有限ゆうげん幾何きか學がく

在ざい數學すうがく中なか，有限ゆうげん幾何きか是ぜ滿足まんぞく某ぼう些幾何なん學がく公理こうり，但ただし僅含有限ゆうげん個こ點てん的てき幾何きか系統けいとう。歐おう氏し幾何きか並なみ非ひ有限ゆうげん，因いん為ため它必包含ほうがん一いち條じょう歐おう氏し直線ちょくせん，其上的てき點てん一いち一いち對應たいおう於實數じっすう。

有限ゆうげん幾何きか系統けいとう可か以依維度分類ぶんるい，為ため簡單かんたん起おこり見み，以下いか僅介紹低維度的てき情じょう形がた。

有限ゆうげん平面へいめん[编辑]

有限ゆうげん平面へいめん幾何きか可か以分為ため仿射與あずか射影しゃえい兩りょう類るい。在ざい仿射空間くうかん中ちゅう可か以探討線せん的てき平行へいこう性せい，射影しゃえい空間くうかん則のり否ひ。

定義ていぎ. 仿射平面へいめん是ぜ一いち個こ非ひ空そら集しゅう $X$ （其成員いん稱たたえ為ため點てん）及一族ぞく $X$ 的てき子こ集しゅう $L$ （其成員いん稱たたえ為ため線せん），使つかい之の滿足まんぞく下か述じゅつ條件じょうけん：

任にん兩りょう點てん包含ほうがん於唯一いち的てき一いち條じょう線せん。
平行へいこう公設こうせつ：給きゅう定じょう線せん $\ell$ 及點 $p\notin \ell$ ，存在そんざい唯一ゆいいつ的てき線せん $\ell '$ 使つかい之の包含ほうがん $p$ 且 $\ell \cap \ell '=\emptyset$ 。
存在そんざい四よん個こ點てん，其中任にん三さん點てん不ふ共とも線せん。

最後さいご一條公設保證幾何非空，前ぜん兩りょう條じょう公設こうせつ確定かくてい了りょう幾何きか的てき性質せいしつ。

最さい簡單かんたん的てき仿射平面へいめん由よし四よん點てん構成こうせい，其中任にん兩りょう點てん決定けってい唯一ゆいいつ一いち條じょう線せん，所以ゆえん此平面めん有ゆう六ろく條じょう線せん。這可以設想そう為ため四よん面體めんてい的てき頂點ちょうてん與あずか邊あたり。

一般いっぱん而言， $n$ 階かい仿射平面へいめん有ゆう $n^{2}$ 個こ點てん與あずか $n^{2}+n$ 條じょう線せん；每ごと條じょう線せん含 $n$ 點てん，每まい點てん落於 $n+1$ 條じょう線せん。

定義ていぎ. 射影しゃえい平面へいめん是ぜ一いち個こ非ひ空そら集しゅう $X$ （其成員いん稱たたえ為ため點てん）及一族ぞく $X$ 的てき子こ集しゅう $L$ （其成員いん稱たたえ為ため線せん），使つかい之の滿足まんぞく下か述じゅつ條件じょうけん：

任にん兩りょう點てん包含ほうがん於唯一いち的てき一いち條じょう線せん。
任にん兩りょう條じょう相しょう異こと的てき線せん交於唯一ゆいいつ一いち點てん。
存在そんざい四よん個こ點てん，其中任にん三さん點てん不ふ共とも線せん。

在ざい上述じょうじゅつ公理こうり中ちゅう，我わが們可以交換こうかん點てん及線的てき角かく色しょく，這蘊含了射影しゃえい幾何きか的てき對偶たいぐう性せい：若わか射影しゃえい幾何きか的てき某ぼう命題めいだい成立せいりつ，則のり將はた命題めいだい中ちゅう的てき點てん與あずか線せん互換ごかん後ご，新しん命題めいだい依然いぜん成立せいりつ。

最さい簡單かんたん的てき射影しゃえい平面へいめん稱しょう作さく Fano 平面へいめん，又また稱たたえ二に階かい射影しゃえい平面へいめん，由よし七なな條じょう線せん及七なな個こ點てん構成こうせい。若わか除去じょきょ任にん一直線いっちょくせん（及其上之うえの點てん），將はた得え到いた二に階かい仿射平面へいめん。

一般いっぱん而言， $n$ 階かい射影しゃえい平面へいめん的てき點てん、線せん個數こすう均ひとし為ため $n^{2}+n+1$ ，每まい條じょう線せん含 $n+1$ 個こ點てん，每まい個こ點てん落於 $n+1$ 條じょう線せん。

對たい任意にんい正せい整數せいすう $n$ ， $n$ 階かい射影しゃえい或ある仿射平面へいめん的てき存在そんざい性せい至いたり今こん未み解かい。一般的猜想是這種幾何存在當且僅當 $n$ 是これ素數そすう冪べき。

有限ゆうげん幾何きか的てき對稱たいしょう群ぐん[编辑]

若わか一いち映うつ射い $f:X\to X$ 保存ほぞん共ども線せん關係かんけい，則のり稱しょう之の為ため $X$ 的てき對稱たいしょう（或ある自じ同どう構）。Fano 平面へいめん的てき對稱たいしょう群ぐん同どう構於 $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})$ ，有ゆう $168$ 個こ元素げんそ。

外部がいぶ連結れんけつ[编辑]

（英文えいぶん）有限ゆうげん幾何きか資源しげん（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
（英文えいぶん）Chris Godsil, Finite Geometry，2004. 可か自由じゆう下か載の。