代數だいすう數すう論ろん

在ざい數學すうがく中なか，代數だいすう數すう論ろん（英語えいご：Algebraic number theory）是これ數かず論ろん的てき一いち支ささえ，在ざい这个数学すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう,「數かず」的てき概念がいねん延伸えんしん到いた代数だいすう数すう上うえ，以解決かいけつ具體ぐたい的てき數すう論ろん問題もんだい。這類數すう是ぜ有理ゆうり係數けいすう多項式たこうしき的てき根ね。與あずか此相關そうかん的てき概念がいねん是ぜ數かず域いき，這是有理數ゆうりすう域いき的てき有限ゆうげん擴張かくちょう。依よ照あきら同どう样的动机，整數せいすう可か以被推广为為代數だいすう整數せいすう，然しか后きさき研究けんきゅう一個數域裡的代數整數。

代數だいすう整數せいすう在ざい加法かほう、減法げんぽう與あずか乘法じょうほう下か構成こうせい一いち個こ環たまき，但ただし整數せいすう的てき許多きょた性質せいしつ並なみ不能ふのう推廣到いた一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又また稱たたえ算術さんじゅつ基本きほん定理ていり），這是十じゅう九世紀數學家試圖證明費ひ馬ば大だい定理ていり時どき遇ぐう到いた的てき主要しゅよう阻礙，然しか而代數すう數すう論ろん的てき應用おうよう不ふ僅止於此。數學すうがく中ちゅう一いち些較深入ふかいり的てき理論りろん有ゆう助じょ於讓我わが們了解りょうかい代數だいすう數すう與あずか代數だいすう整數せいすう的てき性質せいしつ——包括ほうかつ伽羅きゃら瓦かわら理論りろん、伽羅きゃら瓦かわら上じょう同調どうちょう、類るい域いき論ろん、群ぐん表示ひょうじ论與あずかL-函數かんすう的てき相關そうかん理論りろん等とう等とう。

數かず論ろん中ちゅう的てき許多きょた問題もんだい可か藉由「模も p」（其中 p 為ため素數そすう）來らい研究けんきゅう。這套技術ぎじゅつ導しるべ向むこうp進數しんすう的てき建けん構，而p進數しんすう是ぜ局部きょくぶ域いき的てき例れい子こ；局部きょくぶ域いき的てき研究けんきゅう運用うんよう了りょう一些研究數域時的相同方法，但ただし是ぜ通常つうじょう更さら容易ようい處理しょり。各個かっこ局部きょくぶ域いき上うえ性せい质时常つね可か以上いじょう升ます到いた整体せいたい數すう域いき上うえ性せい质，例れい如哈瑟原理げんり：
「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若わか且唯若わか它在實數じっすう上じょう及在每ごと個こ素數そすう p 之の p進數しんすう域いき上じょう有ゆう解かい」。
這類結果けっか往往おうおう被ひ稱しょう作さく局部きょくぶ-整體せいたい原理げんり，其中「局部きょくぶ」意い指ゆび局部きょくぶ域いき，而「整體せいたい」意い指數しすう域いき。

唯ただ一因子分解和理想类群

代数だいすう数すう域いきK的てき整数せいすう环O_K的てき元素げんそ的てき素もと分解ぶんかい和わ整数せいすう环Z的てき素数そすう分解ぶんかい有ゆう不同ふどう之の处，不ふ是ぜ每ごと个O_K的てき元素げんそ都と唯一ゆいいつ分解ぶんかい。虽然O_K元素げんそ的てき唯ただ一分解性质在某些情况下可能成立，如高こう斯整环，但ただし在ざい其它情じょう况下可能かのう会かい失しつ败， 如Z[√-5]中ちゅう，6就不是ぜ唯一ゆいいつ分解ぶんかい:$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}}).$ 这里需要じゅよう注意ちゅうい的てき是ぜ需要じゅよう考こう虑分解ぶんかい确实“质数”的てき，同どう样的算式さんしき可か以出现在Q[√-5]中ちゅう，但ただし是ぜ因いん为Q[√-5]是ぜ一いち个二に次じ域いき，既すんで一定いってい是ぜ唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环。

O_K的てき理想りそう类群是ぜ一いち个整数すう环O_K的てき元素げんそ是ぜ否いや唯一ゆいいつ因子いんし分解ぶんかい的てき度量どりょう，特とく别是当とう整数せいすう环O_K理想りそう类群是これ平凡へいぼん群ぐん时，当とう且仅当とうO为唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい环。0的てき唯ただ一いち因子いんし分解ぶんかい和わO_K素す理想りそう间关系けい。

