范畴论

  此條目め介かい紹的是ぜ數學すうがく中ちゅう的てき範疇はんちゅう理論りろん。关于範疇はんちゅう論ろん中ちゅう的てき範疇はんちゅう概念がいねん，请见「範疇はんちゅう (数学すうがく)」。关于範疇はんちゅう的てき其他意思いし，请见「範疇はんちゅう」。

一いち个有对象X、Y、Z和わ态射f、g、g∘f的てき范畴（若わか更さら明あかり确地表示ひょうじ，该范畴的三个恒等态射1X、1Y和わ1Z，将しょう分ぶん别显示しめせ为从字母じぼX、Y、Z指向しこう它们的てき三さん个箭头）。

範疇はんちゅう論ろん（英語えいご：Category theory）是これ數學すうがく的てき一門いちもん學科がっか，是ぜ关于数学すうがく结构及其关系的てき一般いっぱん理り论，以抽象ちゅうしょう的てき方法ほうほう處理しょり數學すうがく概念がいねん，將はた這些概念がいねん形式けいしき化成かせい一いち組くみ組ぐみ的てき「物件ぶっけん」及「態たい射しゃ」。數學すうがく中ちゅう許多きょた重要じゅうよう的てき領域りょういき可か以形式しき化か為ため範疇はんちゅう。使用しよう範疇はんちゅう論ろん可か以令這些領域りょういき中許なかゆるし多難たなん理解りかい、難なん捉摸的てき數學すうがく結論けつろん更さら容易ようい敘述證明しょうめい。

一个范畴包含两类数学すうがく对象：物件ぶっけん与あずか态射。以集合しゅうごう範疇はんちゅう为例，其物件ぶっけん為ため集合しゅうごう，態たい射しゃ為ため集合しゅうごう間あいだ的てき函數かんすう。若わか以第一个态射的目标为源发出第二个态射，这样形成けいせい的てき“复合态射”的てき性せい质同复合函数かんすう类似（存在そんざい结合律りつ与あずか单位态射）。但ただし需注意ちゅうい，範疇はんちゅう的てき物件ぶっけん不ふ一定いってい要よう是ぜ集合しゅうごう，態たい射しゃ也不一定いってい要よう是ぜ函數かんすう；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合ふごう物件ぶっけん及態射的しゃてき定義ていぎ，則のり可か形成けいせい一いち個こ有效ゆうこう的てき範疇はんちゅう，且所有しょゆう在ざい範疇はんちゅう論ろん中ちゅう導出どうしゅつ的てき結論けつろん都と可か應用おうよう在ざい這個數學すうがく概念がいねん之の上うえ。

範疇はんちゅう最さい簡單かんたん的てき例れい子こ之の一いち為ため广群，其態射しゃ皆みな為ため可逆かぎゃく的てき。群ぐん胚はい的てき概念がいねん在ざい拓ひらけ撲なぐ學がく中ちゅう很重要じゅうよう。範疇はんちゅう現在げんざい在ざい大だい部分ぶぶん的てき數學すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう都と有ゆう出現しゅつげん，在ざい理論りろん電腦でんのう科學かがく的てき某ぼう些領域りょういき中ちゅう用よう于對應おう資料しりょう型がた別べつ，而在數學すうがく物理ぶつり中ちゅう被ひ用もちい來らい描述向むかい量りょう空間くうかん。

範疇はんちゅう論ろん不ふ只ただ是ぜ對たい研究けんきゅう範疇はんちゅう論ろん的てき人じん有意義ゆういぎ，對たい其他數學すうがく家か而言也有やゆう著ちょ其他的てき意思いし。一個可追溯至1940年代ねんだい的てき述語じゅつご「一般いっぱん化か的てき抽象ちゅうしょう廢はい話ばなし」，即そく被ひ用もちい來らい指ゆび範疇はんちゅう論ろん那な相對そうたい於其他た傳統でんとう的てき數學すうがく分ぶん支ささえ更さら高だか階かい的てき抽象ちゅうしょう化か。

范畴论在20世せい纪中叶かのう由ゆかり塞ふさが缪尔·艾もぐさ伦伯格かく、桑くわ德とく斯·麦むぎ克かつ莱恩等とう人ひと在ざい代数だいすう拓つぶせ扑工作こうさく的てき基もと础上提出ていしゅつ。

背景はいけい

研究けんきゅう範疇はんちゅう就是試ためし圖ず以「公理こうり化か」的てき方法ほうほう抓つめ住じゅう在ざい各種かくしゅ相しょう關連かんれん的てき「數學すうがく結構けっこう」中ちゅう的てき共同きょうどう特性とくせい，並なみ以結構けっこう間あいだ的てき「結構けっこう保持ほじ函數かんすう」將はた這些結構けっこう相關そうかん起おこり來らい。因よし此，對たい範疇はんちゅう論ろん系統けいとう化か的てき研究けんきゅう將はた允許いんきょ任にん何なん一個此類數學結構的普遍結論由範疇的公理中證出。

