旁つくり切きり圓えん

三角形さんかっけい的てき内切ないせつ圆（蓝色）与三よそう个旁切きり圆（橙色だいだいいろ）

每まい個こ三角形さんかっけい都と有ゆう3個こ旁つくり切きり圓えん，各かく與あずか三角形其中一邊和另外兩邊的延长線相切。每まい个旁切きり圆的圓心えんしん稱たたえ為ため旁つくり心こころ，分ふん别是三角形さんかっけい的てき一いち条じょう內角かく平分へいぶん線せん和かず另外兩りょう个角的てき外角がいかく平分へいぶん線せん的てき交點こうてん，一般いっぱん记为J。

性せい质

三角形さんかっけい关于顶点A、B、C的てき旁つくり切きり圆的半徑はんけい分別ふんべつ是ぜ${\frac {2A}{-a+b+c}}$、${\frac {2A}{a-b+c}}$和わ${\frac {2A}{a+b-c}}$，其中$A$表示ひょうじ三角形さんかっけい面積めんせき，a、b、c分ぶん别是A、B、C的てき对边。

旁つくり切きり圆和内切ないせつ圆有ゆう密みつ切きり的てき联系。它们都と与あずか九きゅう点てん圆相あい切きり，切点せってん称しょう为费尔巴ともえ哈点。三个旁心与内心组成一个垂心すいしん组，也就是ぜ说内心こころ是ぜ三个旁心所组成的三角形的垂心すいしん，而相应的三个垂足则是旁心所对的顶点。

在ざい右みぎ图中，I、B、C、J_A四よん点てん共ども圆，其中IJ_A是ぜ这个圆的直径ちょっけい，而圆心こころP_A在ざい三角形さんかっけいABC的てき外接がいせつ圆上，并且过BC的中てきちゅう垂たれ线，即そく等分とうぶん劣れつ弧こBC。对其它两边也有ゆう同どう样的结果。

对于一いち个顶点てん（比ひ如A）所しょ对的旁つくり切きり圆，三角形さんかっけいABC的てき外接がいせつ圆半径はんけいR、A所しょ对旁切きり圆半径はんけいr_A以及内外ないがい心こころ间距OJ_A之これ间有如下关系：

$OJ_{A}^{2}-R^{2}=2Rr_{A}$

旁つくり切きり圓えん與三よそう角形かくがた的てき边（或ある其延长线）相あい切きり的てき點てん称しょう为旁切点せってん。从一个顶点てん沿着三角形さんかっけい的てき边走到いた与あずか之これ相しょう对的旁つくり切きり圆在对边的てき切点せってん所用しょよう的てき距离必定ひつじょう是ぜ周しゅう长的一半いっぱん，也就是ぜ说，这个顶点和わ它“对面”的てき旁つくり切点せってん将しょう三角形的周界等分为两半。将はた三角形さんかっけい的てき每まい个頂點てん和やわ与あずか之これ相しょう对的旁つくり切きり圆关于对边的旁つくり切点せってん連れん起おこり，则根据すえ塞ふさが瓦かわら定理ていり，三さん線せん交於一いち點てん，这个点てん稱たたえ為ため奈格爾なんじ點てん。

内切ないせつ圆在一いち边上的てき切点せってん与あずか旁つくり切きり圆在该边的てき切点せってん之の间的距离恰好かっこう是ぜ另外两边的てき差さ（绝对值）。比ひ如说，A的てき对边：BC上面うわつら的てき内切ないせつ点てん和わ外切がいせつ点てん之の间的距离等とう于$|AB-AC|$。

坐すわ标表示ひょうじ

在ざい三線性坐標系中ちゅう，三さん个旁心しん的てき坐すわ标分別ふんべつ是ぜ-1:1:1、1:-1:1和わ1:1:-1。

在ざい直角ちょっかく座標ざひょう系けい中なか，若わか頂點ちょうてん的てき座標ざひょう分別ふんべつ為ため$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$、$(x_{3},y_{3})$，則のり三个旁心的座標為：

$J_{a}=({\frac {-ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{-a+b+c}},{\frac {-ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{-a+b+c}}),J_{b}=({\frac {ax_{1}-bx_{2}+cx_{3}}{a-b+c}},{\frac {ay_{1}-by_{2}+cy_{3}}{a-b+c}}),J_{c}=({\frac {ax_{1}+bx_{2}-cx_{3}}{a+b-c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}-cy_{3}}{a+b-c}})$

參まいり見み

• 外接がいせつ圓えん
• 内切ないせつ圆
• 九きゅう点てん圆
• 雞爪定理ていり——三角形さんかっけい內心、旁つくり心しん、頂點ちょうてん的てき位置いち關係かんけい
• 偽にせ內切圓えん——與あずか三角形兩邊及外接圓相切的圓