代数だいすう

代數だいすう是ぜ一いち個こ較為基礎きそ的てき數學すうがく分ぶん支ささえ。它的研究けんきゅう對象たいしょう有ゆう許多きょた。諸しょ如數かず、數量すうりょう、代數だいすう式しき、關係かんけい、方かた程ほど理論りろん、代數だいすう結構けっこう等ひとし等とう都と是ぜ代數だいすう學がく的てき研究けんきゅう對象たいしょう。

初等しょとう代數だいすう一般いっぱん在ざい中學ちゅうがく時どき講こう授，介かい紹代數すう的てき基本きほん思想しそう：研究けんきゅう當とう我わが們對數字すうじ作さく加法かほう或ある乘法じょうほう時どき会かい發生はっせい什麼いんも，以及了解りょうかい變數へんすう的てき概念がいねん和わ如何いか建立こんりゅう多項式たこうしき並なみ找出它們的てき根ね。

代數だいすう的てき研究けんきゅう對象たいしょう不ふ僅是數字すうじ，还有各種かくしゅ抽象ちゅうしょう化か的てき結構けっこう。例れい如整數すう集しゅう作為さくい一いち個こ帶たい有ゆう加法かほう、乘法じょうほう和わ序じょ關係かんけい的てき集合しゅうごう就是一いち個こ代數だいすう結構けっこう。在ざい其中我わが們只關心かんしん各種かくしゅ關係かんけい及其性質せいしつ，而對於「數すう本身ほんみ是ぜ甚麼いんも」這樣的てき問題もんだい並なみ不ふ關心かんしん。常見つねみ的てき代數だいすう結構けっこう類型るいけい有ゆう群ぐん、環たまき、域いき、模も、線せん性せい空間くうかん等ひとし。

历史[编辑]

代數だいすう的てき起源きげん可か以追溯さかのぼ到いた古ふる巴ともえ比倫ひりん的てき時代じだい^[1]，當時とうじ的てき人じん們發展はってん出で了りょう較之前ぜん更さら進步しんぽ的てき算術さんじゅつ系統けいとう，使つかい其能以代數すう的てき方法ほうほう來らい做計算けいさん。經由けいゆ此系統けいとう的てき被ひ使用しよう，他た們能夠列出で含有がんゆう未知數みちすう的てき方かた程ほど並なみ求もとめ解かい，這些問題もんだい在ざい今日きょう一般いっぱん是ぜ使用しよう線せん性せい方かた程ほど、二に次じ方かた程ほど和わ不定ふてい線せん性せい方かた程ほど等とう方法ほうほう來らい解答かいとう的てき。相對そうたい地ち，這一時期じき大だい多數たすう的てき埃及えじぷと人じん及西元もと前まえ1世紀せいき大だい多數たすう的てき印度いんど、希まれ臘和わ中國ちゅうごく等とう數學すうがく家か則そく一般いっぱん是ぜ以幾何きか方法ほうほう來らい解答かいとう此類問題もんだい的てき，如在《萊因德とく數學すうがく紙し草書そうしょ》、《繩なわ法ほう經けい》、《幾何きか原本げんぽん》及《九きゅう章しょう算術さんじゅつ》等とう書中しょちゅう所しょ描述的てき一般いっぱん。希まれ臘在幾何きか上じょう的てき工作こうさく，以幾何きか原本げんぽん為ため其經典きょうてん，提供ていきょう了りょう一いち個こ將はた解かい特定とくてい問題もんだい解答かいとう的てき公式こうしき廣義こうぎ化成かせい描述及解答かいとう方かた程ほど之の更さら一般的系統之架構。

代數だいすう的てき英語えいご為ため algebra ，源みなもと於阿おもね拉ひしげ伯はく語ご單たん字じ「al-jabr」，出自しゅつじ《代數だいすう學がく》（阿おもね拉ひしげ伯はく語ご：al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala）這本書しょ的てき書名しょめい上じょう，意い指ゆび移項いこう和合わごう並なみ同類項どうるいこう之の計算けいさん的てき摘要てきよう，其為波なみ斯回教かいきょう數學すうがく家か花はな拉ひしげ子こ米まい於820年ねん所しょ著ちょ。Al-Jabr此詞的てき意思いし為ため「重じゅう聚」。傳統でんとう上じょう，希まれ臘數しわす學がく家か丟番圖ず被ひ認みとめ為ため是ぜ「代數だいすう之の父ちち」，但ただし現在げんざい則のり有ゆう些爭論ろん，是ぜ否いな花はな拉ひしげ子こ米まい比ひ丟番圖ず更さら適合てきごう此稱號ごう。^[2]支持しじ花はな拉ひしげ子こ米まい的まと人じん指出さしで其對於約やく化か的てき成果せいか到いた今日きょう都と還かえ有ゆう用途ようと，且他更さら給きゅう出で了りょう一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持しじ丟番圖ず的てき人じん則のり主張しゅちょう在ざいAl-Jabr裡うら出現しゅつげん的てき代數だいすう比ひ在ざいArithmetica裡うら出現しゅつげん的てき更さら為ため基本きほん，且Arithmetica是ぜ簡字的てき而Al-Jabr卻完全ぜん是ぜ文辭ぶんじ的てき。^[3]另一いち位い波なみ斯數學すうがく家か歐おう瑪爾·海かい亞あ姆發展はってん出で代數だいすう幾何きか，且找出で了りょう三さん次じ方かた程ほど的てき一般いっぱん幾何きか解法かいほう。印度いんど數學すうがく家か摩ま訶吠羅ら和わ婆ばば什迦羅ら與あずか中國ちゅうごく數學すうがく家か朱しゅ世よ杰解かい出で了りょう許多きょた三さん次じ、四よん次じ、五ご次じ及更高次こうじ多項式たこうしき方ほう程ほど的てき解かい了りょう。