考慮こうりょ下面かめん的てき例れい子こ：由ゆかり群ぐん組成そせい的てき類るいGrp包含ほうがん了りょう所有しょゆう具有ぐゆう「群ぐん結構けっこう」的てき物件ぶっけん。要よう證明しょうめい有ゆう關せき群ぐん的てき定理ていり，即そく可か由よし此套公理こうり進行しんこう邏輯的てき推導。例れい如，由ゆかり公理こうり中ちゅう可か立だて即そく證明しょうめい出で，群ぐん的てき單位たんい元素げんそ是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

不ふ是ぜ只ただ專せん注ちゅう在ざい有ゆう特定とくてい結構けっこう的てき個別こべつ物件ぶっけん（如群）上じょう，範疇はんちゅう論ろん會かい著ちょ重おも在ざい這些物件ぶっけん的てき態たい射しゃ（結構けっこう保持ほじ映うつ射い）上じょう；經由けいゆ研究けんきゅう這些態たい射い，可か以學到いた更さら多た關せき於這些物件ぶっけん的てき結構けっこう。以群為ため例れい，其態射い為ため群ぐん同どう態たい。兩個りゃんこ群ぐん間あいだ的てき群ぐん同どう態たい會かい嚴格げんかく地ち「保持ほじ群ぐん的てき結構けっこう」，這是個こ以將一個群中有關結構的訊息運到另一個群的方法，使つかい這個群ぐん可か以看做是另一いち個こ群ぐん的てき「過程かてい」。因よし此，對たい群ぐん同どう態たい的てき研究けんきゅう提供ていきょう了りょう一個得以研究群的普遍特性及群公理的推論的工具。

類似るいじ的てき研究けんきゅう也出現在げんざい其他許多きょた的てき數學すうがく理論りろん中ちゅう，如在拓ひらけ撲なぐ學がく中ちゅう對たい拓ひらけ撲なぐ空間くうかん的てき連續れんぞく映うつ射的しゃてき研究けんきゅう（相關そうかん範疇はんちゅう稱たたえ為ためTop），及對流ながれ形がた的てき光ひかり滑すべり函數かんすう的てき研究けんきゅう等とう。

函はこ子こ

主しゅ条目じょうもく：函はこ子こ

再さい抽象ちゅうしょう化か一いち次じ，範疇はんちゅう自身じしん亦また為ため數學すうがく結構けっこう的てき一いち種しゅ，因いん此可以尋找在某ぼう一意義下會保持其結構的「過程かてい」；此一過程かてい即そく稱しょう之の為ため函はこ子こ。函はこ子こ將はた一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並なみ將はた第だい一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。

實際じっさい上じょう，即そく是ぜ定義ていぎ了りょう一いち個こ「範疇はんちゅう和わ函はこ子こ」的てき範疇はんちゅう，其元件けん為ため範疇はんちゅう，（範疇はんちゅう間あいだ的てき）態たい射しゃ為ため函はこ子こ。

經由けいゆ研究けんきゅう範疇はんちゅう和わ函はこ子こ，不ふ只ただ是ぜ學習がくしゅう了りょう一類いちるい數學すうがく結構けっこう，及在其之間あいだ的てき態たい射い；還かえ學習がくしゅう了りょう「在ざい不同ふどう類型るいけい的てき數學すうがく結構けっこう之これ間あいだ的てき關係かんけい」。此一基本概念首次出現於代數だいすう拓ひらけ撲なぐ之これ中ちゅう。不同ふどう的てき「拓ひらけ撲なぐ」問題もんだい可か以轉換てんかん至いたり通常つうじょう較易解答かいとう的てき「代數だいすう」問題もんだい之の上うえ。在ざい拓ひらけ撲なぐ空間くうかん上うえ如基本きほん群ぐん或ある基本きほん群ぐん胚はい等とう基本きほん的てき架か構，可か以表示ひょうじ成なり由ゆかり群ぐん胚はい所ところ組成そせい的てき範疇はんちゅう之の間あいだ的てき基本きほん函はこ子こ，而這個こ概念がいねん在ざい代數だいすう及其應用おうよう之の中ちゅう是ぜ很普遍ふへん的てき。

自然しぜん變換へんかん

主しゅ条目じょうもく：自然しぜん變換へんかん

再さい抽象ちゅうしょう化か一いち次じ，架か構通常つうじょう會かい「自然しぜん地相ちそう關連かんれん」，這個第だい一眼會覺得很曖昧的概念，產さん生せい了りょう自然しぜん變換へんかん（將しょう一個函子映射至另一函子的方法）此一清楚せいそ的てき概念がいねん。許多きょた數學すうがく上じょう的てき重要じゅうよう架か構可以從此一角度かくど來らい研究けんきゅう。

