初等しょとう代數だいすう

初等しょとう代數だいすう是ぜ一個初等且相對簡單形式的代數だいすう，教導きょうどう對象たいしょう為ため還かえ沒ぼっ有ゆう數學すうがく和わ算術さんじゅつ方面ほうめん较深知識ちしき的中てきちゅう小学生しょうがくせい，大学だいがく学がく习的则称为高等こうとう代数だいすう。當とう在ざい算術さんじゅつ中ちゅう只ただ有ゆう數字すうじ与あずか其運算うんざん（如：加か、減げん、乘の、除じょ）出現しゅつげん時じ，在ざい代數だいすう中也ちゅうや會かい使用しよう字母じぼ符號ふごう诸如 $x$、$y$ 或ある $a$、$b$ 等とう表示ひょうじ數字すうじ，习惯上うえ用よう前者ぜんしゃ表示ひょうじ未知数みちすう与あずか變數へんすう，用よう后きさき者しゃ表示ひょうじ任意にんい的てき已やめ知ち数すう。

概がい述じゅつ

初等しょとう代數だいすう中ちゅう还会使用しよう诸如 $f(x)$、$g(x)$、$f(g(x))$、$f(x_{1},x_{2})$ 等ひとし映うつ射い符号ふごう来らい表示ひょうじ关于某ぼう个字母はは符号ふごう的てき代数だいすう式しき。

• 它允許いんきょ涉わたる及未知的ちてき數字すうじ。在ざい一いち個こ問題もんだい的てき內容裡うら，變數へんすう或ある許もと代表だいひょう某ぼう一いち還かえ不ふ確定かくてい，但ただし可能かのう可か以經由けいゆ方かた程ほど的てき規ぶんまわし劃及操縱そうじゅう來らい解かい開ひらけ的てき數すう值。
• 它允許いんきょ探究たんきゅう數量すうりょう之の間あいだ的てき數學すうがく關係かんけい的てき可能かのう（如「若わか你賣了りょう $x$ 張ちょう票ひょう，你的收益しゅうえき將はた有ゆう $(3x+10)$ 元もと」）。

這三個是初等代數的主要組成部份，以區隔へだた其與目的もくてき為ため教導きょうどう大學生だいがくせい更さら高だか深ふか主題しゅだい的てき抽象ちゅうしょう代數だいすう的てき不同ふどう。

在ざい初等しょとう代數だいすう裡うら，表示ひょうじ式しき包つつみ含有がんゆう數字すうじ、變數へんすう及運算うんざん。它們通常つうじょう把わ較高次項じこう（習慣しゅうかん上じょう）寫うつし在ざい表示ひょうじ左邊さへん（參考さんこう多項式たこうしき），舉幾いく個こ例れい子來こらい說せつ：

$x+3$

$y^{2}+2x-3$

$z^{7}+a(b+x^{3})+{\frac {42}{y}}-\pi$。

在ざい更進こうしん階かい的てき代數だいすう裡うら，表示ひょうじ式しき也會包つつみ含有がんゆう初等しょとう函數かんすう。

一いち個こ等式とうしき表示ひょうじ其等號ごう兩邊りょうへん的てき表示ひょうじ式しき是ぜ相等そうとう的てき。某ぼう些等式しき對たい於其中ちゅう變數へんすう的てき所有しょゆう取と值都成立せいりつ（如 $a+b=b+a$）；這種等式とうしき稱たたえ為ため恆等こうとう式しき。而其他た只ただ有ゆう變數へんすう在ざい某ぼう些值時じ才ざい正確せいかく（如 $x^{2}-1=4$），此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解かい。

定理ていり

与あずか代数だいすう运算相しょう关的定理ていり

• 加法かほう是ぜ一いち可か交換こうかん的てき運算うんざん（兩りょう個數こすう不ふ論ろん順序じゅんじょ為ため何なに，它加起おこり來らい的てき總和そうわ都と一いち樣よう）。
  • 減法げんぽう是ぜ加法かほう的てき逆ぎゃく運算うんざん。
  • 減げん去さ一個數和加上一個此數的負數ふすう是ぜ一いち樣よう意思いし的てき：

$a-b=a+(-b)$

例れい如：若わか $5+x=3$ ，則のり $x=-2$。

• 乘法じょうほう是ぜ一いち可か交換こうかん的てき運算うんざん。
  • 除法じょほう是ぜ乘法じょうほう的てき逆ぎゃく運算うんざん。
  • 除去じょきょ一個數和乘上一個此數的倒たおせ數すう是ぜ一いち樣よう意思いし的てき：

