不可ふか约多项式

  此條目め介かい紹的是ぜ不可ふか因いん式しき分解ぶんかい的てき多項式たこうしき。关于不可ふか寫うつし成なり多項式たこうしき的てき複ふく合あい之の多項式たこうしき，请见「多項式たこうしき解かい複ふく合あい」。

在ざい數學すうがく裡うら，不可ふか約やく多項式たこうしき（英語えいご：Irreducible polynomial，或ある稱しょう質しつ式しき，對應たいおう到いた自然しぜん數すう中なか的てき質しつ數すう）是ぜ指ゆび不可ふか被ひ分解ぶんかい成なり兩個りゃんこ非常ひじょう數すう多た项式之これ乘じょう積せき的てき非ひ常数じょうすう多項式たこうしき。不可ふか約やく的てき性質せいしつ取と決けつ於係數けいすう所屬しょぞく於的域いき或ある環たまき。例れい如，多項式たこうしき$x^{2}-2$在ざい係數けいすう1與あずか-2被ひ認みとめ為ため是ぜ整數せいすう時どき是ぜ不可ふか約やく的てき，而在這些係數けいすう被ひ認みとめ為ため是ぜ實數じっすう時どき可か分解ぶんかい成なり$(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$。亦また即そく，「多項式たこうしき$x^{2}-2$在ざい整數せいすう上うえ不可ふか約やく，但ただし在ざい實數じっすう上じょう不ふ是ぜ不可ふか約やく。」

不ふ是ぜ不可ふか約やく的てき多項式たこうしき有ゆう時じ會かい被ひ稱しょう為ため可か約やく。不ふ過か，「可か約やく」這一詞可能被會用來指其他的概念，須小心しん使用しよう。

不可ふか約やく多項式たこうしき於多項式たこうしき分解ぶんかい與あずか代數だいすう體たい擴張かくちょう裡うら都會とかい自然しぜん地ち出現しゅつげん。

將しょう不可ふか約やく多項式たこうしき與あずか質しつ數すう相そう比ひ會かい很有幫助：質しつ數すう（與あずか具ぐ相しょう同どう大小だいしょう之の對應たいおう負數ふすう）為ため不可ふか約やく的てき整數せいすう。質しつ數すう具有ぐゆう的てき許多きょた「不可ふか約やく」這個概念がいねん之の一般いっぱん性質せいしつ，同樣どうよう可か適用てきよう於不可ふか約やく多項式たこうしき之の上うえ，如質數すう或ある不可ふか約やく因いん式しき的てき唯ただ一いち分解ぶんかい。

定義ていぎ

設しつらえF為ため一いち個體こたい，一いち非常ひじょう數すう多項式たこうしき在ざいF上うえ不可ふか約やく，若わか其係數すう屬ぞく於F，且無法ほう分解ぶんかい成なり兩個りゃんこ係數けいすう為ためF之の非常ひじょう數すう多項式たこうしき的てき乘じょう積せき。

具ぐ整數せいすう係數けいすう（或ある更さら一般いっぱん地ち，具ぐ唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまきR內之係數けいすう）的てき多項式たこうしき被ひ稱しょう為ため在ざいR上うえ不可ふか約やく，若わか該多項式たこうしき為ため多項式たこうしき環たまき（在ざい唯ただ一分解整環上的多項式環也是一唯一分解整環）內的不可ふか約やく元素げんそ，亦また即そく該多項式たこうしき不ふ可逆かぎゃく、非ひ零れい，且無法ほう分解ぶんかい成なり兩個りゃんこ係數けいすう在ざいR內的不可ふか逆ぎゃく多項式たこうしき之これ乘じょう積せき。另一いち個こ常用じょうよう定義ていぎ為ため，一いち多項式たこうしき「在ざいR上うえ不可ふか約やく」，若わか該多項式たこうしき在ざいR的てき分ぶん式しき環たまき（若わかR為ため整數せいすう，即そく為一ためいち有理數ゆうりすう體からだ）上うえ不可ふか約やく。兩りょう種たね定義ていぎ擴展了りょう係數けいすう於一個體內之情形所給定的定義，所以ゆえん在ざい此情形がた下か，非常ひじょう數すう多項式たこうしき係がかり指ゆび不可ふか逆ぎゃく且非零れい之これ多項式たこうしき。

