極限きょくげん

数学すうがくにおいては、数列すうれつなど、ある種しゅの数学すうがく的てき対象たいしょうをひとまとまりに並ならべて考かんがえたものについての極限きょくげん（きょくげん、英えい: limit）がしばしば考察こうさつされる。直感ちょっかん的てきには、数かずの列れつがある値ねに限かぎりなく近ちかづくとき、その値ねのことを数列すうれつの極限きょくげんあるいは極限きょくげん値ちといい、この数列すうれつは収束しゅうそくするという。収束しゅうそくせず正せいの無限むげん大だい、負まけの無限むげん大だい、振動しんどうすることを発散はっさんするという。

極限きょくげんを表あらわす記号きごうとして、lim (英語えいご: limit, リミット、ラテン語らてんご: limes)という記号きごうが一般いっぱん的てきに用もちいられる。例たとえば次つぎのように使つかう:

• $\lim _{n\to \infty }x_{n}$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

数列すうれつの極限きょくげん

詳細しょうさいは「数列すうれつの極限きょくげん」を参照さんしょう

「収束しゅうそく級数きゅうすう」も参照さんしょう

実数じっすうの数列すうれつが収束しゅうそくする (converge) あるいは有限ゆうげんの極限きょくげんを持もつ若もしくは極限きょくげんが有限ゆうげん確定かくていであるとは、番号ばんごうが進すすむにつれてその数列すうれつの項こうがある1つの値ねに限かぎりなく近ちかづいていくことをいう。このとき確定かくていする値ねをその数列すうれつの極限きょくげん値ちという。収束しゅうそくしない数列すうれつは発散はっさんする(diverge)といい、それらはさらに極限きょくげんを持もつものと持もたないものに分わかれる。発散はっさんする数列すうれつのうち極限きょくげんを持もつものには、正せいの無限むげん大だいに発散はっさんするものと負まけの無限むげん大だいに発散はっさんするものがあり、極限きょくげんが確定かくていしないものは振動しんどうする(oscillate)という。

数列すうれつの収束しゅうそく

自然しぜん数すうの逆数ぎゃくすうの列れつ 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … を考かんがえると、n を限かぎりなく大おおきくしていくと一般いっぱん項こう 1/n は限かぎりなく 0 に近ちかづいていく。このときこの数列すうれつは 0 に収束しゅうそくするといい、このことを

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

あるいは

${\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )$

と書かく。

カール・ワイエルシュトラスは「限かぎりなく近ちかづく」という曖昧あいまいな表現ひょうげんは使つかわず、イプシロン-デルタ論法ろんぽうを用もちいて厳密げんみつに収束しゅうそくを定義ていぎした。これによれば、数列すうれつ {a_n} がある一定いっていの値ね αあるふぁ に収束しゅうそくするとは、次つぎが成なり立たつことである（この場合ばあいはイプシロン-エヌ論法ろんぽうとも言いう）:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]$

（どんなに小ちいさな正せいの数かず εいぷしろん をとっても、その εいぷしろん に対たいして適切てきせつな番号ばんごう n₀ を十分じゅうぶん大おおきく定さだめれば、n₀ より先さきの番号ばんごう n に対たいする a_n は αあるふぁ から εいぷしろん ほども離はなれない範囲はんいに全部ぜんぶ入はいるようにすることができる）

これを用もちいると、a_n = 1/n の極限きょくげん値ちは 0 であることを以下いかのようにして示しめすことができる。

（証明しょうめい）

自然しぜん数すうは上うえに有界ゆうかいでない（アルキメデスの性質せいしつ）から、

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].$

従したがって

$\left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon \ (n>n_{0})\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.\;\;{\mbox{□}}$

極限きょくげん値ちの性質せいしつ

• 数列すうれつが収束しゅうそくするとき、その極限きょくげん値ちはただ一ひとつに限かぎる。

  $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha =\beta$

• 収束しゅうそくする数列すうれつから項こうを有限ゆうげん個こ取とり除のぞいても、得えられた数列すうれつは同おなじ値ちに収束しゅうそくする。
• 収束しゅうそくする数列すうれつは数かずの集合しゅうごうとして有界ゆうかいである。