历史注ちゅう记

范畴、函はこ子こ和わ自然しぜん变换是ぜ由ゆかり塞ふさが缪尔·艾もぐさ伦伯格かく和わ桑くわ德とく斯·麦むぎ克かつ兰恩在ざい1945年ねん引进的てき。这些概念がいねん最初さいしょ出で现在拓つぶせ扑学，尤ゆう其是代数だいすう拓つぶせ扑学里さと，在ざい同どう态（具有ぐゆう几何直ちょく观）转化成かせい同どう调论（公理こうり化か方法ほうほう）的てき过程中起なかおこし了りょう重要じゅうよう作用さよう。乌拉姆说，在ざい1930年代ねんだい的てき后きさき期き，波は兰学派は中ちゅう曾出现类似に的てき想そう法ほう。

艾もぐさ伦堡和わ麦むぎ克かつ兰说，他た们的目的もくてき在ざい于理解りかい自然しぜん映うつ射い；为此，必须定てい义函子こ；为了定てい义函子こ，就自然しぜん地ち要よう引进范畴。

同どう调代数すう由よし于计算さん上じょう的てき需要じゅよう而使用しよう范畴论，这对范畴论起到いた了りょう推进作用さよう；此后范畴论又在ざい代数だいすう几何的てき公理こうり化か过程中ちゅう得え到いた发展。代数だいすう几何与あずか罗素-怀特海うみ德とく的てき关于数学すうがく统一性基础的观点相抵触。广义范畴论随后きさき产生，且更容よう纳了语意灵活性せい和わ高こう阶逻辑等ひとし多た种新特とく征せい的てき泛代数すう，现在被ひ运用到いた数学すうがく的てき所有しょゆう分ぶん支ささえ。

特殊とくしゅ范畴拓つぶせ扑斯甚至可か以代替だいたい公理こうり集合しゅうごう论作さく为数学がく的てき基もと础。然しか而范畴论对这些范围广泛的基もと础应用よう还是有ゆう争そう议的；但ただし作さく为构造性せい数学すうがく的てき基もと础或注ちゅう释，范畴论被研究けんきゅう的てき相当そうとう透とおる彻。尽つき管かん如此，公理こうり集合しゅうごう论至今こん仍然是ぜ数学すうがく家か们的通用つうよう语言，并没有ゆう被ひ范畴论的注ちゅう释所取と代だい。将はた范畴论引入にゅう大学だいがく程度ていど的てき教学きょうがく（在ざい《伯はく克かつ霍夫-麦むぎ克かつ兰》和かず《麦むぎ克かつ兰-伯はく克かつ霍夫》这两本ほん抽象ちゅうしょう代数だいすう的てき教科きょうか书的区く别上可か以印证）还是遭到了りょう相当そうとう的てき反はん对。

范畴逻辑是これ直ちょく觉逻辑中なか类型论的てき一个被明确定义的分支，在ざい计算机つくえ学科がっか的てき函数かんすう式しき编程和わ域いき理り论中なか均ひとし有ゆう应用，并且都と是ぜ在ざい笛ふえ卡尔闭范畴中ちゅう对λらむだ演算えんざん的てき非ひ句法くほう性せい描述。至いたり少しょう，用よう范畴论可以精确地描述在ざい这些相しょう关的领域里さと什么是ぜ共同きょうどう的てき（在ざい抽象ちゅうしょう的てき意い义上）。

范畴、物件ぶっけん与あずか态射

主しゅ条目じょうもく：範疇はんちゅう (數學すうがく)和わ態たい射しゃ

范畴

一いち个“范畴” $C$ 由よし如下3個こ数学すうがく对象組成そせい：

1. 一いち個こ類るい $\mathrm {ob} (C)$，其元素げんそ稱しょう為ため「物件ぶっけん」；
2. 一いち個こ類るい $\mathrm {hom} (C)$，其元素げんそ稱しょう為ため「態たい射しゃ」或ある「箭や號ごう」。每まい個こ態たい射しゃ $f$ 都と只ただ有ゆう一いち個こ「源みなもと物件ぶっけん」 $a$ 及一いち個こ「目標もくひょう物件ぶっけん」 $b$（其中 $a$ 和わ $b$ 都と在ざい $\mathrm {ob} (C)$ 內），稱しょう之の為ため「從したがえ $a$ 至いたり $b$ 的てき態たい射しゃ」，標記ひょうき為ため $f:a\to b$。
   所有しょゆう從したがえ $a$ 至いたり $b$ 的てき態たい射しゃ所しょ組成そせい的てき類るい稱しょう之の為ため「態たい射しゃ類るい」，標記ひょうき為ため $\mathrm {hom} (a,b)$、 $\mathrm {hom} _{C}(a,b)$或ある $\mathrm {mor} (a,b)$。
3. 一いち個こ二元にげん運算うんざん，稱しょう為ため「態たい射しゃ複ふく合あい」，使つかい得とく對たい任意にんい三さん個こ物件ぶっけん $a$、 $b$ 及 $c$，都會とかい有ゆう $\circ :\mathrm {hom} (b,c)\times \mathrm {hom} (a,b)\to \mathrm {hom} (a,c)$。兩個りゃんこ態たい射しゃ $f:a\to b$ 及 $g:b\to c$ 的てき複ふく合あい寫うつし做 $g\circ f$ 或ある $gf$，並なみ會かい符合ふごう下か列れつ兩個りゃんこ公理こうり：
   • 結合けつごう律りつ：若わか $f:a\to b$、 $g:b\to c$及 $h:c\to d$，則のり $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$；
   • 單位たんい元もと：對たい任意にんい物件ぶっけん $x$，總そう存在そんざい一いち個こ態たい射しゃ $1_{x}:x\to x$（稱たたえ為ため $x$ 的てき單位たんい態たい射しゃ），使つかい得とく對たい每まい個こ態たい射しゃ $f:a\to b$，都會とかい有ゆう $1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}$。