代數だいすう更進こうしん一いち步ほ發展はってん的てき另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解，其發展はってん於16世紀せいき中葉ちゅうよう。行列ぎょうれつ式しき的てき概念がいねん發展はってん於17世紀せいき的てき日本にっぽん數學すうがく家か關せき孝和こうわ手中しゅちゅう，並なみ於十じゅう年ねん後ご由ゆかり萊布尼あま茨いばら繼續けいぞく發展はってん著ちょ，其目的もくてき是ぜ為ため了りょう以矩のり陣じん來らい解かい出で線せん性せい方かた程ほど組ぐみ的てき答案とうあん來らい。加布里かふり爾なんじ·克かつ拉ひしげ默だま也在18世紀せいき時じ在ざい矩のり陣じん和わ行列ぎょうれつ式しき上じょう做了一いち樣よう的てき工作こうさく。抽象ちゅうしょう代數だいすう的てき發展はってん始はじめ於19世紀せいき，一開始專注在今日稱為伽羅きゃら瓦かわら理論りろん及規矩きく數すう的てき問題もんだい上じょう。

發展はってん歷程れきてい[编辑]

符號ふごう代數だいすう發展はってん的てき階段かいだん可か大だい致區分くぶん如下：

文辭ぶんじ代數だいすう，其發展はってん於巴比倫ひりん時期じき，且直至いたり16世紀せいき都と還かえ維持いじ著ちょ其主流りゅう的てき地位ちい；
幾何きか建けん構代數すう，被ひ吠陀べーだ時期じき和かず古典こてん希まれ臘數しわす學がく家か們所強調きょうちょう著ちょ；
簡字代數だいすう，由ゆかり丟番圖ず所ところ發展はってん並なみ寫うつし於巴ともえ赫沙里さと手しゅ稿こう中ちゅう；及
符號ふごう代數だいすう，在ざい萊布尼あま茨いばら時期じき達たち到いた尖峰せんぽう。

丟番圖ず著ちょ的てき*Arithmetica*1621年ねん版ばん的てき封ふう面めん，由ゆかり梅うめ齊ひとし里さと亞あ克かつ翻こぼし成なり拉ひしげ丁ちょう文あや。

代數だいすう數すう個こ關せき鍵かぎ的てき發展はってん的てき時間じかん軸じく，表おもて述じゅつ如下：

西元にしもと前ぜん1800年ねん左右さゆう，舊きゅう巴ともえ比倫ひりん斯特拉ひしげ斯堡泥どろ板書ばんしょ中ちゅう記述きじゅつ其尋找著二に次じ橢圓だえん方かた程ほど的てき解法かいほう。
西元にしもと前ぜん1600年ねん左右さゆう，普ふ林りん頓ひたぶる322號ごう泥どろ板書ばんしょ中ちゅう記述きじゅつ了りょう以巴ともえ比倫ひりん楔形文字くさびがたもじ寫うつし成なり的てき勾股數すう列れつ表ひょう。
西元にしもと前ぜん800年ねん左右さゆう，印度いんど數學すうがく家か包つつみ德とく哈亞那な在ざい其著作ちょさく包つつみ德とく哈爾那な繩なわ法ほう經けい中ちゅう以代數すう方法ほうほう找到了りょう勾股數すう，給きゅう出で了りょう線せん性せい方かた程ほど和わ如 $ax^{2}=c$ 與あずか $ax^{2}+bx=c$ 等とう形式けいしき之の二次方程的幾何解法，且找出で了りょう兩りょう組くみ丟番圖ず方かた程ほど組くみ的てき正せい整數せいすう解かい。
西元にしもと前ぜん600年ねん左右さゆう，印度いんど數學すうがく家か阿おもね帕斯檀まゆみ跋ばつ在ざい其著作ちょさく'阿おもね帕斯檀まゆみ跋ばつ繩なわ法ほう經けい中ちゅう給きゅう出で了りょう一いち次じ方かた程ほど的てき一般解法和使用多達五個未知數的丟番圖方程組。
西元にしもと前ぜん300年ねん左右さゆう，在ざい幾何きか原本げんぽん的てき第だい二に卷かん裡うら，歐おう幾里いくさと德とく給きゅう出で了りょう有正ありまさ實數じっすう根ね之の二に次じ方かた程ほど的てき解法かいほう，使用しよう尺せき规作图的てき幾何きか方法ほうほう。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。
西元にしもと前ぜん300年ねん左右さゆう，倍ばい立方りっぽう的てき幾何きか解法かいほう被ひ提ひさげ了りょう出來でき。現げん已やめ知道ともみち此問題もんだい無法むほう使用しよう尺せき规作图求もとめ解かい。
西元にしもと前ぜん100年ねん左右さゆう，中國ちゅうごく數學すうがく書しょ《九きゅう章しょう算術さんじゅつ》中ちゅう處理しょり了りょう代數だいすう方かた程ほど的てき問題もんだい，其包括ほうかつ用よう試ためし位い法ほう解かい線せん性せい方かた程ほど、二次方程的幾何解法及用相當於現今所用之消しょう元もと法ほう來らい解かい線せん性せい方かた程ほど組ぐみ。还应用よう一いち次じ内ない插法。
西元にしもと前ぜん100年ねん左右さゆう，寫うつし於古こ印度いんど的てき巴ともえ赫沙里さと手しゅ稿こう中ちゅう使用しよう了りょう以字母はは和わ其他符號ふごう寫うつし成なり的てき代數だいすう標記ひょうき法ほう，且包含有がんゆう三さん次じ與あずか四よん次じ方かた程ほど，多た達たち五ご個こ未知みち道どう的てき線せん性せい方かた程ほど之これ代數だいすう解かい，二次方程的一般代數公式，以及不定ふてい二次方程與方程組的解法。
西元にしもと150年ねん左右さゆう，希まれ臘化埃及えじぷと數學すうがく家か希まれ羅ら在ざい其三卷數學著作中論述了代數方程。
200年ねん左右さゆう，希まれ臘化巴ともえ比倫ひりん數學すうがく人じん丟番圖ず，他た居住きょじゅう於埃及えじぷと且常被ひ認みとめ為ため是ぜ「代數だいすう之の父ちち」，寫うつし有ゆう一本いっぽん著名ちょめい的てき算術さんじゅつ，此書為ため論述ろんじゅつ代だい數すう方ぽう程ほど的てき解法かいほう及數論ろん之の作さく。
不ふ晚ばん于473年ねん，《孙子算さん经》提出ていしゅつ中国ちゅうごく余あまり数すう定理ていり。
499年ねん，印度いんど數學すうがく家か阿おもね耶波多おお在ざい其所著ちょ之の阿おもね耶波多はた書しょ裡うら以和現代げんだい相しょう同どう的てき方法ほうほう求もとめ得え了りょう線せん性せい方かた程ほど的てき自然しぜん數すう解かい，描述不定ふてい線せん性せい方かた程ほど的てき一般いっぱん整數せいすう解かい，給きゅう出で不定ふてい線せん性せい方かた程ほど組ぐみ的てき整數せいすう解かい，而描述じゅつ了りょう微分びぶん方かた程ほど。
600年ねん刘焯编制《皇すめらぎ极历》曾用等とう间距内うち插法。^[4]
625年ねん左右さゆう，中國ちゅうごく數學すうがく家か王おう孝通たかみち在ざい《緝古算さん經けい》找出了りょう三次方程的數值解。
628年ねん，印度いんど數學すうがく家か婆ばば羅ら摩ま笈きゅう多おお在ざい其所著ちょ之の梵天ぼんてん斯普塔とう釋しゃく哈塔中なか，介かい紹了用よう來らい解かい不定ふてい二に次じ方かた程ほど的てき宇宙うちゅう方法ほうほう，且給出で了解りょうかい線せん性せい方かた程ほど和わ二に次じ方かた程ほど的てき規則きそく。他た發現はつげん二に次じ方かた程ほど有ゆう兩個りゃんこ根ね，包括ほうかつ負數ふすう和わ無理むり數すう根ね。
724年ねん，僧そう一いち行ぎょう用もちい不等ふとう间距内ない插法计算《大だい衍历》^[5]
820年ねん，代數だいすう(algebra)導しるべ源げん於一いち個こ運算うんざん，其描述じゅつ於波なみ斯數學すうがく家か花はな拉ひしげ子こ米まい所ところ著ちょ之の完成かんせい和平わへい衡计算法さんぽう概要がいよう中ちゅう對たい於線せん性せい方かた程ほど與あずか二に次じ方かた程ほど系統けいとう性的せいてき求もとめ解方ときかた法ほう。花はな拉ひしげ子こ米まい常つね被ひ認みとめ為ため是ぜ「代數だいすう之の父ちち」，其大多數たすう的てき成果せいか簡化後會こうかい被ひ收錄しゅうろく在ざい書籍しょせき之の中なか，且成為ため現在げんざい代數だいすう所用しょよう的てき許多きょた方法ほうほう之の一いち。
850年ねん左右さゆう，波なみ斯數學すうがく家かal-Mahani相しょう信しんじ可か以將如加か倍ばい立方體りっぽうたい問題もんだい等とう幾何きか問題もんだい變成へんせい代數だいすう上じょう的てき問題もんだい。
850年ねん左右さゆう，印度いんど數學すうがく家か摩ま訶吠羅ら解かい出で了りょう許多きょた二に次じ、三さん次じ、四よん次じ、五次及更高次方程，以及不定ふてい二に次じ、三次和更高次方程的解。
990年ねん左右さゆう，波なみ斯阿おもね爾しか卡拉吉きち在ざい其所著ちょ之のal-Fakhri中ちゅう更進こうしん一いち步ほ地ち以擴展てん花はな拉ひしげ子こ米まい的てき方法ほうほう論ろん來らい發展はってん代數だいすう，加入かにゅう了りょう未知數みちすう的てき整數せいすう次じ方かた及整數すう開ひらけ方かた。他た將しょう代數だいすう的てき幾何きか運算うんざん以現代だい的てき算術さんじゅつ運算うんざん代替だいたい，且定義ていぎ了りょう單項式たんこうしき $x$ 、 $x^{2}$ 、 $x^{3}$ 、…和わ $1/x$ 、 $1/x^{2}$ 、 $1/x^{3}$ 、…等とう並なみ給きゅう出で上述じょうじゅつ任にん兩個りゃんこ相乘そうじょう的てき規則きそく。
1050年ねん左右さゆう，中國ちゅうごく數學すうがく家か賈憲用よう贾宪三角形さんかっけい找到了りょう多項式たこうしき方かた程ほど的てき數すう值解。
1072年ねん，波なみ斯數學すうがく家か歐おう瑪爾·海かい亞あ姆發展はってん出來でき代數だいすう幾何きか，且在Treatise on Demonstration of Problems of Algebra中ちゅう給きゅう出で了りょう可か以以圓錐えんすい曲線きょくせん相しょう交來こうらい得え到いた一般幾何解之三次方程的完整分類。
1090年ねん左右さゆう，北きた宋そう科学かがく家か沈括在ざい《梦溪笔谈》中ちゅう给出高こう阶等差さ级数的てき和わ。
1114年ねん，印度いんど數學すうがく家か婆ばば什迦羅ら在ざい其所著ちょ之の代數だいすう學がく'中なか，認知にんち到いた一正數會有正負兩個平方根へいほうこん，且解出で一いち個こ以上いじょう未知數みちすう的てき二に次じ方かた程ほど、許多きょた三さん次じ、四次及更高次多項式方程、佩爾方かた程ほど、一般いっぱん的てき不定ふてい二に次じ方かた程ほど，以及不定ふてい三さん次じ、四次及更高次方程。
1150年ねん，婆ばば什迦拉ひしげ在ざい其所著ちょ之のSiddhanta Shiromani中ちゅう解かい出で了りょう微分びぶん方かた程ほど。
1202年ねん，代數だいすう傳でん到いた了りょう歐おう洲しゅう，斐波那な契ちぎり所ところ著ちょ的てき計算けいさん之これ書しょ對たい此有很大的てき貢獻こうけん。
1247年ねん南みなみ宋そう数学すうがく家か秦はた九きゅう韶在ざい《数かず书九きゅう章しょう》中ちゅう用よう秦はた九きゅう韶算法ほう（即そく“霍纳法ほう算法さんぽう”）解かい一いち元げん高次こうじ方かた程ほど。
1248年ねん，金きむ朝ちょう数学すうがく家か李り冶的てき《测圆海うみ镜》利用りよう天元てんげん术将はた大量たいりょう几何问题化か为一元多项式方程，是ぜ一部几何代数化的代表作。
1300年ねん左右さゆう，中國ちゅうごく數學すうがく家か朱しゅ世よ杰處理しょり了りょう多項式たこうしき代數だいすう，发明四元よつもと术解答かいとう了りょう多た達たち四個未知數的多项式方程组，发明非ひ线性多元たげん方かた程ほど的てき消けし元もと法ほう，将はた相あい关多项式进行乘法じょうほう、加法かほう和わ减法运算，逐步消けし元もと，将はた多元たげん非ひ线性方かた程ほど组化为单个未知数みちすう的てき高次こうじ多た项式方かた程ほど；并以數すう值解出で了りょう288个四よん次じ、五ご次じ、六ろく次じ、七なな次じ、八はち次じ、九きゅう次じ、十じゅう次じ、十じゅう一いち次じ、十じゅう二に次じ、和わ十じゅう四よん次次つぎつぎ多項式たこうしき方かた程ほど^[6]。朱しゅ世よ杰发展てん了りょう垛积术，给出多た种高阶等差さ级数求もとめ和わ公式こうしき。
1400年ねん左右さゆう，印度いんど數學すうがく家か瑪達瓦かわら找到了りょう以重複じゅうふく來らい求もとむ超越ちょうえつ方かた程ほど的てき解法かいほう，求もとめ非ひ線せん性せい方かた程ほど解かい的てき疊たたみ代だい法ほう及微分びぶん方かた程ほど的てき解法かいほう。
1515年ねん，費ひ羅ら求もとめ得え了りょう沒ぼつ有ゆう兩りょう次項じこう之の三さん次じ方かた程ほど的てき解かい。
1535年ねん，塔とう爾なんじ塔とう利とぎ亞あ求もとめ得え了りょう沒ぼつ有ゆう一次項之三次方程的解。
1545年ねん，卡爾達たち諾だく出版しゅっぱん了りょう大だい術じゅつ一いち書しょ，書中しょちゅう給きゅう出で了りょう各種かくしゅ三次方程的解法和其學生費ひ拉ひしげ里さと對たい一いち特定とくてい四よん次じ方かた程ほど的てき解法かいほう。
1572年ねん，拉ひしげ斐尔·邦くに贝利認知にんち到いた三次方程中的複根並改進了當時流行的符號。
1591年ねん，弗どる朗ろう索さく瓦かわら·韋達出版しゅっぱん了りょう分析ぶんせき方法ほうほう入門にゅうもん一いち書しょ，書中しょちゅう發展はってん出で了りょう更さら為ため良好りょうこう的てき符號ふごう標記ひょうき，在ざい未知數みちすう不同ふどう的てき次つぎ方かた上じょう。並なみ且使用しよう母音ぼいん來らい表示ひょうじ未知數みちすう而子音おん則のり用よう來らい表示ひょうじ常數じょうすう。
1631年ねん，托たく马斯·哈里奥おく特とく在ざい其死後ご的てき出版しゅっぱん品ひん中ちゅう使用しよう了りょう指數しすう符號ふごう且首先さき以符號ごう來らい表示ひょうじ「大だい於」和かず「小しょう於」。
1682年ねん，萊布尼あま茨いばら發展はってん出で他稱たしょう做一般いっぱん性せい特徵とくちょう(characteristica generalis)之これ形式けいしき規則きそく的てき符號ふごう操作そうさ概念がいねん。
1683年ねん，日本にっぽん數學すうがく家か關せき孝和こうわ在ざい其所著ちょ之のMethod of solving the dissimulated problems中ちゅう發明はつめい了りょう行列ぎょうれつ式しき、判別はんべつ式しき及伯はく努つとむ利り數すう。
1685年ねん，關せき孝たかし和解わかい出で了りょう三さん次じ方かた程ほど的てき通どおり解かい，及一些四次與五次方程的解。
1693年ねん，萊布尼あま茨いばら使用しよう矩のり陣じん和わ行列ぎょうれつ式しき解かい出で了りょう線せん性せい方かた程ほど組ぐみ的てき解かい。
1750年ねん，加布里かふり爾なんじ·克かつ拉ひしげ默だま在ざい其所著ちょ之のIntroduction to the analysis of algebraic curves中ちゅう描述了りょう克かつ萊姆法則ほうそく且研究けんきゅう了りょう代數だいすう曲線きょくせん、矩のり陣じん和わ行列ぎょうれつ式しき。
1830年ねん，伽羅きゃら瓦かわら理論りろん在ざい埃ほこり瓦かわら裡うら斯特·伽羅きゃら瓦かわら對たい抽象ちゅうしょう代數だいすう的てき工作こうさく中ちゅう得え到いた發展はってん。

分ぶん类[编辑]

初等しょとう代数だいすう：學習がくしゅう以位置いち標しるべ誌し符ふ(place holders)標記ひょうき常數じょうすう和わ變數へんすう的てき符號ふごう，與あずか掌てのひら控ひかえ包含ほうがん這些符號ふごう的てき表示ひょうじ式しき及方程式ほうていしき的てき法則ほうそく，來らい記錄きろく實數じっすう的てき運算うんざん性質せいしつ。（通常つうじょう也會涉わたる及到中等ちゅうとう代數だいすう和わ大學だいがく代數だいすう的てき部分ぶぶん範圍はんい。）
抽象ちゅうしょう代數だいすう：討論とうろん代數だいすう結構けっこう的てき性質せいしつ，例れい如群ぐん、環たまき、域いき等ひとし。這些代數だいすう結構けっこう是ぜ在ざい集合しゅうごう上じょう定義ていぎ運算うんざん而來，而集合しゅうごう上じょう的てき運算うんざん則そく適合てきごう某ぼう些公理こうり。
線せん性せい代數だいすう：專門せんもん討論とうろん矢や量りょう空間くうかん，包括ほうかつ矩のり陣じん的てき理論りろん。
泛代數すう，討論とうろん所有しょゆう代數だいすう結構けっこう的てき共有きょうゆう性質せいしつ。
計算けいさん代數だいすう：討論とうろん在ざい電腦でんのう上じょう進行しんこう數學すうがく的てき符號ふごう運算うんざん的てき演算えんざん法ほう。

初等しょとう代數だいすう[编辑]

初等しょとう代數だいすう是ぜ代數だいすう中ちゅう最さい基本きほん的てき一いち種類しゅるい型がた。其教導きょうどう對象たいしょう為ため假定かてい不ふ具有ぐゆう對たい算術さんじゅつ基本きほん原はら則之のりゆき類るい的てき數學すうがく知識ちしき之の學生がくせい。雖然在ざい算術さんじゅつ裡うら，只ただ有ゆう數かず和かず其算術じゅつ運算うんざん（如加、減げん、乘じょう、除じょ）會かい出現しゅつげん；而在代數だいすう，數すう則のり通常つうじょう會かい以 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 、 $x$ 、 $y$ 等とう符号ふごう來らい標記ひょうき，表おもて达式则会以 $f(x)$ 、 $g(x)$ 、 $f(g(x))$ 、 $f(x_{1},x_{2})$ 等とう符号ふごう来らい标记。這是很有用よう的てき，因いん為ため：

它允許いんきょ對たい算術さんじゅつ定理ていり之の一般いっぱん性せい公式こうしき的てき描述（如 $\forall a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} ,a+b=b+a$ ），且此為ため對たい實數じっすう性質せいしつ做系統けいとう性せい描述的てき第一步だいいっぽ。
它允許いんきょ指ゆび涉わたる未知數みちすう、將はた方かた程ほど公式こうしき化か及學習がくしゅう如何いか去さ解答かいとう（如「找一數すう $x$ ，使つかい其 $3x+1=10$ 的まと方かた程ほど成立せいりつ）。
它允許いんきょ將しょう函數かんすう關係かんけい公式こうしき化か（如「若わか你賣了りょう $x$ 張ちょう票ひょう，則のり你將獲え利り $(3x-10)$ 元もと，亦また即そく $f(x)=3x-10$ ，其中 $f$ 為ため其函數すう，且 $x$ 為ため此函數すう輸入ゆにゅう的てき值。」）。

抽象ちゅうしょう代數だいすう[编辑]

抽象ちゅうしょう代數だいすう將はた基本きほん代數だいすう和わ數かず的てき算術さんじゅつ中なか的てき一些相似概念延廣成更一般的概念。

集合しゅうごう：不ふ單たん只ただ考量こうりょう數かず的てき不同ふどう類型るいけい，抽象ちゅうしょう代數だいすう處理しょり更さら為ため一般いっぱん的てき概念がいねん－集合しゅうごう：一群いちぐん稱たたえ為ため元素げんそ之これ物件ぶっけん的てき聚集。所有しょゆう相似そうじ類型るいけい的てき數すう都と是ぜ一いち種しゅ集合しゅうごう。另一些集合的例子有所有兩階方陣ほうじん組成そせい之の集合しゅうごう、所有しょゆう兩次りょうじ多項式たこうしき組成そせい的てき集合しゅうごう、所有しょゆう平面へいめん的てき二に維向むかい量りょう所ところ組ぐみ之の集合しゅうごう、及如如整數すう同どう餘よ $n$ 的まと群ぐん之の循環じゅんかん群ぐん等とう各種かくしゅ有限ゆうげん群ぐん。集合しゅうごう論ろん是これ邏輯的てき一個分支且技術上不屬於代數的一種分支。

二元にげん運算うんざん：加法かほう $+$ 的てき概念がいねん被ひ抽象ちゅうしょう化成かせい了りょう一いち種しゅ二元にげん運算うんざん，稱しょう之の為ため*。對たい於在集合しゅうごう $S$ 內的兩個りゃんこ元素げんそ $a$ 和わ $b$ ， $a*b$ 會かい給きゅう出で集合しゅうごう內的另一いち個こ元素げんそ（技術ぎじゅつ上じょう，此條件じょうけん稱しょう之の為ため封ふう閉性）。加法かほう $+$ 、減法げんぽう $-$ 、乘法じょうほう $\times$ 、除法じょほう $\div$ 都と是ぜ二に元もと運算うんざん，且矩陣じん、向むこう量りょう及多項式たこうしき等とう之の加法かほう和わ乘法じょうほう也是二に元もと運算うんざん。

單位たんい元素げんそ：零れい和わ一いち兩りょう個數こすう被ひ抽象ちゅうしょう化成かせい單位たんい元素げんそ的てき概念がいねん。零れい是ぜ加法かほう的てき單位たんい元素げんそ而一則是乘法的單位元素。對たい於一任意にんい的てき二に元もと運算うんざん*，單位たんい元素げんそ $e$ 必須ひっす得とく滿足まんぞく $a*e=a$ 和わ $e*a=a$ 兩個りゃんこ條件じょうけん。其在加法かほう中ちゅう為ため $a+0=a$ 和わ $0+a=a$ ，而在乘法じょうほう中ちゅう則のり為ため $a\times 1=a$ 和わ $1\times a=a$ 。但ただし若わか取と正せい自然しぜん數すう和わ加法かほう，則のり其不存在そんざい有ゆう單位たんい元素げんそ。

逆ぎゃく元素げんそ：負數ふすう導しるべ致出了りょう逆ぎゃく元素げんそ的てき概念がいねん。對たい加か法ほう而言， $a$ 的てき逆ぎゃく元素げんそ為ため $-a$ ，而對乘法じょうほう而言，其逆元素げんそ則そく為ため $1/a$ 。一いち通常つうじょう之の逆ぎゃく元素げんそ $a^{-1}$ 必須ひっす滿足まんぞく $a*a^{-1}=e$ 和わ $a^{-1}*a=e$ 之これ性質せいしつ。

結合けつごう律りつ：整數せいすう的てき加法かほう有ゆう一稱為結合律的性質。亦また即そく，數すう相そう加か的てき順序じゅんじょ不ふ影響えいきょう其總和そうわ。例れい如： $\left(2+3\right)+4=2+\left(3+4\right)$ 。一般いっぱん化か地ち，其可以被寫うつし成なり $(a*b)*c=a*(b*c)$ 。此一性質在大多數的二元運算中存在著，但ただし不ふ包括ほうかつ減法げんぽう和わ除法じょほう。

交換こうかん律りつ：整數せいすう的てき加法かほう有ゆう一稱為交換律的性質。亦また即そく，數すう被ひ加か的てき順序じゅんじょ不ふ影響えいきょう其總和そうわ。例れい如： $2+3=3+2$ 。一般いっぱん化か地ち，其可以被寫うつし成なり $a*b=b*a$ 。只ただ有ゆう一些二元運算擁有此一性質。其在整數せいすう的てき加法かほう和わ乘法じょうほう上じょう成立せいりつ，但ただし在ざい矩のり陣じん乘法じょうほう上うえ則そく不成立ふせいりつ。

群ぐん[编辑]

結合けつごう上面うわつら的てき概念がいねん可か給きゅう出で在ざい數學すうがく中ちゅう最さい重要じゅうよう的てき結構けっこう之これ一いち：群ぐん。群ぐん為ため一いち個こ集合しゅうごう $S$ 和一かずいち二元にげん運算うんざん*之の結合けつごう，使つかい其可有ゆう如下性質せいしつ：

此運算うんざん是ぜ封ふう閉的：若わか $a$ 和わ $b$ 為ため $S$ 之これ元素げんそ，則のり $a*b$ 也會是ぜ。

實際じっさい上じょう，提つつみ及此性質せいしつ是ぜ很多餘あまり的てき，因いん為ため每ごと一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但ただし封ふう閉性经常被ひ强調きょうちょう為ため群ぐん的てき一いち種しゅ性質せいしつ。

存在そんざい單位たんい元素げんそ $e$ ，使つかい得とく對たい每まい個こ於 $S$ 內的元素げんそ $a,e*a$ 和わ $a*e$ 都會とかい等とう同どう於 $a$ 。
每まい一いち元素げんそ都と存在そんざい一いち逆ぎゃく元素げんそ：對たい每ごと一いち於 $S$ 內的元素げんそ $a$ ，存在そんざい一いち元素げんそ $a^{-1}$ ，使つかい得とく $a*a^{-1}$ 和わ $a^{-1}*a$ 都會とかい等とう同どう於單位い元素げんそ。
此運算うんざん是ぜ可か結合けつごう的てき：若わか $a$ 、 $b$ 和わ $c$ 為ため $S$ 的てき元素げんそ，則のり $(a*b)*c$ 會かい等とう同どう於 $a*(b*c)$ 。

若わか一いち群ぐん亦また為ため可か交換こうかん的てき－即そく對たい任にん兩個りゃんこ於 $S$ 內的元素げんそ $a$ 和わ $b,a*b$ 會かい等とう同どう於 $b*a$ －則そく此群稱たたえ為ため阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。

例れい如，加法かほう的てき運算うんざん下か之の整數せいすう集合しゅうごう為ため一いち個こ群ぐん。在ざい此一群ぐん中ちゅう，其單位い元素げんそ是ぜ $0$ 且其任にん一いち元素げんそ $a$ 的てき逆ぎゃく元素げんそ為ため其負數すう $-a$ 。其有關せき結合けつごう律りつ的てき要求ようきゅう亦また是ぜ吻合ふんごう的てき，因いん為ため對たい任にん何なん整數せいすう $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ 。

非ひ零れい有理數ゆうりすう會かい形成けいせい一いち個こ於乘法ほう下か的てき群ぐん。在ざい此，其單位い元もと為ため $1$ ，當とう對たい於任一いち有理數ゆうりすう $a$ ， $1\times a=a\times 1=a$ 。 $a$ 的てき逆ぎゃく元素げんそ為ため ${\frac {1}{a}}$ ，當とう $a\times {\frac {1}{a}}=1$ 。

但ただし無論むろん如何いか，於乘法ほう運算うんざん下か的てき整數せいすう不ふ會かい形成けいせい一いち個こ群ぐん。這是因いん此一整數的乘法逆元通常不會是一個整數。例れい如， $4$ 是ぜ一いち個こ整數せいすう，但ただし其乘法ほう逆ぎゃく元もと為ため $1/4$ ，不為ふため一いち個こ整數せいすう。

群ぐん的てき理論りろん被ひ學習がくしゅう於群論ぐんろん中なか。此一理論りろん的てき一いち主要しゅよう成果せいか為ため有限ゆうげん簡單かんたん群ぐん分類ぶんるい，主要しゅよう發表はっぴょう於1955年ねん至いたり1983年ねん之の間あいだ，其目的もくてき在ざい於將所有しょゆう的てき有限ゆうげん簡單かんたん群ぐん分類ぶんるい至いたり約やく30種しゅ的てき基本きほん類型るいけい中ちゅう。

例れい子こ
集合しゅうごう:	自然しぜん數すう $\mathbb {N}$		整數せいすう $\mathbb {Z}$		有理數ゆうりすう $\mathbb {Q}$ （實數じっすう $\mathbb {R}$ 、複數ふくすう $\mathbb {C}$ ）				整數せいすう同どう餘よ $3$ : $\{0,1,2\}$
運算うんざん	$+$	$\times$ （不ふ含零）	$+$	$\times$ （不ふ含零）	$+$	$-$	$\times$ （不ふ含零）	$\div$ （不ふ含零）	$+$	$\times$ （不ふ含零）
封ふう閉性	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ
單位たんい元素げんそ	$0$	$1$	$0$	$1$	$0$	NA	$1$	NA	$0$	$1$
逆ぎゃく元素げんそ	NA	NA	$-a$	NA	$-a$	$a$	${\frac {1}{a}}$	$a$	$0,2,1$	分別ふんべつ為ためNA, $1,2$
結合けつごう律りつ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	否いや	是これ	否いや	是これ	是これ
交換こうかん律りつ	是これ	是これ	是これ	是これ	是これ	否いや	是これ	否いや	是これ	是これ
結構けっこう	幺半群ぐん	幺半群ぐん	阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん	幺半群ぐん	阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん	擬なずらえ群ぐん	阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん	擬なずらえ群ぐん	阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん	阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん（ $\mathbb {Z} _{2}$ ）

半はん群ぐん、擬なずらえ群ぐん和わ幺半群ぐん是ぜ類似るいじ於群的てき結構けっこう，但ただし更さら具ぐ一般いっぱん性せい。它們由よし一個集合和一個封閉二元運算所組成，但ただし不ふ必然ひつぜん滿足まんぞく其他條件じょうけん。半はん群ぐん有一ゆういち結合けつごう二元にげん運算うんざん，但ただし沒ぼっ有ゆう單位たんい元素げんそ。幺半群ぐん是ぜ一有單位元素但可能沒有每個元素之逆元素的半群。擬なずらえ群ぐん滿足まんぞく任にん一元素皆以一唯一的前或後運算轉換成另一元素，但ただし此一二元運算可能不具結合律。

所有しょゆう的てき群ぐん都と是ぜ幺半群ぐん，且所有しょゆう的てき幺半群ぐん都と是ぜ半はん群ぐん。

環たまき和かず體からだ－具ぐ兩個りゃんこ二に元もと運算うんざん的てき結構けっこう[编辑]

群ぐん只ただ有ゆう一いち個こ二に元もと運算うんざん。但ただし為ため了りょう完かん整せい說明せつめい不同ふどう類型るいけい的てき數すう之の行為こうい，具ぐ兩個りゃんこ運算うんざん子こ的てき結構けっこう是ぜ需要じゅよう的てき。其中最さい重要じゅうよう的てき為ため環たまき和わ體からだ。

分配ぶんぱい律りつ廣義こうぎ化か了りょう數すう中ちゅう的てき分配ぶんぱい律りつ，且要求ようきゅう其運算うんざん子こ運算うんざん時じ應おう採と之これ順序じゅんじょ（稱たたえ為ため優先ゆうせん權けん）。對たい於整數すう而言， $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ 且 $c\times (a+b)=c\times a+c\times b$ ，而且 $\times$ 稱しょう之の此於+上うえ是ただし可か分配ぶんぱい的てき。

環たまき有ゆう兩個りゃんこ二に元もと運算うんざん $+$ 和わ $\times$ ，其中 $\times$ 於 $+$ 上うえ是ただし可か分配ぶんぱい的てき。在ざい第だい一いち個こ運算うんざん $+$ 下した，它會形成けいせい一いち個こ阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん。而在第だい二に個こ運算うんざん $\times$ 下した，其為結合けつごう的てき，但ただし不ふ需要じゅよう有ゆう一いち單位たんい元素げんそ或ある逆ぎゃく元素げんそ，所以ゆえん除法じょほう是ぜ不ふ被ひ允許いんきょ的てき。其加法ほう $+$ 單位たんい元もと寫うつし成なり $0$ ，而其 $a$ 的てき加法かほう逆ぎゃく元もと則のり寫うつし成なり $-a$ 。

整數せいすう是ぜ環たまき的てき一いち個こ例れい子こ。其有使し其為一いち整せい環たまき的まと額がく外がい性質せいしつ。

體からだ是ぜ一いち具有ぐゆう在ざい運算うんざん $\times$ 下した，除じょ了りょう $0$ 的てき所有しょゆう元素げんそ會かい形成けいせい一いち阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん之これ額がく外がい性質せいしつ的てき環たまき。其乘法ほう $\times$ 單位たんい元素げんそ寫うつし成なり $1$ ，而其 $a$ 的てき乘法じょうほう逆ぎゃく元もと則のり寫うつし成なり $a^{-1}$ 。

有理數ゆうりすう、實數じっすう和わ複數ふくすう都と是ぜ體たい的てき例れい子こ。

代數だいすう[编辑]

代數だいすう一詞亦可用來稱呼不同的代數だいすう結構けっこう，包つつみ含有がんゆう：

參まいり見み[编辑]

參考さんこう文獻ぶんけん[编辑]

^ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.
^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), pages 178, 181
^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228
^ 李り俨《刘焯的てき内ない插法计算》《李り俨.钱宝琮科学かがく史し全集ぜんしゅう》卷まき3 111-112页
^ 李り俨《中ちゅう算さん家か的てき内ない插法研究けんきゅう》《李り俨.钱宝琮科学かがく史し全集ぜんしゅう》卷まき2 290页
^ 吴文俊しゅん主しゅ编《中国ちゅうごく数学すうがく史し大系たいけい》第だい六ろく卷かん第だい四よん编《朱しゅ世よ杰的数学すうがく成就じょうじゅ》246-247页

Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
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John J O'Connor and Edmund F Robertson, MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
Algebra Help（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Online algebra tutorials.
Highlights in the history of algebra
Explanation of Basic Topics
I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6

外部がいぶ連結れんけつ[编辑]

Sparknotes' Review of Algebra I and II（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
ExampleProblems.com（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Example problems and solutions from basic（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） and abstract（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） algebra.
Purplemath.com "Your Algebra Resource"（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
What Is Algebra?（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Online Algebra Graphing Calculator - WebGraphing.com（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Step by step algebra problem solver - algebrasolver.com（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Algebra Basics from kwizNET Learning System（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

[1] Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.

[2] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), pages 178, 181

[3] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228

[4] 李り俨《刘焯的てき内ない插法计算》《李り俨.钱宝琮科学かがく史し全集ぜんしゅう》卷まき3 111-112页

[5] 李り俨《中ちゅう算さん家か的てき内ない插法研究けんきゅう》《李り俨.钱宝琮科学かがく史し全集ぜんしゅう》卷まき2 290页

[6] 吴文俊しゅん主しゅ编《中国ちゅうごく数学すうがく史し大系たいけい》第だい六ろく卷かん第だい四よん编《朱しゅ世よ杰的数学すうがく成就じょうじゅ》246-247页

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