんだいを含ふくんでいる。このことから、しばしば哲学てつがく、数学すうがく、論理ろんり学がくや自然しぜん科学かがくなどの一部いちぶの分野ぶんやにおいて考察こうさつの対象たいしょうとして無限むげんという概念がいねんが取とり上あげられ、そして深ふかい考察こうさつが得えられている。

本ほん項こうでは、数学すうがくなどの学問がくもん分野ぶんやにおいて、無限むげんがどのように捉とらえられ、どのように扱あつかわれるのかを記述きじゅつする。

無限むげんに関かんする様々さまざまな数学すうがく的てき概念がいねん

ペアノ曲線きょくせんの構成こうせいを三さん回かい反復はんぷくしたもの。無限むげんに反復はんぷくした極限きょくげんで空間くうかん充填じゅうてん曲線きょくせんとなる。

無限むげん大だい: 記号きごう∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記ひょうきしていた）で表あらわす。; 大雑把おおざっぱに言いえば、いかなる数かずよりも大おおきいさまを表あらわすものであるが、より明確めいかくな意味いみ付づけは文脈ぶんみゃくにより様々さまざまである。例たとえば、どの実数じっすうよりも大おおきな（実数じっすうの範疇はんちゅうからはずれた）ある特定とくていの“数かず”と捉とらえられることもある（超ちょう準じゅん解析かいせきや集合しゅうごうの基数きすうなど）し、ある変量へんりょうがどの実数じっすうよりも大おおきくなるということを表あらわすのに用もちいられることもある（極限きょくげんなど）。無限むげん大だいをある種しゅの数すうと捉とらえる場合ばあいでも、それに適用てきようされる計算けいさん規則きそくの体系たいけいは1つだけではない。実数じっすうの拡張かくちょうとしての無限むげん大だいには ∞ (+∞) と −∞ がある。大小だいしょう関係かんけいを定義ていぎできない複素数ふくそすうには無限むげん大だいの概念がいねんはないが、類似るいじの概念がいねんとして無限むげん遠とお点てんを考かんがえることができる。また、計算けいさん機上きじょうでは（本来ほんらいなら考かんがえない数かずだが）たとえば「∞+i」のような数かずを扱あつかえるものも多おおい。
無限むげん小しょう(infinitesimal): （0を除のぞく）いかなる数かずよりも（その絶対ぜったい値ちが）小ちいさな数かずととられることもある記号きごうあるいは拡張かくちょうされた数かず。無限むげん大だいと同おなじく、これは1つの数かずを表あらわすものではなく、限かぎりなく小ちいさくなりうる変数へんすうと考かんがえる。微分びぶん積分せきぶん学がくにおける dx などの記号きごうは、これが無限むげん小しょうであるとする考かんがえ方かたは、19世紀せいきを通つうじて否定ひていされるようになったが、20世紀せいき後半こうはんからは、超ちょう準じゅん解析かいせきの立場たちばから見直みなおされるようになった。; 感覚かんかく的てきには分わかり易やすいと思おもわれる直観ちょっかん的てきな無限むげん大だい・無限むげん小しょうの概念がいねんではあるが、現代げんだい的てきな実数じっすう論ろんには直接的ちょくせつてきには存在そんざいしない（いわゆる εいぷしろん-δでるた論法ろんぽうによって量的りょうてきに扱あつかわれる）。一方いっぽうで、超ちょう準じゅん解析かいせきなどにおいては数学すうがく的てきに定式ていしき化かされ、その存在そんざいを肯定こうていされる。
無限むげん遠とお点てん

ユークリッド空間くうかんで平行へいこうに走はしる線せんが、交差こうさするとされる空間くうかん外がいの点てんあるいは拡張かくちょうされた空間くうかんにおける無限むげん遠とおの点てん。平行へいこうな直線ちょくせんのクラスごとに1つの無限むげん遠とお点てんがあるとする場合ばあいは射影しゃえい空間くうかんが得えられる。この場合ばあい、無限むげん遠とお点てんの全体ぜんたいは1つの超ちょう平面へいめん（無限むげん遠とお直線ちょくせん、無限むげん遠とお平面ひらおもて etc.）を構成こうせいする。また全体ぜんたいでただ1つの無限むげん遠とお点てんがあるとする場合ばあいは（超ちょう）球面きゅうめんが得えられる。複素ふくそ平面へいめんに1つの無限むげん遠とお点てん ∞ を追加ついかして得えられるリーマン球面きゅうめんは理論りろん上じょうきわめて重要じゅうようである。無限むげん遠とお点てんをつけ加くわえてえられる射影しゃえい空間くうかんや超ちょう球面きゅうめんはいずれもコンパクトになる。

無限むげん集合しゅうごう

有限ゆうげん集合しゅうごう（その要素ようその数かずが自然しぜん数すうで表あらわせる集合しゅうごう）でない集合しゅうごう。

可算かさん無限むげん集合しゅうごう: 自然しぜん数すう全体ぜんたい N からの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする、すなわち数かぞえ上あげ可能かのうな無限むげん集合しゅうごう。整数せいすうの全体ぜんたい、有理数ゆうりすうの全体ぜんたい、代数だいすう的てき数すうの全体ぜんたいなどはそうである。
非ひ可算かさん集合しゅうごう: 自然しぜん数すう全体ぜんたい N からの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいしない、すなわち数かぞえ上あげ不可能ふかのうな無限むげん集合しゅうごう。実数じっすうの全体ぜんたい、複素数ふくそすうの全体ぜんたいなどはそうである。

無限むげん小数しょうすう: その小数しょうすう表示ひょうじが有限ゆうげんの桁けたではない数かず。
無限むげん列れつ: 数かず（あるいは点てんなどの要素ようそ）に番号ばんごうを付つけて無限むげんに並ならべたもの、つまり長ながさが無限むげんの数列すうれつ、点てん列れつなど。より厳密げんみつには自然しぜん数すう全体ぜんたいの集合しゅうごう N 上うえで定義ていぎされる写像しゃぞう。

歴史れきし

紀元前きげんぜん400年ねんから西暦せいれき200年ねん頃ごろにかけてのインド数学すうがくでは、膨大ぼうだいな数かずの概念がいねんを扱あつかっていたジャイナ教きょうの学者がくしゃたちが早はやくから無限むげんに関心かんしんをもった。教典きょうてんの一ひとつである「スーリヤ・プラジュニャプティ」(Surya Prajnapti)では、すべての数かずは可算かさん、不ふ可算かさん、無限むげんの3種類しゅるいに分類ぶんるいできるとしている。さらに無限むげんには、1方向ほうこうの無限むげん、2方向ほうこうの無限むげん、平面へいめんの無限むげん、あらゆる方向ほうこうの無限むげん、永遠えいえんに無限むげんの5種類しゅるいがあるとした。これにより、ジャイナ教徒きょうとの数学すうがく者しゃは現在げんざいでいうところの集合しゅうごう論ろんや超ちょう限きり数すうの概念がいねんを研究けんきゅうした。

無限むげん大だい記号きごうの由来ゆらい

→詳細しょうさいは「∞」を参照さんしょう

「ウロボロスが由来ゆらいとなっている。」や、「ジョン・ウォリスが無限むげん大だいの記号きごうとして採用さいようしたのが最初さいしょである^[1]。」などの説せつが存在そんざいするが、「ローマ数字すうじのↀ(CIƆ)が変化へんかしたものである。」という説せつが有力ゆうりょくとされている。

超ちょう限きり数すう

→詳細しょうさいは「超ちょう限きり数すう」を参照さんしょう

ドイツの数学すうがく者しゃゲオルク・カントールは、無限むげんには異ことなる種類しゅるいがあることを見出みいだし、これを超ちょう限きり数すうと名付なづけた。現代げんだい数学すうがくでは濃度のうどの概念がいねんで捉とらえられる。

超ちょう限きり数すうは $\aleph$ （アレフ）の記号きごうを用もちいて表記ひょうきされ、最もっとも濃度のうどが小ちいさいものは $\aleph _{0}$ （アレフ・ヌル、またはアレフ・ゼロ）で表あらわされる。 $\aleph _{0}$ の次つぎに大おおきい濃度のうどを持もつ集合しゅうごうの濃度のうどは $\aleph _{1}$ で表あらわされ、以後いご同様どうように $\aleph _{2}$ 等ひとしが定義ていぎされる。一方いっぽう、濃度のうど $\kappa$ を持もつ集合しゅうごうの冪べき集合しゅうごうの濃度のうどは $2^{\kappa }$ で表あらわされるが、この濃度のうどが常つねに $\kappa$ より真しんに大おおきくなることがカントールにより証明しょうめいされている。

自然しぜん数すう全体ぜんたいの集合しゅうごう N の濃度のうどは $\aleph _{0}$ である。整数せいすう全体ぜんたいの集合しゅうごう Z や有理数ゆうりすう全体ぜんたいの集合しゅうごう Q の濃度のうども $\aleph _{0}$ であり、この無限むげんを可算かさん無限むげんと呼よぶ。 $2^{\aleph _{0}}$ の濃度のうどを持もつ集合しゅうごうとしては実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごう R がある。