由よし以上いじょう公理こうり可か證しょう得え，每まい個物こぶつ件けん都と只ただ存在そんざい一いち個こ單位たんい态射。有ゆう些作者しゃ将はた物件ぶっけん本身ほんみ用よう單位たんい态射来き定てい义，这在本ほん质上是ぜ相しょう同どう的てき。

如果对象的てき类确实是个集合しゅうごう，那な么这种范畴就被ひ称しょう为“小しょう范畴”。许多重要じゅうよう的てき范畴不ふ是ぜ小しょう范畴。

范畴中ちゅう的てき态射有ゆう时又称しょう为“箭や號ごう”，这种叫さけべ法ほう来らい自じ于交换图。

范畴举例

每まい一范畴都由其对象，态射，和かず复合态射来き表おもて述じゅつ。为了方便ほうべん起おこり见，以下いか的てき“函数かんすう”即そく是ぜ指ゆび态射，不ふ再さい一いち一いち说明。

• Set 是ぜ所有しょゆう集合しゅうごう和かず它们彼此ひし之の间的全ぜん函数かんすう构成的てき范畴
• Ord 是ぜ所有しょゆう预序集しゅう和かず其间的てき单调函数かんすう构成的てき范畴
• Mag 是ぜ所有しょゆう广群和かず其间的てき同どう态映射しゃ构成的てき范畴
• Med 是ぜ所有しょゆう对换广群和かず其间的てき同どう态映射しゃ构成的てき范畴
• Grp 是ぜ所有しょゆう群ぐん和かず其间的てき群ぐん同どう态构成的てき范畴
• Ab 是ぜ所有しょゆう阿おもね贝尔群ぐん和かず其间的てき群ぐん同どう态构成的てき范畴
• Vect_K 是ぜ所有しょゆう域いき $K$（$K$固定こてい）上じょう的てき向むかい量りょう空そら间和かず其间的てき$K-$线性映うつ射い构成的てき范畴
• Top 是ぜ所有しょゆう拓つぶせ扑空间和かず其间的てき连续函数かんすう构成的てき范畴
• Met 是ぜ所有しょゆう度量どりょう空そら间和かず其间的てき测地映うつ射い构成的てき范畴
• Uni 是ぜ所有しょゆう一致いっち空そら间和かず其间的てき一致いっち连续函数かんすう构成的てき范畴
• 任にん何なに偏へん序じょ集しゅう$(P,\leq )$构成一いち个小范畴，其对象ぞう是ぜ$P$的てき元素げんそ，其态射しゃ是ぜ从$x$指向しこう$y$的てき箭や头，其中$x\leq y$。
• 任にん何なん以单一いち对象$x$（$x$为任意にんい固定こてい集合しゅうごう）为基础的独どく异点构成一いち个小范畴。独どく异点的てき任意にんい元素げんそ通どおり过二元运算给出一个从$x$到いた$x$的てき映うつ射い，所有しょゆう这些映射い恰好かっこう是ぜ范畴的てき所有しょゆう态射；范畴的てき复合态射也正好こう是ぜ独どく异点的てき二に元げん运算。事こと实上，范畴可か以看成なる独どく异点的てき推广；关于独どく异点的てき定てい义和定理ていり有ゆう一些可以推广到范畴。
• 任にん何なに有向ゆうこう图对应于一个小范畴：其对象ぞう是ぜ图的顶点，其态射しゃ是ぜ图的路ろ径みち，其复合あい态射是ぜ路ろ径みち的てき连接。称しょう此范畴为有向ゆうこう图的“自由じゆう范畴”。
• 设$I$是ぜ个集合しゅうごう，“$I$上うえ的てき离散范畴”是ぜ一いち个小范畴，以$I$的てき元素げんそ为对象ぞう，以$I$的てき恒等こうとう映うつ射い为其唯一ゆいいつ的てき态射。
• 任にん何なん范畴$C$可か以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有ぐゆう相しょう同どう的てき对象，然しか而所有しょゆう态射都と是ぜ反はん方向ほうこう的てき。称しょう此为“对偶”或ある者もの“反はん范畴”，记作 $C^{op}$（$op$来き自じ英文えいぶん的てきopposite，意い為ため「相反あいはん」）。
• 设$C$和わ$D$是ぜ范畴，则它们的“直ちょく积范畴”$C\times D$被ひ定てい义为：其对象ぞう为取自じ$C$的てき一个对象和取自$D$的てき一个对象的有序对，其态射しゃ亦また为取自じ$C$的てき一个态射和取自$D$的てき一个态射的有序对，其复合あい态射则由其分量りょう分ぶん别复合あい。

