群ぐん论

  此條目め介かい紹的是ぜ群ぐん的てき高だか阶主题。关于基本きほん概念がいねん，请见「群ぐん」。

在ざい数学すうがく和わ抽象ちゅうしょう代数だいすう中なか，群ぐん论（英語えいご：Group theory）研究けんきゅう名めい为群ぐん的てき代数だいすう结构。

群ぐん在ざい抽象ちゅうしょう代数だいすう中ちゅう具有ぐゆう基本きほん的てき重要じゅうよう地位ちい：许多代数だいすう结构，包括ほうかつ环、域いき和わ向むかい量りょう空そら间等ひとし可か以看作さく是ぜ在ざい群ぐん的てき基もと础上添加てんか新しん的てき运算和わ公理こうり而形成けいせい的てき。群ぐん的てき概念がいねん在ざい数学すうがく的てき许多分ぶん支ささえ都と有ゆう出で现，而且群ぐん论的研究けんきゅう方法ほうほう也对抽象ちゅうしょう代数だいすう的てき其它分ぶん支ささえ有ゆう重要じゅうよう影かげ响。线性代数だいすう群ぐん和わ李り群ぐん作さく为群论的分ぶん支ささえ，在ざい经历了りょう重大じゅうだい的てき发展之の后きさき，已やめ经形成けいせい相しょう对独立どくりつ的てき研究けんきゅう领域。

群ぐん论的重要じゅうよう性せい还体现在物理ぶつり学がく和わ化学かがく的てき研究けんきゅう中ちゅう，因いん为许多た不同ふどう的てき物理ぶつり结构，如晶あきら体からだ结构和わ氢原子げんし结构可か以用群ぐん论方法ほう来らい进行建けん模も。于是群ぐん论和相しょう关的群ぐん表示ひょうじ论在ざい物理ぶつり学がく和わ化学かがく中有ちゅうう大量たいりょう的てき应用。

群ぐん论中的てき重要じゅうよう结果，有限ゆうげん单群分ぶん类是ぜ20世せい纪数学がく最さい重要じゅうよう的てき结果之の一いち。该定理ていり的てき证明是ぜ集しゅう体からだ努力どりょく的てき结果，它的证明出で现在1960年ねん和わ1980年ねん之の间出版しゅっぱん的てき超ちょう过10,000页的期き刊かん上じょう。

历史

主しゅ条目じょうもく：群ぐん论历史し

群ぐん论在历史上じょう主要しゅよう有ゆう三さん个来源げん：数かず论，代数だいすう方かた程ほど理り论和几何学がく。数かず论中出で现的对群的てき研究けんきゅう始はじめ于莱昂哈德·欧おう拉ひしげ，之これ后きさき由ゆかり卡尔·弗どる里さと德とく里さと希まれ·高だか斯在ざい对模かたぎ算さん术和わ与あずか二に次じ域いき相あい关的乘法じょうほう和わ加法かほう的てき研究けんきゅう中ちゅう进行了りょう发展。群ぐん论的概念がいねん在ざい代数だいすう数すう论中ちゅう首くび先さき被ひ隐含地ち使用しよう，后きさき来らい才ざい显式地ち运用它们。

关于置おけ换群的てき早期そうき结果出で现在约瑟夫おっと·拉ひしげ格かく朗ろう日び、保ほ羅ら·魯菲尼あま和わ尼あま尔斯·阿おもね贝尔等とう人ひと关于高次こうじ方かた程ほど一般いっぱん解かい的てき工作こうさく中ちゅう。1830年ねん，埃ほこり瓦かわら里さと斯特·伽とぎ罗瓦第だい一个用群的观点来确定多た项式方かた程ほど的てき可か解かい性せい。伽とぎ罗瓦首くび次じ使用しよう了りょう术语“群ぐん”，并在新生しんせい的てき群ぐん的てき理り论与域いき论之これ间建立こんりゅう起おこり了りょう联系。这套理り论现在ざい被ひ称しょう为伽とぎ罗瓦理り论。阿おもね瑟·凯莱和わ奥おく古こ斯丁·路ろ易えき·柯西进一步发展了这些研究，创立了りょう置おけ换群理り论。

群ぐん论的第だい三个主要历史渊源来自几何。群ぐん论在射影しゃえい几何中ちゅう首くび次じ显示出で它的重要じゅうよう性せい，并在之の后きさき的てき非ひ欧おう几何中起なかおこし到いた了りょう作用さよう。菲利克かつ斯·克かつ莱因用よう群ぐん论的观点，在ざい不同ふどう的てき几何学がく（如欧おう几里德とく几何、双そう曲きょく几何、射影しゃえい几何）之の间建立こんりゅう了りょう联系，即そく爱尔兰根纲领。1884年ねん，索さく菲斯·李り开始研究けんきゅう分析ぶんせき学がく问题中出なかいで现的群ぐん（现在称しょう为李り群ぐん）。

属ぞく于不同どう领域的てき来らい源げん导致了りょう群ぐん的てき不同ふどう记法。群ぐん的てき理り论从约1880年ねん起おこり开始统一。在ざい那な之の后きさき，群ぐん论的影かげ响一直ちょく在ざい扩大，在ざい20世せい纪早期き促进了りょう抽象ちゅうしょう代数だいすう、表示ひょうじ论和かず其他许多有ゆう影かげ响力的てき子こ领域的てき建立こんりゅう。有限ゆうげん单群分ぶん类是ぜ20世せい纪中叶かのう一项规模庞大的工作，对一切いっさい的てき有限ゆうげん单群进行了りょう分ぶん类。

分ぶん类

主しゅ条目じょうもく：群ぐん和わ群ぐん的てき类型

群ぐん论考虑的群ぐん的てき类型从有限げん置おけ换群和わ一いち些特殊こと的てき矩のり阵群逐渐进展到いた抽象ちゅうしょう群ぐん。这些抽象ちゅうしょう群ぐん可か以由生成せいせい元もと和わ关系给定。

置おけ换群

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置おけ换群是ぜ第だい一类被系统研究的群。对给定じょう的てき集合しゅうごう$X$，$X$到いた自身じしん的てき一いち些双そう射い（通常つうじょう叫さけべ做置おけ换）的てき集合しゅうごう$G$如果在ざい复合运算和わ求もとめ逆ぎゃく运算下しも封ふう闭，那な么称$G$是ぜ一いち个作用さよう于$X$上うえ的てき群ぐん。如果$X$包含ほうがん$n$个元素げんそ而$G$包含ほうがん所有しょゆう可能かのう的てき置おけ换，那な么$G$被ひ称しょう为对称群ぐん$S_{n}$。一般いっぱん地ち，任にん何なに置おけ换群都と是ぜ$X$的てき对称群ぐん的てき子こ群ぐん。凯莱定理ていり表明ひょうめい，通つう过构造づくり左ひだり正ただし规表示ひょうじ，任にん何なん一个群都可以视作自身上的一个变换群。

矩のり陣じん群ぐん

主しゅ条目じょうもく：矩のり陣じん群ぐん

例れい子こ：李り群ぐん

變換へんかん群ぐん

如果集合しゅうごう$A$的てき所有しょゆう一いち一いち变换作成さくせい群ぐん，则称为$A$的てき一一变换群或对称群。 设$G$是ぜ一いち个非空そら集合しゅうごう，$G$的てき元素げんそ间定义一种运算さん“$\circ$”。如果$G$满足以下いか的てき条件じょうけん： 1.（运算封ふう闭性）对于$G$中なか的てき任意にんい两个元素げんそ$a$、$b$，恒つね有ゆう$a\circ b\in G$； 2.（结合律りつ）对于$G$中なか的てき任意にんい三さん个元素げんそ$a$、$b$、$c$，恒つね有ゆう$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ \left(b\circ c\right)$； 3.（单位元もと）存在そんざい单位元もと$e\in G$，使つかい得とく对于$G$中なか的てき任意にんい元素げんそ$a$，都みやこ有ゆう$e\circ a=a$； 4.（逆ぎゃく元もと）对于$G$中なか的てき任意にんい元素げんそ$a$，存在そんざい$a$的てき逆ぎゃく元もと$b\in G$，使つかい得とく$b\circ a=e$。 则称$G$关于运算“$\circ$”作さく为一个群。简称$G$是ぜ一いち个群。 设$A$是ぜ一いち个非空そら集合しゅうごう，$A$的てき若干じゃっかん个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为$A$的てき一いち个变换群。

抽象ちゅうしょう群ぐん

一いち个集$G$，如果它不是ぜ空そら集しゅう，而且满足以下いか四よん个条件じょうけん，就叫做群： ①$G$中有ちゅうう一个闭合的结合法。这就是ぜ说，$G$中ちゅう任意にんい两元$a,b$的てき结合$c$仍然是ぜ$G$中元ちゅうげん。结合法ほう通常つうじょう写うつし成なり乘法じょうほう，这时$c$又また叫さけべ做$a,b$的てき积。一般いっぱん用よう记号$ab=c$或ある$a\cdot b=c$表示ひょうじ。要注意ようちゅうい，积$ab$虽然是ぜ由ゆかり$a,b$唯一ゆいいつ决定的てき，但ただし一いち般它还与$a,b$的てき顺序有ゆう关。即そく$ab$不ふ一定いってい等とう于$ba$。 ②$G$的てき结合法ほう满足结合律りつ。也就是ぜ说，对于$G$中ちゅう任意にんい三さん元げん$a$、$b$、$c$，有ゆう$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$。 ③$G$中有ちゅうう一いち个（左ひだり）单位元もと$e$，对$G$中ちゅう任意にんい元もと$a$，有ゆう$ea=a$。事こと实上由よし于可以证明あかり群ぐん的てき左ひだり单位元もと也是右みぎ单位元もと，因いん而一般把$e$就叫做单位い元もと。 ④对于$G$中ちゅう任意にんい元もと$a$，在ざい$G$中有ちゅうう一いち个满足あし$a^{-1}a=e$的てき（左ひだり逆ぎゃく元もと）$a^{-1}$，此处$e$就是上面うわつら的てき（左ひだり）单位元もと。实际上じょう，可か以证明あきら，在ざい群ぐん中ちゅう，$a$的てき左ひだり逆ぎゃく元也もとなり是ぜ右みぎ逆ぎゃく元もと。因よし此，一般いっぱん把わ$a^{-1}$就叫$a$的てき逆ぎゃく元もと。

拓ひらけ撲なぐ群ぐん／代數だいすう群ぐん

设$G$是ぜ拓つぶせ扑空间，又また是ぜ一いち个群，而且群ぐん的てき乘じょう积运算さん与あずか求もとめ逆ぎゃく按此拓つぶせ扑是连续的てき，即そく从拓扑空间$G\times G$到いた拓つぶせ扑空间$G$上うえ的てき映うつ射い$m:\left(x,y\right)\rightarrow x\cdot y$及从$G$到いた$G$上うえ的てき映うつ射い$f:x\rightarrow x$都みやこ是ただし连续映射い，则称$G$为拓扑群。如果$G$作さく为拓扑空间是局部きょくぶ紧(或ある紧、连通、单连通どおり)的てき,则称G为局部ぶ紧(或ある紧、连通、单连通どおり)拓つぶせ扑群。例れい如，$n$维欧氏し空そら间中所しょ有向ゆうこう量りょう所しょ成なり的てき加か群ぐん，再さい加か上じょう通常つうじょう的てき拓つぶせ扑，就是一个交换拓扑群；实数域いきR上うえ所有しょゆうn阶非奇き异方阵所成なり的てき乘法じょうほう群ぐん$GL(n,R)$，再さい加か上じょう通常つうじょう的てき拓つぶせ扑，是ぜ一个局部紧拓扑群；而所有しょゆう行列ぎょうれつ式しき为1的てき正せい交矩阵所成なり的てき群ぐん$SO(n,R)$是ぜ一个紧连通拓扑群。 从拓扑群$G$到いた拓つぶせ扑群H内的ないてき映うつ射い$f:G\rightarrow H$，如果作さく为群结构它是群ぐん同どう态，作さく为拓扑空间的映うつ射い它是连续的てき，那な么$f$称しょう为从拓つぶせ扑群$G$到いた拓つぶせ扑群H的てき同どう态，简称同どう态。如果同どう态f是ぜ双そう射い, 而且逆ぎゃく映うつ射い$f$也是连续的てき，那な么f称たたえ为拓扑群$G$到いた拓つぶせ扑群H上うえ的てき同どう构映射い，简称“同どう构”。拓つぶせ扑群全体ぜんたい带上拓つぶせ扑群间的同どう态，构成一いち个范畴。这个范畴就是拓つぶせ扑群论研究けんきゅう的てき对象。 在ざい数学すうがく中ちゅう，拓つぶせ扑群概念がいねん最初さいしょ是ぜ由よし连续变换群ぐん的てき研究所けんきゅうじょ引起，人にん们发现在处理许多连续变换群ぐん的てき问题中ちゅう所出しょしゅつ现的群ぐん，往往おうおう不ふ必考虑作变换群ぐん，而只需研究けんきゅう这些群ぐん本身ほんみ，于是产生了りょう连续群ぐん的てき概念がいねん。M.S.李り是ただし最初さいしょ对连续群进行系けい统研究けんきゅう而卓有ゆう成就じょうじゅ的てき人じん。李り群ぐん就是因いん他た得とく名めい。

应用

群ぐん论在数学すうがく上じょう被ひ广泛地ち运用，通常つうじょう以自じ同どう构群的てき形式けいしき体たい现某些结构的内部ないぶ对称性せい。结构的てき内部ないぶ对称性せい常常つねづね和わ一种不变式性质同时存在。如果在ざい一类操作中存在不变式，那な这些操作そうさ转换的てき组合和わ不ふ变式统称为一个对称しょう群ぐん。

阿おもね贝尔群ぐん概括がいかつ了りょう另外几种抽象ちゅうしょう集合しゅうごう研究けんきゅう的てき结构，例れい如环、域いき、模も。

在ざい代数だいすう拓つぶせ扑中ちゅう，群ぐん用よう于描述じゅつ拓つぶせ扑空间转换中不ふ变的性せい质，例れい如基本きほん群ぐん和かず透とおる射しゃ群ぐん。

李り群ぐん的てき概念がいねん在ざい微分びぶん方かた程ほど和わ流ながれ形がた中ちゅう都と有ゆう很重要じゅうよう的てき角かく色しょく，因いん其结合あい了りょう群ぐん论和分析ぶんせき学がく，李り群ぐん能のう很好的てき描述分析ぶんせき数学すうがく结构中ちゅう的てき对称性せい。对这类群的てき分析ぶんせき又また叫さけべ调和分析ぶんせき。

在ざい组合数学すうがく中なか，交换群ぐん和わ群ぐん作用さよう常用じょうよう来らい简化在ざい某ぼう些集合しゅうごう内ない的てき元素げんそ的てき计算。

后きさき来らい群ぐん论广泛应用よう于各个科学かがく领域。凡是有ゆう对称性せい出で现的地方ちほう，就会有ゆう它的影かげ子こ，例れい如物理學りがく的てき超ちょう弦つる理論りろん。

参考さんこう资料

• Borel, Armand, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6 
• Carter, Nathan C., Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, 2009 [2022-03-12], ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193, （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-12-19） 
• Cannon, John J., Computers in group theory: A survey, Communications of the ACM, 1969, 12: 3–12, MR 0290613, S2CID 18226463, doi:10.1145/362835.362837 

外部がいぶ链接

• 稱しょう對たい的てき對稱たいしょう——遊ゆう走はし於科學かがく與あずか藝術げいじゅつ間あいだ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）