圆 （英語 えいご circle ）的 てき 第 だい 一 いち 根據 こんきょ 歐 おう 幾里 いくさと 得 とく 的 てき 几何原本 げんぽん 》，在 ざい 同一 どういつ 平面 へいめん 内 うち 到 いた 定点 ていてん
O
{\displaystyle O}
的 てき 等 とう
R
{\displaystyle R}
的 まと 点 てん 的 てき 集合 しゅうごう [1] 点 てん
O
{\displaystyle O}
称 しょう 心 こころ
R
{\displaystyle R}
称 しょう 半径 はんけい
圆的第 だい 二 に 平面 へいめん 内 ない 等 とう 的 てき 常数 じょうすう 的 てき 是 ぜ [2] 属 ぞく 阿波 あわ 奥 おく
古代 こだい 人 じん 最早 もはや 是 ぜ 太 ふとし 十 じゅう 五 ご 的 てき 月 つき 亮 あきら 得 え 到 いた 概念的 がいねんてき 在 ざい 一 いち 万 まん 八 はち 千 せん 年 ねん 前 まえ 的 てき 山 やま 人 じん 在 ざい 兽牙 、砾石 和 わ 石 せき 珠 たま 上 じょう 那 な 有 ゆう 的 てき 像 ぞう [3] 到 いた 了 りょう 陶器 とうき 陶器 とうき 都 と 是 ぜ 陶器 とうき 是 ぜ 将 はた 泥土 でいど 放 ひ 在 ざい [4] 当人 とうにん 始 はじめ 又 また 制 せい 出 で 了 りょう 的 てき 石 いし 或 ある 陶 とう 古代 こだい 人 じん 的 てき 木 き 走 はし 比 ひ 后 きさき 来 き 他 た 重 おも 物的 ぶってき 大 だい 大石 おおいし 面 めん 走 はし [5]
约在6000年 ねん 前 まえ 美 び 索 さく 不 ふ 人 ひと 了 りょう 世界 せかい 上 じょう 第 だい 一 いち 子 こ 的 てき 木 き [4] 大 だい 多年 たねん 前 まえ 人 にん 木 き 固定 こてい 在 ざい 木 き 架 か 下 か 成 なり 了 りょう 最初 さいしょ 的 てき 古代 こだい 埃及 えじぷと 人 ひと 是 ぜ 神 しん 人的 じんてき 神 しん 形 がた 墨 ぼく 子 こ 下 か 了 りょう 一 いち 一 いち 中 ちゅう 同 どう 意思 いし 是 ぜ 一 いち 圆心 ，圆心到 いた 圆周 上 うえ 各 かく 点 てん 的 てき 即 そく 半径 はんけい 都 と 相等 そうとう [4]
直角 ちょっかく 坐 すわ 中 なか 的 てき 定 てい
(
x
−
x
m
)
2
+
(
y
−
y
m
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}}
是 ぜ 半径 はんけい
(
x
m
,
y
m
)
{\displaystyle (x_{m},y_{m})}
是 ぜ 坐 すわ 参 まいり 数 すう 方 ぽう 程 ほど 的 てき 定 てい
x
=
x
m
+
a
cos
θ しーた
{\displaystyle x=x_{m}+a\cos \theta }
y
=
y
m
+
a
sin
θ しーた
{\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }
极坐标 方 かた 程 ほど 的 てき 定 てい 在 ざい 原点 げんてん
r
=
a
{\displaystyle r=a}
圆是在 ざい 同 どう 定点 ていてん 叫 さけべ 的 てき 通常 つうじょう 用 よう
O
{\displaystyle O}
表示 ひょうじ [6]
圆周上 じょう 任 にん 何 なん 相 しょう 线段 称 しょう 的 てき 弦 つる 英語 えいご chord ）。如图2，
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
分 ぶん 任意 にんい 那 な
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
弦 つる
圆周上 じょう 任意 にんい 点 てん 部分 ぶぶん 叫 さけべ 弧 こ 英語 えいご arc ），通常 つうじょう 用 よう 符号 ふごう
⌢
{\displaystyle \frown }
表示 ひょうじ 弧 こ 分 ぶん 劣 れつ 弧 こ 三 さん [6]
直径 ちょっけい 英語 えいご diameter ）：经过圆心的 てき 弦 つる 稱 しょう 作 さく 直径 ちょっけい 用 よう
d
{\displaystyle d}
表示 ひょうじ [2] 半径 はんけい 英語 えいご radius ）：在 ざい 和 わ 任意 にんい 半径 はんけい 用 よう 字母 じぼ
r
{\displaystyle r}
表示 ひょうじ
k
=
{
X
∈
E
∣
M
X
¯
<=
r
}
{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}
假 かり 那 な 直 ちょく 切 きり 与 あずか 点 てん 叫 さけべ 点 てん [2] 直 ちょく
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
与 あずか 有 ゆう 一 いち 点 てん
P
{\displaystyle P}
那 な
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