态射

映うつ射しゃ之の间的关系（比ひ如$fg=h$）在ざい大だい多数たすう情じょう形がた下か可用かよう更さら直ちょく观的交换图来らい表示ひょうじ，在ざい此图中ちゅう对象被ひ表示ひょうじ成なり顶点，态射被ひ表示ひょうじ为箭头。

一いち个表为$f:a\rightarrow b$的てき态射可か具有ぐゆう以下いか任意にんい一いち种性质。

• 单态射しゃ：对所有しょゆう态射$g_{1},\ g_{2}:\ x\to a$，若わか$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$，则$g_{1}=g_{2}$。
• 满态射しゃ：对所有しょゆう态射$g_{1},\ g_{2}:\ b\to x$，若わか$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$，则$g_{1}=g_{2}$
• 若わか$f$即そく是ぜ单态射しゃ也是满态射い，则为双そう态射。
• 同どう构：若わか有ゆう态射$g:\ b\to a$，如$f\circ g=1_{b}$和わ$g\circ f=1_{a}$。
• 自じ同どう态：若わか$a=b$。$\mathrm {end} (a)$表示ひょうじ$a$的てき自じ同どう态类。

• 自じ同どう构：若わか$f$即そく同どう构，也自同どう态。$\mathrm {aut} (a)$表示ひょうじ$a$的てき自じ同どう构类。
• 屈こごめ态射（retraction）：若わか$f$的てき右みぎ逆ぎゃく存在そんざい。即そく有ゆう态射$g:\ b\to a$和わ$f\circ g=1_{b}$。
• 切きり态射（section）：若わか$f$的てき左ひだり逆ぎゃく存在そんざい。即そく有ゆう态射$g:\ b\to a$和わ$g\circ f=1_{a}$。

屈こごめ态射必为满态射い，切きり态射必为单态射しゃ。另外，下面かめん三条表述等价：

• $f$是ぜ单态射い，也是屈こごめ态射；
• $f$是ぜ满态射い，也是切きり态射；
• $f$同どう构。

函はこ子こ

主しゅ条目じょうもく：函はこ子こ

函はこ子こ是ぜ范畴之の间保持ほじ结构的てき映うつ射い，可か以看成なり以所有しょゆう（小しょう）范畴为成员的范畴中ちゅう的てき态射。

一いち个从范畴$C$到いた范畴$D$的てき（协变）函はこ子こ$F$被ひ定てい义为：

• 对$C$中ちゅう任意にんい对象$X$，都みやこ有一ゆういち个$D$中ちゅう相しょう应的对象$F(X)$与あずか其对应；
• 对$C$中ちゅう任意にんい态射 $f:X\rightarrow Y$，都みやこ有一ゆういち个$D$中ちゅう相しょう应的态射$F(f):F(X)\rightarrow F(Y)$与あずか其对应；

并使下か列れつ性せい质成立せいりつ：

• 对$C$中ちゅう任意にんい对象$X$，都みやこ有ゆう$F(\mathrm {id} _{x})=\mathrm {id} _{F(X)}$。
• 对$C$中ちゅう任意にんい两个态射$f:X\rightarrow Y$和わ$g:Y\rightarrow Z$，都みやこ有ゆう $F(g\cdot f)=F(g)\cdot F(f)$。

一いち个从范畴$C$到いた范畴$D$的てき反はん变函はこ子こ$F$不同ふどう于函子こ的てき地方ちほう仅在于将$D$中なか的てき映うつ射い箭や头倒过来。比ひ如说$f:X\rightarrow Y$是これ$C$中ちゅう任にん一いち态射，则有$F(f):F(Y)\rightarrow F(X)$。定てい义反变函子こ的てき最さい简捷的てき方法ほうほう是ぜ作さく为$C$的てき反はん范畴$C^{op}$到いた$D$上うえ的てき函はこ子こ。

有ゆう关函子こ的てき具体ぐたい例れい子こ和わ性せい质请详见函はこ子こ条目じょうもく。

自然しぜん和わ自然しぜん同どう构

主しゅ条目じょうもく：自然しぜん变换

“自然しぜん变换”是ぜ两个函はこ子こ之の间的关系。函はこ子こ通常つうじょう用よう来らい描述“自然しぜん构造”，而自然しぜん变换则描述じゅつ函はこ子こ间的“自然しぜん同どう态”。有ゆう时，两个截然せつぜん不同ふどう的てき构造会かい产生“相あい同どう”结果，这可以用函はこ子こ之の间的自然しぜん同どう态来表ひょう述じゅつ。