カントールは、 $\aleph _{0}$ より濃度のうどが大おおきく $2^{\aleph _{0}}$ より濃度のうどが小ちいさい無限むげんは存在そんざいしない、つまり、 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ が成なり立たつという仮説かせつ（連続れんぞく体たい仮説かせつ）を立たてたが、これを証明しょうめいすることはできなかった。連続れんぞく体たい仮説かせつは、現在げんざいでは通常つうじょうの数学すうがくの体系たいけいからは「証明しょうめいも反証はんしょうもできない」ことが証明しょうめいされている。

デデキント無限むげん

→詳細しょうさいは「デデキント無限むげん」を参照さんしょう

ある集合しゅうごうが自身じしんと対等たいとうな（すなわち同おなじ濃度のうどを持もつ）真ま部分ぶぶん集合しゅうごうが存在そんざいするとき、その集合しゅうごうはデデキント無限むげんであるという。デデキント無限むげんでない集合しゅうごうはデデキント有限ゆうげんであるという。デデキント無限むげん集合しゅうごうは常つねに無限むげん集合しゅうごうであるが、その逆ぎゃくを証明しょうめいするには弱よわい形かたちの選択せんたく公理こうりが必要ひつようである。無限むげん集合しゅうごうが、デデキント無限むげん集合しゅうごうであるということと、可算かさん無限むげん部分ぶぶん集合しゅうごうを持もつことは同値どうちである。

符号ふごう位置いち

記号きごう	Unicode	JIS X 0213	文字もじ参照さんしょう	名称めいしょう
∞	`U+221E`	`1-1-71`	`∞` `∞` `∞`	無限むげん大だい

出典しゅってん

^ YEO・エイドリアン『πぱいとeの話はなし数すうの不思議ふしぎ』 p.63、青土おうづち社しゃ、2008年ねん

参考さんこう文献ぶんけん

数学すうがく分野ぶんや
- ジョージ・G・ジョーゼフ『非ひヨーロッパ起源きげんの数学すうがく』垣かき田高たこう夫おっと、大町おおまち比佐ひさ栄さかえ訳わけ、講談社こうだんしゃ、1996年ねん。
- 竹内たけうち外史がいし『集合しゅうごうとはなにか』講談社こうだんしゃブルーバックス 1976年ねん　(集合しゅうごうについての入門にゅうもん書しょ)
- 結城ゆうき浩ひろし『数学すうがくガール/ゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていり』 2009年ねん
- 新井あらい敏さとし康やすし『数学すうがく基礎きそ論ろん』岩波書店いわなみしょてん 2011年ねん (増補ぞうほ版ばん) 東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい 2021年ねん　（数学すうがく基礎きそ論ろん（数理すうり論ろん理学りがく）に関かんするテキスト）
哲学てつがく分野ぶんや
- A.W・ムーア『無限むげんその哲学てつがくと数学すうがく』石村いしむら多門たもん訳わけ、講談社こうだんしゃ学術がくじゅつ文庫ぶんこ 2012年ねん
- 野矢のや茂樹しげき『無限むげん論ろんの教室きょうしつ』講談社こうだんしゃ現代新書げんだいしんしょ 1998年ねん（本書ほんしょは、実じつ無限むげん(無限むげん個この対象たいしょうの存在そんざいを認みとめる立場たちば)を否定ひていする、可能かのう無限むげん(いくらでも大おおきな有限ゆうげんが存在そんざいするだけとする立場たちば)から書かかれている。）

外部がいぶリンク

『無限むげん』 - コトバンク

[1] YEO・エイドリアン『πぱいとeの話はなし数すうの不思議ふしぎ』 p.63、青土おうづち社しゃ、2008年ねん

[1]

表ひょう話はなし編へん歴れき無限むげん (∞)
歴史れきし	カントールの理論りろんをめぐる論争ろんそう（英語えいご版ばん）
数学すうがくの分野ぶんや	内部ないぶ集合しゅうごう論ろん（英語えいご版ばん）超ちょう準じゅん解析かいせき集合しゅうごう論ろん綜合そうごう微分びぶん幾何きか学がく（英語えいご版ばん）
無限むげん大だいの定式ていしき化か	基数きすう超ちょう実数じっすう無限むげん大だい+1（英語えいご版ばん）順序じゅんじょ数すう超ちょう現実げんじつ数すう超ちょう限きり数すう無限むげん小しょう
数学すうがく者しゃ	ゲオルク・カントールゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツアブラハム・ロビンソン
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