切 きり 上 じょう 一 いち 点 てん 的 てき 切 きり 点 てん
P
(
x
o
,
y
o
)
{\displaystyle P(x_{o},y_{o})}
方 かた 程 ほど
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
在 ざい 的 てき 切 きり 程 ほど
(
x
o
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
o
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}
性 せい 定理 ていり 切 きり 直 ちょく 点 てん 的 てき 半径 はんけい 推论1：经过圆心且垂直 ちょく 切 きり 的 てき 直 ちょく 点 てん
推论2：经过切点 せってん 直 ちょく 直 ちょく 一 いち 条 じょう 直 ちょく 与 あずか 直 ちょく 曲 きょく 割 わり 英語 えいご Secant Theorem ）。[2] 直 ちょく
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
与 あずか 公共 こうきょう 点 てん 那 な 直 ちょく
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
割 わり
θ しーた 的 てき 正 せい 割 わり 是 ぜ 到 いた 的 てき 圆的一周的长度称为圆的周 しゅう
C
{\displaystyle C}
周 しゅう 半径 はんけい 的 てき 是 ぜ
C
=
π ぱい d
{\displaystyle C=\pi d}
或 ある
C
=
2
π ぱい r
{\displaystyle C=2\pi r}
其中
π ぱい
{\displaystyle \pi }
是 これ 圆周率 りつ 。
圆的面 めん 与 あずか 半径 はんけい 的 てき 是 ぜ
A
=
π ぱい
r
2
{\displaystyle A=\pi r^{2}}
圆既是 ぜ 轴对称 しょう 又 また 是 これ 中心 ちゅうしん
O
{\displaystyle O}
的 てき 任意 にんい 直 ちょく 中心 ちゅうしん 心 こころ
O
{\displaystyle O}
[6]
图2：弦 つる 角 かく 角 かく 圆心角 かく 顶点 在 ざい 的 てき 角 かく 叫 さけべ 角 かく 角 かく 的 てき 度数 どすう 等 とう 所 しょ 弧 こ 的 てき 度数 どすう 公式 こうしき 表示 ひょうじ
θ しーた =
L
2
π ぱい r
⋅
2
π ぱい =
L
r
{\displaystyle \theta ={\frac {L}{2\pi r}}\cdot 2\pi ={\frac {L}{r}}}
[a] [2]
M
{\displaystyle M}
的 てき 那 な
∠
A
M
B
{\displaystyle \angle AMB}
心 しん 角 かく
圆周角 かく 顶点 在 ざい 上 じょう 角 かく 和 わ 角 かく 叫 さけべ 角 かく
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的 てき
C
{\displaystyle C}
在 ざい 上 じょう
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的 てき
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
分 ぶん 在 ざい 上 じょう 那 な
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
角 かく 同 どう 等 とう 相等 そうとう 的 てき 角所 かくしょ 弦 つる 相等 そうとう 所 しょ 弧 こ 相等 そうとう 弦 げん 心 こころ [b] 相等 そうとう 定理 ていり 一 いち 三 さん 定理 ていり [6]
圆周角 かく 定理 ていり 同 どう 弧 こ 所 しょ 角 かく 等 とう 所 しょ 的 てき 角 かく 的 てき 一半 いっぱん [6] 如上 じょじょう
M
{\displaystyle M}
心 しん
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
分 ぶん 上 じょう 的 てき 点 てん 那 な
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
证明：
∵
B
M
=
C
M
,
A
M
=
C
M
{\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}
∵
∠
B
C
M
=
∠
C
B
M
,
∠
A
C
M
=
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
=
∠
B
C
M
+
∠
C
B
M
{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}
∵
∠
A
M
S
=
∠
A
C
M
+
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
+
∠
A
M
S
=
2
(
∠
B
C
M
+
∠
A
C
M
)
{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}
即 そく
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
圆周角 かく 定理 ていり 的 てき
同 どう 弧 こ 或 ある 等 ひとし 弧 こ 所 ところ 角 かく 相等 そうとう 同 どう 等 とう 相等 そうとう 的 てき 角 かく 所 ところ 弧 こ 是 ぜ 等 とう 弧 こ 半 はん 直径 ちょっけい 所 しょ 角 すみ 是 ただし 直角 ちょっかく 角 すみ 是 ただし 直角 ちょっかく 所 ところ 弧 こ 的 てき 半 はん 所 しょ 弦 つる 是 ぜ 直径 ちょっけい 若 わか 三角形 さんかっけい 一 いち 的 てき 中 ちゅう 等 とう 一半 いっぱん 那 な 三角形 さんかっけい 是 ぜ 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 垂 たれ 径 みち 定理 ていり 示 しめせ 意 い 垂 たれ 径 みち 定理 ていり 是 ぜ 一 いち 常用 じょうよう 的 てき 几何学 がく 的 てき 定理 ていり
定理 ていり 定 てい 垂直 すいちょく 的 てき 直径 ちょっけい 平分 へいぶん 弦 つる 平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 弧 こ [7]
一条 いちじょう 直 ただし 在 ざい 下 した 列 れつ 条 じょう 中 ちゅう 只 ただ 要具 ようぐ 中 ちゅう 任意 にんい 作 さく 条件 じょうけん 出 で 三 さん 条 じょう 称 しょう 知 ち 二 に
平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 劣 れつ 弧 こ 前 ぜん 合 あい 起 おこり 来 らい 平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 弧 こ 平分 へいぶん 弦 つる 不 ふ 是 ぜ 直径 ちょっけい 垂直 すいちょく 经过圆心 BE过圆心 O，AD=DC，则BE垂直 すいちょく 分 ぶん 弧 こ 即 そく 平分 へいぶん 非 ひ 直径 ちょっけい 的 てき 弦 つる 的 てき 直径 ちょっけい 垂直 すいちょく 分 ぶん 弦 つる 所 しょ
AD=DC且BE垂直 すいちょく 心 しん 分 ぶん 弧 こ 即 そく 弦 つる 的 てき 垂直 すいちょく 平分 へいぶん 分 ぶん 弦 つる 所 しょ
BE是 ぜ 直径 ちょっけい
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
心 しん
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
即 そく 平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 兩個 りゃんこ 不同 ふどう 大小 だいしょう 的 てき 圓 えん 半徑 はんけい 分別 ふんべつ 為 ため
r
{\displaystyle r}
R
{\displaystyle R}
圓心 えんしん
d
{\displaystyle d}
r
<
R
{\displaystyle r<R}
之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい [2]
d
=
0
{\displaystyle d=0}
兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 同心圓 どうしんえん
0
<
d
<
R
−
r
{\displaystyle 0<d<R-r}
兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 亦 また 稱 たたえ
d
=
R
−
r
{\displaystyle d=R-r}
兩 りょう 圓 えん 相 しょう 一 いち 點 てん 有 ゆう 條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん
d
=
R
+
r
{\displaystyle d=R+r}
兩 りょう 圓 えん 相 しょう 一 いち 點 てん 外切 がいせつ 有 ゆう 條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん
R
−
r
<
d
<
R
+
r
{\displaystyle R-r<d<R+r}
兩 りょう 圓 えん 相 しょう 兩 りょう 點 てん 有 ゆう 條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん
d
>
R
+
r
{\displaystyle d>R+r}
兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 外 そと 離 はなれ 有 ゆう 條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん 在 ざい 解析 かいせき 中 ちゅう 符合 ふごう 特定 とくてい 条件 じょうけん 的 てき 某 ぼう 一 いち 圆系 ，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例 れい 半径 はんけい 到 いた 直 ちょく 方 かた 程 ほど 方 かた 程 ほど [2] 在方 ざいかた 程 ほど
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
中 なか 若 わか
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
点 てん
r
{\displaystyle r}
表示 ひょうじ 同心 どうしん 的 てき 方 かた 程 ほど 若 わか
r
{\displaystyle r}
是 ぜ 常 つね 量 りょう
a
{\displaystyle a}
或 ある
b
{\displaystyle b}
表示 ひょうじ 半径 はんけい 相 しょう 同 どう 在 ざい 同一 どういつ 直 ちょく 平行 へいこう
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
的 てき 方 かた 程 ほど
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
与 あずか
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交点 こうてん 的 てき 方 かた 程 ほど
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ らむだ (
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0
(
λ らむだ ≠
−
1
)
.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0\quad (\lambda \neq -1).}
过直线
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
与 あずか
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
交点 こうてん 的 てき 方 かた 程 ほど
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ らむだ (
A
x
+
B
y
+
C
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (Ax+By+C)=0.}
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
与 あずか
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交点 こうてん 的 てき 直 ちょく 程 ほど
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
−
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0.}
椭圆 是 これ 平面 へいめん 上 うえ 到 いた 固定 こてい 点 てん 的 てき 之 の 和 わ 常数 じょうすう 的 まと 点 てん 之 の 的 てき 形状 けいじょう 可 か 离心率 りつ 来 らい 表示 ひょうじ 作 さく 是 ぜ 即 そく 当 とう 的 てき 焦点 しょうてん 重合 じゅうごう 离心率 りつ
ε いぷしろん =
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
的 てき 情 じょう 在 ざい 三 さん 間 あいだ 球面 きゅうめん 被 ひ 設定 せってい 為 ため 是 ぜ 在 ざい
R
3
{\displaystyle R^{3}}
空間 くうかん 中 ちゅう 與 あずか 一 いち 個 こ 定點 ていてん 距離 きょり 為 ため
r
{\displaystyle r}
的 てき 所有 しょゆう 點 てん 的 てき 集合 しゅうごう 此處 ここら 是 ぜ 一 いち 個 こ 正 せい 的 てき 實數 じっすう 稱 しょう 為 ため 半徑 はんけい 固定 こてい 的 てき 點 てん 稱 しょう 為 ため 球心 きゅうしん 或 ある 中心 ちゅうしん 並 なみ 屬 ぞく 面 めん 的 てき 範圍 はんい
r
=
1
{\displaystyle r=1}
是 ぜ 球 だま 的 てき 特例 とくれい 稱 しょう 為 ため 單位 たんい 球 だま 在 ざい 測度 そくど 空間 くうかん 中 ちゅう 圓 えん 的 てき 定義 ていぎ 指 ゆび 距離 きょり 一 いち 定點 ていてん 等 とう 在 ざい 測度 そくど 下 か 的 てき 點 てん 的 てき 集合 しゅうごう 截面 為 ため 圓 えん 的 てき 三 さん 形狀 けいじょう 有 ゆう
當 とう 多邊形 たへんけい 的 てき 每 ごと 條 じょう 邊 あたり 固定 こてい 外接 がいせつ 圓 えん 的 てき 圖形 ずけい 面 めん 最大 さいだい [8]
^ L为扇形 せんけい 弧 こ 公式 こうしき
L
=
r
⋅
θ しーた
{\displaystyle L=r\cdot \theta }
^ 弦 つる 心 こころ 的 てき 是 ぜ 圆心 到 いた 弦 つる 的 てき
