射影しゃえい平面へいめん

平行へいこうな線路せんろは無限むげん遠とおにある消失しょうしつ点てんで交まじわる。

数学すうがくにおける射影しゃえい平面へいめん（しゃえいへいめん、英えい: projective plane）とは、初等しょとう的てきな平面へいめんの概念がいねんを拡張かくちょうする幾何きか学がく的てきな構成こうせいのことである。通常つうじょうの平面へいめんにおいては、二に直線ちょくせんは典型てんけい的てきには一ひとつの交点こうてんを持もつが、特定とくていの直線ちょくせんの組くみ（平行へいこう線せん）は交点こうてんを持もたない。一方いっぽう、射影しゃえい平面へいめんにおいては、通常つうじょうの平面へいめんに「無限むげん遠とお点てん」が追加ついかされ、平行へいこう線せんは無限むげん遠とお点てんで交点こうてんを持もつ。従したがって、射影しゃえい平面へいめんでは任意にんいの相そう異ことなる二に直線ちょくせんがただ一いち点てんにおいて交まじわる。

射影しゃえい平面へいめんの定義ていぎとしてよく用もちいられるものが二に種類しゅるいある。ひとつは線型せんけい代数だいすう学がくから来くるもので、この場合ばあいの射影しゃえい平面へいめんは、適当てきとうな古典こてん群ぐんに対たいする等質とうしつ空間くうかんとして与あたえられる。この場合ばあいの重要じゅうような例れいとして、実じつ射影しゃえい平面へいめん RP² および複素ふくそ射影しゃえい平面へいめん CP² が挙あげられる。もうひとつは、もっと一般いっぱんの公理こうり的てき幾何きか学がくおよび有限ゆうげん幾何きか学がくの立場たちばにより与あたえられる定義ていぎである。これは平面へいめん幾何きか学がくの接続せつぞく的てき性質せいしつの研究けんきゅうに適てきしている。

射影しゃえい平面へいめんの概念がいねんは、もっと高こう次元じげんの射影しゃえい空間くうかんの概念がいねんに一般いっぱん化かされる。射影しゃえい平面へいめんは二に次元じげんの射影しゃえい空間くうかんである。

線型せんけい代数だいすう学がく的てきな定義ていぎ

線型せんけい代数だいすう学的がくてきには、射影しゃえい平面へいめんは「三さん次元じげん空間くうかん内ないの原点げんてんを通とおる直線ちょくせん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう」として与あたえられる。射影しゃえい平面へいめん上じょうの直線ちょくせんは三さん次元じげん空間くうかん内ないの原点げんてんを通とおる平面へいめんから生しょうじる。きちんと述のべれば、以下いかのようになる。

K を任意にんいの可か除じょ環たまき（斜体しゃたい）とし、 K ³ を K の元もとの三みつ組ぐみ x = (x ₀, x ₁, x ₂) 全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう（直積ちょくせき集合しゅうごう）とする。K ³ の零れいベクトルでない任意にんいの点てん x に対たいし、原点げんてんと x を通とおる K ³ 内うちの「直線ちょくせん」とは、 K ³ の部分ぶぶん集合しゅうごう

$\{kx:k\in K\}$

のことである。同様どうように K ³ の線型せんけい独立どくりつな点てん x, y （つまり kx + ly = 0 ならば必かならず k = l = 0）に対たいし、原点げんてんと x, y を通とおる「平面へいめん」とは、 K ³ の部分ぶぶん集合しゅうごう

$\{kx+ly:k,l\in K\}$

のことであり、この平面へいめんは無数むすうの直線ちょくせんを含ふくむ。

可か除じょ環たまき K 上うえの射影しゃえい平面へいめん KP² とは、K ³ の原点げんてんを通とおる直線ちょくせん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうをいう。KP² の部分ぶぶん集合しゅうごう L が、射影しゃえい平面へいめん KP² 内うちの（射影しゃえい）直線ちょくせんであるとは、K ³ における平面へいめんで、それが含ふくむ直線ちょくせん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうが KP² においてちょうど L と一致いっちするものが存在そんざいするときにいう。

少すこし異ことなる定義ていぎの仕方しかたもあって、射影しゃえい平面へいめんというのは集合しゅうごう K ³ ∖ {(0, 0, 0)} を

$x\sim kx,\quad k\in K$

で与あたえられる同値どうち関係かんけいで割わったものである、ということもできる。この場合ばあいも射影しゃえい平面へいめん内ないの直線ちょくせんは先さきほどとまったく同おなじように定義ていぎできる。K が位相いそう空間くうかんならば KP² にも（直積ちょくせき位相いそう、部分ぶぶん空間くうかんの位相いそう、商しょう位相いそうを通つうじて）内在ないざい的てきな位相いそうが入はいる。

KP² における座標ざひょう系けい (x ₀, x ₁, x ₂) は斉ひとし次じ座標ざひょう系けい (homogeneous coordinates) と呼よばれる。各かく三みっつ組ぐみ (x ₀, x ₁, x ₂) は KP² の点てんを矛盾むじゅん無なく表あらわすが、三みっつ組ぐみ (0, 0, 0) だけは例外れいがいで KP² のどの点てんにも対応たいおうしない。K が有限ゆうげん体たいでない限かぎり KP² の各かく点てんに対応たいおうする三みつ組ぐみは無数むすうに存在そんざいしうる。

例れい

• K として実数じっすう体からだ R を取とれば、実じつ射影しゃえい平面へいめん RP² が生しょうじる。これは位相いそう幾何きか学がくにおいて、向むきを持もたない実じつ二に次元じげんの多様たよう体たいの基本きほん的てきな例れいを与あたえるものである。

• K として複素数ふくそすう体からだ C を取とれば、複素ふくそ射影しゃえい平面へいめん CP² が生しょうじる。これは複素ふくそ二に次元じげんの閉多様さま体たいであり、従したがって向むきを持もつ実じつ四よん次元じげんの多様たよう体たいである。他たの体からだ上うえの射影しゃえい平面へいめんともども代数だいすう幾何きか学がくの基本きほん的てきな例れいを与あたえる。

• 四元よつもと射影しゃえい平面へいめんもまた別べつな意義いぎを持もつ対象たいしょうである。ケーリー平面へいめんは八はち元げん数すう環たまき上じょうの射影しゃえい平面へいめんと考かんがえられるが、八はち元げん数すう環たまきが斜体しゃたいを成なさないため、きちんとした構成こうせいを十分じゅうぶんに記述きじゅつすることはできない。

• K として位くらい数すう p ⁿ の有限ゆうげん体たいを取とれば、p ²ⁿ + p ⁿ + 1 個この点てんを持もつ射影しゃえい平面へいめんが得えられる。後述こうじゅつするファノ平面へいめんは p ⁿ = 2 とした場合ばあいにあたる。

通常つうじょう平面へいめんとの関係かんけい

平面へいめん F₂² 上うえの平行へいこうな直線ちょくせんに対たいして無限むげん遠とお点てんを付つけ加くわえると、すべての相そう異ことなる直線ちょくせんが一いち点てんで必かならず交まじわるファノ平面へいめん PG(2, 2) = F₂P² が得えられる。

体からだ K 上うえの通常つうじょうの平面へいめん K ² は射影しゃえい平面へいめん KP² へ写像しゃぞう

$(x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2})$

によって埋うめ込こまれる。この写像しゃぞうの像ぞうの補ほ集合しゅうごうは (0, x ₁, x ₂) なる形かたちの点てん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうであり、このような埋うめ込こみが与あたえられているという観点かんてんによって、補ほ集合しゅうごうの点てんは無限むげん遠とお点てんを表あらわしている。無限むげん遠とお点てんの全体ぜんたいは KP² における直線ちょくせんを成なす（つまり、この直線ちょくせんは K ³ における平面へいめん

$\{k(0,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}$

から生しょうじる）。直観ちょっかん的てきには、無限むげん遠とお点てんというのは平行へいこう線せんの交まじわる所ところとしての「余分よぶんな」点てんであり、点てん (0, x ₁, x ₂) というのは傾かたむきが x ₂/x ₁ であるような直線ちょくせんすべての交点こうてんに対応たいおうする。例たとえば、通常つうじょうの平面へいめん K ² における二に直線ちょくせん

${\begin{aligned}a&=\{(x_{1},0):x_{1}\in K\},\\b&=\{(x_{1},1):x_{1}\in K\}\end{aligned}}$

を考かんがえれば、これらの傾かたむきはともに 0 であってこれらは交まじわらない。これらを先さきほどの埋うめ込こみによって KP² の部分ぶぶん集合しゅうごうと見みなせば、これらは KP² における直線ちょくせんとはならないが、それぞれに点てん (0, 1, 0) を加くわえた

${\begin{aligned}{\bar {a}}=\{(1,x_{1},0):x_{1}\in K\}\cup \{(0,1,0)\}\\{\bar {b}}=\{(1,x_{1},1):x_{1}\in K\}\cup \{(0,1,0)\}\end{aligned}}$

は KP² における直線ちょくせんとなる。a は K³ における平面へいめん

$\{k(1,0,0)+l(0,1,0):k,l\in K\}$

から生しょうじ、b は平面へいめん

$\{k(1,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}$

から生しょうじる。これらの射影しゃえい直線ちょくせん a, b は点てん (0, 1, 0) において交まじわる。実じつは、K ² における傾かたむき 0 の直線ちょくせんはすべて、この方法ほうほうで射影しゃえい化かしたとき、KP² の点てん (0, 1, 0) において交まじわる。

先さきほど与あたえた平面へいめん K ² の射影しゃえい平面へいめん KP² への埋うめ込こみは一意いちいではなく、それぞれの埋うめ込こみごとにその無限むげん遠とお点てんとなる点てんは変かわってくる。例たとえば、埋うめ込こみ

$(x_{1},x_{2})\mapsto (x_{2},1,x_{1})$

を考かんがえれば、像ぞうの補ほ集合しゅうごうに属ぞくする (x ₀, 0, x ₂) なる形かたちの点てんが無限むげん遠とお点てんと見みなされる。

射影しゃえい変換へんかん

詳細しょうさいは「射影しゃえい変換へんかん」を参照さんしょう

射影しゃえい平面へいめん KP² における（射影しゃえい）変換へんかんとは、KP² からそれ自身じしんへの可逆かぎゃくな写像しゃぞうであって、直線ちょくせんを直線ちょくせんに写うつすものをいう。斉ひとし次じ座標ざひょう系けいを用もちいれば、これは 3-次つぎ正則せいそく行列ぎょうれつ M を用もちいて

$y=Mx$

と書かくことができる。二ふたつの行列ぎょうれつが同おなじ射影しゃえい変換へんかんを定さだめるのは、一方いっぽうが他方たほうの定数ていすう倍ばいであるときに限かぎる。従したがって、射影しゃえい変換へんかん全体ぜんたいの成なす群ぐんは一般いっぱん線型せんけい群ぐんの剰余じょうよ群ぐんである。

高こう次元じげん化か

いくつか線型せんけい代数だいすう学がく的てきな定義ていぎを挙あげたが、いずれもより高こう次元じげんの場合ばあいに拡張かくちょうするのは容易よういである。d-次元じげん射影しゃえい空間くうかん KP^d は、K ⁿ⁺¹ 内うちの原点げんてんを通とおる直線ちょくせん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうであり、KP^d 内うちの直線ちょくせんは K ⁿ⁺¹ の原点げんてんを通とおる平面へいめんに対応たいおうする。射影しゃえい空間くうかんの概念がいねんはさらにグラスマン空間くうかんの概念がいねんへ一般いっぱん化かすることができる。

組合くみあわせ論ろん的てきな定義ていぎ

より一般いっぱんな組合くみあわせ論ろん的てき定義ていぎによれば、射影しゃえい平面へいめんは直線ちょくせんの集合しゅうごうと点てんの集合しゅうごうから成なり、点てんと直線ちょくせんとの間あいだの結合けつごうあるいは接続せつぞく (incidence) と呼よばれる以下いかのような性質せいしつを持もつ関係かんけいを備そなえるものである。

1. 任意にんいの異ことなる二に点てんに対たいし、それらを接続せつぞくする直線ちょくせんがただ一ひとつ存在そんざいする。
2. 任意にんいの異ことなる二に直線ちょくせんに対たいし、それらのいずれとも接続せつぞくする点てんがただ一ひとつ存在そんざいする。
3. 平面へいめん上じょうの四よん点てんで、そのうちの二に点てんよりも多おおくに接続せつぞくするような直線ちょくせんは一ひとつも存在そんざいしない、というものが存在そんざいする。

条件じょうけん2は平行へいこう線せんが存在そんざいしないことを意味いみする。また条件じょうけん3は退化たいかする場合ばあい（後述こうじゅつ）を除のぞくためだけにある。

性質せいしつ

射影しゃえい平面へいめんにおいては、それが含ふくむ直線ちょくせんの数かずと点てんの数かずとが同おなじであることを示しめすことができる（有限ゆうげんでも無限むげんでも）。有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんは

• N² + N + 1 個この点てんと、
• N² + N + 1 本ほんの直線ちょくせんを持もち、
• 各かく直線ちょくせん上じょうに N + 1 個この点てんが載のっていて、
• 各かく点てんを N + 1 本ほんの直線ちょくせんが通とおる。

ここで、N ≥ 2 は射影しゃえい平面へいめんの位い数すう (order) と呼よばれる整数せいすうである（有限ゆうげん幾何きか学がくも参照さんしょう）。

前節ぜんせつに述のべたような線型せんけい代数だいすう学がく的てき定義ていぎから生しょうじる射影しゃえい平面へいめんはどれも、本節ほんぶしに言いう組合くみあわせ論ろん的てきな定義ていぎに基もとづく射影しゃえい平面へいめんとして記述きじゅつすることができる。従したがって、位い数すう pⁿ の有限ゆうげん体たいから、位い数すう N = pⁿ の射影しゃえい平面へいめんを与あたえることができる。

ファノ平面へいめん: 平面へいめん上じょうの「点てん」は黒丸くろまる、平面へいめん上じょうの「直線ちょくせん」は線分せんぶんまたは円えんとして示しめされる。

ファノ平面へいめんは二元にげん体たいから生しょうじる射影しゃえい平面へいめんである。これは最小さいしょうの射影しゃえい平面へいめんで、わずか七ななつの点てんと七ななつの直線ちょくせんから成なる。右みぎ図ずでは、七ななつの「点てん」を小ちいさな黒丸くろまるで表あらわし、七ななつの「直線ちょくせん」は六ろく本ほんの線分せんぶんと一ひとつの円えんで表あらわしたものだが、射影しゃえい平面へいめんの双対そうつい性せいにより（点てんと直線ちょくせんとを互たがいに入いれ替かえたものもやはり射影しゃえい平面へいめんとなるから）、黒丸くろまるを「直線ちょくせん」、線分せんぶんと円えんを「点てん」と思おもうこともできる。この七ななつの点てんに対たいして置換ちかんを施ほどこすと、共とも線せん点てん（同どう一直線いっちょくせん上じょうにある点てん）を共とも線せん点てんへ移うつす変換へんかんを引ひき起おこす。このことを以って、ファノ平面へいめんは「対称たいしょう」であるという。

一般いっぱん化かされた座標ざひょう

組合くみあわせ論ろん的てきに定義ていぎされる任意にんいの射影しゃえい平面へいめんに対たいして、平面へいめん三さん項こう環たまきと呼よばれる座標ざひょう「環たまき」（ただし、本当ほんとうに環たまきとなっているとは限かぎらない）を対応たいおうさせることができる。平面へいめん三さん項こう環たまきは体からだまたは斜体しゃたいになっている必要ひつようはなく、また斜体しゃたいから構成こうせいすることができない射影しゃえい平面へいめんというものも多おおく存在そんざいする。そのような射影しゃえい平面へいめんは非ひデザルグ的てきな射影しゃえい平面へいめんと呼よばれ、未いまだ活発かっぱつな研究けんきゅうの成なされている研究けんきゅう対象たいしょうである。

この平面へいめん三さん項こう環たまきが持もつ代数だいすう的てき性質せいしつは、それに対応たいおうして平面へいめんが持もつ幾何きか学がく的てきな接続せつぞく関係かんけいの性質せいしつに読よみ替かえることができる。例たとえば、デザルグの定理ていりに対応たいおうするのは座標ざひょう環たまきが斜体しゃたいから得えられるということであり、またパップスの定理ていりが対応たいおうするのは座標ざひょう環たまきが可か換かわ体からだから得えられるということである。あるいは（たとえば八はち元げん数すう体からだのように）必かならずしも結合けつごう的てきでない交代こうたい的てきな可か除じょ代数だいすうから得えられるようなものにはムーファン平面へいめんが対応たいおうする。

有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんにおいてデザルグの定理ていりがパップスの定理ていりを含ふくむという純粋じゅんすいに幾何きか学がく的てきな主張しゅちょうの、しかし唯一ゆいいつ知しられている証明しょうめいは、斜体しゃたいに成分せいぶんを持もつ座標ざひょうをとってウェダーバーンの定理ていり（有限ゆうげん可か除じょ環たまきは必かならず可か換かわ体からだである）を用もちいるという代数だいすう的てきな方法ほうほうによってなされる（逆ぎゃくにパップスの定理ていりがデザルグの定理ていりを含ふくむことは、（有限ゆうげんとは限かぎらない）任意にんいの射影しゃえい平面へいめんにおいて真しんであり、しかもこれは幾何きか学がく的てきに証明しょうめいすることができる）。

素もと数すう位い数すうの平面へいめんの構成こうせい

素もと数すう位い数すう N の射影しゃえい平面へいめんは、位い数すう N の有限ゆうげん体たい上じょうの線型せんけい代数だいすう学がく的てき構成こうせいを用もちいて構成こうせいすることができる。あるいは以下いかのようにしても構成こうせいできる。

一いち点てん P を用意よういする。

N 個この点てんを用意よういして、c = 0, ..., N − 1 に応おうじて、P(c) と書かく。

同様どうように N² 個この点てんを P(r, c) (r, c = 0, ..., N − 1) とする。

これらの点てんに対たいして、以下いかのように直線ちょくせんを構成こうせいする

一本いっぽんの直線ちょくせんが L = {P, P(0), ..., P(N − 1)} で与あたえられる。

N 本ほんの直線ちょくせんを、c = 0, ..., N − 1 に応おうじて、L(c) = {P, P(0, c), ..., P(N − 1, c)} とする。

N² 本ほんの直線ちょくせんを L(r, c) = {P(c) および P((r + ci) mod N, i)} (i, r, c = 0, ..., N − 1) とする。

ただし、ここで書かいた式しき

(r + ci) mod N

で i が 0 から N − 1 までの全すべての値ねを亘わたるのは、N が素数そすうの場合ばあいに限かぎる。

この構成こうせいから、二ふたつの退化たいか平面へいめんが生しょうじる。すなわち、N = 0 に対たいしてただ一ひとつの点てんがただ一ひとつの直線ちょくせんに接続せつぞくしたものが得えられ、N = 1 に対たいして三さん点てんと三さん直線ちょくせんからなる三角形さんかっけいが得えられる。素数そすう N に対たいしては、この方法ほうほうで構成こうせいされる任意にんいの平面へいめんが上記じょうき定義ていぎの条件じょうけん3を満足まんぞくする。

例たとえば N = 2 とすると、

一直線いっちょくせん L = { P, P(0), P(1)}

二に直線ちょくせん L(c) = {P, P(0,c), P(1,c)} (c = 0, 1)

四よん直線ちょくせん L(r, c) = {P(c), P((r + ci) mod 2, i) | i = 0, 1} (r, c = 0, 1)

となる。

有限ゆうげん位い数すうの存在そんざい

既すでに説明せつめいしたように、各かく素数そすう冪べき pⁿ に対たいして同位どうい数すうの射影しゃえい平面へいめんが存在そんざいする。事実じじつとして、「知しられている」全すべての有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんはその位い数すうが素数そすう冪べきである。

それ以外いがいの位い数すうについても有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんが存在そんざいするかどうかというのは、未み解決かいけつの問題もんだいである（有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめんの基本きほん予想よそう Prime Power Conjecture）。位い数すうに関かんする一般いっぱん的てきな制限せいげんとして知しられているのは、位い数すう N が法ほう 4 に関かんして 1 または 2 と合同ごうどうならば、それは二ふたつの平方へいほう数すうの和わにならなければいけないというブルック＝ライザー＝チョウラの定理ていりである。これにより N = 6 が除外じょがいできる。次つぎの場合ばあいは N = 10 が、大だい規模きぼ計算けいさん機きの計算けいさんにより除外じょがいされた。それ以上いじょうの場合ばあいについては知しられていない（特とくに N = 12 も未解決みかいけつである）。

位い数すう N の射影しゃえい平面へいめんが存在そんざいするための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、位い数すう N のアフィン平面へいめんが存在そんざいすることである。位い数すう N のアフィン平面へいめんがただ一ひとつ存在そんざいするならば、位い数すう N の射影しゃえい平面へいめんもただ一ひとつ存在そんざいするが、逆ぎゃくは必かならずしも真しんでない。

