關係かんけい範疇はんちゅう

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Rel
關係かんけい範疇はんちゅうRel.
Relop
Rel的てき反はん範疇はんちゅうRelop.

在ざい數學すうがく上うえ，關係かんけい範疇はんちゅう（記き做Rel）指ゆび的てき是ぜ以集合しゅうごう為ため物件ぶっけん、以二元にげん關係かんけい為ため態たい射しゃ的てき範疇はんちゅう。

在ざい這個範疇はんちゅう中ちゅう，其態射しゃ是これ與あずか之これ間あいだ的てき關係かんけい，因いん此

這範疇はんちゅう中ちゅう兩個りゃんこ關係かんけい及的てき合成ごうせい由よし下か式しき給きゅう出で：

，若わか且唯若わか對たい於一些而言，且[1]

關係かんけい範疇はんちゅう又また被ひ一いち些人稱にんしょう為ため「集合しゅうごう間あいだ對應たいおう的てき範疇はんちゅう」（category of correspondences of sets）。[2]

性質せいしつ[编辑]

集合しゅうごう範疇はんちゅう是ぜ關係かんけい範疇はんちゅう的てき（寬ひろし）子こ範疇はんちゅう，其中集合しゅうごう範疇はんちゅう的てき態たい射しゃ對應たいおう至いたり以定義ていぎ的てき關係かんけい。[3][4]

關係かんけい範疇はんちゅう中ちゅう的てき態たい射しゃ為ため關係かんけい，而其相對そうたい應おう的てき、從したがえ其反はん範疇はんちゅう（英えい语：opposite category）映うつ至いたり關係かんけい範疇はんちゅう的てき態たい射しゃ有ゆう著ちょ反はん向むこう的てき箭や頭あたま，因いん此這態たい射い是これ個こ逆ぎゃく關係かんけい（英えい语：Converse relation），因いん此關係かんけい範疇はんちゅう包含ほうがん其反範疇はんちゅう且是個こ自じ雙對そうつい（英えい语：Dual (category theory)）。[5]

由ゆかり逆ぎゃく關係かんけい作さく代表だいひょう所しょ建けん構的對たい合ごう為ため關係かんけい範疇はんちゅう提供ていきょう了りょう一いち個こ短劍たんけん結構けっこう，因いん此關係かんけい範疇はんちゅう是ぜ一いち個こ短劍たんけん範疇はんちゅう（英えい语：dagger category）。

關係かんけい範疇はんちゅう有ゆう兩個りゃんこ做為同どう態たい函はこ子こ（英えい语：hom functor）並なみ映うつ至いたり自己じこ的てき函はこ子こ，其中一いち個こ是ぜ二に元もと關係かんけい，另一個則是其轉置，而這兩個りゃんこ二元關係的兩種合成關係分別為及，其中第だい一いち個こ合成ごうせい關係かんけい給きゅう出で了りょうA上うえ的てき齊ひとし次じ關係かんけい（英えい语：homogeneous relation）；而第二に個こ合成ごうせい關係かんけい則のり給きゅう出でB上うえ的てき齊ひとし次じ關係かんけい。由よし於這些函子こ是ぜ映うつ至いたり關係かんけい範疇はんちゅう自身じしん的てき同どう態たい函はこ子こ之の故こ，因いん此這些同態たい函はこ子こ是ぜ內部同どう態たい函はこ子こ；而由於這些內部ぶ同どう態たい函はこ子こ之の故こ，因いん此關係かんけい範疇はんちゅう是ぜ個こ閉範疇はんちゅう（英えい语：Closed category），且是個こ短劍たんけん緊緻範疇はんちゅう（英えい语：dagger compact category）。

關係かんけい範疇はんちゅう可か以克かつ萊斯利り範疇はんちゅう（英えい语：Kleisli category）的てき形式けいしき，由よし集合しゅうごう範疇はんちゅう得え到いた，在ざい這種狀況じょうきょう下か，其有著ちょ以對應おう至いたり冪べき集しゅう的てき函はこ子こ為ため協きょう變へん函はこ子こ的てき單たん子こ。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係かんけい範疇はんちゅう當とう中なか的てき乘法じょうほう是ぜ以不ふ相あい交聯集しゅう（而非如集合しゅうごう範疇はんちゅう一般いっぱん的てき笛ふえ卡爾積せき）定義ていぎ的てき[5]:181，而其餘よ積せき（英えい语：Coproduct）亦また然しか。

就其幺半乘じょう積せき與あずか內部同どう態たい函はこ子こ而言，關係かんけい範疇はんちゅう是ぜ個こ閉幺半はん範疇はんちゅう（英えい语：Closed monoidal category）。

關係かんけい範疇はんちゅう是ぜPeter J. Freyd與あずかAndre Scedrov在ざい1990年ねん給きゅう出で的てき代數だいすう結構けっこう寓ぐう範疇はんちゅう（英えい语：Allegory (mathematics)）的てき原型げんけい[6]，他た們自正則せいそく範疇はんちゅう（英えい语：regular category）與あずか出發しゅっぱつ，他た們注意ちゅうい到いた了りょう派生はせい函はこ子こ的てき性質せいしつ，像ぞう例れい如說這函子こ保存ほぞん了りょう合成ごうせい、逆轉ぎゃくてん跟相交等運算うんざん，而他們之後ご以這樣さま的てき性質せいしつ建けん構了寓ぐう範疇はんちゅう的てき公理こうり。

關係かんけい作為さくい物件ぶっけん[编辑]

David Rydeheard與あずかRod Burstall認みとめ為ため關係かんけい範疇はんちゅう有ゆう著ちょ作為さくい齊ひとし次じ關係かんけい物件ぶっけん，一いち個こ例れい子こ是ぜ是ぜ一いち個こ集合しゅうごう而是ぜ一いち個こ二に元もと關係かんけい；而這個こ範疇はんちゅう的てき態たい射しゃ是ぜ集合しゅうごう間あいだ保持ほじ關係かんけい的てき函數かんすう，在ざい是ぜ第だい二に個こ關係かんけい且是ぜ一いち個こ使し得とく成立せいりつ的てき函數かんすう，那な是ぜ一いち個こ態たい射しゃ。[7]

Adamek、Herrlich與あずかStrecker三氏進一步發展了這想法，他た們將物件ぶっけん與あずか給きゅう設しつらえ成なり（集合しゅうごう，關係かんけい）。[8]

參考さんこう資料しりょう[编辑]

  1. ^ Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician 1st. New York: Springer-Verlag. 1988: 26. ISBN 0-387-90035-7. 
  2. ^ Pareigis, Bodo. Categories and Functors. Pure and Applied Mathematics 39. Academic Press. 1970: 6. ISBN 978-0-12-545150-5. 
  3. ^ Rydeheard與あずかBurstall二氏將此範疇給記做SetRel
  4. ^ George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, §7.2 RelSet, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
  5. ^ 5.0 5.1 Michael Barr & Charles Wells (1998) Category Theory for Computing Science 互联网档案あん馆的てき存そん檔，存そん档日期き2016-03-04., page 83, from McGill University
  6. ^ Peter J. Freyd（英えい语：Peter J. Freyd） & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, pages 79, 196, North Holland ISBN 0-444-70368-3
  7. ^ David Rydeheard & Rod Burstall（英えい语：Rod Burstall） (1988) Computational Category Theory, page 41, Prentice-Hall ISBN 978-0131627369
  8. ^ Juri Adamek, Horst Herrlich, and George E. Strecker (2004) [1990] Abstract and Concrete Categories （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, section 3.3, example 2(d) page 22, from Research group KatMAT （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at University of Bremen
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