定てい义

如果$F$和わ$G$是ぜ从范畴$C$到いた范畴$D$的てき（协变）函はこ子こ，则从$F$到いた$G$的てき一个自然变换会给$C$中なか的てき每まい个对象ぞう$X$，关联一いち个$D$中ちゅう相しょう应的态射$\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$，使つかい得とく对$C$中なか的てき任にん何なん态射$f:X\rightarrow Y$，都みやこ有ゆう$\eta _{Y}\cdot F(f)=G(f)\cdot \eta _{X}$；这也就是说下列れつ图表是ぜ可か交换的てき：

如有从$F$到いた$G$的てき自然しぜん变换，使つかい得とく$\eta _{X}$对$C$中ちゅう所有しょゆう对象$X$来らい说都同どう构，则称这两个函子こ$F$和わ$G$“自然しぜん同どう构”。

举例

设$K$是これ域いき，$V$是これ$K$上うえ的てき任意にんい向むこう量りょう空そら间，则有从向量りょう空そら间到其二に重じゅう对偶的てき一いち个“自然しぜん”內射型かた线性映うつ射い$V\rightarrow V^{**}$ 。这些映射い在ざい以下いか意い义上是ぜ“自然しぜん”的てき：二重对偶运算是一个函子，这些映射い正せい好こう构成了りょう从恒等とう函はこ子こ到いた二重对偶函子的自然变换。如果向むこう量りょう空そら间的维数是ぜ有限ゆうげん的てき，我わが们就得え到いた一个自然同构；因いん为“有限ゆうげん向こう量りょう空そら间自然しぜん同どう构于其二に重じゅう对偶”。

考こう虑阿贝尔群ぐん及其同どう态构成なり的てき范畴$\mathrm {Ab}$。对任意にんい阿おもね贝尔群ぐん$X$、$Y$和わ$Z$，我わが们得到いた群ぐん同どう构

$\mathrm {Mor} \left(X,\mathrm {Mor} \left(Y,Z\right)\right)\rightarrow \mathrm {Mor} \left(X\otimes Y,Z\right)$ 。

这些同どう构是“自然しぜん”的てき，因いん为它们定义了两个函はこ子こ间的一いち种自然しぜん变换：$\mathrm {Ab} ^{op}\times \mathrm {Ab} ^{op}\times \mathrm {Ab} \rightarrow \mathrm {Ab}$。

泛结构、极限和上わじょう极限

主しゅ条目じょうもく：泛性质和わ极限 (范畴论)

运用范畴论的语言，许多数学すうがく研究けんきゅう领域都と可か以归结成一些恰当的范畴，例れい如所有しょゆう集合しゅうごう的てき范畴，所有しょゆう群ぐん的てき范畴，所有しょゆう拓ひらけ扑的范畴，等とう等とう。这些范畴里さと的てき确有一いち些“特殊とくしゅ的てき”对象，例れい如空そら集しゅう或ある者もの两个拓つぶせ扑的直ちょく积。然しか而，在ざい范畴的てき定てい义里，对象是ぜ原子げんし性せい的てき，那な就是说，我わが们无法ほう知道ともみち一个对象到底是集合，是ぜ拓つぶせ扑，还是其它抽象ちゅうしょう概念がいねん。有ゆう必要ひつよう定てい义特殊とくしゅ对象而不涉わたる及对象ぞう的てき内在ないざい结构，这是一いち个挑战。那な么到底そこ怎样不用ふよう元素げんそ而定义空集しゅう，不用ふよう开集而定义拓扑积呢？

解かい决这个问题的途と径みち是ぜ借用しゃくよう对象和わ对象之の间的关系，而这些关系けい由よし相しょう应范畴中的てき态射给出。现在问题转化为寻找泛性质，这些泛性质可以唯一地决定我们所感兴趣的对象。事こと实上，为数众多的てき重要じゅうよう结构都と可用かよう纯范畴论的てき方法ほうほう来らい描述。在ざい定てい义泛性せい质时，我わが们要用よう到いた一个非常关键的概念：范畴性せい“极限”和かず其“上うえ极限”。

等とう价范畴

主しゅ条目じょうもく：范畴的てき等とう价和わ范畴同どう构

人ひと们很自然しぜん地ち要よう问，在ざい什么样的情じょう形がた下か，两个范畴“在ざい本ほん质上是ぜ相しょう同どう”的てき，换一いち句く话来说，对其中ちゅう一个范畴成立的定理，可か以既定きてい地ち转换成なり另一个范畴的定理ていり。用もちい来らい描述这种情じょう形がた的てき主要しゅよう方法ほうほう是ぜ“范畴的てき等とう价性”，由ゆかり函はこ子こ给出。范畴的てき等とう价性在ざい数学すうがく中有ちゅうう很多的てき应用。

进一步的概念和结果

范畴和わ函はこ子こ的てき定てい义只是ぜ范畴代数だいすう中ちゅう最さい基本きほん的てき部分ぶぶん。除じょ此之外的がいてき重要じゅうよう部分ぶぶん如下列れつ所しょ述じゅつ。基本きほん上じょう是ぜ以阅读顺序じょ排列はいれつ，尽つき管かん它们彼此ひし之の间有着ぎ内在ないざい的てき联系。