簡單かんたん的てき例れい子こ

以下いか6個こ多項式たこうしき給きゅう出で了りょう不可ふか約やく的てき一いち些基本きほん性質せいしつ，以及其不可ふか約やく多項式たこうしき：

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_{3}(x)=9x^{2}-3\,=3(3x^{2}-1)\,=3(x{\sqrt {3}}-1)(x{\sqrt {3}}+1)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)$,

$p_{5}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{6}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}$.

在ざい整數せいすう環たまき$\mathbb {Z}$上うえ，前ぜん三さん個こ多項式たこうしき是ぜ可か約やく的てき（第だい3個こ也是可か約やく的てき，因いん為ため因いん式しき3在ざい整數せいすう裡うら不可ふか逆ぎゃく），最後さいご兩個りゃんこ多項式たこうしき則そく不可ふか約やく。（第だい4個こ多項式たこうしき則そく不ふ是ぜ個こ在ざい整數せいすう上じょう的てき多項式たこうしき。）

在ざい有理數ゆうりすう體からだ$\mathbb {Q}$上うえ，前ぜん兩個りゃんこ及第きゅうだい四よん個こ多項式たこうしき是ぜ可か約やく的てき，但ただし其他三さん個こ多項式たこうしき則そく不可ふか約やく（作為さくい在ざい有理數ゆうりすう上之うえの多項式たこうしき，3是これ個こ單位たんい，因いん此無法ほう視し為ため一いち個こ因いん式しき。）

在ざい實數じっすう體からだ$\mathbb {R}$上うえ，前ぜん五個多項式都是可約的，但ただし第だい六個多項式仍為不可約。

在ざい複數ふくすう體からだ$\mathbb {C}$上うえ，所有しょゆう六個多項式均是可約的。

在ざい複數ふくすう上じょう

在ざい複數ふくすう體たい（或ある更さら一般いっぱん地ち，在ざい代數だいすう閉體）上じょう，一單變量多項式為不可約，若わか且唯若わか該多項式たこうしき的てき階かい為ため1。此即複數ふくすう體たい中ちゅう的てき代數だいすう基本きほん定理ていり（或ある更さら一般いっぱん地ち，在ざい代數だいすう閉體中ちゅう）。

可知かち，每まい個こ非常ひじょう數すう單たん變量へんりょう多項式たこうしき都と可か被ひ分解ぶんかい為ため

$a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})$

其中n為ため該多項式たこうしき的てき階かい，a為ため該多項式たこうしき的てき首くび項こう係數けいすう，且$z_{1},\dots ,z_{n}$為ため該多項式たこうしき的てき根ね（根ね有可ゆか能會のうかい相しょう同どう）。

對たい多元たげん多項式たこうしき而言，各階かくかい多項式たこうしき在ざい複數ふくすう上うえ都と存在そんざい著ちょ不可ふか約やく多項式たこうしき。例れい如，定義ていぎ了りょう費ひ馬ば曲線きょくせん的てき多項式たこうしき

$x^{n}+y^{n}-1,$

對たい每まい個こ正せい整數せいすうn而言，均ひとし為ため不可ふか約やく。

在ざい實數じっすう上じょう

在ざい實數じっすう體たい上うえ，不可ふか約やく單たん變量へんりょう多項式たこうしき的てき階かい不ふ是ぜ1，就是2。更さら精確せいかく地ち說せつ，不可ふか約やく多項式たこうしき為ため一いち階かい多項式たこうしき，以及具ぐ負まけ判別はんべつ式しき$b^{2}-4ac$。之これ二に次じ多項式たこうしき$ax^{2}+bx+c$。可知かち，每まい個こ非常ひじょう數すう單たん變量へんりょう多項式たこうしき均ひとし可か被ひ分解ぶんかい成なり至いたり少しょう二階之多項式的乘積。例れい如，$x^{4}+1$在ざい實數じっすう上じょう分解ぶんかい為ため$(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1),$，且無法ほう再さい進一しんいち步ふ分解ぶんかい下か去さ，因いん為ため兩個りゃんこ因いん式しき的てき判別はんべつ式しき均ひとし為ため負ふ值：$(\pm {\sqrt {2}})^{2}-4=-2<0$。

唯一ゆいいつ分解ぶんかい性質せいしつ

主しゅ条目じょうもく：唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき

在ざい體からだF上うえ的てき每まい個こ多項式たこうしき均ひとし可か被ひ分解ぶんかい成なり一非零常數與有限多個（在ざいF上うえ的てき）不可ふか約やく多項式たこうしき之これ乘じょう積せき。此一分解除了因式的排序不同，及可被ひ乘じょう上じょう任意にんい個こ1之これ外がい，是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

在ざい唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき上うえ，同樣どうよう的てき定理ていり亦また會かい成立せいりつ，但ただし可か利用りよう原始げんし多項式たこうしき的てき概念がいねん更さら精確せいかく地ち形式けいしき化か。原始げんし多項式たこうしき是ぜ一個在唯一分解整環上的多項式，會かい使し得とく1為ため其係數すう之の最さい大公たいこう因數いんすう。

設しつらえF為ため唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき。在ざいF上うえ的てき非常ひじょう數すう不可ふか約やく多項式たこうしき會かい是これ個こ原始げんし多項式たこうしき。在ざいF上うえ的てき原始げんし多項式たこうしき在ざいF上うえ不可ふか約やく，若わか且唯若わか該多項式たこうしき在ざいF的てき分ぶん式しき環たまき上うえ不可ふか約やく。每まい個こ在ざいF上うえ的てき多項式たこうしき均ひとし可か分解ぶんかい成なり一非零常數與有限多個非常數不可約原始多項式的乘積。該非零れい常數じょうすう自身じしん可か分解ぶんかい成なりF內單位たんい元もと與あずか有限ゆうげん多た個こ不可ふか約やく元素げんそ的てき乘じょう積せき。上述じょうじゅつ兩りょう種たね分ぶん解除かいじょ了りょう因いん式しき的てき排はい序じょ不同ふどう，及可被ひ乘じょう上じょう任意にんい個こ單位たんい元之もとゆき外がい，均ひとし是ぜ唯一ゆいいつ的てき。

此一定理ていり使し得とく「在ざい唯ただ一分解整環上的不可約多項式」之の定義ていぎ，通常つうじょう會かい假設かせつ該多須式必須ひっす為ため非常ひじょう數すう多項式たこうしき。

所有しょゆう目前もくぜん已やめ實現じつげん用よう來らい分解ぶんかい在ざい整數せいすう上うえ與あずか在ざい有理數ゆうりすう上之うえの多項式たこうしき的てき演算えんざん法ほう都會とかい用よう到いた此一結論けつろん（見み因いん式しき分解ぶんかい）。

在ざい整數せいすう上じょう

在ざい整數せいすう$\mathbb {Z}$上之うえの多項式たこうしき的てき不可ふか約やく性せい與あずか在ざい體からだ$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$（$\mathbb {F} _{p}$，其中p為ため質しつ數すう）上じょう的てき不可ふか約やく性せい相しょう關連かんれん。尤ゆう其是，若わか在ざい整數せいすう上じょう的てき單たん變量へんりょう多項式たこうしきf在ざい某ぼう些質數すうp無法むほう整除せいじょf的てき首くび項こう係數けいすう之の$\mathbb {F} _{p}$上うえ為ため不可ふか約やく，則のりf在ざい整數せいすう上じょう為ため不可ふか約やく。艾もぐさ森もり斯坦判別はんべつ法ほう是ぜ此一性質せいしつ的てき變體へんたい，亦また涉わたる及在$p^{2}$上うえ的てき不可ふか約やく性せい。

不ふ過か，反たん之の不ふ一定いってい成立せいりつ：在ざい整數せいすう上うえ不可ふか約やく的てき隨意ずいい多た階かい多項式たこうしき均ひとし有ゆう可能かのう在ざい每まい個こ有限ゆうげん體たい上じょう是ぜ可か約やく的てき。其中一個簡單的例子為$x^{4}+1$。

在ざい整數せいすう上じょう與あずか在ざい模もp上うえ的てき不可ふか約やく性せい之の間あいだ有ゆう著ちょ比ひ上述じょうじゅつ結論けつろん更さら為ため深切しんせつ的てき關係かんけい：迄まで止とめ為ため止どめ，所有しょゆう實現じつげん用よう於在整數せいすう上じょう與あずか在ざい有理數ゆうりすう上じょう之の分解ぶんかい與あずか不可ふか約やく性的せいてき演算えんざん法ほう，都會とかい使用しよう在ざい有限ゆうげん體たい上じょう的てき分解ぶんかい作為さくい其子こ程ほど序じょ。

演算えんざん法ほう

主しゅ条目じょうもく：因いん式しき分解ぶんかい

多項式たこうしき的てき唯ただ一分解性質並不意味著給定一個多項式，總そう是ぜ可か以計算出さんしゅつ其分解ぶんかい。一いち個こ多項式たこうしき的てき不可ふか約やく性せい也不一定總是可藉由直接計算來證明：存在そんざい體たい， 沒ぼつ有ゆう演算えんざん法ほう能のう用よう來らい判斷はんだん其中隨意ずいい多項式たこうしき的てき不可ふか約やく性せい。

用もちい來らい分解ぶんかい多項式たこうしき與あずか判斷はんだん其不可ふか約やく性的せいてき演算えんざん法ほう，於在整數せいすう上じょう、在ざい有理數ゆうりすう上じょう、在ざい有限ゆうげん體たい上うえ，以及在ざい這些體たい之の有限ゆうげん生成せいせい體たい擴張かくちょう上うえ的てき多項式たこうしき之の中なか，都と已やめ被ひ找到，並なみ已やめ實じつ作さく於電腦でんのう代數だいすう系統けいとう裡うら。

體からだ擴張かくちょう

主しゅ条目じょうもく：代數だいすう擴張かくちょう

不可ふか約やく多項式たこうしき與あずか代數だいすう體たい擴張かくちょう之これ間あいだ密みつ切きり相關そうかん，如下所しょ述じゅつ。

令れいx為ため體たいK的てき擴張かくちょうL內之一いち元素げんそ。該元素げんそ被ひ稱しょう為ため「代數だいすう」的てき，若わか該元素げんそ是ぜ係數けいすう屬ぞく於K之の多項式たこうしき的てき根ね。在ざい其根包括ほうかつx之の多項式たこうしき中ちゅう，會かい有ゆう且僅會かい有ゆう一いち個こ最小さいしょう階かい的てき首くび一いち多項式たこうしき，稱しょう之の為ためx的てき最小さいしょう多項式たこうしき。L內之代數だいすう元素げんそx的てき最小さいしょう多項式たこうしき為ため不可ふか約やく，且是以x為ため其根的てき唯ただ一いち一いち個こ首くび一いち不可ふか約やく多項式たこうしき。x的てき最小さいしょう多項式たこうしき會かい整除せいじょ每ごと個こ其根包含ほうがんx的てき多項式たこうしき（阿おもね貝かい爾なんじ不可ふか約やく定理ていり）。

相對そうたい地ち，若わか$P(X)\in K[X]$是ぜ在ざい體からだK上うえ的てき一いち單たん變量へんりょう多項式たこうしき，且令$L=K[X]/P(X)$為ため多項式たこうしき環たまきK[X]除じょ以由P產さん生せい之の理想りそう所ところ形成けいせい之の商しょう環たまき，則のりL是ぜ個體こたい，若わか且唯若わかP在ざいK上うえ為ため不可ふか約やく。在ざい此情形がた下か，若わかx是ぜX於L內的值，則のりx的てき最小さいしょう多項式たこうしき為ためP除じょ以其首くび項こう係數けいすう之これ商しょう。

複數ふくすう的てき標準ひょうじゅん定義ていぎ$\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$即そく為ため一いち例れい。

若わか一いち多項式たこうしきP在ざいK上うえ有ゆう個こ大だい於1階かい之の不可ふか約やく因いん式しきQ，上述じょうじゅつ代數だいすう擴張かくちょう之の建けん構可適用てきよう於Q，以得到いた一いち個こ比ひP在ざいK內有更さら多根たね的てき擴張かくちょう。重じゅう復ふく此一建けん構，最終さいしゅう會得えとく到いた能のう將しょうP分解ぶんかい成なり線せん性せい因いん式しき的てき體からだ。該體在ざい體からだ同どう態たい的てき意義いぎ下か是ぜ唯一ゆいいつ的てき，且稱之の為ためP的てき分裂ぶんれつ體たい。

在ざい整せい環たまき上じょう

令れいR為一ためいち整せい環たまき。R內非零れい，亦また非ひ單位たんい元もと之の一いち元素げんそf被ひ稱しょう為ため不可ふか約やく，若わか不ふ存在そんざい非ひ單位たんい元之もとゆき元素げんそg與あずかh，使つかい得とくf = gh。可か證明しょうめい，每まい個こ質しつ元素げんそ均ひとし為ため不可ふか約やく；反はん之の不ふ一定いってい成立せいりつ，但ただし在ざい唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき內為真しん。在ざい一體いったいF（或ある任にん一いち唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき）上じょう之の多項式たこうしき環たまきF[x]亦また為ため唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき。以此類推るいすい，若わかR為ため唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき，可知かち在ざい環たまきR上うえ具ぐn個こ未み變數へんすう的てき多項式たこうしき環たまき也會是ぜ唯一ゆいいつ分解ぶんかい整せい環たまき。

另見

• 高こう斯引理り (多項式たこうしき)
• 有理數ゆうりすう根ね定理ていり，尋ひろ找一個多項式是否具有有理數係數之線性因式的方法。
• 艾あい森もり斯坦判別はんべつ法ほう
• 佩龍方法ほうほう
• 希まれ爾しか伯はく特とく不可ふか約やく定理ていり
• 科か恩おん不可ふか約やく準則じゅんそく
• 拓ひらけ撲なぐ空間くうかん的てき不可ふか約やく成分せいぶん
• 有限ゆうげん體たい上じょう多項式たこうしき之の分解ぶんかい
• 四よん次じ函數かんすう#分解ぶんかい成なり二に次じ函數かんすう求もとめ解かい
• 三さん次じ函數かんすう#因いん式しき分解ぶんかい
• 不可ふか約やく情じょう形がた，具ぐ三さん個こ實根みね的てき不可ふか約やく三さん次じ多項式たこうしき
• 二に次じ方かた程ほど#二に次じ因いん式しき分解ぶんかい

參考さんこう資料しりょう

• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556 .包含ほうがん本ほん條目じょうもく大だい部分ぶぶん內容的てき經典きょうてん書籍しょせき。
• Gallian, Joseph, Contemporary Abstract Algebra 8th, Cengage Learning, 2012 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald, Finite fields 2nd, Cambridge University Press, 1997, ISBN 978-0-521-39231-0 , pp. 91 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett, Algebra 3rd, American Mathematical Society, 1999 
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A., Handbook of applied cryptography, CRC Press, 1997, ISBN 978-0-8493-8523-0 , pp. 154.
• Hungerford, Thomas W., Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974, New York: Springer-Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654 

外部がいぶ連結れんけつ

• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Irreducible Polynomial. MathWorld. 
• Irreducible Polynomial at PlanetMath.
• Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.