  $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Longrightarrow \exists K>0;\forall n\;|a_{n}|<K$

• $\forall n\;a_{n}\leq b_{n},\;\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha \leq \beta$

数列すうれつの発散はっさん

数列すうれつが収束しゅうそくしないとき、その数列すうれつは発散はっさんするという。特とくに、番号ばんごう n を限かぎりなく大おおきくしていくとき、数列すうれつの項こうの値ね a_n が限かぎりなく大おおきくなることを、数列すうれつ {a_n} は正せいの無限むげん大だいに発散はっさんするといい、

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$

または

$a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )$

のように表あらわす。イプシロン-エヌ論法ろんぽうでは、数列すうれつの正せいの無限むげん大だいへの発散はっさんは、

$\forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}$

のように定式ていしき化かされる。

また、番号ばんごう n を限かぎりなく大おおきくしていくとき、数列すうれつの項こうの値ね a_n が限かぎりなく小ちいさくなることを、数列すうれつ {a_n} は負まけの無限むげん大だいに発散はっさんするといい、

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$

または、

$a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )$

と表あらわす。数列すうれつ {a_n} が負まけの無限むげん大だいへ発散はっさんすることは、各項かくこう a_n を反はん数かずにした数列すうれつ {b_n} (b_n = −a_n, n = 1, 2, 3, …) が正せいの無限むげん大だいに発散はっさんすることと同値どうちである。あるいは絶対ぜったい値ちをとって得えられる数列すうれつ が正せいの無限むげん大だいに発散はっさんすると言いっても同おなじである。イプシロン-エヌ論法ろんぽうでは、

$\forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}$

となる。

数列すうれつが収束しゅうそくせず、また正せいの無限むげん大だいにも負まけの無限むげん大だいにも発散はっさんしない場合ばあい、その数列すうれつは振動しんどうするという。振動しんどうも発散はっさんの一種いっしゅである。

様々さまざまな極限きょくげん

詳細しょうさいは「上うえ極限きょくげんと下した極限きょくげん」を参照さんしょう

実数じっすうの列れつ $\left(x_{n}\right)_{n}$ がある数かず $R$ について $R<x_{n}$ を満みたしているとき（数列すうれつ $\left(x_{n}\right)_{n}$ が下したに有界ゆうかいなとき）、 $\left(x_{n}\right)_{n}$ の下しも極限きょくげんと呼よばれる数かず

$\varliminf _{n\to \infty }x_{n}$

を定さだめることができる。同様どうようにして、上うえに有界ゆうかいな数列すうれつに対たいしその上うえ極限きょくげん

$\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$

が定義ていぎされる。

（$\varlimsup$ を $\limsup$、$\varliminf$ を $\liminf$ と記しるしても同おなじ意味いみである）

数列すうれつ $\left(x_{n}\right)_{n}$ が極限きょくげんを持もつのは $\textstyle \varliminf \limits _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup \limits _{n\to \infty }x_{n}$ となる場合ばあいであり、このとき

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\varliminf _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$

となる。さらに、有界ゆうかいな数列すうれつのなすベクトル空間くうかん $l_{\infty }\mathbf {N}$ に対たいして抽象ちゅうしょう的てきな関数かんすう解析かいせきの構成こうせいを適用てきようし、任意にんいの有界ゆうかいな数列すうれつ $\left(x_{n}\right)_{n}$に対たいしてバナッハ極限きょくげんと呼よばれる数かず ${\mathrm {LIM} }\;x_{n}$ を、古典こてん的てきな極限きょくげんの拡張かくちょうとなるように定さだめることができる。

点てん列れつ

ユークリッド空間くうかんのように、距離きょり函数かんすう d の定さだまった空間くうかんにおける点てんの列れつについての収束しゅうそくの概念がいねんを、実数じっすうの列れつの収束しゅうそくの概念がいねんを拡張かくちょうして定さだめることができる。すなわち、点てん列れつ (x_n)_n が点てん y に収束しゅうそくするとは、正せいの実じつ数列すうれつ (d(x_n, y))_n が 0 に収束しゅうそくすることである。この概念がいねんをさらに一般いっぱん化かして、自然しぜん数すうによって数かぞえ上あげられるとは限かぎらない「列れつ」とその収束しゅうそく性せいを一般いっぱんの位相いそう空間くうかんに対たいして定式ていしき化かすることができる。（#位相いそう空間くうかんを参照さんしょうのこと）

距離きょり d に関かんする極限きょくげんであることを明示めいじするために lim の代かわりに d-lim などと書かくこともある。

関数かんすう

詳細しょうさいは「関数かんすうの極限きょくげん」を参照さんしょう

変数へんすうの収束しゅうそくに伴ともなう関数かんすうの挙動きょどう

f(x) を実じつ関数かんすうとし、c を実数じっすうとする。式しき

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

または

$f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)$

とは、x の値ねを c に“十分じゅうぶんに近ちかづければ”f(x) の値ねを L に望のぞむ限かぎりいくらでも近ちかづけることができることを意味いみする。このとき「x を c に近ちかづけたとき f(x) の極限きょくげんは L である」という。これはイプシロン-デルタ論法ろんぽうにより

$\forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}$

という形かたちで厳密げんみつに定義ていぎされる。このとき、この極限きょくげんと関数かんすう f(x) の x = c における値ねは無関係むかんけいであり、f(c) ≠ L であることもあれば、f が c において定義ていぎされている必要ひつようもないのである。

このことを理解りかいするために次つぎの例れいを挙あげる。

x が 2 に近ちかづくときの f(x) = x/(x² + 1) の値ねを考かんがえる。この場合ばあい、f(x) は x が 2 のときに定義ていぎされており、値ねは 0.4 である。

• $f(1.9)=0.4121$
• $f(1.99)=0.4012$
• $f(1.999)=0.4001$

x が 2 に近ちかづくにつれて f(x) が 0.4 に近ちかづいていく。したがって、 $\lim _{x\to 2}f(x)=0.4$ である。このように $f(c)=\lim _{x\to c}f(x)$ であるとき、f(x) は x = c で連続れんぞくであるという。しかし、このようなことが常つねに成なり立たつとは限かぎらない。

例れいとして、

$g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}$

を考かんがえる。x が 2 に近ちかづくときの g(x) の極限きょくげんは 0.4 であるが、$\lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ である。このとき g(x) は x = 2 で連続れんぞくでないという。

また、x → c のとき、f(x) の値ねが限かぎりなく大おおきくなることを、「x が c に限かぎりなく近ちかづくとき関数かんすう f(x) は正せいの無限むげん大だいに発散はっさんする」といい、

$\lim _{x\to c}f(x)=\infty$

または、

$f(x)\to \infty \quad (x\to c)$

と表あらわす。このことは次つぎのように厳密げんみつに定義ていぎされる。

$\forall K>0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}$

逆ぎゃくに、x → c のとき、f(x) の値ねが限かぎりなく小ちいさくなることを、「x が c に限かぎりなく近ちかづくとき関数かんすう f(x) は負まけの無限むげん大だいに発散はっさんする」といい、

$\lim _{x\to c}f(x)=-\infty$

または、

$f(x)\to -\infty \quad (x\to c)$

と表あらわす。これは次つぎのように厳密げんみつに定義ていぎされる。

$\forall K<0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}$

連続れんぞくな実じつ関数かんすう f(x) が x → c とする極限きょくげんにおいて発散はっさんするならば、f(x) は x = c において定義ていぎできない。なぜなら、定義ていぎされていたとすると x = c は不連続ふれんぞく点てんとなるからである。

無限むげん遠とお点てんにおける挙動きょどう

一般いっぱんには x がある有限ゆうげんの値ねに近ちかづくときを考かんがえることが多おおいが、x が正せいか負まけの無限むげんに近ちかづくときの関数かんすうの極限きょくげんを定義ていぎすることもできる。

ある無限むげん区間くかん (a, ∞)（を含ふくむ集合しゅうごう）で定義ていぎされる関数かんすう f(x) において、x が限かぎりなく大おおきくなると関数かんすう f(x) の値ねがある値ね L に近ちかづくとき、「x が限かぎりなく大おおきくなるとき f(x) は L に収束しゅうそくする」といい、

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

または、

$f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )$

と表あらわす。

これは次つぎのように定義ていぎされる。

$\forall \varepsilon >0,\;\exists X>0;\;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}$

例たとえば、$f(x)={\frac {2x}{x+1}}$ を考かんがえる。

• $f(100)=1.9802$
• $f(1000)=1.9980$
• $f(10000)=1.9998$

x が十分じゅうぶん大おおきくなるにつれて、f(x) は 2 に近ちかづく。このとき $\lim _{x\to \infty }f(x)=2$ と表あらわす。

また、ある無限むげん区間くかん (−∞, a) で定義ていぎされる関数かんすう f(x) において、x が限かぎりなく小ちいさくなると関数かんすう f(x) の値ねがある値ね L に近ちかづくとき、「x が限かぎりなく小ちいさくなるとき f(x) は L に収束しゅうそくする」といい、

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

または、

$f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty )$

と表あらわす。

これは次つぎのように定義ていぎされる。

$\forall \varepsilon >0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}$

関数かんすうの無限むげんにおける極限きょくげんにおいても、関数かんすうの発散はっさんを考かんがえることができる。

ある無限むげん区間くかん $(a,\infty )$ で定義ていぎされる関数かんすう f(x) において、x が限かぎりなく大おおきくなると関数かんすう f(x) の値ねも限かぎりなく大おおきくなるとき、「x が限かぎりなく大おおきくなるとき f(x) は正せいの無限むげん大だいに発散はっさんする」といい、

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$

または、

$f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )$:

と表あらわす。

これは次つぎのように定義ていぎされる。

$\forall K>0,\exists X>0;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}$

また、ある無限むげん区間くかん $(-\infty ,a)$ で定義ていぎされる関数かんすう f(x) において、x が限かぎりなく小ちいさくなると関数かんすう f(x) の値ねが限かぎりなく大おおきくなるとき、「x が限かぎりなく小ちいさくなるとき f(x) は正せいの無限むげん大だいに発散はっさんする」といい、

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty$

または、

$f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )$

と表あらわす。

これは次つぎのように定義ていぎされる。

$\forall K>0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}$

同様どうように、$x\rightarrow \infty$ や $x\rightarrow -\infty$ における負まけの無限むげん大だいへの発散はっさんを定義ていぎすることができる。

$x\rightarrow \infty$ や $x\rightarrow -\infty$ において、関数かんすう f(x) が収束しゅうそくもせず、また正せいの無限むげん大だいにも負まけの無限むげん大だいにも発散はっさんしない場合ばあい、その関数かんすうは数列すうれつと同様どうように振動しんどうするという。

関数かんすう列れつの収束しゅうそく

$I\subset \mathbb {R} ,\;f_{n},f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ とする。

{f_n} が f に I 上うえ各かく点てん収束しゅうそくするとは、

$\forall \varepsilon >0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}$

が成なり立たつことである。これは、

各かく $x\in I$ に対たいして、$|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )$

と同値どうちである。これを各かく点てん収束しゅうそくの定義ていぎとすることもある。

{f_n} が f に I 上うえ一様いちよう収束しゅうそくするとは、次つぎが成なり立たつことである：

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} {\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}$

これは、

$\|f_{n}-f\|_{\infty }:=\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )$

と同値どうちである。上うえで定義ていぎしたノルムをスープノルム（または無限むげん大だいノルム、上限じょうげんノルム）と言いう。スープノルムの収束しゅうそくをもって一様いちよう収束しゅうそくを定義ていぎすることもある。

また、区間くかん I の任意にんいのコンパクト空間くうかん上うえ一いち様よう収束しゅうそくすることをコンパクト一いち様よう収束しゅうそくという。I の任意にんいの有界ゆうかい閉区間あいだ上じょう一様いちよう収束しゅうそくすることを広義こうぎ一いち様よう収束しゅうそくということもある。

定義ていぎより、「f_n が I 上うえ一いち様よう収束しゅうそく⇒f_n が I 上うえ各かく点てん収束しゅうそく」が成なり立たつ（逆ぎゃくは必かならずしも成なりたない）。関数かんすうの一様いちよう収束しゅうそく性せいは、lim と ∫ の順序じゅんじょ交換こうかんや、函数かんすう項こう級数きゅうすうの項こう別べつ積分せきぶんや項こう別べつ微分びぶんの可能かのう性せいを保証ほしょうする（逆ぎゃくに言いえば、一様いちよう収束しゅうそくが保証ほしょうされていない段階だんかいでは、勝手かってに lim と ∫ の順序じゅんじょを交換こうかんしたりなどしてはいけない）。

関数かんすうの一様いちよう収束しゅうそく性せいを証明しょうめいするには、上うえのようにスープノルムの収束しゅうそくを示しめすのが一般いっぱん的てきである。関数かんすう項こう級数きゅうすうの一様いちよう収束しゅうそく性せいではワイエルシュトラスのM判定はんてい法ほうも用もちいられる。

「関数かんすう空間くうかん」も参照さんしょう

位相いそう空間くうかん

点てん列れつの収束しゅうそくの概念がいねんは、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんにおいても収束しゅうそく先さきの近傍きんぼう系けいをもちいて定式ていしき化かされる。しかし、一般いっぱん的てきな位相いそう空間くうかんの位相いそう構造こうぞうは、どんな点てん列れつが収束しゅうそくしているかという条件じょうけんによって特徴付とくちょうづけできるとは限かぎらない。そこで、有向ゆうこう点てん族ぞくやフィルターといった、点てん列れつを拡張かくちょうした構成こうせいとその収束しゅうそくの概念がいねんが必要ひつようになる。任意にんいの位相いそう空間くうかん X に対たいし、X 上うえで収束しゅうそくしている（収束しゅうそく先さきの情報じょうほうも込こめた）フィルターの全体ぜんたい CN(X) や、あるいは収束しゅうそくしているフィルターの全体ぜんたい CF(X) を考かんがえると、これらからは X の位相いそうが復元ふくげんできる。

圏けん論ろん

詳細しょうさいは「極限きょくげん (圏けん論ろん)」を参照さんしょう

圏けん C における図式ずしきを「添字そえじ圏けん」 J から C への関せき手しゅと見みなすことにする。特定とくていの図式ずしきに対応たいおうする関せき手しゅが与あたえられたとき、C の対象たいしょう X と射いの族ぞく (φふぁい_i: X → F_i)_i∈Obj(J) に対たいして次つぎのような条件じょうけんを考かんがえることができる：

1. J の任意にんいの射い j について F(j) φふぁい_i0 = φふぁい_i1 が成なり立たつ。ここで i₀ = dom j、i₁ = ran j である。
2. C の任意にんいの対象たいしょう Y と射いの族ぞく (φふぁい_i: X → F_i)_i∈Obj(J) で、1. と同様どうようの条件じょうけんを満みたすものについて射い g: Y → X で φふぁい_i g = ψぷさい_i (i ∈ Obj(J))を満みたすものが一意的いちいてきに存在そんざいする。

このような条件じょうけんを満みたす X（と族ぞく φふぁい_i）のことを F が表あらわす図式ずしきの極限きょくげん（あるいは射影しゃえい極限きょくげん、逆ぎゃく極限きょくげん）と呼よぶ。極限きょくげんの満みたす普遍ふへん性せいにより、それぞれの図式ずしきに対たいする極限きょくげんは（あったとして）自然しぜんな同型どうけいをのぞき一意いちいに定さだまる。

極限きょくげんの典型てんけい的てきな例れいとして、対象たいしょうの族ぞく (X_i)_i∈I の直積ちょくせき ∏_i< X_i や二ふたつの射い f, g: X → Y の等化とうか射しゃが挙あげられる。特定とくていの形かたち J の図式ずしきについて必かならず C における極限きょくげんが存在そんざいするとき、図式ずしきから極限きょくげんへの対応たいおうは関せき手て圏けん C^J への対たい角かく射しゃ ⊿ C → C^J に対たいする随伴ずいはん関せき手しゅとしてとらえることができる。

この双対そうついは補ほ極限きょくげん（あるいは帰納きのう極限きょくげんや順じゅん極限きょくげん）と呼よばれる。

「有向ゆうこう集合しゅうごう」も参照さんしょう

関連かんれん項目こうもく

• 片側かたがわ極限きょくげん
• 極限きょくげんの一覧いちらん
• サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ - 1786年ねんに記号きごうとして"lim"を初はじめて使用しよう