数学すうがく史し

ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ。最古さいこの数学すうがく文書ぶんしょの一ひとつとして知しられる。

数学すうがく史し（すうがくし、英語えいご：history of mathematics）とは、数学すうがくの歴史れきしのことである。第だい一いちには、数学すうがく上じょうの発見はっけんの起源きげんについての研究けんきゅうであり、副次的ふくじてきな興味きょうみとして、過去かこの数学すうがくにおいてどのような手法しゅほうが一般いっぱん的てきであったかや、どのような記号きごうが使つかわれたかなども調しらべられている。

概要がいよう

数学すうがく史しは、文明ぶんめいが起おこる以前いぜんに遡さかのぼって説明せつめいすることができる。そこには、狩猟しゅりょうや採集さいしゅう、また生活せいかつを維持いじするために必要ひつようだった計数けいすうの概念がいねんなどが含ふくまれる。また、文明ぶんめい成立せいりつ後ごは各地かくちで様々さまざまな水準すいじゅんの数学すうがくの発展はってんが興おこるが、やがて文明ぶんめいの交流こうりゅうによって現代げんだいの数学すうがくに繋つながっていく。

原始時代げんしじだいから古代こだいの数学すうがく的てき概念がいねん

数かずの概念がいねん、計数けいすう

有史ゆうしより遥はるか古ふるい時代じだいの線画せんがにも、数学すうがくの知識ちしきや、天体てんたい観測かんそくに基もとづいた測はか時とき法ほうがあったことを示しめすものがある。古こ生物せいぶつ学者がくしゃによる例れいでは、南みなみアフリカの砂岩さがん洞窟どうくつの中なかに、幾何きか学がく的てき模様もようで彩いろどられた線せん刻こく画がが発見はっけんされ、紀元前きげんぜん7万まん年ねん頃ごろのものと推定すいていされている。他ほかにも、アフリカやフランスで発見はっけんされている紀元前きげんぜん3万まん5千せん～2万まん年ねん頃ごろの先史せんし時代じだい遺物いぶつの中なかに、時間じかんを表現ひょうげんしようとした形跡けいせきがある。

古代こだい、記数きすう法ほうは、女性じょせいが生理せいりの日ひを記録きろくするために必要ひつようとされたという証拠しょうこがある。また、28～30のキズがついた石いしや骨ほねが、複数ふくすう見みつかるという事例じれいがある。さらに、ハンターたちは獣ししの群ぐんについて考慮こうりょする際さいには、「1」「2」「多数たすう」、さらに「無む」や「零れい（れい、ゼロ）」の概念がいねんを使つかっていたということも分わかっている。整数せいすうや実数じっすうといった数すうの集合しゅうごうの要素ようその一ひとつとして零れいを見出みいだしたとは言いえないものの、零れいの概念がいねんはこの時期じきからすでにあったということもできる。

算術さんじゅつ、幾何きか学がくの始はじまり

イシャンゴの骨ほねといわれる遺物いぶつが、ナイル川がわ源流げんりゅう地域ちいき（コンゴ民主みんしゅ共和きょうわ国こく北東ほくとう部ぶ）で発見はっけんされており、紀元前きげんぜん2万まん年ねん頃ごろのものと推測すいそくされている。この骨ほねが表現ひょうげんしている内容ないようは、最初さいしょ期きの素数そすう列れつや、古代こだいエジプトのかけ算ざんであると考かんがえられている。また、紀元前きげんぜん5000年代ねんだいのエジプト先さき王朝おうちょう時代じだいのエジプト人じんは幾何きか学がく的てき・空間くうかん的てきデザインの絵画かいが表現ひょうげんを残のこしている。紀元前きげんぜん3000年代ねんだい以降いこうのイングランドやスコットランドにおける巨石きょせき記念きねん物ぶつには、円えん、楕円だえん、ピタゴラス数すう、などの数学すうがく的てき概念がいねんが織おり込こまれているとの指摘してきがある。

古代こだいインド数学すうがくで知しられている最古さいこの史料しりょうは、紀元前きげんぜん3000～2600年ねん頃ごろの、北きたインドおよびパキスタンに位置いちしたインダス文明ぶんめい（ハラッパー文化ぶんか）にある。　ハラッパー文化ぶんかは十進法じっしんほうを使つかった重量じゅうりょう・距離きょりの計量けいりょう法ほうを発達はったつさせ、驚おどろくほど精密せいみつで数学すうがく的てきな比率ひりつの寸法すんぽうをもったレンガを作つくっていた。また、道みちは完全かんぜんな直角ちょっかくをなして敷設ふせつされている。彼かれらが用もちいたデザインには立方体りっぽうたい・樽たる型がた・円錐えんすい・円柱えんちゅうなどを含ふくむ幾何きか学がく的てき形態けいたいや、同心どうしんあるいは交錯こうさくする円えんや三角形さんかっけいなどの意匠いしょうがある。発見はっけんされた数学すうがく用具ようぐには、十じゅう進しん目盛めもりが刻きざまれ、細こまかく精細せいさいな目盛めもりの付ついた正確せいかくな定規じょうぎや、地平ちへい座標ざひょうにおける角度かくどを40度どあるいは360度ど法ほうで測はかるために用もちいられた貝かいのコンパス、天球てんきゅうを8ないし12分ふんして計測けいそくするための貝かい製せいの計測けいそく器き、航法こうほうのために星ほしの位置いちを計測けいそくする計測けいそく器きなどがある。インダス文字もじはまだ解読かいどくされていないため、ハラッパーの文字もじによる数学すうがくについてはほとんどわかっていない。考古学こうこがく的てきな証拠しょうこによれば、この文明ぶんめいは、8を基数きすうとする記数きすう法ほうを使つかっており、円周えんしゅう率りつπぱいの値ねを知しっていたとの説せつがある。中国ちゅうごくの殷いん王朝おうちょう時代じだい（紀元前きげんぜん1600年ねん頃ごろ～1046年ねん）には、現在げんざいも使つかわれる漢かん数字すうじの初期しょきのものが、亀甲きっこうに彫ほられている。周しゅう王朝おうちょうの時代じだいにすでに用もちいられていた算さん籌（さんちゅう）記法きほうは竹たけの棒ぼうを並ならべて数かずを表あらわした方法ほうほうを字じ写うつしたものだが、これは位取くらいどり記数きすう法ほうの歴史れきし上じょう最もっとも古ふるい現あらわれだと見みなすことができる。例たとえば「123」を（縦たて書がきで）表あらわす場合ばあいは以下いかのようにする。まず「1」を表あらわす数字すうじを書かく。次つぎに「100」を表あらわす数字すうじを書かく。次つぎに「2」を表あらわす数字すうじを書かく。次つぎに「10」を表あらわす数字すうじを書かく。そして「3」を表あらわす数字すうじを書かく（要ようするに「一いち百ひゃく二に十じゅう三さん」と書かく）。これは、算盤そろばんでの計算けいさんを可能かのうにした。算盤そろばんが発明はつめいされた時期じきは不明ふめいだが、西暦せいれき190年ねん頃ごろに劉りゅう徽により書かかれた『九きゅう章しょう算術さんじゅつ』の注釈ちゅうしゃくの中なかに記述きじゅつが存在そんざいする。

法則ほうそく性せいの発見はっけん

近代きんだいにおいては知識ちしきが全ぜん世界せかいに拡散かくさんしたが、それ以前いぜんの時代じだいでは、数学すうがく上じょうの発見はっけんについての記録きろくがあるのは限かぎられた地域ちいきのみである。発見はっけんされている古ふるい数学すうがく文書ぶんしょとして、

• プリンプトン322 - バビロニア数学すうがく、紀元前きげんぜん1900年ねん頃ごろ
• モスクワ数学すうがくパピルス - エジプト数学すうがく、紀元前きげんぜん1850年ねん頃ごろ
• リンド・パピルス - エジプト数学すうがく、紀元前きげんぜん1650年ねん頃ごろ
• シュルバ・スートラ - インドの数学すうがく、紀元前きげんぜん800年ねん頃ごろ

などがある。これらの文書ぶんしょはすべてピタゴラス数すうについて述のべており、ピタゴラスの定理ていりの内容ないようは最もっとも早はやく最もっとも広ひろまった数学すうがくの法則ほうそくの一ひとつであると見みなせる。これらの例れいは、ピタゴラス数すうのうちのいくつかの振ふる舞まいを調しらべたり、その法則ほうそく性せいに注目ちゅうもくしているに過すぎない。普遍ふへん性せいを仮定かていする定理ていり（証明しょうめいされた真しんなる命題めいだい）という概念がいねんは、ギリシア文明ぶんめい以降いこうで見みられるようになる。

古代こだいから中世ちゅうせいにおける数学すうがくの発展はってん

概要がいよう

エジプトおよびバビロニア数学すうがくは、古代こだいギリシアにおいてさらに発展はってんした。古代こだいギリシアの数学すうがくは、手法しゅほうと内容ないようの両方りょうほうを革新かくしんしたという点てんで、非常ひじょうに重要じゅうようであると考かんがえられている。これら古代こだい文明ぶんめいで発展はってんした数学すうがくは、イスラム数学すうがくでさらに大おおきく発展はってんした。多おおくのギリシア語ごとアラビア語ごの数学すうがくの文献ぶんけんが中世ちゅうせいのヨーロッパでラテン語らてんごに翻訳ほんやくされ、さらに発展はってんした。

紀元前きげんぜんにも数学すうがくや文化ぶんかの地域ちいき間あいだの相互そうご作用さようの証拠しょうこはいくつも見みられるが、古代こだい・中世ちゅうせいの数学すうがく史しの特徴とくちょうは、大だい発展はってんの後のちしばしば何なに世紀せいきもの停滞ていたいが起おきたり、地域ちいきごとに特色とくしょくを持もって発展はってんしていることである。文化ぶんかの交流こうりゅうが蓄積ちくせきし、14世紀せいきにイタリアでのルネサンスやヨーロッパの大だい航海こうかい時代じだいが始はじまると、数学すうがく上じょうの新しん発見はっけんが他たの科学かがく上じょうの発見はっけんと顕著けんちょに相互そうご作用さようを持もちながら進歩しんぽし続つづけるようになった。この傾向けいこうは現代げんだいまで続つづいている。本節ほんぶしでは、地域ちいきごとに特色とくしょくを持もって発展はってんした初期しょきの数学すうがくの発展はってんについて述のべる。

中東ちゅうとうでの数学すうがくの発展はってん

メソポタミア

詳細しょうさいは「バビロニア数学すうがく」を参照さんしょう

バビロニア数学すうがくは、初期しょきシュメール人ひとからヘレニズム期き初期しょきのメソポタミア（現代げんだいのイラク）の人々ひとびとの数学すうがくを示しめす。バビロンが研究けんきゅう場所ばしょの中心ちゅうしん的てき役割やくわりを果はたし、ヘレニズム時代じだいに終おえたことからバビロニア数学すうがくと呼よばれた。この時点じてんから、バビロニア数学すうがくはギリシアおよびエジプト数学すうがくと融合ゆうごうし、ヘレニズム数学すうがくをもたらした。その後ごイスラム帝国ていこくのもと、イラク／メソポタミア、特とくにバグダードは再度さいどイスラム数学すうがくの研究けんきゅうの重要じゅうような中心ちゅうしんとなった。

散在さんざいした文献ぶんけんしか残のこされていないエジプト数学すうがくと対照たいしょう的てきに、バビロニア数学すうがくは1850年ねん以降いこう掘ほり出だされた400以上いじょうの粘土ねんど板ばんで知しることができる。粘土ねんど板ばんは湿しめっている間あいだに楔形文字くさびがたもじで書かかれ、釜がまで焼やくか日光にっこうで熱ねっして硬かたくする。これらの幾いくつかは、宿題しゅくだいを採点さいてんしたものと思おもわれる。

数学すうがくが記述きじゅつされた最もっとも古ふるい証拠しょうこは、メソポタミア最古さいこの文明ぶんめいを興おこした古代こだいシュメール人じんまでさかのぼる。シュメール人じんは、紀元前きげんぜん3000年ねんから複ふく合あい的てきな測定そくていシステムを開発かいはつした。紀元前きげんぜん2500年ねん頃ごろ以降いこう、シュメール人じんは粘土ねんど板ばんに乗算じょうざん表ひょうを書かき、幾何きか学がくの学習がくしゅうと除算じょざん問題もんだいに利用りようした。バビロニア文字もじの最古さいこの形跡けいせきもまた、この時代じだいにさかのぼる。

復元ふくげんされた粘土ねんど板ばんの大だい部分ぶぶんは紀元前きげんぜん1800〜1600年ねんの時代じだいであり、分数ぶんすう、代数だいすう、二に次じおよび三さん次じ方程式ほうていしき、およびピタゴラス数すうの概念がいねんが扱あつかわれている（プリンプトン322参照さんしょう）。粘土ねんど板ばんにはまた、乗算じょうざん表ひょう、三角さんかく法ほう表ひょうおよび一いち次じと二に次じ方程式ほうていしきの解法かいほうが含ふくまれている。バビロニアの粘土ねんど板ばんYBC 7289は、2の平方根へいほうこんの小数点しょうすうてん第だい5位いまで正確せいかくな近似きんじ値ちを出だしている。円周えんしゅう率りつの値ねとして、実際じっさい的てきな計算けいさんのためにはしばしば 3 が用もちいられていたが、22/7 などのより精確せいかくな近似きんじ値ちも知しられていた。（円周えんしゅう率りつの歴史れきしも参照さんしょうのこと）

バビロニア数学すうがくは、六ろく十進法じっしんほう（60を底そことする）の位取くらいどり記数きすう法ほうを記述きじゅつしていた。ここから、現在げんざい1分ふんが60秒びょう、1時じ間あいだが60分ふん、および円えんが360度ど (60 × 6) の用法ようほうが由来ゆらいしている。60には多おおくの約数やくすうがあるという事実じじつにより、バビロニア数学すうがくの進歩しんぽが促進そくしんされた。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学すうがくと異ことなり、バビロニア数学すうがくは正ただしい位取くらいどり記数きすう法ほうを持もち、左ひだりの列れつに書かかれる数字すうじが、十進法じっしんほうより大おおきな値ねを示しめす、しかしながら、小数点しょうすうてんに相当そうとうするものが欠かけているため、数字すうじによって実際じっさいに表あらわされている数値すうちはしばしば文脈ぶんみゃくから推論すいろんしなければならなかった。

エジプト

詳細しょうさいは「エジプト数学すうがく」を参照さんしょう

エジプト数学すうがくは、エジプト語ごで書かかれた数学すうがくを示しめす。ヘレニズム時代じだいから、エジプト人じん学者がくしゃの記述きじゅつ言語げんごとしてギリシア語ごはエジプト語ごに代かわり、この時点じてんからエジプト数学すうがくはギリシアおよびバビロニア数学すうがくと融合ゆうごうしヘレニズム数学すうがくとなった。 エジプトでの数学すうがく研究けんきゅうは後のちに、イスラム帝国ていこくのもとイスラム数学すうがくの一部いちぶとして続つづき、アラビア語ごがエジプト人じん学者がくしゃの記述きじゅつ言語げんごとなった。

今いままで発見はっけんされた最古さいこの数学すうがくの文書ぶんしょは、エジプト中ちゅう王国おうこくの紀元前きげんぜん2000〜1800年ねんのパピルスである、モスクワ数学すうがくパピルスである。他たの古代こだい数学すうがく文書ぶんしょと同様どうように、今日きょうでいう「単語たんご問題もんだい」または「文章ぶんしょう問題もんだい」からなり、明あきらかに娯楽ごらくを目的もくてきとしたものであった。注目ちゅうもくするべきものには、切きり頭あたま体たいの体積たいせきを求もとめるための方法ほうほうを表あらわしている以下いかのようなものがある：「ピラミッドを切断せつだんし、高たかさ6、底辺ていへん4、上辺うわべ2である。4を二乗にじょうすると16。4を倍ばいにすると8。2を二乗にじょうすると4。16と8、および4を加くわえると28。6の3分ぶんの1を得えるので2回かい。28を2回かい取とるので56。結果けっかは56。正ただしい結果けっかである。

リンド・パピルス（紀元前きげんぜん1650年ねん頃ごろ）は、もう一ひとつの主要しゅようなエジプト数学すうがくのテキストであり、整数せいすう論ろんと幾何きか学がくのマニュアルになっている。また、乗算じょうざん、除算じょざん、および単位たんい分数ぶんすうの公式こうしきの解法かいほうや、合成ごうせい数すうと素数そすう、整数せいすう論ろん、幾何きか学がく、と調和ちょうわ平均へいきん、エラトステネスの篩ふるいと完全かんぜん数すう（とくに、6に関かんする記述きじゅつ）について一定いっていの数学すうがく的てき知識ちしきが得えられていたことの証拠しょうこもえられている。また、簡単かんたんな一いち次じ方程式ほうていしきの解法かいほうが示しめされており、等差とうさ数列すうれつと幾何級数きかきゅうすうも扱あつかっている。

また、リンド・パピルスでは、1パーセント未満みまんの誤差ごさで円周えんしゅう率りつの近似きんじ値ちを得える方法ほうほうや 、円えん積せき問題もんだいへの過去かこの取とり組くみが述のべられ、さらに余よ接せっ関数かんすうの一種いっしゅについて、知しられているかぎり最古さいこの使用しよう例れいを見みいだすことができる。これらの知見ちけんは解析かいせき幾何きか学がくに関かかわる基礎きそ的てきな体系たいけいがこの時代じだいに確立かくりつされていたことを示しめしている。

さらに、ペルリン・パピルス（紀元前きげんぜん1300年ねん頃ごろ）は、古代こだいエジプト人じんが簡単かんたんな二に次じの連立れんりつ方程式ほうていしきの解法かいほうを知しっていたことを示しめしている。

イスラム数学すうがく（西暦せいれき800〜1500年ねん頃ごろ）

詳細しょうさいは「アラビア数学すうがく」を参照さんしょう

フワーリズミー

イスラム帝国ていこくは、中東ちゅうとう、中央ちゅうおうアジア、北きたアフリカ、イベリア半島はんとう、および8世紀せいきのインドの一部いちぶにわたって成立せいりつし、数学すうがくに重要じゅうような貢献こうけんを果はたした。ほとんどのイスラムの数学すうがく書しょはアラビア語ごで書かかれたが、すべてをアラブ人じんが書かいたのではない。ヘレニズムにおけるギリシア語ごと同様どうように、アラビア語ごは当時とうじのイスラム世界中せかいじゅうのアラブ人じん以外いがいの学者がくしゃはアラビア語ごを使用しようした。重要じゅうようなイスラム数学すうがく者しゃにはペルシア人じんもいる。

フワーリズミーは、9世紀せいきバグダードのペルシア人数にんずう学者がくしゃで天文学てんもんがく者しゃであり、インド・アラビア数字すうじおよび方程式ほうていしきの解法かいほうに関かんする重要じゅうような本ほんを著あらわした。彼かれの著作ちょさくで西暦せいれき825年ねん頃ごろに書かかれた『インドの数かずの計算けいさん法ほう』は、アラブ人数にんずう学者がくしゃアル＝キンディーと共ともに作成さくせいされ、インド数学すうがくとインド・アラビア数字すうじを西洋せいように広ひろめる助たすけとなった。「アルゴリズム」の語かたりは、彼かれの名なのラテン語らてんご化か、「Algoritmi」に由来ゆらいし、「代数だいすう学がく (algebra) は彼かれの著作ちょさくの名称めいしょう『ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ』（約分やくぶんと消けし約やくの計算けいさんの書しょ）に由来ゆらいする。フワーリズミーは、古代こだいの代数だいすう的てき手法しゅほうの保存ほぞんとこの分野ぶんやへの独自どくじの貢献こうけんより、「代数だいすうの父ちち」と呼よばれている。代数だいすう学がくの更さらなる発展はってんは、アル＝カラジ (Al-Karaji) （西暦せいれき953〜1029年ねん）の論文ろんぶん『アル・ファフリー』で、未知数みちすうの整数せいすう冪べき乗じょうと整数せいすう根ねを包含ほうがんする方法ほうほう論ろんを拡張かくちょうした。10世紀せいきに、アブル・ウワファはディオファントスの著作ちょさくをアラビア語ごに翻訳ほんやくし、正接せいせつ関数かんすうを進展しんてんさせた。

数学すうがく的てき帰納きのう法ほうを用もちいている最初さいしょの数学すうがく的てき証明しょうめいは、西暦せいれき1000年ねん頃ごろのアル＝カラジの著作ちょさくに現あらわれ、二に項こう定理ていり、パスカルの三角形さんかっけい、積分せきぶん立方りっぽう数すう合計ごうけいの証明しょうめいに使つかわれた。 数学すうがく歴史れきし家かのF. Woepckeは、アル＝カラジを「最初さいしょに代数だいすう的てきな微分びぶん積分せきぶん学がくの理論りろんを導入どうにゅうした者もの」として賞賛しょうさんした。イブン・アル＝ハイサムは、二に重じゅう平方へいほう数すうの和わの公式こうしきを推論すいろんした最初さいしょの数学すうがく者しゃであり、帰納きのう法ほうを使用しようして、任意にんいの整数せいすうの冪べき乗じょうの和わに対たいする一般いっぱん公式こうしきを決定けっていする方法ほうほうを開発かいはつし、それが積分せきぶん法ほうの発展はってんの基礎きそとなった。

ウマル・ハイヤームは12世紀せいきの詩人しじん、数学すうがく者しゃで、『ユークリッドにおける困難こんなんに関かんする議論ぎろん』でユークリッド原論げんろんの不備ふび、特とくに平行へいこう線せん公理こうりについて述のべ、その結果けっか、解析かいせき幾何きか学がくおよび非ひユークリッド幾何きか学がくの基礎きそを築きずいた。また、三さん次じ関数かんすうの一般いっぱん的てきな幾何きか学がく的てきな解法かいほうを考案こうあんした。彼かれはまた、暦法れきほうの改正かいせいに非常ひじょうに大おおきな影響えいきょうを与あたえた。13世紀せいきのペルシア人数にんずう学者がくしゃ、ナスィールッディーン・トゥースィーは、球面きゅうめん三角さんかく法ほうを進展しんてんさせた。彼かれはまた、エウクレイデスの平行へいこう線せん公理こうりに関かんする有力ゆうりょくな書しょを著あらわした。15世紀せいきにアル＝カーシーは、円周えんしゅう率りつを小数点しょうすうてん16桁けたまで計算けいさんした。カーシーはまた、n乗の根ねを計算けいさんするアルゴリズムを持もち、それは数すう世紀せいき後ごのパオロ・ルフィニおよびホーナーによる手法しゅほうの特殊とくしゅな例れいであった。他たの特筆とくひつすべきイスラム数学すうがく者しゃには、イブン・ヤフヤ・アル＝マグリービー・アル＝サマウアル (Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al) 、サービト・イブン＝クッラ、アブ・カミル (Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) 、アブー・サフル・アル＝クーヒーがいる。

この時代じだいのイスラム数学すうがく者しゃの成果せいかには、代数だいすう学がくとアルゴリズムの発展はってん（フワーリズミー参照さんしょう）、球面きゅうめん三角さんかく法ほうの発展はってん、アラビア数字すうじへの小数点しょうすうてんの追加ついか、正弦せいげんを除のぞく現在げんざいの三角さんかく関数かんすうのすべての発見はっけん、キンディーによる暗号あんごう解読かいどくと頻度ひんど分析ぶんせきの導入どうにゅう、アル＝カラジによる微分びぶん積分せきぶん学がくの導入どうにゅうと数学すうがく的てき帰納きのう法ほうによる証明しょうめい、イブン・アル＝ハイサムによる解析かいせき幾何きか学がくと初期しょきの無限むげん小しょう一般いっぱん公式こうしきと積分せきぶん法ほうの発展はってん、ウマル・ハイヤームによる代数だいすう幾何きか学がくの開始かいし、ナスィールッディーン・トゥースィーによるユークリッド幾何きか学がくの平行へいこう線せん公理こうりへの最初さいしょの反証はんしょう、非ひユークリッド幾何きか学がくの最初さいしょの試こころみ、その他た代数だいすう学がく、算術さんじゅつ、微分びぶん積分せきぶん学がく、暗号あんごう理論りろん、幾何きか学がく、数かず論ろん、および三角さんかく法ほうにおける多大ただいな進歩しんぽがあった。

オスマン帝国ていこく（15世紀せいき〜）の時代じだいに、イスラム数学すうがくは停滞ていたいした。これは、ローマ人じんがヘレニズムを征服せいふくしたときの数学すうがくの停滞ていたいと類似るいじしている。

ジョン・J・オコナーとエドモンド・F・ロバートソンは『マックチューター数学すうがく史しアーカイブ』で述のべた：

最近さいきんの研究けんきゅうによって、現代げんだいの人間にんげんがアラビア・イスラーム数学すうがくから受うけた恩恵おんけいについて新あらたな姿すがたが見みえてきた。これまでは16、17、18世紀せいきのヨーロッパの数学すうがく者しゃによるとされてきた鮮あざやかな新しん概念がいねんが、実じつはそれよりさらに4世紀せいきほど前まえのアラビア・イスラームの数学すうがく者しゃによって生うみ出だされていたことが判明はんめいした。今日きょう研究けんきゅうされている数学すうがくのスタイルは多おおくの点てんで、ギリシア人じんの数学すうがくよりも、アラビア・イスラームの数学すうがくにずっと近ちかいのである。 — J. J. O'Connor and E. F. Robertson、Arabic mathematics : forgotten brilliance? JOC/EFR November 1999 - "The MacTutor History of Mathematics archive"

インドでの数学すうがくの発展はってん

詳細しょうさいは「インドの数学すうがく」を参照さんしょう

初期しょきのインド数学すうがく

ヴェーダ数学すうがくは器うつわ時代じだいの初期しょきに始はじまり、『シャタパタ・ブラーフマナ』（紀元前きげんぜん9世紀せいき頃ごろ）で円周えんしゅう率りつを小数点しょうすうてん第だい2位いまで概算がいさんしていた。『シュルバ・スートラ』（紀元前きげんぜん800〜500年ねん頃ごろ）は幾何きか学がくテキストであり、無理むり数すう、素数そすう、帰一きいつ算さん、立方根りっぽうこんを使用しようし、2の平方根へいほうこんを小数点しょうすうてん第だい5位いまで計算けいさんし、円えん積せき問題もんだいの方法ほうほう論ろんを与あたえ、線型せんけい方程式ほうていしきと二に次じ方程式ほうていしきを解とき、ピタゴラス数すうの理論りろんの代数だいすう的てきな展開てんかいと、ピタゴラスの定理ていりの記述きじゅつおよび数値すうち的てきな証明しょうめいが与あたえられている。

パーニニ（紀元前きげんぜん5世紀せいき頃ごろ）はサンスクリットの文法ぶんぽう規則きそくを定式ていしき化かした。パーニニの記法きほうは、現在げんざいの数学すうがく的てき表記ひょうきと同様どうようであり、メタ規則きそく、変換へんかんおよび再帰さいきは洗練せんれんされ、その文法ぶんぽう規則きそくはチューリングマシンと同等どうとうの計算けいさん能力のうりょくを持もっていた。ピンガラ (Pingala) （およそ紀元前きげんぜん3〜1年ねん）は、韻律いんりつの論文ろんぶんで二進法にしんほうに類似るいじする仕組しくみを使用しようした。彼かれの拍子ひょうし組合くみあいわせ論ろんは、二に項こう定理ていりに類似るいじする。ピンガラの作品さくひんはまた、フィボナッチ数すうの基本きほん的てき概念がいねん（mātrāmeru と呼よばれた）を含ふくむ。ブラーフミー文字もじは、少すくなくとも紀元前きげんぜん4世紀せいきのマウリヤ朝あさ以降いこうに発達はったつし、最近さいきんの考古学こうこがくの証拠しょうこで紀元前きげんぜん600年ねんに時代じだいが戻もどされた。ブラーフミー数字すうじは紀元前きげんぜん3世紀せいきである。

紀元前きげんぜん400年ねんから西暦せいれき200年ねんの間あいだ、ジャイナ教きょうの数学すうがく者しゃは数学すうがくの唯一ゆいいつの目的もくてきのために研究けんきゅうを始はじめた。彼かれらは最初さいしょに超越ちょうえつ数すう、集合しゅうごう論ろん、対数たいすう、および添字そえじ、三さん次じ方程式ほうていしき、四よん次じ方程式ほうていしき、列れつと数列すうれつ、順列じゅんれつと組合くみあわせ、二乗にじょうと平方根へいほうこん導出どうしゅつ、有限ゆうげんおよび無限むげん冪べき乗じょうについて、基本きほん法則ほうそくを発展はってんさせた。紀元前きげんぜん200年ねんから西暦せいれき200年ねんの間あいだに書かかれたバクシャーリー写本しゃほんには、最大さいだい5つの未知数みちすうを含ふくむ線型せんけい方程式ほうていしきの解かい、二に次じ方程式ほうていしきの解かい、算術さんじゅつ数列すうれつおよび幾何きか数列すうれつ、複数ふくすうの数列すうれつ、二に次じ不定ふてい方程式ほうていしき、連立れんりつ方程式ほうていしき、および0と負まけの数かずが記述きじゅつされた。無理むり数すうの正確せいかくな計算けいさんが発見はっけんでき、100万まんから少すくなくとも小数点しょうすうてん11位いの平方根へいほうこんの計算けいさんが含ふくまれている。

中世ちゅうせいインド数学すうがく（西暦せいれき400〜1600年ねん頃ごろ）

アリヤバータ

『スーリヤ・シッダーンタ』 (Surya Siddhanta) （西暦せいれき400年ねん頃ごろ）は三角さんかく関数かんすう、正弦せいげん、余弦よげん、逆ぎゃく正弦せいげん関数かんすうを導入どうにゅうし、天体てんたいの実際じっさいの動うごき、空そらの中なかでの実際じっさいの位置いちを決定けっていする法則ほうそくの基礎きそを築きずいた。この文書ぶんしょでは、より古ふるくの文書ぶんしょの写うつしで、天体てんたい時間じかんの周期しゅうきが述のべられ、365.2563627日間にちかんの恒星こうせい年ねんに対応たいおうし、現在げんざいの公称こうしょう値ちである365.25636305日間にちかんより1.4秒びょう長ながいだけである。この文書ぶんしょは、中世ちゅうせいにアラビア語ごとラテン語らてんごに翻訳ほんやくされた。

アリヤバータは、西暦せいれき499年ねんに正せい矢や関数かんすう (en:Versine, 1 - cos θしーた) を導入どうにゅうし、正弦せいげんの最初さいしょの三角さんかく法ほう表ひょうを作成さくせいし、代数だいすう学がく、無限むげん小しょう、微分びぶん方程式ほうていしきの解法かいほうとアルゴリズムを開発かいはつし、現代げんだいと同等どうとうな手法しゅほうにより線型せんけい方程式ほうていしきの解かいを求もとめ、また万有引力ばんゆういんりょくの地動説ちどうせつに基もとづく正確せいかくな天文学てんもんがくの計算けいさんを行おこなった。彼かれの著作ちょさく『アーリヤバティーヤ』 (Aryabhatiya) は、アラビア語ご翻訳ほんやくが8世紀せいきに、ラテン語らてんごの翻訳ほんやくが13世紀せいきに行おこなわれた。彼かれはまた、円周えんしゅう率りつの値ねを小数点しょうすうてん以下いか第だい4位いの3.1416まで計算けいさんした。後ごの14世紀せいきに、サンガマグラーマのマーダヴァは、円周えんしゅう率りつを小数点しょうすうてん以下いか第だい11位いまで計算けいさんした。

7世紀せいきに、ブラーマグプタはブラーマグプタの定理ていり、ブラーマグプタの二に平方へいほう恒等こうとう式しき、ブラーマグプタの公式こうしきを定さだめ、『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』で初はじめて、明快めいかいに0を空位くういおよび数字すうじの両方りょうほうとして使用しようし、インド・アラビア数字すうじを説明せつめいした。このインド数学すうがく書しょ（西暦せいれき770年ねん頃ごろ）の翻訳ほんやくから、イスラム数学すうがく者しゃは数字すうじ体系たいけいを導入どうにゅうし、アラビア数字すうじに採用さいようした。イスラム学者がくしゃはこの数字すうじ体系たいけいの知識ちしきを12世紀せいきまでにヨーロッパに伝つたえ、世界中せかいじゅうで旧きゅう数字すうじ体系たいけいを置おき換かえている。10世紀せいきに、ピンガラの著書ちょしょについてのハラユーダ (Halayudha) の論評ろんぴょうには、フィボナッチ数すう、パスカルの三角形さんかっけいの研究けんきゅうが含ふくまれ、行列ぎょうれつの計算けいさんが記述きじゅつされた。

12世紀せいきに、バースカラ2世せいは、導しるべ関数かんすう、微分びぶん係数けいすう、微分びぶん法ほうの概念がいねんと共ともに、微分びぶん学がくを考かんがえだした。彼かれはまた、ロルの定理ていり（平均へいきん値ちの定理ていりの特殊とくしゅな場合ばあい）を述のべ、ペル方程式ほうていしきを研究けんきゅうし、正弦せいげん関数かんすうの導しるべ関数かんすうを調査ちょうさした。14世紀せいきから、マーダヴァと他たのケーララ学派がくはの数学すうがく者しゃは、この概念がいねんを発展はってんさせた。彼かれらは、解析かいせき学がくと浮動ふどう小数点しょうすうてん数すう、微分びぶん積分せきぶん学がくの基礎きそから総合そうごう的てきな開発かいはつを行おこなった。これには、平均へいきん値ちの定理ていり、限界げんかい点てんの積分せきぶん、曲線きょくせんの下したの領域りょういきとその不定ふてい積分せきぶんまたは積分せきぶん、収束しゅうそく判定はんてい、非ひ線型せんけい方程式ほうていしきを解とくための反復はんぷく法ほう、および無限むげん級数きゅうすう、冪べき級数きゅうすう、テイラー級数きゅうすう、三角さんかく級数きゅうすうが含ふくまれる。16世紀せいきに、ジャヤスタデーヴァ (Jyeṣṭhadeva) がケーララ学派がくはによる発展はってんと定理ていりの多おおくを『ユクティバーサ』 (Yuktibhasa) に統合とうごうした。これは、世界せかい初はつの微分びぶん学がくの教科書きょうかしょであり、積分せきぶん法ほうの概念がいねんもまた導入どうにゅうした。インドでの数学すうがくの進歩しんぽは、16世紀せいき後半こうはんの政治せいじ的てき混乱こんらんのため停滞ていたいした。

中国ちゅうごくでの数学すうがくの発展はってん

『九きゅう章しょう算術さんじゅつ』

中国ちゅうごくでは古代こだいから算さん籌（さんちゅう）と呼よばれる小ちいさな木こっ端ぱや竹たけなどを用もちいた計算けいさんが行おこなわれていた。この計算けいさん方法ほうほうでは、算さん籌によって表あらわした一いちから九きゅうまでの基数きすうを位取くらいどり式しきに並ならべることで様々さまざまに数かずを表あらわした。これを用もちいて、加減乗除かげんじょうじょから求根きゅうこん、方程式ほうていしきを解とくに至いたるまで様々さまざまな算術さんじゅつが扱あつかわれ、中国ちゅうごく数学すうがくはこの計算けいさん術じゅつの下したで発展はってんした。なお漢字かんじの「算さん」は、音おとを表あらわす「具ぐ」と意味いみを示しめす（算さん籌を暗示あんじさせる）「竹たけ」とを組くみ合あわせた形声けいせい文字もじである。

紀元前きげんぜん212年ねんに、秦はたの始皇帝しこうていが秦はた国外こくがいの書物しょもつをすべて燃もやすことを命めいじた。この命令めいれいが完全かんぜんに遂行すいこうされることはなかったが、結果けっかとして古代こだい中国ちゅうごく数学すうがくに関かんしては僅わずかしか知しられていない。周しゅう（紀元前きげんぜん1046年ねん〜）以降いこう、焚書ふんしょを免まぬかれた最古さいこの数学すうがく書しょは『易えき経けい』であり、哲学てつがく、数学すうがく、および神秘しんぴ的てき目的もくてきで、8種しゅ3組くみ（三重みえ）および64種しゅ6組くみ（六ろく重じゅう）が使用しようされる。各組かくくみは分割ぶんかつした、または切きれ目めの無ない直線ちょくせんで構成こうせいされ、それぞれ陰かげ「女性じょせい」陽ひ「男性だんせい」と呼よばれる。（六ろく十じゅう四よん卦け参照さんしょう）

中国ちゅうごくの幾何きか学がくの現存げんそんする最もっとも古ふるい書物しょもつは、紀元前きげんぜん330年ねん頃ごろの墨ぼく家かの哲学てつがく原理げんりで、墨ぼく子こ（紀元前きげんぜん470〜390年ねん）の後継こうけい者しゃにより編纂へんさんされた。『墨ぼく経けい』は、物理ぶつり化学かがくに関かんする様々さまざまな分野ぶんやを記述きじゅつし、数学すうがくについて僅わずかながら書がき示しめした。

焚書ふんしょの後のち、漢かん（紀元前きげんぜん202年ねん〜西暦せいれき220年ねん）は、現在げんざい失うしなわれた書物しょもつを拡張かくちょうしたと推定すいていされる数学すうがく書しょを生うみ出だした。最もっとも重要じゅうような書物しょもつは『九きゅう章しょう算術さんじゅつ』であり、全編ぜんぺんが完成かんせいしたのは遅おそくとも西暦せいれき179年ねんだとされている。しかし、一部いちぶは別べつの書名しょめいの下したにそれ以前いぜんから存在そんざいした。この数学すうがく書しょは、その名なの通とおり九ここのつ、すなわち方田ほうだ・粟あわ米まい・衰おとろえ分ぶん・少しょう広ひろ・商しょう功いさお・均ひとし輸・盈みつる不足ふそく・方ぽう程ほど・勾股の章しょうに分わけて、農業のうぎょう、商業しょうぎょう、幾何きか学がく、工学こうがく、測量そくりょうに関かんする246語ごの問題もんだいで構成こうせいされ、特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかっけいおよび円周えんしゅう率りつの要素ようそを含ふくんでいる。また、体積たいせきにおけるカバリエリの定理ていりを、西洋せいようでカバリエリが提案ていあんする1,000年ねん以上いじょう前まえに使用しようしていた。ピタゴラスのピタゴラスの定理ていりの数学すうがく的てき証明しょうめい、およびガウスの消去しょうきょ法ほうの数式すうしきも含ふくまれている。方ほう程ほど（連立れんりつ方程式ほうていしきのこと）の章しょうでは、益えきの数かず・損そんの数かずを表あらわす正せい算さん・負ふ算さんという赤あかと黒くろの算さん籌の区別くべつを用もちいて連立れんりつ方程式ほうていしきを解とき、正負せいふ計算けいさんの法則ほうそくまでも述のべている。この書しょは中国ちゅうごくや朝鮮ちょうせんでは長ながい時期じきにわたって重要じゅうような数学すうがくの教科書きょうかしょの一ひとつとして扱あつかわれた。この書しょの研究けんきゅうとしては西暦せいれき3世紀せいきに劉りゅう徽による論評ろんぴょうと問題もんだいや解法かいほうの数学すうがく的てき考察こうさつが行おこなわれた。

さらに、漢かんの天文学てんもんがく者しゃ、発明はつめい家かである張ちょう衡（西暦せいれき78〜139年ねん）の数学すうがく書しょには円周えんしゅう率りつの公式こうしき化かがあり、劉りゅう徽の計算けいさんと異ことなっていた。張ちょう衡は、球体きゅうたいの体積たいせきを求もとめるために円周えんしゅう率りつの公式こうしきを使用しようした。また、数学すうがく者しゃで音楽おんがく理論りろん家かの京きょう房ぼう（紀元前きげんぜん78〜37年ねん）は、ピタゴラスコンマを用もちいて53の完全かんぜん五ご度どが31オクターヴにほぼ等ひとしいことを述のべた。これは後のちに、ドイツのニコラス・メルカトルが17世紀せいきに53平均へいきん律りつを発見はっけんするまで、正確せいかくに計算けいさんされることはなかった。

張ちょう衡（西暦せいれき78〜139年ねん）

南北なんぼく朝あさ時代じだいの祖そ沖おき之の（5世紀せいき）は、円周えんしゅう率りつの値ねを小数点しょうすうてん以下いか第だい7位いまで計算けいさんした。これは以後いご1,000年間ねんかん、最もっとも正確せいかくな値ねであった。

漢かんに続つづく唐とうの開始かいしと宋そうの終おわりまでの約やく1,000年間ねんかん、ヨーロッパの数学すうがくが存在そんざいしない時代じだいに、中国ちゅうごく数学すうがくは繁栄はんえいした。官僚かんりょう登用とうよう試験しけんである科挙かきょにおいても数学すうがくは科目かもくに含ふくまれ、初期しょき中国ちゅうごくの主おもな数学すうがく業績ぎょうせきを集あつめた『算さん経けい十じゅう書しょ』が教科書きょうかしょとして推奨すいしょうされた。

中国ちゅうごくで最初さいしょに開発かいはつされ、後のちに西洋せいようで多おおく知しられるものに、負まけの数かず、二に項こう定理ていり、線型せんけい方程式ほうていしきを解決かいけつするための行列ぎょうれつ手法しゅほう、および中国ちゅうごくの剰余じょうよ定理ていりがある。中国ちゅうごくではまた、ヨーロッパで知しられる前まえに、パスカルの三角形さんかっけい、帰一きいつ算さんが開発かいはつされた。この時代じだい大おおいに発展はってんした算法さんぽうに天元てんげん術じゅつがある。これは算さん籌を用もちいた代数だいすう問題もんだいの解法かいほうであって、問題もんだいに与あたえられた条件じょうけんから計算けいさんを施ほどこして、等式とうしきから一いち元げん数すう次じ方程式ほうていしきを作つくる算法さんぽうである。朱しゅ世よ傑すぐるはこれを四よっつの未知数みちすうまで拡張かくちょうさせて高次こうじの四よん元もと連立れんりつ方程式ほうていしきの解法かいほう、四元よつもと術じゅつを創つくった。また、方程式ほうていしき自体じたいを解とくために、天元てんげん術じゅつとともに、一般いっぱん次数じすうにおける方程式ほうていしきの近似きんじ解法かいほうの開ひらき方術ほうじゅつが発展はってんした。この天元てんげん術じゅつを主おもとした中国ちゅうごくの算法さんぽうは江戸えど時代じだいの日本にっぽんに伝つたわり、和算わさんの発展はってんの大おおきな要因よういんとなった。祖そ沖おき之のや朱しゅ世よ傑すぐるの他ほかに、唐とうや宋そうの時代じだいの重要じゅうような人物じんぶつとして、一いち行ぎょう、沈括、賈憲、秦はた九きゅう韶、李り冶達いたるがいる。科学かがく者しゃの沈括は、微分びぶん積分せきぶん学がく、三角さんかく法ほう、度量衡どりょうこう学がく (Metrology) 、順列じゅんれつに関かんする問題もんだいを使用しようして、特定とくていの戦闘せんとう陣形じんけいが使用しようできる地勢ちせいの空間くうかんや、兵糧ひょうろうの量りょうに対たいして継続けいぞく可能かのうな軍事ぐんじ作戦さくせんの期間きかんを計算けいさんした。

中国ちゅうごくではまた、魔ま方陣ほうじんとして知しられる複雑ふくざつな結合けつごう図表ずひょうが古ふるくから述のべられ、楊輝 (Yang Hui) （西暦せいれき1238〜1298年ねん）によって完成かんせいされた。

その後ご17世紀せいき初年しょねんにおいては、中国ちゅうごくに資本しほん主義しゅぎがめばえ、商業しょうぎょう算術さんじゅつが発展はってんしてそろばんを用もちいた珠算しゅざんが普及ふきゅうし、初等しょとう的てきな実用じつよう数学すうがくが重要じゅうよう視しされた。よって高度こうどな数学すうがくの研究けんきゅうは大おおきく減少げんしょうし、くわえて丁度ちょうどこの時ときに、マテオ・リッチ（Matteo Ricci, 利り瑪竇）ら宣教師せんきょうしたちにより西洋せいよう数学すうがくが伝来でんらいし、中国ちゅうごく数学すうがくは西洋せいよう科学かがくととって替かわられ、衰退すいたいの一途いっとを行いくこととなった。

古代こだい中国ちゅうごくの数学すうがくの方法ほうほうがインドに伝つたえられたという直接ちょくせつの記録きろくはないものの、インド数学すうがくにおけるいくつかの方法ほうほうは古代こだい中国ちゅうごくのそれに類似るいじしており、何なんらかの伝播でんぱがあったことを示唆しさしている。6世紀せいき頃ごろにおけるインド数学すうがくにおける位取くらいどり記数きすう法ほうの導入どうにゅうに影響えいきょうを与あたえているとの見方みかたを示しめしている。そのほかにインド数学すうがくにおける分数ぶんすうの記法きほうや比例ひれい問題もんだいの解法かいほうなどの算法さんぽう、円周えんしゅう率りつの表示ひょうじ 3927/1250 などに中国ちゅうごくの数学すうがくとの類似るいじや一致いっちが見みられる。インドを通つうじたイスラム圏けんへの中国ちゅうごく数学すうがくの伝播でんぱの他ほかに、元もとの西進せいしんによる中国ちゅうごくの暦法れきほうがイスラム圏けんに伝つたえられた。さらに、アル・カーシーによる「算術さんじゅつの鍵かぎ」（1427年ねん）の中なかで行おこなわれている算法さんぽうのいくつかは宋そう・元もと時代じだいに中国ちゅうごくで発展はってんさせられたものと一致いっちしている。とはいえ、ヨーロッパの数学すうがくがルネサンスの間あいだに栄さかえた後のちでさえ、重要じゅうような中国ちゅうごく数学すうがくの成果せいかは衰退すいたいする中なか、ヨーロッパと中国ちゅうごくの数学すうがくは総そうじて別個べっこの流儀りゅうぎであった。後のちにマテオ・リッチのようなイエズス会かい宣教師せんきょうしが16世紀せいきから18世紀せいきにかけて2つの文化ぶんかの間あいだで数学すうがく思想しそうを交流こうりゅうさせた。

ギリシアおよびヘレニズム数学すうがく（紀元前きげんぜん550年ねん〜西暦せいれき300年ねん頃ごろ）

サモスのピタゴラス

ギリシア数学すうがくは紀元前きげんぜん6世紀せいき頃ごろから西暦せいれき450年ねんの間あいだにギリシア語ごで書かかれた数学すうがくを示しめす。ギリシア人数にんずう学者がくしゃは東ひがし地中海ちちゅうかい全体ぜんたい、イタリアから北きたアフリカに広ひろがる都市としに住すんでいたが、これらの地域ちいきは文化ぶんかと言語げんごで結むすびつけられていた。ギリシアの数学すうがくは、ヘレニズム数学すうがくとも呼よばれる。

ミレトスのタレス

ギリシア数学すうがくは、以前いぜんの文化ぶんかで発達はったつした数学すうがくに比くらべて遥はるかに洗練せんれんされたものであった。ギリシア以前いぜんの数学すうがくは、すべて帰納的きのうてき推論すいろんを示しめしている。すなわち、繰くり返かえした観測かんそくで経験けいけん則そくを証明しょうめいした。ギリシア数学すうがくは、対照たいしょう的てきに、演繹えんえき法ほうを使用しようした。ギリシア人じんは、定義ていぎおよび原理げんりから結論けつろんを得える論理ろんりを使用しようした 。

ギリシア数学すうがくはタレス（紀元前きげんぜん624〜546年ねん頃ごろ）とピタゴラス（紀元前きげんぜん582〜507年ねん頃ごろ）が始はじめたと考かんがえられる。影響えいきょう範囲はんいについて異論いろんはあるものの、彼かれらはエジプト、メソポタミア、および恐おそらくインドの知識ちしきに影響えいきょうを受うけた。伝説でんせつでは、ピタゴラスはエジプトに旅行りょこうし、数学すうがく、幾何きか学がく、および天文学てんもんがくをエジプトの指導しどう者しゃから学まなんだと言いわれている。

タレスは、幾何きか学がくを使用しようして、ピラミッドの高たかさや岸きしから船ふねまでの距離きょりを計算けいさんする等ひとしの問題もんだいを解決かいけつした。ピタゴラスの定理ていりについて、ピタゴラス以前いぜんからその主張しゅちょうには長ながい歴史れきしがあるものの、定理ていりに最初さいしょの証明しょうめいを与あたえたのが彼かれであるとの名声めいせいをもつ。エウクレイデス（ユークリッド）によるピタゴラスの論評ろんぴょうにおいて、プロクロスはピタゴラスが彼かれの名なを冠かんする定理ていりを述のべ、幾何きか学がく的てきでなく代数だいすう学がく的てきにピタゴラス数すうを構成こうせいしたと述のべている。アカデメイアは、「幾何きか学がくに精通せいつうしない者ものはここに入はいるべからず」とのモットーを持もっていた。

ピタゴラス学派がくはは無理むり数すうの存在そんざいを発見はっけんした。エウドクソス（紀元前きげんぜん408〜355年ねん頃ごろ）は、現在げんざいの積分せきぶん法ほうの先駆せんくである、取とり尽つくし法ほうを開発かいはつした。アリストテレス（紀元前きげんぜん384〜233年ねん頃ごろ）は最初さいしょに論理ろんり学がくの法ほうを書かいた。エウクレイデスは今日きょうの数学すうがくでも使用しようされる形式けいしきである、定義ていぎ、原理げんり、定理ていり、証明しょうめいの最もっとも初期しょきの例れいである。彼かれはまた円錐えんすい曲線きょくせんの研究けんきゅうも行おこなった。彼かれの本ほん、『ユークリッド原論げんろん』は、20世紀せいきの中頃なかごろまで、西洋せいようで教育きょういくを受うけたものすべてに知しられていた。ピタゴラスの定理ていりなどの幾何きか学がくのよく知しられた定理ていりに加くわえて、『ユークリッド原論げんろん』には2の平方根へいほうこんが無理むり数すうであることや素数そすうが無限むげんに存在そんざいすることの証明しょうめいが記述きじゅつされている。素数そすうの発見はっけんにはエラトステネスの篩ふるい（紀元前きげんぜん230年ねん頃ごろ）が使用しようされた。

ギリシア数学すうがくの、あるいは全ぜん時代じだいの最もっとも偉大いだいな数学すうがく者しゃは、シラクサのアルキメデス（紀元前きげんぜん287〜212年ねん）であると言いわれている。プルタルコスによると、75歳さいのとき、地面じめんに数式すうしきを書かいている最中さいちゅうにローマの軍人ぐんじんに槍やりで刺さされたとされている。古代こだいローマは純粋じゅんすい数学すうがくへの関心かんしんの証拠しょうこをほとんど残のこしていない。

中世ちゅうせい以降いこうのヨーロッパ数学すうがくの発展はってん

中世ちゅうせいヨーロッパの数学すうがくへの関心かんしんは、現代げんだいの数学すうがく者しゃと全まったく異ことなる動機どうきにもよっていた。その1つは、数学すうがくによる自然しぜんの記述きじゅつを通つうじて宗教しゅうきょう的てきな理解りかいが促進そくしんされるという信念しんねんであり、プラトンの『ティマイオス』および聖書せいしょの『知恵ちえの書しょ』11章しょう20節せつによって幾度いくども正当せいとう化かされた。

中世ちゅうせい初期しょき（西暦せいれき500〜1100年ねん頃ごろ）

ボエティウスは、算術さんじゅつ、幾何きか学がく、天文学てんもんがく、音楽おんがくを示しめす用語ようご『四よん学科がっか』を作つくり、カリキュラムに数学すうがくを加くわえた。彼かれは、ニコマコス (Nicomachus) の『算術さんじゅつ入門にゅうもん』の意訳いやくで、またギリシア文献ぶんけんに由来ゆらいする『算術さんじゅつ教程きょうてい（De institutione arithmetica）』、エウクレイデスのユークリッド原論げんろんの抄録しょうろく集しゅうを著あらわした。彼かれの著作ちょさくは、実用じつよう的てきというよりむしろ理論りろん的てきであり、ギリシアとイスラムの数学すうがく文献ぶんけんの回復かいふくまで、数学すうがく研究けんきゅうの基礎きそであった。

ヨーロッパ数学すうがくの復活ふっかつ（西暦せいれき1,100〜1,400年ねん頃ごろ）

12世紀せいきに、ヨーロッパの学者がくしゃはアラビア語ご科学かがく文献ぶんけんを求もとめてスペインとシチリア島とうに旅行りょこうした。これにはチェスターのロバートによりラテン語らてんごに翻訳ほんやくされたフワーリズミーの『ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ』、バースのアデラード、カリンツィアのヘルマン (Herman of Carinthia) 、クレモナのジェラルドにより様々さまざまな版はんが翻訳ほんやくされたエウクレイデスのユークリッド原論げんろんの完全かんぜんな書しょが含ふくまれる。

これらの新あたらしい文献ぶんけんは数学すうがくの復活ふっかつをもたらした。レオナルド・フィボナッチは1202年ねんに『算盤そろばんの書しょ』 (Liber Abaci) を著あらわし、エラトステネスの時代じだいから1,000年ねん以上いじょうを経へて、ヨーロッパの最初さいしょの重要じゅうような数学すうがくをもたらした。この数学すうがく書しょはヨーロッパにインド・アラビア数字すうじを導入どうにゅうし、他たの多おおくの数学すうがく問題もんだいが議論ぎろんされた。14世紀せいきには、幅広はばひろい問題もんだいを研究けんきゅうするための新あらたな数学すうがくの観念かんねんの発展はってんが見みられた。数学すうがくの発展はってんに貢献こうけんした重要じゅうような分野ぶんやは、軌跡きせきの動うごきの分析ぶんせきに関かんするものであった。

トーマス・ブラッドワーディン (Thomas Bradwardine) は、力ちから(F)が抵抗ていこう(R)に対たいして幾何きか学がく的てき比例ひれいで増加ぞうかするように、速度そくど(V)が算術さんじゅつ的てき比率ひりつで増加ぞうかすることを主張しゅちょうした。ブラッドワーディンはこれを特定とくていの例れいの一連いちれんで示しめし、対数たいすうはまだ発想はっそうされていなかったが、彼かれの結論けつろんを時代じだい錯誤さくご的てきに次つぎのように表あらわすことができる：V = log F/R。ブラッドワーディンの解析かいせきはアル＝キンディーとヴィラノバのアーノルド (Arnaldus de Villa Nova) の数学すうがく的てき手法しゅほうを複ふく合ごう薬やくの種類しゅるいを異ことなる物理ぶつり的てき問題もんだいに定量ていりょう化かするために移うつしかえた例れいである。

14世紀せいきのオックスフォおっくすふぉード大学どだいがくマートン・カレッジの1人ひとり、ヘイツベリーのウィリアムは、微分びぶん法ほうと極限きょくげんの概念がいねんを欠かきながら、ある瞬間しゅんかんの速度そくどを『もし……与あたえられた瞬間しゅんかんに動うごく速度そくどが同おなじ度合どあいで均一きんいつに動うごくならば、[物体ぶったいが]描えがくであろう軌道きどうにより』測定そくていすることを提案ていあんした。

ヘイツベリーらは、均一きんいつに動作どうさを加速かそくする物体ぶったいが移動いどうする距離きょり（現代げんだいでは積分せきぶん法ほうで解決かいけつできる）を数学すうがく的てきに測定そくていし、『均一きんいつに[速度そくどの]増分ぞうぶんを加速かそくまたは減速げんそくする物体ぶったいが、与あたえられた時間じかんで移動いどうする[距離きょり]は、平均へいきんの[速度そくどの]度合どあいで同おなじ時間じかんの間あいだ継続けいぞくして動作どうさするものと完全かんぜんに等ひとしい』と述のべた。

パリ大学だいがくのニコル・オレームとイタリア人じんのカサーリのジョバンニはそれぞれ、この関係かんけいを図示ずしし、一定いっていの加速かそくを描えがく線せんの下したの領域りょういきが、総そう移動いどう距離きょりを示しめすことを主張しゅちょうした。後のちにエウクレイデスの『原論げんろん』の数学すうがく的てき解説かいせつ書しょで、オレームはより詳細しょうさいな全体ぜんたい的てき分析ぶんせきを行おこない、物体ぶったいは各々おのおのの継続けいぞくした増分ぞうぶんの時間じかんで奇数きすうとして増加ぞうかする特性とくせいの増分ぞうぶんを得えることを論証ろんしょうした。エウクレイデスは（一定いってい量りょう以下いかのすべての）奇数きすうの和わは平方へいほう数すうになることを証明しょうめいしたため、物体ぶったいの増分ぞうぶんで得える特性とくせいの総計そうけいは時間じかんの二乗にじょうで増加ぞうかする。

近代きんだいヨーロッパ数学すうがく（西暦せいれき1400〜1600年ねん頃ごろ）

ルネサンス初期しょきのヨーロッパでは、数学すうがくはまだローマ数字すうじを使用しようした扱あつかいにくい記法きほうに制限せいげんされ、記号きごうを使用しようせずに単語たんごで関係かんけいを説明せつめいしていた：プラス記号きごう、等号とうごう、未知数みちすうを示しめす $x$ は使つかわれなかった。

16世紀せいき末まつまでに、特とくにレギオモンタヌス（1436年ねん-1476年ねん）とフランソワ・ビエト（1540年ねん-1603年ねん）の貢献こうけんにより、数学すうがくは現在げんざい使用しようされる記法きほうと相違そういの少すくないインド・アラビア数字すうじを使用しようして記述きじゅつされるようになった。

16世紀せいきのヨーロッパの数学すうがく者しゃは、今日きょう知しられているように、他たの世界せかいに先例せんれいの無ない進歩しんぽを始はじめた。その最初さいしょは三さん次じ関数かんすうの一般いっぱん解法かいほうであり、一般いっぱんに1510年ねん頃ごろのシピオーネ・デル・フェッロの功績こうせきとされているが、最初さいしょの出版しゅっぱんはニュルンベルクのヨハネス・ペトレイアスによるジェロラモ・カルダーノの『偉大いだいなる術じゅつ』であり、これにはカルダーノの弟子でしルドヴィコ・フェラーリによる四よん次じ方程式ほうていしきの一般いっぱん解法かいほうも含ふくまれていた。

この時点じてんから、数学すうがくの発展はってんは迅速じんそくとなり、同どう時代じだいの自然しぜん科学かがくにおける進歩しんぽに貢献こうけんした。この進歩しんぽは印刷いんさつの発展はってんに大おおいに支援しえんされた。最初さいしょに出版しゅっぱんされた数学すうがくの本ほんは1472年ねんのゲオルク・プールバッハの『惑星わくせいの新しん理論りろん』であり、商業しょうぎょう算術さんじゅつの本ほんである1478年ねんの『トレヴィーゾ算術さんじゅつ書しょ』が続つづき、最初さいしょの数学すうがく書しょであるエウクレイデスのユークリッド原論げんろんは1482年ねんにラトドルトにより出版しゅっぱんされた。

航行こうこうの要求ようきゅうと広範囲こうはんいに及およぶ正確せいかくな地図ちずの必要ひつよう性せいの増加ぞうかを動機どうきとし、三角さんかく法ほうが数学すうがくの主要しゅような部門ぶもんとなった。ピティスクス (Bartholomaeus Pitiscus) がこの語かたりを、1595年ねんに出版しゅっぱんした『三角さんかく法ほう』(Trigonometria) で最初さいしょに使用しようした。レギオモンタヌスの正弦せいげんおよび余弦よげんの表ひょうは1533年ねんに出版しゅっぱんされた。

17世紀せいき

アイザック・ニュートン

17世紀せいきには、ヨーロッパ全体ぜんたいで数学すうがく的てきおよび科学かがく的てき概念がいねんの空前くうぜんの爆発ばくはつ的てき発展はってんが見みられた。書簡しょかんによって、あるいはこのころ確立かくりつされた印刷いんさつ技術ぎじゅつによって新あたらしいアイデアは迅速じんそくに広ひろまり、他たの学者がくしゃからの批判ひはんや拡張かくちょうの試こころみなど数学すうがく者しゃ間あいだの交流こうりゅうによって学問がくもんの進展しんてんが盛さかんになった。17世紀せいきのヨーロッパ数すう学会がっかいにおける数学すうがく者しゃ間あいだの交流こうりゅうにおいてマラン・メルセンヌを中心ちゅうしんとした定期ていき的てきな集あつまりと書簡しょかんの交流こうりゅうは大おおきな役割やくわりを果はたしている。

イタリア人じんのガリレオ・ガリレイは、オランダからの輸入ゆにゅうをもとにした望遠鏡ぼうえんきょうを使用しようして、木星もくせいの衛星えいせいが軌道きどうを描えがくことを観測かんそくした。ティコ・ブラーエは、惑星わくせいの天空てんくう中ちゅうにおける位置いちを記述きじゅつする膨大ぼうだいな量りょうの数値すうちデータを収集しゅうしゅうした。彼かれの助手じょしゅであるドイツ人じんのヨハネス・ケプラーはこのデータで研究けんきゅうを始はじめたが、スコットランドのジョン・ネイピアは、ケプラーの計算けいさんを助すけようとする試こころみもあって、歴史れきし上じょう最初さいしょに自然しぜん対数たいすうの研究けんきゅうを行おこなった。ケプラーは惑星わくせい運動うんどうの数学すうがく的てき規則きそくをケプラーの法則ほうそくとして定式ていしき化かすることに成功せいこうした。

フランス人じんの数学すうがく者しゃピエール・ド・フェルマーと哲学てつがく者しゃでもあるルネ・デカルトによって解析かいせき幾何きか学がくが開発かいはつされ、惑星わくせいの軌道きどうを直交ちょっこう座標ざひょう系けいにおいて描えがきとらえることができるようになった。多おおくの数学すうがく者しゃによるそれまでの研究けんきゅうに立脚りっきゃくし、イングランドのアイザック・ニュートンはケプラーの法則ほうそくを説明せつめいする物理ぶつり法則ほうそくを発見はっけんし、現在げんざいの微分びぶん積分せきぶん学がくとして知しられる概念がいねんを寄よせ集あつめた。これとは独立どくりつに、ドイツではゴットフリート・ライプニッツが微分びぶん積分せきぶん学がくおよび現在げんざいでも使用しようされる微分びぶん積分せきぶんの記法きほうのほとんどを発明はつめいした。この時代じだいに科学かがくと数学すうがくは国境こっきょうを越こえた営いとなみとなり、すぐに全ぜん世界せかいに広ひろまった。

天文学てんもんがくの研究けんきゅうへの数学すうがくの応用おうように加くわえ、フェルマーとブレーズ・パスカルの交流こうりゅうにより、応用おうよう数学すうがくが新あらたな領域りょういきに拡大かくだいを始はじめた。パスカルとフェルマーはギャンブルのゲームに関かんする議論ぎろんで、確率かくりつ論ろんと対応たいおうする組合くみあわせ数学すうがくの研究けんきゅうの土台どだいを築きずいた。パスカルは、成功せいこうの確かく率りつがわずかであっても報酬ほうしゅうの期待きたい値ちが無限むげんであるような確率かくりつ論ろん的てき設定せっていの存在そんざいを根拠こんきょに、人生じんせいを宗教しゅうきょうに捧ささげることの正当せいとう性せいを論証ろんしょうしようと試こころみた。ある意味いみで、これは18世紀せいきから19世紀せいきにおける功利こうり主義しゅぎの発展はってんの前兆ぜんちょうであったともいえる。

17世紀せいきのヨーロッパの大学だいがくの教授きょうじゅは哲学てつがく者しゃが主おもであり、数学すうがく者しゃたちの多おおくは王立おうりつ協会きょうかいなどの君主くんしゅたちによって設立せつりつされたアカデミーに関係かんけいしていた。

18世紀せいき

レオンハルト・オイラー

上うえで見みたように、自然しぜん数すう 1、2、3、… に関かんする知識ちしきは現存げんそんするどんな文書ぶんしょよりも古ふるい石板せきばんに残のこされている。メソポタミア、エジプト、インド、中国ちゅうごくなど最古さいこの文明ぶんめいは、算術さんじゅつを知しっていた。

現代げんだい数学すうがくの様々さまざまな数すう体系たいけいの発展はってんについて可能かのうな考察こうさつとして、古ふるい数かずで行おこなわれた演算えんざんに関かんする質問しつもんに答こたえるために新あたらしい数かずが研究けんきゅう・調査ちょうさされてきた、というものが挙あげられる。有史ゆうし以前いぜんにすでに「3を掛かけられ、答こたえが1になる数かずは?」という問といにこたえるものとして、分数ぶんすうが用もちいられた。また、インドと中国ちゅうごく、はるか遅おそくにドイツで、「大おおきな数かずを小ちいさな数かずから引ひいたときの答こたえは?」という問といの答こたえとして負まけの数かずが開発かいはつされた。ほかに挙あげられる自然しぜんな質問しつもんは：「2の平方根へいほうこんはどんな種類しゅるいの数かずか?」 ギリシア人じんはそれが分数ぶんすうでないことを知しっており、この質問しつもんは連分数れんぶんすうの理論りろんの発展はってんに動機どうきを与あたえたともいえる。しかし、よりよい回答かいとうはジョン・ネイピア（1550年ねん-1617年ねん）が開発かいはつし、後のちにシモン・ステヴィン (Simon Stevin) が完成かんせいした小数しょうすうの発明はつめいでもたらされた。小数しょうすう、および極限きょくげんの観念かんねんを予期よきした概念がいねんを使用しようして、ネイピアは新あたらしい定数ていすうを研究けんきゅうし、これをレオンハルト・オイラー（1707年ねん-1783年ねん）はネイピア数すう e と命名めいめいした。

17世紀せいきに創始そうしされた微分びぶん積分せきぶん学がくはオイラーをはじめとする18世紀せいきの数学すうがく者しゃたちによってさらに発展はってんさせられた。オイラーによって書かかれた3冊さつの解析かいせき学がくの教科書きょうかしょやダランベールとオイラーの間あいだで議論ぎろんされた波動はどう方程式ほうていしきの考察こうさつによって、17世紀せいきの幾何きか学がく的てきな変へん分ぶんについての微分びぶん積分せきぶん学がくの体系たいけいはより抽象ちゅうしょう的てきな、1変数へんすうないし多た変数へんすうの関数かんすうによって与あたえられる解析かいせき的てきな対象たいしょうの研究けんきゅうへと変貌へんぼうしていった。

18世紀せいきの確率かくりつ論ろんはヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、トーマス・ベイズ、ピエール＝シモン・ラプラスらの手てによって、解析かいせき学がくの成果せいかを取とり込こみ発展はってんさせられた。この時代じだいの成果せいかに蓋然的がいぜんてき確実かくじつ性せい（ベルヌーイ）、確かく率りつ評価ひょうか精度せいどの理論りろん（ド・モアブル）、統計とうけい的てき推定すいてい（ベイズ、ラプラス）などがある。

19世紀せいき

3つの幾何きか学がくにおける共通きょうつう垂線すいせんを持もつ直線ちょくせんのふるまい

19世紀せいきの間あいだに、数学すうがくは更さらに抽象ちゅうしょう的てきになった。19世紀せいきは最高さいこうの数学すうがく者しゃの一人ひとりと数かぞえられるカール・フリードリヒ・ガウス（1777年ねん-1855年ねん）の時代じだいでもある。自然しぜん科学かがくへの多数たすうの貢献こうけんを別べつにしても、純粋じゅんすい数学すうがくにおいて彼かれは複素ふくそ解析かいせき学まなべ、幾何きか学がく、および級数きゅうすうの収束しゅうそくについて革新かくしん的てきな業績ぎょうせきを残のこした。彼かれは代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりと平方へいほう剰余じょうよの相互そうご法則ほうそくに、最初さいしょの満足まんぞくできる証明しょうめいを与あたえた。

19世紀せいきにはユークリッド幾何きか学がくの平行へいこう線せん公理こうりが成立せいりつしないような非ひユークリッド幾何きか学がくの2つの形式けいしきが発見はっけんされた。ロシア人数にんずう学者がくしゃのニコライ・ロバチェフスキーと彼かれのライバルであるハンガリー人数にんずう学者がくしゃのボーヤイ・ヤーノシュは、独立どくりつに平行へいこう線せんの一意いちい性せいが成立せいりつしないような双そう曲きょく幾何きか学がくを発見はっけんした。この幾何きか学がくにおいては三角形さんかっけいの内角ないかくの和わは180度ど未満みまんである。楕円だえん幾何きか学がくは19世紀せいき後期こうきに、ドイツ人数にんずう学者がくしゃのベルンハルト・リーマンによって開発かいはつされたが、ここでは平行へいこう線せんは存在そんざいせず、この幾何きか学がくでは三角形さんかっけいの内角ないかくの和わは180度どを超過ちょうかする。リーマンはまた、3つの形式けいしきの幾何きか学がくを統一とういつして膨大ぼうだいに普遍ふへん化かするリーマン幾何きか学がくを開発かいはつし、曲線きょくせんと表面ひょうめんの概念がいねんを普遍ふへん化かした多様たよう体たいの概念がいねんを定義ていぎした。

19世紀せいきはまた、新あらたな抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくの始はじまりの時代じだいでもあった。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって非ひ可か換かわ代数だいすうの概念がいねんが発展はってんさせられたし、一方いっぽうでイギリスの数学すうがく者しゃジョージ・ブールによってブール論理ろんりが開発かいはつされた。ブール論理ろんりは0と1の二ふたつの数かずからなる体系たいけいであり、今日きょうの計算けいさん機き科学かがくにおいて重要じゅうような応用おうようを持もっている。

数学すうがくにおける新あらたな傾向けいこうに加くわえて、過去かこの数学すうがく、特とくに微分びぶん積分せきぶん学がくについて、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとカール・ワイエルシュトラス、ベルンハルト・リーマンらによってより強固きょうこな基礎きそ理論りろんが与あたえられた。

また、数学すうがくの限界げんかいが初はじめて探求たんきゅうされた。ノルウェー人じんのニールス・アーベルとフランス人じんのエヴァリスト・ガロアは、五ご次じ以上いじょうの代数だいすう方程式ほうていしきには一般いっぱん的てきな代数だいすう的てき解法かいほうが無ないことを証明しょうめいした。他たの19世紀せいきの数学すうがく者しゃはこの証明しょうめいを応用おうようして、定規じょうぎとコンパスのみで任意にんいの角度かくどを三さん等分とうぶんできないこと、与あたえられた立方体りっぽうたいの2倍ばいの体積たいせきを持もつ立方体りっぽうたいを構成こうせいできないこと、与あたえられた円えんの面積めんせきと等ひとしい正方形せいほうけいを構成こうせいすることができないことを証明しょうめいした。古代こだいギリシャ時代じだい以来いらいの多おおくの数学すうがく者しゃによるこれらの問題もんだいを解とこうとする試こころみはついえることになった。

アーベルとガロアによる様々さまざまな多項式たこうしき解法かいほうの研究けんきゅうは、群論ぐんろんおよび抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくの関連かんれん分野ぶんやの更さらなる発展はってんの土台どだいを築きずいた。20世紀せいきの物理ぶつり学者がくしゃと科学かがく者しゃは、群論ぐんろんを対称たいしょう性せいを研究けんきゅうする理想りそう的てきな枠組わくぐみとみなした。

19世紀せいきの終おわりに向むかって、ゲオルク・カントールは集合しゅうごう論ろんを確立かくりつし、異ことなる数学すうがく分野ぶんやでの共通きょうつう言語げんごをあたえた。無限むげん集合しゅうごうの導入どうにゅうは数学すうがく基礎きそ論ろんにおける論争ろんそうを引ひき起おこした。

19世紀せいきには最初さいしょの数学すうがくの学会がっかいの設立せつりつが見みられた。1865年ねんにロンドン数すう学会がっかい、1872年ねんにフランス数すう学会がっかい、1884年ねんにパレルモ数すう学会がっかい、1883年ねんにエディンバラ数すう学会がっかい、1888年ねんにアメリカ数すう学会がっかいが設立せつりつされた。前ぜん世紀せいきの数学すうがく者しゃたちがアカデミーに属ぞくしていたのとは異ことなり、19世紀せいきの数学すうがく者しゃたちはおもにエコール・ポリテクニークなどの高等こうとう教育きょういく機関きかんに属ぞくして活動かつどうするようになった。また、この時代じだいの数学すうがく的てきな成果せいかはクレレによって創刊そうかんされた Journal für die reine und angewandte Mathematik をはじめとする学術がくじゅつ誌しにおいて発表はっぴょうされるようになった。

20世紀せいき

四よん色しょく定理ていりを示しめす図ず

20世紀せいき以前いぜんは、世界中せかいじゅうのいかなるときも、創造そうぞう的てきな数学すうがく者しゃはほんのわずかであった。ほとんどの場合ばあい、数学すうがく者しゃはネイピアのように富裕ふゆう層そうに属ぞくしていたか、またはガウスのように裕福ゆうふくな支援しえん者しゃを持もっていた。フーリエのように大学だいがく教授きょうじゅで生計せいけいを得えるものはほとんどおらず、地位ちいを得えることができなかったニールス・ヘンリック・アーベルは、栄養えいよう不良ふりょうと結核けっかくにより貧困ひんこんの下した26歳さいで世よを去さった。20世紀せいきになって、数学すうがく者しゃという職業しょくぎょうが社会しゃかいの中なかで占しめる位置いちは前まえより遥はるかに大おおきなものとなった。毎年まいとし、何なん百ひゃくもの新あたらしい数学すうがく博士はかせ号ごうが与あたえられ、教職きょうしょくと産業さんぎょうの両方りょうほうで仕事しごとがあった。数学すうがくの発展はってんは幾何級数きかきゅうすう的てきに増加ぞうかした。あまりにも多おおくの新あらたな開発かいはつがあり、最もっとも意味いみ深ふかいいくつかに言及げんきゅうし概観がいかんする。

1900年ねんに、ダフィット・ヒルベルトは国際こくさい数すう学者がくしゃ会議かいぎにおいてヒルベルトの23の問題もんだいを提示ていじした。この問題もんだいは、数学すうがくの多おおくの領域りょういきにまたがり、20世紀せいきの数学すうがくの多おおくに対たいする関心かんしんの的まととなった。今日きょう、10の問題もんだいが解決かいけつされ、7つが部分ぶぶん的てきに解決かいけつされ、2つが未解決みかいけつである。残のこる4つについては定式ていしき化かが曖昧あいまいなため解決かいけつか未解決みかいけつかを述のべることは不可能ふかのうである。

1910年代ねんだい、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1887年ねん-1920年ねん）は、3,000を超こえる定理ていりを開発かいはつした。これには高度こうど合成ごうせい数すうの固有こゆう性せい、整数せいすう分割ぶんかつとその漸すすむ化か解析かいせき、擬なずらえテータ関数かんすう (Ramanujan theta function) が含ふくまれる。彼かれはまた、ガンマ関数かんすう、モジュラー形式けいしき、 発散はっさん級数きゅうすう、超ちょう幾何級数きかきゅうすう、および素数そすう定理ていりの大おおきな進展しんてんと発見はっけんを行おこなった。

1930年代ねんだい以降いこう、フランスの数学すうがく者しゃたちによって結成けっせいされた「ブルバキ」グループは、ニコラ・ブルバキという偽名ぎめいの下したに一連いちれんの教科書きょうかしょを出版しゅっぱんし、集合しゅうごう論ろんに基もとづいて様々さまざまな数学すうがくの分野ぶんやを統一とういつ的てきに記述きじゅつしようと試こころみた。彼かれらの広範こうはんな分野ぶんやに渡わたる著作ちょさくのスタイルは、数学すうがく教育きょういくのあり方かたにも影響えいきょうを与あたえ、論争ろんそうの的まととなった 。

1931年ねんに、クルト・ゲーデルは、数理すうり論理ろんり学がくにおける形式けいしき的てき体系たいけいの限界げんかいを述のべる2つのゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていりを発表はっぴょうした。これによってダフィット・ヒルベルトが夢ゆめみた、基礎きそ論ろんに基もとづく全すべての数学すうがく体系たいけいの矛盾むじゅんのない記述きじゅつを求もとめる試こころみは死亡しぼう宣告せんこくを受うけることになった。また、ゲーデルとポール・コーエンによって、連続れんぞく体たい仮説かせつがツェルメロ・フレンケルの公理系こうりけい (Zermelo–Fraenkel set theory) からは証明しょうめいも反証はんしょうもできないことが示しめされた。

過去かこの有名ゆうめいな予想よそうのうちいくつかは、20世紀せいきになって開発かいはつされたより強力きょうりょくな技法ぎほうによって解決かいけつされることになった。ヴォルフガング・ハーケンとケネス・アッペルは、1976年ねんにコンピュータを使用しようして四よん色しょく定理ていりを証明しょうめいした。 アンドリュー・ワイルズは数すう年ねんにわたる独力どくりょくの研究けんきゅうで、1995年ねんにフェルマーの最終さいしゅう定理ていりを証明しょうめいした。また、20世紀せいきになって数学すうがくの共同きょうどう研究けんきゅうはかつてない規模きぼで行おこなわれるようになった。有限ゆうげん単純たんじゅん群ぐんの分類ぶんるい (Classification of finite simple groups) の理論りろんは1955年ねんから1983年ねんの間あいだに発行はっこうされた、約やく100人にんの執筆しっぴつによる500余あまりの雑誌ざっし記事きじからなるが、その総体そうたいは何なん万まんページにもわたる。

数理すうり論ろん理学りがく、位相いそう幾何きか学がく、カオス理論りろん、ゲーム理論りろんのような全まったく新あたらしい数学すうがくの分野ぶんやが、数学すうがく的てき手法しゅほうで回答かいとうできる質問しつもんの種類しゅるいを変化へんかさせた。20世紀せいきの終おわりまでに、数学すうがくは芸術げいじゅつの域いきにさえ達たっした。フラクタル幾何きかは、それまで見みたことのないような美うつくしいフラクタルアートを与あたえる。

21世紀せいき

21世紀せいき初期しょき、多おおくの教育きょういく者しゃが新あらたな貧困ひんこん層そうの数学すうがく的てき・科学かがく的てき無む教養きょうように関かんする心配しんぱいを述のべている。一方いっぽうで、数学すうがく、科学かがく、工学こうがく、および科学かがく技術ぎじゅつが相互そうごに知識ちしき、情報じょうほうを作つくり上あげ、古代こだい哲学てつがく者しゃが夢ゆめにも見みなかった繁栄はんえいがもたらされている。

2003年ねんに、グリゴリー・ペレルマンがミレニアム懸賞けんしょう問題もんだいの一ひとつであるポアンカレ予想よそうを証明しょうめいした。

2007年ねん3月がつ中旬ちゅうじゅんに、北米ほくべいと欧州おうしゅう中ちゅうの研究けんきゅう者しゃチームがコンピュータネットワークを使用しようして、E₈ (E₈) （248次元じげんの例外れいがい型がた単純たんじゅんリー環たまき）の指標しひょう表ひょうを決定けっていした。この E₈ の理解りかいがどのように応用おうようできるかはまだ正確せいかくに知しられていないが、この発見はっけんは現代げんだい数学すうがくのチームワークと計算けいさん機き科学かがく双方そうほうの大おおきな業績ぎょうせきである。

2009年ねん 、 ゴ・バオ・チャウにより、ラングランズ・プログラムの基本きほん補題ほだいに数学すうがく的てき証明しょうめいが与あたえられた。

2013年ねん、テレンス・タオが素数そすうが極端きょくたんに偏かたよることなく分布ぶんぷすることに関かんする素数そすうの新しん定理ていり発見はっけん。

2019年ねん 、 ルイス・モーデルが提唱ていしょうした「3つの立法りっぽう数すうを足たし引びきすることにより、1～100の数かずをすべてつくれるか」という問題もんだいで、最後さいごまで残のこっていた42が世界中せかいじゅうのコンピュータ50万まん台だいをつなぐグリッド・コンピューティングで発見はっけんされる。

2019年ねん12月、テレンス・タオが「コラッツの問題もんだい」について偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを用もちいて、「ほとんどすべての正せいの整数せいすうにおいて正ただしい」とする論文ろんぶんを発表はっぴょうした。

未来みらい

詳細しょうさいは「数学すうがくの未来みらい」を参照さんしょう

数学すうがくにおいて観みられる多おおくの傾向けいこうがある、最もっとも注目ちゅうもくされるのは、次つぎのことである：分野ぶんやが永続えいぞく的てきに巨大きょだい化かし、コンピュータが永続えいぞく的てきに大おおいに重要じゅうように、そして強力きょうりょくになる、生命せいめい情報じょうほう科学かがくへの数学すうがくの応用おうようは急速きゅうそくに拡大かくだいしている、そしてコンピュータによって促進そくしんされた、科学かがくと産業さんぎょうでの生うまれたデータの量りょうは、爆発ばくはつ的てきに拡大かくだいしている。

参考さんこう文献ぶんけん

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  このウェブサイトは、数学すうがくの概念がいねんに関かんする伝記でんき、年表ねんぴょうと歴史れきし記事きじを含ふくんでいる。スコットランド セント・アンドルーズ大学だいがく 数学すうがく・統計とうけい学部がくぶ。（または、歴史れきしトピックのアルファベット順じゅんリスト参照さんしょう。）
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• K.メニンガー 著ちょ、内うち林はやし政夫まさお 訳やく『図説ずせつ数すうの文化ぶんか史し : 世界せかいの数字すうじと計算けいさん法ほう』八坂やさか書房しょぼう、東京とうきょう、2001年ねん。ISBN 4-89694-471-2。 
• Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
• ヴィクター J. カッツ 著ちょ、中根なかね美知代みちよ、上野うえの健けん爾しかほか 訳やく『数学すうがくの歴史れきし』共立きょうりつ出版しゅっぱん、東京とうきょう、2005年ねん。ISBN 4-320-01765-X。 
• Kline, Morris (1972). 'Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-501496-0 
• ニコラ ブルバキ 著ちょ、村田むらた全あきら、杉浦すぎうら光夫みつお、清水しみず達雄たつお 訳やく『ブルバキ数学すうがく史し』 上下じょうげ、筑摩書房ちくましょぼう、東京とうきょう、2006年ねん。 
• 「東西とうざい数学すうがく史し」三上みかみ義夫よしお（東西とうざい数学すうがく史し　輓近ばんきん高等こうとう数学すうがく講座こうざ　共立社きょうりつしゃ）[1]
• ジョージ・G・ジョーゼフ 著しる、垣かき田高たこう夫おっと、大町おおまち比佐ひさ栄さかえ 訳やく『非ひヨーロッパ起源きげんの数学すうがく』講談社こうだんしゃ、東京とうきょう、1996年ねん。ISBN 4-06-257120-X。 
• 佐々木ささき力つとむ：「数学すうがく史し」，岩波書店いわなみしょてん、2010年ねん3月がつ5日にち。ISBN 978-4000055338
• Eleanor Robson, Jacqueline Stedall, 斎藤さいとう憲けん(訳わけ),三浦みうら伸夫のぶお(訳わけ)：「Oxford 数学すうがく史し」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、2014年ねん5月がつ23日にち。ISBN 978-4320110885
• 中村なかむら滋しげる, 室井むろい和男かずお：「数学すうがく史し ―数学すうがく5000年ねんの歩あゆみ―」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、2014年ねん11月22日にち。ISBN 978-4320110953
• 土倉つちくら保たもつ(著ちょ編へん)：「新しん解説かいせつ・和算わさん公式こうしき集しゅう 算法さんぽう助すけ術じゅつ」、朝倉書店あさくらしょてん、2014年ねん11月25日にち。ISBN 978-4254111446

関連かんれん項目こうもく

• 数学すうがくの年表ねんぴょう
• 円周えんしゅう率りつの歴史れきし
• 算さん道どう
• 和算わさん

外部がいぶリンク

• MacTutor History of Mathematics archive（John J. O'Connor and Edmund F. Robertson；セント・アンドルーズ大学だいがく）
  数すう多おおくの歴史れきし的てきおよび現代げんだいの数学すうがく者しゃの詳細しょうさいな伝記でんき、数学すうがく史しにおける有名ゆうめいな変遷へんせんおよび様々さまざまな論題ろんだいを含ふくむ、受賞じゅしょうウェブサイト。
• History of Mathematics Home Page（David E. Joyce；クラーク大学だいがく）
  数学すうがく史しの様々さまざまな論題ろんだいに関かんする記事きじと広範こうはんな文献ぶんけん目録もくろく。
• The History of Mathematics（David R. Wilkins；ダブリン大学だいがくトリニティ・カレッジ）
  17世紀せいきから19世紀せいきの間あいだの数学すうがくに関かんする資料しりょうを所蔵しょぞうする。
• History of Mathematics（サイモンフレーザー大学だいがく）
• Mathematics Pages (Jeff Miller)
  数学すうがくで使用しようされる記号きごうと用語ようごの知しられている最初さいしょの使用しように関かんする情報じょうほうを含ふくみ、数学すうがく者しゃを表現ひょうげんする切手きってを収集しゅうしゅうする。
• Biographies of Women Mathematicians（Larry Riddle；アグネス・スコット大学だいがく）
• Mathematicians of the African Diaspora（Scott W. Williams；ニューヨーク州立しゅうりつ大学だいがくバッファロー校こう）
• Fred Rickey's History of Mathematics Page
• A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians（Steven W. Rockey；コーネル大学だいがく図書館としょかん）

学会がっかい誌し

• Convergence
  アメリカ数学すうがく協会きょうかい (Mathematical Association of America) のオンライン数学すうがく史し雑誌ざっし。

リンク集しゅう・ウェブディレクトリ

• Links to Web Sites on the History of Mathematics (The British Society for the History of Mathematics)
• History of Mathematics Math Archives（ノックスビル市し、テネシー大学だいがく）
• History/Biography The Math Forum（ドレクセル大学だいがく）
• History of Mathematics (Courtright Memorial Library).
• History of Mathematics Web Sites（David Calvis；ボールドウィン・ウォレス大学だいがく）
• History of mathematics - Curlie（英語えいご）
• Historia de las Matemáticas（ラ・ラグーナ大学だいがく）
• História da Matemática（コインブラ大学だいがく）
• Using History in Math Class
• Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius)

数学すうがくの歴史れきし・文化ぶんかに関連かんれんする日本語にほんごサイト

• ユークリッド原論げんろん（渡邉わたなべ正ただし；山口大学やまぐちだいがく）
• 和算わさんの館かん（小寺こでら裕ひろし）
  日本にっぽん各地かくちの算さん額がく情報じょうほうを収集しゅうしゅうし掲載けいさいする。
• 数学すうがくの歴史れきし博物館はくぶつかん（礒田いそだ正美まさみ：筑波大学つくばだいがく）
  数学すうがく的てき活動かつどうに関かかわる歴史れきし・文化ぶんか情報じょうほうを収集しゅうしゅうし視覚しかく化かする。
• リンド数学すうがくパピルス（高橋たかはし秀樹ひでき・礒田いそだ正美まさみ：筑波大学つくばだいがく）
• アポロニウスの円錐えんすい曲線きょくせん論ろん（中嶋なかじま俊朗としろう・礒田いそだ正美まさみ：筑波大学つくばだいがく）