O_K元素げんそ的てき唯ただ一いち分解ぶんかい可能かのう成立せいりつ：这时O_K的てき理想りそう的てき唯ただ一いち分解ぶんかい成なり素もと理想りそう（即そく它是一いち个戴德金きむ整せい环）。这使得とく在ざい研究けんきゅうO_K的てき素もと理想りそう尤ゆう其重要じゅうよう。从另方面ほうめん，从整数すう环Z更改こうかい为代数だいすう数すう域いきK的てき整数せいすう环O_K后きさき，整数せいすう环Z中ちゅう素数そすう就能生成せいせいZ素す理想りそう（其实，Z的てき每ごと一いち个素理想りそう（p）的てき形式けいしき是ぜ：pZ）可か同一どういつ素数そすう在ざいO中ちゅう可能かのう不ふ再さい生成せいせい素もと理想りそう，例れい如，在ざい高こう斯整环中なか，理想りそう2Z[i]不ふ再さい是ぜ素もと理想りそう：

$2\mathbf {Z} [i]=\left((1+i)\mathbf {Z} [i]\right)^{2}.$

但ただし理想りそう3Z[i]是ぜ一いち个素理想りそう。高こう斯整环唯ただ一因子分解完整的答案使用费马大定理，其结果はて为：

$p\mathbf {Z} [i]{\mbox{ is a prime ideal if }}p\equiv 3\,(\operatorname {mod} \,4)$

$p\mathbf {Z} [i]{\mbox{ is not a prime ideal if }}p\equiv 1\,(\operatorname {mod} \,4).$

得とく出で这种简单的てき结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当とう代数だいすう数すう域いきK是ぜ有理数ゆうりすうQ的てき阿おもね贝尔扩张时（即そく有ゆう交换伽とぎ罗瓦群ぐん的てき扩张）类域论实现了这一目いちもく标。

素もと元和げんな素もと点てん

（根ね据すえ类域论，因いんK为有理ゆうり域いきQ时O_K才ざい有ゆう唯一ゆいいつ分解ぶんかい，以下いかK=Q，注意ちゅうい有理ゆうり域いきQ和わ有理数ゆうりすう域いき不同ふどう，实域R和わ实数域いき不同ふどう）

在ざいO_K素す理想りそう的てき概念的がいねんてき一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法ほう之の间的关系如下：

运算为通常つうじょう的てき绝对值函数すう|·|，映うつ射い有理ゆうり域いきQ→实域R的てき，令れい绝对值函数すう|·|_p: 定てい义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中なか的てき素数そすう。由ゆかり奥おく斯特洛らく夫おっと斯基的てき定理ていり，所有しょゆうp-adic绝对赋值对Q是ぜ等とう价类,p-adic绝对赋值可か看み成なり类似通常つうじょう素数そすう。更さら普遍ふへん的てき，代数だいすう数すう域いきK的てき绝对赋值称しょう为一个素もと点てん。K中ちゅう素もと元もと分ぶん两类：像ぞうp-adic绝对赋值|·|_p这种等とう价类是ぜ有限ゆうげん的てき，被ひ称しょう为有限げん素もと元もと（有限ゆうげん素もと点てん）。而通过复域いきC的てき模も|·|方式ほうしき定てい义的素もと元もと可か看み成なり复域C一个无限子集，被ひ称しょう为无限げん素もと元もと（或ある无限素もと点てん）。因よし此，一般いっぱん表示ひょうじQ的てき素もと元もと集合しゅうごう为{2，3，5，7，...，∞}，在ざい这种情じょう况下|·|_∞是ぜ有理ゆうり域いきQ的てき素もと元もと（素もと点てん）。

K的てき无限素もと元もと可か有ゆう嵌入かんにゅう同どう态K→C（即そく非ひ零れい的てき环同态，从K到いたC）。具体ぐたい来らい说，可か把わ嵌入かんにゅう分ぶん成なり两个不ふ相あい交的子こ集しゅう，那な些像在ざいR中ちゅう算さん一いち个子こ集しゅうS1，其余的てき为另一いち子し集しゅうS2。S1的てき每まい个嵌入かんにゅうσしぐま：K→R，对应唯一ゆいいつ一いち个和通常つうじょう绝对值一いち样的绝对赋值;这种方式ほうしき产生的てき一个素元的被称为一个实素元（或ある实素もと点てん）。S2的てき一いち个嵌入かんにゅうτたう：是ぜK→C不ふ包含ほうがん在ざいR中なか的てき的てき像ぞう，可か以形成けいせい另一个唯一いち的てき嵌入かんにゅうτたう，称しょう为共轭嵌入かんにゅう，组成的てき复共轭映射しゃ为τたう的てきC→C.而此绝对赋值为复数すう的てき模も：|z| = |z| 。这样的てき素もと元もと叫さけべ一いち个复素もと元もと（或ある复素点てん）。这样无限素もと元もと的てき集合しゅうごう的てき描述如下：每まい个无限げん素もと元もと对应到一いち个唯一いち的てき嵌入かんにゅうσしぐま：K→R，或ある一いち对共きょう轭嵌入かんにゅうτたう，τたう：K→C.实素点てん素数そすう表示ひょうじ为r₁ ，复素点てん表示ひょうじ为r₂，嵌入かんにゅうķ→C的てき总数为r₁+2r₂，（事こと实上，等とう于K/ Q的てき扩张次数じすう：[K：Q]）。

单位

算さん术基本きほん定理ていり说明Z环的乘法じょうほう结构为：每まい一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘じょう。这对O_K的てき理想りそう的てき唯ただ一分解对一部分理想正确，不能ふのう全ぜん正せい确是因いん为±1，因いん为整数すう1和わ-1是ぜZ环的可逆かぎゃく元素げんそ（即そく单位，两者组成一いち个乘法ほう群ぐん叫さけべ单位群ぐん，记为Z^×，是ぜ个2阶循环群ぐん）。更さら普遍ふへん的てき是ぜ，在ざいO_K的てき形式けいしき下か全部ぜんぶ素もと元もと乘法じょうほう可逆かぎゃく组成一いち个乘法ほう群ぐん，记为O^×，群ぐん素もと元もと称しょう为O_K的てき单位，这个群ぐん比ひ2阶循环群Z×阶大だい。由ゆかり狄利克かつ雷かみなり单位定理ていり可か得とく：单位群ぐん是ぜ交换群ぐん。更さら确切的てき有ゆう伽とぎ罗瓦模も形式けいしき：

O_K $\simeq$ Z^⊕r⊕（有限ゆうげん循环群ぐん）。

有限ゆうげん循环群ぐん即そく为K的てき单位群ぐんO^×。O_K单元群ぐん的てき阶大小だいしょう，O_K的てき格かく结构，在ざい类数公式こうしき可か以看出で。

局部きょくぶ域いき

主しゅ条目じょうもく：局部きょくぶ域いき

在ざい素もと点てんw对数域いきK完かん备化か给出了りょう一いち个完全かんぜん域いき。如果赋值是ぜ阿おもね基もと米まい德とく赋值，得とく到いたR或あるC，都みやこ是ただし完全かんぜん域いき。如果非ひ阿おもね基もと米まい德とく赋值，则是有理ゆうり素もと元もと的てき离散赋值，得とく到いた有限ゆうげん扩张K_w / Q_p: ：这离散赋值域いき也是一いち个完全かんぜん域いき，且是有限ゆうげん剩余じょうよ域いき。

局部きょくぶ方法ほうほう简化了りょう域いき的てき算さん术，能のう局部きょくぶ研究けんきゅう问题。例れい如克かつ罗内克かつ韦伯定理ていり，可か以轻松まつ地ち从局部ぶ状じょう态进行ぎょう。局部きょくぶ域いき的てき研究けんきゅう背せ后きさき的てき哲学てつがく，主要しゅよう是ぜ出で于几何なん方法ほうほう。在ざい代数だいすう几何，可か通どおり过对极大理想りそう的てき点てん集しゅう局部きょくぶ化か的てき变量研究けんきゅう入手にゅうしゅ。而全局きょく信しん息いき，可か通どおり过局部ぶ化か综合在ざい一いち起おこり得とく出で。在ざい代数だいすう数すう论，局部きょくぶ研究けんきゅう问题是ぜ主要しゅよう方法ほうほう之の一いち，通つう过在数すう域いき代数だいすう中ちゅう对整数すう环的素もと元もと入手にゅうしゅ，再さい对分式しき域いき研究けんきゅう得とく出で全局ぜんきょく信しん息いき。

主要しゅよう结果

理想りそう类群阶的有限ゆうげん性せい问题。代数だいすう数すう论一个经典结论是：代数だいすう数すう域いき的てき理想りそう类群阶有限げん。 理想りそう类群阶大小しょう叫さけべ类数，常つね记为h。

狄利克かつ雷かみなり单位定理ていり

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• 狄利克かつ雷かみなり的てき单位定理ていり提供ていきょう了りょうO_K 单位乘じょう群ぐんO_× 的てき结构描述，它指出で:O_K $\simeq$Z^⊕r⊕（finite circle group）其中有限ゆうげん循环群ぐん是ぜO_×的てき所有しょゆう单位根ね组成，且r = r₁ + r₂ − 1，或ある者もの说，O_K是ぜ阶为r = r₁ + r₂ − 1的てき有限ゆうげん阿おもね贝尔群ぐん，且其扭元素げんそ由よしO_×的てき所有しょゆう单位根ね组成

阿おもね廷互反はん律りつ

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互反律りつ

• 二に次じ互反律りつ
• 三さん次じ互反律りつ
• 四よん次じ互反律りつ

类数公式こうしき

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参考さんこう文献ぶんけん

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
• Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
• Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (编), Algebraic number theory, London: Academic Press, 1967, MR 0215665 
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J., Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27, Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934 
• Lang, Serge, Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110 2, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723 
• Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory (1999), Springer. ISBN 3-5406-5399-6
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique (1988), PUF. ISBN 2-13-041838-X