本原もとはら元もと定理ていり

在ざい数学すうがく中なか，本原もとはら元もと定理ていり精せい确刻画が了りょう什么时候对于一いち个域扩张E/F，E可か以表示ひょうじ为 $F(\alpha )$ 的てき形式けいしき，即そくE可か以由单个元素げんそ生成せいせい。

定理ていり

一いち个有限ゆうげん扩张E/F有本ありもと原はら元はじめ，即そく存在そんざい $\alpha$ 使つかい得とく $E=F(\alpha )$ ，当とう且仅当とうE和わF之これ间只有ゆう有限ゆうげん个中间域。

证明

如果 $F$ 是これ有限ゆうげん域いき，由ゆかり于 $E/F$ 是これ有限ゆうげん扩张，推得 $E$ 也是有限ゆうげん域いき。但ただし是ぜ由よし于有限げん域いき的てき乘法じょうほう群ぐん是ぜ循环群ぐん，任にん取と这个乘法じょうほう群ぐん的てき一いち个生成せいせい元もと， $E$ 可か以由这个生成せいせい元もと生成せいせい。所以ゆえん在ざい $F$ 是ぜ有限ゆうげん域いき的てき情じょう况下，定理ていり左右さゆう两边恒つね为真。

如果 $F$ 是ぜ无限域いき，但ただし是これ只ただ有ゆう有限ゆうげん个中间域。先さき证明一いち个引理り：假かり设 $E=F(\alpha ,\beta )$ 并且 $E$ 和わ $F$ 之これ间只有ゆう有限ゆうげん个中间域，那な么存在そんざい一いち个 $\gamma \in E$ 使つかい得とく $E=F(\gamma )$ 。引理的てき证明如下：当とう $c$ 取と遍あまね $F$ 的てき时候，对于每ごと一いち个 $c$ 可か以做一いち个中间域 $F(\alpha +c\beta )$ 。但ただし是ぜ由ゆかり假かり设，只ただ有ゆう有限ゆうげん个中间域，因いん此必定ひつじょう存在そんざい $c_{1},c_{2}\in F,c_{1}\neq c_{2}$ 使つかい得とく $F(\alpha +c_{1}\beta )=F(\alpha +c_{2}\beta )$ 。由よし于 $\alpha +c_{1}\beta ,\alpha +c_{2}\beta$ 都と在ざい这个域いき里さと，推得 $(c_{1}-c_{2})\beta$ 也在这个域いき里さと。由よし于 $c_{1}\neq c_{2}$ ，推得 $\beta$ 在ざい这个域いき里さと，于是 $\alpha$ 也在这个域いき里さと，因いん此 $E=F(\alpha ,\beta )\subseteq F(\alpha +c_{1}\beta )\subseteq F(\alpha ,\beta )$ ，于是 $E=F(\alpha +c_{1}\beta )$ 。引理证毕。

由よし于有限げん扩张总是有限ゆうげん生成せいせい的てき，推得 $E=F(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ （对于 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in E$ ）。利用りよう归纳法ほう以及引理可か以得出で，如果 $E/F$ 之これ间只有ゆう有限ゆうげん个中间域，那な么 $E$ 可か以由单个元素げんそ生成せいせい。

而如果はて $E=F(\alpha )$ ，假かり设 $f(x)=irr(\alpha ,F,x)$ 是これ $\alpha$ 在ざい $F$ 上うえ的てき极小多た项式， $K$ 是ぜ任意にんい一いち个中间域， $g_{K}(x)=irr(\alpha ,K,x)$ 是これ $\alpha$ 在ざい $K$ 上うえ的てき极小多た项式。显然 $g_{K}(x)|f(x)$ 。由よし于域上じょう的てき多た项式环是これ唯一ゆいいつ分解ぶんかい环， $f(x)$ 只ただ有ゆう有限ゆうげん个因子こ。而对于每一いち个 $g_{K}(x)|f(x)$ ，如果 $g_{K}(x)$ 写うつし作さく $g_{K}(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{i}x^{i}$ ，并令 $K_{0}=F(c_{1},c_{2},...,c_{n})$ 。显然 $K_{0}$ 是これ $K$ 的てき一いち个子域いき，因いん此 $g_{K}(x)$ 在ざい $K_{0}$ 上うえ依然いぜん是これ不可ふか约的てき。而同时 $E=F(\alpha )=K(\alpha )=K_{0}(\alpha )$ ，因いん此可以得到いた $[E:K]=[E:K_{0}]=deg(g_{K})=n$ 。这样立りつ即そく推 $K_{0}=K$ ，于是任にん何なん一いち个中间域 $K$ 对应唯一ゆいいつ的てき一いち个 $f(x)$ 的てき因子いんし $g_{K}$ 。于是中ちゅう间域个数小しょう于因子いんし的てき个数。但ただし因子いんし个数是ぜ有限ゆうげん的てき，因いん此中间域个数有限ゆうげん。证毕。