有限ゆうげん幾何きか学がく

有限ゆうげん幾何きか学がく（ゆうげんきかがく）とは有限ゆうげん個この点てんから構成こうせいされる幾何きか学がくの体系たいけいである。例たとえばユークリッド幾何きか学がくは有限ゆうげん幾何きか学がくでない。ユークリッド空間くうかんにおける「線せん」は無限むげんに多おおくの（実際じっさいは実数じっすうと同おなじ濃度のうどの)「点てん」を含ふくむからである。ユークリッド幾何きかは任意にんいの次元じげんで存在そんざいすることと同様どうように、有限ゆうげん幾何きかも任意にんいの(有限ゆうげん)次元じげんで存在そんざいする。ただし、ユークリッド幾何きかとは異ことなり、有限ゆうげん幾何きかの場合ばあいは同おなじ次元じげんでも各種かくしゅの異ことなった(幾何きか学的がくてき)構造こうぞうが存在そんざいし得える。

概要がいよう

有限ゆうげん幾何きかは有限ゆうげん体たい上うえの構造こうぞうと関連かんれんしたベクトル空間くうかんとして、線型せんけい代数だいすうを通つうじて定義ていぎできる。それはガロア幾何きかとも呼よばれる。または有限ゆうげん幾何きかは、純粋じゅんすいに組合くみあわせ論ろん的てきに定義ていぎすることもできる。

多おおくの場合ばあいには(しかしすべてではない)有限ゆうげん幾何きかはガロア幾何きかと同おなじものである。例たとえば3次元じげんまたはそれ以上いじょうの次元じげんにおける任意にんいの有限ゆうげん射影しゃえい空間くうかんは、ある有限ゆうげん体たい上うえの射影しゃえい空間くうかんと同型どうけいである(有限ゆうげん体たい上じょうのベクトル空間くうかんの射影しゃえい化か)。

そこでこの場合ばあいは両者りょうしゃの違ちがいはない。しかし2次元じげんにおいては、組合くみあわせ論ろん的てきに定義ていぎされた射影しゃえい平面へいめんで、有限ゆうげん体たい上じょうの射影しゃえい空間くうかんと同型どうけいにならないようなもの、いわゆる非ひデザルグ平面へいめんが存在そんざいする。そこでこの場合ばあいは両者りょうしゃは異ことなるものである。

有限ゆうげん平面へいめん

次つぎの注意ちゅういは有限ゆうげん「平面へいめん」のみに適応てきおうできる。

有限ゆうげん平面へいめん幾何きかにはアフィン平面へいめん幾何きかと射影しゃえい平面へいめん幾いく何なんの二に種類しゅるいがある。アフィン幾何きかにおいては平行へいこう線せんは通常つうじょうの意味いみで使つかわれる。これに対たいし、射影しゃえい幾何きかにおいては任意にんいの二ふたつの直線ちょくせんがただひとつの交点こうてんをもつ、すなわち平行へいこう線せんは存在そんざいしない。有限ゆうげんアフィン平面へいめん幾何きかと有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめん幾何きかは、どちらも簡単かんたんな公理系こうりけいによって構成こうせいされる。

有限ゆうげんアフィン平面へいめん

アフィン平面へいめん幾何きかは、空そらでない集合しゅうごう $X$ (その要素ようそは「点てん」と呼よばれる)、および、次つぎの条件じょうけんを満みたすような $X$ の部分ぶぶん集合しゅうごうの空そらでない族ぞく $L$ (その要素ようそは「直線ちょくせん」と呼よばれる)から構成こうせいされる。

2つの異ことなる任意にんいの点てんが与あたえられたとき、それらを含ふくむような直線ちょくせんがただ一ひとつだけ存在そんざいする。
平行へいこう線せん公準こうじゅん :直線ちょくせん $\ell$ と $\ell$ 上うえにない一いち点てん $p$ が与あたえられたとき、 $p$ を含ふくみ $\ell$ とは交点こうてんをもたない、すなわち $\ell \cap \ell '=\varnothing .$ となるような直線ちょくせん $\ell '$ がただ一ひとつだけ存在そんざいする。
どの3点てんも同どう一直線いっちょくせんにないような4点てん集合しゅうごうが存在そんざいする。

最後さいごの公理こうりは、この幾何きかが空そら集合しゅうごうでないことを保証ほしょうする。最初さいしょの二ふたつはこの幾何きかの特性とくせいを規定きていする。

ただ4点てんのみを含ふくむもっとも単純たんじゅんなアフィン平面へいめんは位くらい数すう2のアフィン平面へいめんと呼よばれる。3点てんは同どう一直線いっちょくせん上じょうにないので、任意にんいの点てんの対たいがただひとつの直線ちょくせんを定さだめる。そしてこの平面へいめんは6直線ちょくせんを含ふくむ。これは互たがいに交まじわらない辺あたりを「平行へいこう」と見みなした四よん面体めんていに対応たいおうする。あるいは向むかい合あう2辺へんだけではなく2つの対角線たいかくせんも「平行へいこう」と見みなした正方形せいほうけいにも対応たいおうする。

さらに一般いっぱん的てきに、位い数すう $n$ の有限ゆうげんアフィン平面へいめんは $n^{2}$ 個この点てんと $n^{2}+n$ 本ほんの直線ちょくせんを持もち、各かく直線ちょくせんは $n$ 個この点てんを含ふくむ。そして各かく点てんは $n+1$ 本ほんの直線ちょくせんに含ふくまれる。

有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめん

有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんは、空そらでない集合しゅうごう $X$ (その要素ようそは「点てん」と呼よばれる)、および、次つぎの条件じょうけんを満みたすような $X$ の部分ぶぶん集合しゅうごうの空そらでない族ぞく $L$ (その要素ようそは「直線ちょくせん」と呼よばれる)から構成こうせいされる。

2つの異ことなる任意にんいの点てんが与あたえられたとき、それらを含ふくむような直線ちょくせんがただ一ひとつだけ存在そんざいする。
2つの異ことなる任意にんいの直線ちょくせんの交まじわり(集合しゅうごうの意味いみでの交まじわりである)はただ一ひとつの点てんを含ふくむ。
どの3点てんも同どう一直線いっちょくせんにないような4点てん集合しゅうごうが存在そんざいする。

最初さいしょの二ふたつの公理こうりは、点てんと直線ちょくせんの役回やくまわりが入いれ代かわっていることをのぞけばほとんど同一どういつである。これは射影しゃえい平面へいめん幾何きかに対たいして、この幾何きかで真しんであるような命題めいだいは、点てんと直線ちょくせんあるいは直線ちょくせんと点てんを入いれ換かえても真しんである、という意味いみでの双対そうつい原理げんりを示唆しさする。第だい三さんの公理こうりは、4点てんの存在そんざいを要求ようきゅうするだけだが、最初さいしょの二ふたつの公理こうりを満みたすためには少すくなくとも7点てんが必要ひつようである。

有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんのもっとも簡単かんたんな例れいは、7点てんと7直線ちょくせんを持もち、各かく点てんが3直線ちょくせんの上うえにあり、各かく直線ちょくせんが3点てんを含ふくむようなものである。この特殊とくしゅな有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんは、ファノ平面へいめんとも呼よばれる。この平面へいめんから任意にんいの一ひとつの直線ちょくせんとその直線ちょくせんが含ふくむ点てんを取とり除のぞくと、位くらい数すう2のアフィン平面へいめんになる。このためファノ平面へいめんは、位くらい数すう2の射影しゃえい平面へいめんと呼よばれる。一般いっぱん的てきに位い数すうnの射影しゃえい平面へいめんは $n^{2}+n+1$ の点てんおよび直線ちょくせんを持もち、各かく直線ちょくせんは $n+1$ 個この点てんを含ふくみ、各かく点てんは $n+1$ 本ほんの直線ちょくせんに含ふくまれる。

ファノ平面へいめんの7個この点てんの置換ちかん(それは全部ぜんぶで7!種類しゅるいある)で、同どう一直線いっちょくせん上じょうにある点てんの組くみが同どう一直線いっちょくせん上じょうに移うつされるようなものは群ぐんをなし、この平面へいめんの対称たいしょう性せいと呼よばれる。この位くらい数すう168の対称たいしょう性せいの群ぐんは、PSL(2,7) = PSL(3,2),および一般いっぱん線形せんけい群ぐん GL(3,2)と同型どうけいである。

平面へいめんの位い数すう

位い数すう $n$ の有限ゆうげん平面へいめんとは、各かく直線ちょくせんが $n$ 個この点てんを含ふくむもの(アフィン平面へいめんの場合ばあい)、または各かく直線ちょくせんが $n+1$ 個この点てんを含ふくむもの(射影しゃえい平面へいめんの場合ばあい)である。有限ゆうげん幾何きかにおける有名ゆうめいな未み解決かいけつ問題もんだいの一ひとつとして、

有限ゆうげん平面へいめんの位い数すうは常つねに素数そすうの冪べきであろうか?

という問題もんだいがある。これは真しんであると予想よそうされているが、証明しょうめいは得えられていない。

$q=p^{k}$ 要素ようそを持もつ有限ゆうげん体たい上じょうの射影しゃえい平面へいめんまたはアフィン平面へいめんを使つかうことにより、 $n$ が素数そすう冪べきの時ときには常つねに位い数すう $n$ のアフィンおよび射影しゃえい平面へいめんが存在そんざいする。有限ゆうげん体たいから構成こうせいされない平面へいめんも存在そんざいするが、それらも含ふくめすべて既知きちの有限ゆうげん平面へいめんは素数そすう冪べきの位い数すうである。

現在げんざいのところ、この問題もんだいに関かんするもっとも一般いっぱん的てきな結果けっかは、1949年ねんのBruck–Ryserの定理ていりである。^[1]

Bruck–Ryserの定理ていり: 正せい整数せいすう $n$ が、 $4k+1$ または $4k+2$ の形かたちであって、かつ2つの整数せいすうの平方和へいほうわに等ひとしくないならば、位い数すう $n$ の有限ゆうげん平面へいめんは存在そんざいしない。

素数そすうの冪べきではなく、Bruck–Ryserの定理ていりの前提ぜんていも満みたさないような最小さいしょうの整数せいすうは10である。 $10=4\cdot 2+2$ だが、 $10=1^{2}+3^{2}$ だからである。

位くらい数すう10の有限ゆうげん平面へいめんが存在そんざいしないことは、1989年ねんに計算けいさん機きを利用りようして証明しょうめいされた^[2]。

Bruck–Ryserの定理ていりが適用てきようできないような次つぎに小ちいさい数かずは12である。

3次元じげんあるいはそれ以上いじょうの次元じげんの有限ゆうげん幾何きか

少すくなくとも3次元じげん以上いじょうの空間くうかんにおいては、 $k\geq 3$ ならば公理こうり的てきに構成こうせいされるすべての射影しゃえい空間くうかんはある斜体しゃたい上うえの $k$ 次元じげん射影しゃえい空間くうかん $PG(k,q)$ に同型どうけいである、というヴェブレン・ヤングの定理ていり^[3]が証明しょうめいされているため、有限ゆうげん「平面へいめん」幾何きかと、それより高たかい次元じげんの有限ゆうげん幾何きかの間あいだには重要じゅうような違ちがいがある。一般いっぱん的てきな高こう次元じげんの有限ゆうげん空間くうかんに関かんする議論ぎろんは、たとえば(Hirschfeld 1998)を参照さんしょうのこと

有限ゆうげん3-空間くうかん

すべての体からだ $K$ に関連かんれんして、点てん、直線ちょくせん、平面へいめんがそれぞれ体からだ $K$ 上うえの4次元じげんベクトル空間くうかんにおける1,2,3次元じげん部分ぶぶん空間くうかんとみなせるようなある(3次元じげん)射影しゃえい空間くうかんが存在そんざいする。

次つぎに射影しゃえい空間くうかんに対たいする公理こうりの集合しゅうごうを示しめす。公理こうり的てきに構成こうせいする射影しゃえい幾何きかにおいては、点てんと直線ちょくせんとして未定義みていぎ要素ようそが採用さいようされる。平面へいめんと3-空間くうかんは結合けつごうと存在そんざいの公理こうりを使つかうことで定義ていぎされる。

結合けつごうの公理こうり

P-1: AとBが異ことなる点てんならば、AとBの両方りょうほうを含ふくむような直線ちょくせんが少すくなくとも一ひとつ存在そんざいする。

P-2: AとBが異ことなる点てんならば、AとBの両方りょうほうを含ふくむような直線ちょくせんが一ひとつより多おおくは存在そんざいしない。

P-3: 3点てんA,B,Cはどの二ふたつも同どう一直線いっちょくせん上じょうになく、D,Eは、B, C, D が同どう一直線いっちょくせん上じょうにあり、C, A, E が同どう一直線いっちょくせん上じょうにあるような点てんとすると、ある点てんFで、A,B,Fが同どう一直線いっちょくせん上じょうにありかつD,E,Fが同どう一直線いっちょくせん上じょうにあるようなものが存在そんざいする。

存在そんざいの公理こうり

P-4: 少すくなくとも一ひとつの直線ちょくせんが存在そんざいする。

P-5: 各かく直線ちょくせん上じょうには少すくなくとも3つの異ことなった点てんが存在そんざいする。

P-6: すべての点てんが同どう一直線いっちょくせん上じょうにある、ということはない。

P-7: すべての点てんが同どう一いち平面へいめん上じょうにある、ということはない。

P-8: $S_{3}$ が3-空間くうかんなら、すべての点てんは $S_{3}$ 上うえにある

これらの公理こうりが満みたされるような多おおくの異ことなった有限ゆうげん射影しゃえい3-空間くうかんが存在そんざいする。

図ず1の3-空間くうかんはそのような空間くうかんの一ひとつであり、この空間くうかんにおける全すべての点てん、直線ちょくせん、平面へいめんは公理こうりP-1からP-8を満みたしている。これはまた、体からだ $Z_{2}$ 上うえの最小さいしょうの3次元じげん射影しゃえい空間くうかんでもある。この射影しゃえい空間くうかんは15点てん、35直線ちょくせん、15平面へいめんを持もち、15平面へいめんのそれぞれは7点てんと7直線ちょくせんを含ふくむ。各面かくめんは幾何きか学がく的てきにファノ平面へいめんに同型どうけいである。すべての点てんは7直線ちょくせんに含ふくまれ、全すべての直線ちょくせんは3点てんを含ふくむ。加くわえて、二ふたつの異ことなった点てんはただ一ひとつの直線ちょくせんと、ただ一ひとつの直線ちょくせんを交まじわりとするような二ふたつの平面へいめんに含ふくまれる。 1892年ねんに、ジーノ・ファノはそのような有限ゆうげん幾何きか、--すなわち15点てん、35直線ちょくせん、15平面へいめんを持もち、各かく平面へいめんが7点てんと7直線ちょくせんを含ふくむような3次元じげん幾何きか--について初はじめて研究けんきゅうした。

有限ゆうげんn-空間くうかん

一般いっぱん的てきに任意にんいの正せいの整数せいすう $n$ に対たいし、 $n$ -空間くうかんの幾何きかは $n$ 次元じげん幾何きかと呼よばれる。4次元じげん射影しゃえい幾何きかはP-8を次つぎのP-8'に置おき換かえ、さらに最後さいごの公理こうりP-8"を付つけ加くわえることで得えられる。

P-8': すべての点てんが同どう一いち3-空間くうかんにある、ということはない。

P-8": $S_{4}$ が4-空間くうかんなら、すべての点てんは $S_{4}$ 上うえにある。

一般いっぱん的てきに $n$ 次元じげん射影しゃえい幾何きか(n = 4,5,...)は、P-8を次つぎのような公理こうりで置おき換かえることで得えられる。

(i) 全すべての点てんが同一どういつの $S_{3},S_{4},\ldots ,S_{n-1}$ 上うえにある、ということはない。

(ii) $S_{n}$ がn-空間くうかんなら、すべての点てんは $S_{n}$ 上うえにある

これら高だか次元じげん(n>3)空間くうかんの研究けんきゅうは最新さいしんの数学すうがく理論りろんにおいても多おおくの重要じゅうような応用おうようを持もっている。

応用おうよう

有限ゆうげん幾何きかは組合くみあわせ論ろんや符号ふごう理論りろんの各種かくしゅの問題もんだいに対たいして、その解かいのモデルを提供ていきょうする。有名ゆうめいな一いち例れいとして、カークマンの女学生じょがくせい問題もんだい^[4]などがある。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

参考さんこう文献ぶんけん

Bruck, R.H.; Ryser, H.J. (1949), “The nonexistence of certain finite projective planes”, Canadian Journal of Mathematics 1 (1): 88–93
Lam, C. W. H. (1991), “The Search for a Finite Projective Plane of Order 10”, American Mathematical Monthly 98 (4): 305–318 2010年ねん11月30日にち閲覧えつらん。
Veblen, Oswald; Bussey, W. H. (1906), “Finite projective geometries” (PDF), Transactions 7 (2): 241-259, doi:10.2307/1986438 2010年ねん12月2日にち閲覧えつらん。
Hirschfeld, James (1998), Projective Geometries over Finite Fields (2 ed.), Oxford University Press, ISBN 0198502958
Margaret Lynn, Batten (1986), Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge University Press, ISBN 0521267641
Peter, Dembowski (1997), Finite Geometries, Springer, ISBN 3540617868
Eves, Howard (1972), A Survey of Geometry (Revised edition ed.), Allyn and Bacon Inc., ISBN 0205032265
Meserve, Bruce E (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Addison-Wesley Mathematics Series, New York: Dover Publications,, ISBN 0486634159
Burkard, Polster (1999), “Yea Why Try Her Raw Wet Hat: A Tour of Projective the Smallest Space”, Mathematical Intelligencer 21 (2): 39-43, doi:10.1007/BF03024845, http://doi.org/10.1007/BF03024845 2010年ねん11月30日にち閲覧えつらん。
平ひら峰みね豊ゆたか「有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめん概観がいかん (群論ぐんろんとその周辺しゅうへん : 総括そうかつと展望てんぼう)」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅう録ろく』第だい1214巻かん、京都きょうと大学だいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ、2001年ねん6月がつ、46-61頁ぺーじ、CRID 1050001335515136256、hdl:2433/41170、ISSN 1880-2818、2024年ねん1月がつ11日にち閲覧えつらん。

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "finite geometry". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Michael Greenberg (2004年ねん9月がつ13日にち). “Finite Geometries for Those with a Finite Patience for Mathematics” (PDF). 2004 Summer Undergraduate Research Experience Program.. The Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University. 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。
Juergen Bierbrauer (2004年ねん4月がつ19日にち). “Finite geometry” (PostScript). Lecture Notes MA 5980. Department of Mathematical Sciences Michigan Technological University. 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。
Research Group Incidence Geometry. “Links”. Ghent University. 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。有限ゆうげん幾何きかに関かんするWeb上じょうの資料しりょうへのリンク集しゅう。
Joe Malkevitch (2006年ねん9月がつ). “Finite Geometries?”. Feature Column. American Mathematical Society. 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。有限ゆうげん幾何きかの歴史れきし概要がいよう
“Galois Geometry and Generalized Polygons”. The University of Ghent (1998年ねん4月がつ). 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。ガロア幾何きかと一般いっぱん化か多面体ためんたいの集中しゅうちゅう講義こうぎ録ろく。
Carnahan, Scott (2007-10-27), “Small finite sets”, Secret Blogging Seminar 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。ジャン＝ピエール・セールによる、小ちいさな有限ゆうげん集合しゅうごう上じょうの標準ひょうじゅん幾何きか性せいについてのノート
“Finite Geometry Problem Page”. Washington and Lee University (2001年ねん). 2010年ねん12月1日にち閲覧えつらん。問題もんだいを通つうじて学まなぶ有限ゆうげん幾何きか。

[1] Bruck & Ryser 1949

[2] Lam 1991

[3] Veblen & Bussey 1906

[4] Problem 31: Kirkman's schoolgirl problem

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[4]