• 函はこ子こ范畴 $D^{C}$以从$C$到いた$D$的てき函はこ子こ为对象ぞう，以这些函子こ间的自然しぜん映うつ射い为泛射しゃ。米田よねだ引理刻こく划了函はこ子こ范畴中ちゅう可か表示ひょうじ的てき函はこ子こ，是ぜ范畴论最著名ちょめい的てき基本きほん结果之の一いち。
• 对偶原げん则：范畴论中，每まい一いち陈述，定理ていり，或ある定てい义都有ゆう其“对偶”，实质上じょう可か以通过“反はん转所有しょゆう箭や头”来らい得え到いた。如果一个陈述在范畴$C$中ちゅう成立せいりつ，那な么它的てき对偶将はた在ざい其对偶范畴$C^{op}$中ちゅう成立せいりつ。这一对偶性在范畴论的任何层次都是普适的，由よし于它经常不ふ是ぜ很清晰，对偶性せい的てき应用可か以揭示けいじ惊人的てき关联性せい。
• 伴ばん随ずい函はこ子こ：两个映射しゃ方向ほうこう相反あいはん的てき函はこ子こ对称为伴随ずい函はこ子こ，随ずい着ぎ结合的てき顺序不同ふどう，分ふん别为左ひだり伴とも随ずい和わ右みぎ伴とも随ずい。通常つうじょう来き自じ于由泛性质所定しょてい义的结构；也可以作为泛性せい质的一种更加抽象和更加强有力的看法。

高こう维范畴

主しゅ条目じょうもく：高こう维范畴

上述じょうじゅつ许多概念がいねん，特とく别是范畴的てき等とう价性、伴ばん随ずい函はこ子こ和わ函はこ子こ范畴等とう，可か抽象ちゅうしょう至いたり更さら高だか维的背景はいけい中ちゅう。简而言ごと之の，若わか将はた态射视为“从一个对象到另一个对象的过程”，那な么高维范畴就允まこと许我们考虑“高こう维过程ほど”，从而方便ほうべん地ち概括がいかつ之の。

例れい如，（严格）2-范畴是ぜ与あずか“态射间的态射”一起かずき的てき范畴，即そく允まこと许态射しゃ转换的てき过程。然しか后きさき便びん可か以对这些“双そう态射”进行横よこ纵向的てき“组合”，通つう过规定てい二に维的“交换律りつ”，联系起おこり两个合成ごうせい律りつ。这方面ほうめん的てき标准例れい子こ是ぜCat，即そく所有しょゆう（小しょう）范畴的てき二に维范畴，其中态射的てき双そう态射仅仅是ぜ通常つうじょう意い义上的てき态射的てき自然しぜん变换。另一个基本例子是，考こう虑一个具有单一物件的二维范畴，即そく幺半范畴。双そう范畴是ぜ比ひ二维范畴弱的概念。其中态射的てき组成不ふ是ぜ严格意い义上的てき关联，而只是ぜ平凡へいぼん的てき同どう构。

这个过程可か以扩展てん到いた任意にんい自然しぜん数すう维，称しょう为n维范畴。甚至还有与あずか序じょ数すうωおめが对应的てきωおめが维范畴的てき概念がいねん。

高こう维范畴是更さら广泛的てき高こう维代数すう的てき一いち部分ぶぶん。

范畴分ぶん类

• 在ざい许多范畴中ちゅう，态射集合しゅうごう$\mathrm {Mor} (A,B)$不ふ仅仅是ぜ集合しゅうごう，实际上じょう是ぜ阿おもね贝尔群ぐん，态射的てき复合具有ぐゆう群ぐん结构，也就是ぜ说是双そう线性的てき。这种范畴被ひ称しょう为预加性せい的てき。如果这种范畴还具有ぐゆう所有しょゆう有限ゆうげん的てき积和上じょう积，则称为加か性せい范畴。如果所有しょゆう具有ぐゆう一いち个核かく和わ一いち个上うえ核かく，那な么所有しょゆう满射都と是ぜ上じょう核かく，所有しょゆう单射都と是ぜ核かく，我わが们称此为阿おもね贝尔范畴。阿おもね贝尔范畴的てき一个典型的例子是阿贝尔群所组成的范畴。
• 一个范畴被称为是完かん备的てき，如果所有しょゆう极限存在そんざい。集合しゅうごう，阿おもね贝尔群ぐん和かず拓たく扑空间的范畴是ぜ完かん备的。
• 一个范畴被称为是笛ふえ卡儿闭性的てき，如果它具有ぐゆう有限ゆうげん直ちょく积，并且一いち个定义在有限ゆうげん乘じょう积上的てき态射总是可か以表示ひょうじ成なり定てい义在其中一个因子上的态射。
• 一いち个拓つぶせ扑斯是ぜ一种特殊的笛卡儿闭范畴，在ざい其中可か表ひょう述じゅつ（公理こうり化か）所有しょゆう的てき数学すうがく结构（就象传统上じょう使用しよう集合しゅうごう论可以表示ひょうじ所有しょゆう数学すうがく结构）。一个拓扑斯也可以用来表述一个逻辑理论。
• 一いち个群ぐん胚はい是ぜ这样一いち种范畴，其中每ごと一个映射都是一个同构。群ぐん胚はい是ぜ群ぐん、群ぐん作用さよう和わ等とう价关系けい的てき推广。

研究けんきゅう史し

“ 首くび先さき应注意ちゅうい到いた，整せい个范畴的概念がいねん基本きほん上じょう是ぜ个辅助すけ性的せいてき概念がいねん；我わが们的基本きほん概念がいねん，基本きほん上じょう就是函はこ子こ和わ自然しぜん变换[...] ” ——Eilenberg和わMac Lane (1945)

虽然塞ふさが缪尔·艾もぐさ伦伯格かく和わ桑くわ德とく斯·麦むぎ克かつ莱恩在ざい1942年ねん一いち篇へん关于群ぐん论的てき论文中ちゅう已やめ经给出で了りょう函はこ子こ和わ自然しぜん变换的てき具体ぐたい例れい子こ，他た们在1945年ねん的てき一いち篇へん论文中ちゅう，向こう这些概念がいねん引入了りょう更さら普遍ふへん的てき意い义，还有范畴的てき额外概念がいねん，并讨论了范畴论在代数だいすう拓つぶせ扑领域的てき应用。这些工作こうさく是ぜ直ちょく观几何なに同どう调到いた同どう调代数すう过渡的てき一いち个重要よう部分ぶぶん。

以斯塔尼あま斯拉夫おっと·乌拉姆名めい义写的てき一いち系列けいれつ文章ぶんしょう，都と声ごえ称しょう类似的てき想そう法ほう在ざい1930年代ねんだい末まつ的てき波なみ兰已经流行りゅうこう了りょう。艾もぐさ伦伯格かく是ぜ波は兰人，1930年代ねんだい在ざい波なみ兰学习数学がく。范畴论在某ぼう种意义上也是埃ほこり米まい·诺特将はた抽象ちゅうしょう过程形式けいしき化か的てき延のべ续；诺特意い识到，理解りかい一种数学结构需要理解保留了结构的过程（同どう构）。艾もぐさ伦伯格和かくわ麦むぎ克かつ莱恩引入了りょう范畴，用よう于理解りかい和わ形式けいしき化か将はた代数だいすう结构（拓つぶせ扑不变量）与あずか拓つぶせ扑学结构相しょう关联的てき过程（函はこ子こ）。

范畴论最初さいしょ源げん自じ同どう调代数すう的てき需要じゅよう，并为现代代数だいすう几何（概がい形がた论）的てき需要じゅよう而得到いた广泛扩展。范畴论可被ひ视为泛代数すう的てき延伸えんしん，后きさき者しゃ研究けんきゅう代数だいすう结构，前者ぜんしゃ则适用よう于任何なに数学すうがく结构，并研究けんきゅう不同ふどう性せい质的结构间的关系，因いん此可用よう于整个数学がく领域。在ざい数理すうり逻辑和わ语义（范畴抽象ちゅうしょう机つくえ）上じょう的てき应用来らい得とく较晚。

某ぼう些称作さく拓つぶせ扑斯（topos，单数topoi）的てき范畴甚至可か以替代だい公理こうり集合しゅうごう论作さく为数学がく的てき基もと础。拓つぶせ扑斯也可看み做是特定とくてい类型的てき范畴，有ゆう两个额外的てき拓つぶせ扑斯公理こうり。范畴论的这些基もと础应用よう已やめ经研究けんきゅう得どく相当そうとう详细，常つね是ぜ作さく为数学すうがく构成主ぬし义的てき基もと础。拓つぶせ扑斯理り论是抽象ちゅうしょう层论的てき一いち种形式しき，源みなもと于几何なん学がく，启发了りょう诸如无点拓つぶせ扑学之これ类想法ほう。

范畴逻辑现在是ぜ基もと于直ちょく觉主义逻辑类型论，定てい义明确的领域，并在函数かんすう式しき编程和わ域いき理り论中ちゅう得え到いた应用，其中一いち个笛ふえ卡儿闭范畴被ひ视作λらむだ演算えんざん的てき非ひ语义描述。范畴论澄清せい了りょう领域间在某ぼう种抽象ちゅうしょう意い义上的てき共同きょうどう点てん。

范畴论还有ゆう其他应用。例れい如，约翰·拜はい艾もぐさ兹展示てんじ了りょう物理ぶつり学がく中なか费曼图和かず幺半范畴之の间的联系。范畴论的另一个应用是拓扑斯理论，已やめ在ざい数学すうがく音おん乐理论中得え到いた了りょう应用，可か参さんGuerino Mazzola的てき书《音おと乐的拓つぶせ扑斯，概念がいねん、理り论和表ひょう现的集合しゅうごう逻辑》。

參考さんこう資料しりょう

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外部がいぶ链接

• "Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Homepage of the Categories mailing list，具有ぐゆう详尽的てき参考さんこう资料列れつ表ひょう
• Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources