数かず域いき

数かず域いき是これ近世きんせい代数だいすう学がく中ちゅう常つね见的概念がいねん，指ゆび对加か减乘の除じょ四よん则运算さん封ふう闭的てき代数だいすう系けい统。通常つうじょう定てい义的数すう域いき是ぜ指ゆび复数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ域いき。“数すう域いき”一词有时也被用作代数だいすう数すう域いき的てき简称，但ただし两者的てき定てい义有细微的てき差さ别。

定てい义

设${\mathcal {P}}$是ぜ复数域いき$\mathbb {C}$的てき子こ集しゅう。若わか${\mathcal {P}}$中ちゅう包含ほうがん0与あずか1，并且${\mathcal {P}}$中ちゅう任にん两个数すう的てき和わ、差さ、乘じょう积以及商（约定除数じょすう不ふ为0）都と仍在${\mathcal {P}}$中なか，就称${\mathcal {P}}$为一个数域いき。用よう域いき论的てき话语来らい说，复数域いき的てき子こ域いき是ぜ为数域いき。

任にん何なん数すう域いき都と包括ほうかつ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$，但ただし并不一定いってい是ぜ$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩张，因いん此数域いき不ふ一定いってい是ぜ代数だいすう数すう域いき。例れい如实数すう域いき$\mathbb {R}$和かず复数域いき$\mathbb {C}$都と不ふ是ぜ代数だいすう数すう域いき。反はん之これ，每まい个代数すう数すう域いき都と同どう构于某ぼう个数域いき。

例れい子こ

除じょ了りょう常つね见的实数域いき$\mathbb {R}$和かず复数域いき$\mathbb {C}$以外いがい，通つう过在有理数ゆうりすう域いき中ちゅう添加てんか特定とくてい的てき无理数すう进行扩张得え到いた的てき扩域也是数すう域いき。例れい如所有形ゆうけい同どう：

$a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q}$

的てき数すう的てき集合しゅうごう，就是一いち个数域いき。可か以验证，任にん何なん两个这样的てき数すう，它们的てき和わ、差さ、乘じょう积以及商（约定除数じょすう不ふ为0）都と能のう写うつし成なり$a+b{\sqrt {2}}$的てき形式けいしき，故こ仍然在ざい集合しゅうごう之の中なか。这个集合しゅうごう记作$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$，是ぜ有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき二に次じ扩域。

可か构造数すう

可か构造数すう也叫规矩数すう，指ゆび的てき是ぜ从给定じょう的てき单位长度开始，能のう够通过有限げん次じ标准的てき尺せき规作图步骤做出的てき长度数すう值。所有しょゆう可か构造数すう的てき集合しゅうごう记为${\mathcal {C}}$，是ぜ一いち个数域いき。因よし为给定てい了りょう两个已やめ经做出で的てき线段后きさき，可か以通过符合ふごう尺じゃく规作图规定じょう的てき手段しゅだん，在ざい有限ゆうげん步ふ内ない作出さくしゅつ长度为两者しゃ长度之の和わ、差さ、乘じょう积以及商的てき线段。${\mathcal {C}}$是これ$\mathbb {Q}$的てき扩域，次数じすう为无限げん大だい，是ぜ实数域いき$\mathbb {R}$的てき子こ域いき。

代数だいすう数すう

代数だいすう数すう指ゆび能のう够成为某个有理系りけい数すう多た项式的てき根ね的てき数すう。所有しょゆう代数だいすう数すう的てき集合しゅうごう记作${\mathcal {A}}$，是ぜ一いち个数域いき。${\mathcal {A}}$也常被ひ称しょう为代数すう数すう域いき，但ただし与あずか定てい义为“$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩张”的てき代数だいすう数すう域いき是ぜ不同ふどう的てき概念がいねん。不ふ过，每まい个$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩张生成せいせい的てき域いき都と可か看み作さく是ぜ$\mathbb {Q}$中ちゅう加入かにゅう某ぼう个代数すう数すう扩成的てき，所以ゆえん都と是ぜ${\mathcal {A}}$的てき子こ域いき。可か构造数すう构成的てき数すう域いき${\mathcal {C}}$也是${\mathcal {A}}$的てき子こ域いき。由よし于虚数きょすう单位i也是代数だいすう数すう，所以ゆえん${\mathcal {A}}$不ふ是ぜ$\mathbb {R}$的てき子こ域いき。另一方面ほうめん，自然しぜん对数的てき底そこe以及圆周率りつπぱい都と不ふ是ぜ代数だいすう数すう，所以ゆえん$\mathbb {R}$也不是ぜ${\mathcal {A}}$的てき子こ域いき。