${a \over b}=a\cdot {1 \over b}$

例れい如：若わか $3x=2$ ，則のり $x={\frac {2}{3}}$。

• 冪べき不ふ是ぜ一いち可か交換こうかん的てき運算うんざん。
  • 但ただし冪べき卻有兩個りゃんこ逆ぎゃく運算うんざん：對數たいすう 和わ 开方（如平方根へいほうこん）。
    • 例れい如：若わか $3^{x}=10$，則のり $x=\log _{3}10$。
    • 例れい如：若わか $x^{2}=10$，則のり $x={\sqrt {10}}_{\mathbb {C} }$，即そく $x_{1}={\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }$，$x_{2}=-{\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }$。
  • 負數ふすう的てき平方根へいほうこん不ふ存在そんざい於實數すう內。（參考さんこう：複數ふくすう）
• 加法かほう的てき結合けつごう律りつ性質せいしつ：$(a+b)+c=a+(b+c)$。
• 乘法じょうほう的てき結合けつごう律りつ性質せいしつ：$(ab)c=a(bc).$。
• 對應たいおう加法かほう的てき乘法じょうほう分配ぶんぱい律りつ性質せいしつ：$c(a+b)=ca+cb$。
• 對應たいおう乘法じょうほう的てき冪べき分配ぶんぱい律りつ性質せいしつ：$(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$。
• 冪べき的てき乘法じょうほう：$a^{b}a^{c}=a^{b+c}$。
• 冪べき的てき冪べき：$(a^{b})^{c}=a^{bc}$。

与あずか“等とう於”相あい关的定理ていり

• $a=a$ （等とう於的自じ反はん性せい）。
• 若わか $a=b$，則のり $b=a$ （等とう於的對稱たいしょう性せい）。
• 若わか $a=b$ 且 $b=c$，則のり $a=c$ （等とう於的てき遞移律りつ）。
• 若わか $a-b=n$，則のり $a^{2}-b^{2}=na+nb$。

其他定理ていり

• 若わか $a=b$ 且 $c=d$，則のり $a+c=b+d$。
  • 若わか $a=b$，則のり對たい任にん一いち c，$a+c=b+c$（等とう於的可か加か性せい）。
• 若わか $a=b$ 且 $c=d$，則のり $ac$ = $bd$。
  • 若わか $a=b$，則のり對たい任にん一いち c，$ac=bc$（等とう於的可か乘じょう性せい）。
• 若わか兩個りゃんこ符號ふごう相等そうとう，則のり一個總是能替換另一個（替かえ換かわ原理げんり）。
• 若わか $a>b$ 且 $b>c$，則のり $a>c$（不等式ふとうしき的てき遞移律りつ）。
• 若わか $a>b$，則のり對たい任にん一いち c，$a+c>b+c$。
• 若わか $a>b$ 且 $c>0$，則のり $ac>bc$。
• 若わか $a>b$ 且 $c<0$，則のり $ac<bc$。

例れい子こ

一元いちげん一いち次じ方かた程ほど

最さい簡單かんたん的てき方かた程ほど為ため一いち元げん一いち次じ方かた程ほど，它們是ぜ含有がんゆう一個常數和一沒有冪的變數。例れい如：

$2x+4=12.\,$

其中心ちゅうしん解法かいほう為ため在ざい等式とうしき的てき兩邊りょうへん同時どうじ以相同どう數字すうじ做加、減げん、乘じょう、除じょ，以使變數へんすう單獨たんどく留とめ在ざい等式とうしき的てき一いち側がわ。一旦いったん變數へんすう獨立どくりつ了りょう，等式とうしき的てき另一邊即是此變數的值。例れい如，將はた上面うわつら式子しょくし兩邊りょうへん同時どうじ減げん去さ4：

$2x+4-4=12-4\,$，

簡化後ご即そく為ため

$2x=8.\,$

再さい同時どうじ除じょ以2：

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,$

再さい簡化後ご即そく為ため答案とうあん：

$x=4.\,$

一般いっぱん的てき情じょう形がた

$ax+b=c$

也可以依同樣どうよう的てき方式ほうしき得とく出で答案とうあん來らい：

$x={\frac {c-b}{a}}$

【這就是ぜ一元一次方程簡單的說明】

一元いちげん二に次じ方かた程ほど

一元いちげん二に次じ方かた程ほど可か以表現ひょうげん成なり $ax^{2}+bx+c=0$，在ざい這 $a$ 不等ふとう於零（假かり如 $a$ 等とう於零，則のり此方こちら式しき為ため一いち次じ方程式ほうていしき，而非二に次じ方程式ほうていしき）。二次方程式必須保持二次的形態，如 $ax^{2}$，二に次じ方程式ほうていしき可か以通過つうか因いん式しき分解ぶんかい求もとめ解かい（多項式たこうしき展開てんかい的てき逆ぎゃく過程かてい），或ある者もの一般いっぱん地ち使用しよう二に次じ方かた程ほど求根きゅうこん公式こうしき。因いん式しき分解ぶんかい的てき舉例：

$x^{2}+3x=0.\,$

這相當とう於

$x(x+3)=0.\,$

0 和わ -3 是ぜ它的解かい，因いん爲ため把わ $x$ 置おけ為ため 0 或ある -3 便びん使し上述じょうじゅつ等式とうしき成立せいりつ。 所有しょゆう二に次じ方程式ほうていしき在ざい複數ふくすう體系たいけい中なか都と有ゆう兩個りゃんこ解かい，但ただし是ぜ在ざい實數じっすう系統けいとう中ちゅう卻不一定いってい，例れい如：

$x^{2}+1=0\,$

沒ぼつ有ゆう實數じっすう解かい，因いん爲ため沒ぼつ有ゆう實數じっすう的てき平方ひらかた是ただし -1。 有ゆう時じ一いち個こ二に次じ方程式ほうていしき會かい有ゆう2重じゅう根ね，例れい如：

$(x+1)^{2}=0.\,$

在ざい這個方かた程ほど中ちゅう，-1是ぜ2重じゅう根ね。

線せん性せい方かた程ほど組ぐみ

主しゅ条目じょうもく：線せん性せい方かた程ほど組ぐみ

在ざい線せん性せい方かた程ほど組ぐみ內，如兩個りゃんこ變數へんすう的てき方かた程ほど組ぐみ內有兩個りゃんこ方程式ほうていしき的てき話ばなし，通常つうじょう可か以找出で可か同時どうじ滿足まんぞく兩個りゃんこ方程式ほうていしき的てき兩個りゃんこ變數へんすう。

下面かめん為ため線せん性せい方かた程ほど組ぐみ的てき一いち個こ例れい子こ，有ゆう兩個りゃんこ求もとめ解かい的てき方法ほうほう：

$4x+2y=14\,$

$2x-y=1.\,$

求もとめ解かい的てき第だい一種いっしゅ方法ほうほう

將はた第だい2個こ等式とうしき的てき左右さゆう項こう各かく乘じょう以2，

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2.\,$

再さい將しょう兩りょう式しき相しょう加か，

$\,8x=16,$

上うえ式しき可か化か簡為

$x=2.\,$

因いん爲ため已やめ知ち$x=2$，於是就可以由兩りょう式しき中ちゅう的てき任意にんい一いち個こ推斷すいだん出で$y=3$。所以ゆえん這個問題もんだい的てき完かん整せい解かい為ため

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

注意ちゅうい：這並不ふ是ぜ解かい這類特殊とくしゅ情況じょうきょう的てき唯ただ一方いっぽう法ほう；$y$ 也可以在 $x$ 之これ前ぜん求もとめ得う。

求もとめ解かい的てき第だい二に種しゅ方法ほうほう

另一種求解的方法為替代。

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

$y$ 的まと等とう值可以由兩個りゃんこ方程式ほうていしき中ちゅう的てき其中一いち種しゅ推出。我わが們使用しよう第だい二に個こ方かた程ほど：

$2x-y=1\,$

由よし方かた程ほど的てき兩邊りょうへん減げん去さ $2x$：

$2x-2x-y=1-2x\,$

$-y=1-2x\,$

再さい乘じょう上じょう -1：

$y=2x-1.\,$

將はた此 $y$ 值放入いれ原方はらかた程ほど組ぐみ的てき第だい一いち個こ方程式ほうていしき：

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

在方ざいかた程ほど的てき兩端りょうたん加か上じょう 2：

$8x-2+2=14+2\,$

$8x=16\,$

此可簡化成かせい

$x=2\,$。

將はた此值代だい回かい兩個りゃんこ方程式ほうていしき中ちゅう的てき一いち個こ，可か求もとめ得え和上わじょう一個方法所求得的相同解答。

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

注意ちゅうい：這並不ふ是ぜ解かい這類特殊とくしゅ情況じょうきょう的てき唯ただ一方いっぽう法ほう；在ざい這個方法ほうほう裡うら也是一いち樣よう的てき，$y$ 也可以在 $x$ 之これ前ぜん求もとめ得う。

另見

• 等量とうりょう公理こうり
• 代數だいすう
• 算術さんじゅつ
• 二元にげん運算うんざん
• 高こう斯消去しょうきょ法ほう
• 數學すうがく教育きょういく
• 數すう線せん
• 多項式たこうしき

參考さんこう

• Charles Smith, A Treatise on Algebra（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, in Cornell University Library Historical Math Monographs（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）.
• Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
• Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.
• Algebra lessons in PowerPoint Algebra 2 in PowerPoint.All lessons introduce mathematical concepts, step by step, with animations of text, points, lines and figures in general. Solution of problems is also given step by step. Colors are used to give hints and clues to follow the concept or the solution of the problems.