位い数すう N の射影しゃえい平面へいめんはスタイナーの S(2, N + 1, N² + N + 1)-系けいである（スタイナー系けい参照さんしょう）。逆ぎゃくに N ≥ 2 に対たいするこの形かたちのスタイナー系けいが射影しゃえい平面へいめんとなることが証明しょうめいできる。

位い数すう N の互たがいに直交ちょっこうするラテン方かた格かくの総数そうすうは高々たかだか N − 1 である。これが N − 1 となりうる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、その位い数すうの射影しゃえい平面へいめんが存在そんざいすることである。

一方いっぽう、射影しゃえい平面へいめんの分類ぶんるいは全然ぜんぜん終おわっていない。いくつかの結果けっかを位い数すうの順じゅんに以下いかに示しめす。

• 2 : 全すべて PG(2,2) に同型どうけい
• 3 : 全すべて PG(2,3) に同型どうけい
• 4 : 全すべて PG(2,4) に同型どうけい
• 5 : 全すべて PG(2,5) に同型どうけい
• 6 : この位い数すうの射影しゃえい平面へいめんは存在そんざいしない（オイラーの士官しかん36人にんの問題もんだいとして、タリーにより示しめされた）。
• 7 : 全すべて PG(2,7) に同型どうけい
• 8 : 全すべて PG(2,8) に同型どうけい
• 9 : PG(2,9) および三さん種類しゅるいの異ことなる（同型どうけいでない）非ひデザルグ平面へいめん
• 10 : この位い数すうの射影しゃえい平面へいめんは存在そんざいしない（計算けいさん機きによる膨大ぼうだいな計算けいさんの結果けっかとして証明しょうめいされた）。
• 11 : すくなくとも PG(2,11) が挙あげられる。他たは知しられていないが可能かのう性せいはある。
• 12 : この位い数すうの射影しゃえい平面へいめんは存在そんざいしないと予想よそうされているが証明しょうめいはされていない。

退化たいか平面へいめん

退化たいか平面へいめんとは、上述じょうじゅつの定義ていぎにおける条件じょうけん3を満足まんぞくしない場合ばあいである。退化たいか平面へいめんには二ふたつの系列けいれつがある。

1. 任意にんい個数こすうの点てん P₁, ..., P_n および直線ちょくせん L₁, ..., L_m が以下いかを満みたすもの。

   L₁ = { P₁, P₂, ..., P_n}

   L₂ = { P₁ }

   L₃ = { P₁ }

   …

   L_m = { P₁ }

2. 任意にんい個数こすうの点てん P₁, ..., P_n および直線ちょくせん L₁, ..., L_n が以下いかを満みたすもの（点てんの数かずと直線ちょくせんの数かずは同数どうすうである）。

   L₁ = { P₂, P₃, ..., P_n }

   L₂ = { P₁, P₂ }

   L₃ = { P₁, P₃ }

   …

   L_n = { P₁, P_n }

高こう次元じげん化か

接続せつぞく関係かんけいを用もちいた定義ていぎも、二に次元じげんより高こう次元じげんの射影しゃえい幾何きかにおける対応たいおう物ぶつを考かんがえることができる。高こう次元じげん化かしたものは、平面へいめんの場合ばあいほどには興味深きょうみぶかい性質せいしつを示しめさず（平面へいめんの場合ばあいよりもよく振舞ふるまうといってもよいが）、つまり斜体しゃたい上じょうの古典こてん的てきな射影しゃえい空間くうかんとなる。そうなる理由りゆうは別べつな場所ばしょで述のべるほうが適切てきせつであろうけれども、高次こうじ元もと射影しゃえい空間くうかんにおける接続せつぞくの性質せいしつを用もちいて幾何きか学がく的てきにデザルグの定理ていりを示しめせる（つまり、座標ざひょう環たまきが斜体しゃたいとなる）ことによる。

関連かんれん項目こうもく

• 接続せつぞく構造こうぞう (Incidence structure)
• 射影しゃえい幾何きか学がく

参考さんこう文献ぶんけん

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• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer Verlag 
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外部がいぶリンク

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• 『射影しゃえい平面へいめんの３通とおりの定義ていぎ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• 『座標ざひょうを用もちいた射影しゃえい平面へいめんの定義ていぎ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり