圆 (英語 えいご :circle )的 てき 第 だい 一 いち 个定义是:根據 こんきょ 歐 おう 幾里 いくさと 得 とく 的 てき 《几何原本 げんぽん 》,在 ざい 同一 どういつ 平面 へいめん 内 うち 到 いた 定点 ていてん
O
{\displaystyle O}
的 てき 距离等 とう 于定长
R
{\displaystyle R}
的 まと 点 てん 的 てき 集合 しゅうごう [1] 。此定点 てん
O
{\displaystyle O}
称 しょう 为圆心 こころ (center of a circle),此定长
R
{\displaystyle R}
称 しょう 为半径 はんけい (radius)。
圆的第 だい 二 に 个定义是:平面 へいめん 内 ない 一动点到两定点的距离的比,等 とう 于一个不为1的 てき 常数 じょうすう ,则此动点的 てき 轨迹是 ぜ 圆[2] ;此圆属 ぞく 于一种阿波 あわ 罗尼奥 おく 斯圆 (circles of Apollonius)。
古代 こだい 人 じん 最早 もはや 是 ぜ 从太 ふとし 阳 、阴历十 じゅう 五 ご 的 てき 月 つき 亮 あきら 得 え 到 いた 圆的概念的 がいねんてき 。在 ざい 一 いち 万 まん 八 はち 千 せん 年 ねん 前 まえ 的 てき 山 やま 顶洞人 じん 曾经在 ざい 兽牙 、砾石 和 わ 石 せき 珠 たま 上 じょう 钻孔,那 な 些孔有 ゆう 的 てき 就很像 ぞう 圆。[3] 到 いた 了 りょう 陶器 とうき 时代 ,许多陶器 とうき 都 と 是 ぜ 圆的。圆的陶器 とうき 是 ぜ 将 はた 泥土 でいど 放 ひ 在 ざい 一个转盘上制成的。[4] 当人 とうにん 们开始 はじめ 纺线,又 また 制 せい 出 で 了 りょう 圆形的 てき 石 いし 纺锤或 ある 陶 とう 纺锤 。古代 こだい 人 じん 还发现搬运圆的 てき 木 き 头时滚着走 はし 比 ひ 较省劲。后 きさき 来 き 他 た 们在搬运重 おも 物的 ぶってき 时候,就把几段圆木垫在大 だい 树、大石 おおいし 头下面 めん 滚着走 はし 。[5]
约在6000年 ねん 前 まえ ,美 び 索 さく 不 ふ 达米亚人 ひと ,做出了 りょう 世界 せかい 上 じょう 第 だい 一 いち 个轮子 こ ——圆型的 てき 木 き 盘。[4] 大 だい 约在4000多年 たねん 前 まえ ,人 にん 们将圆的木 き 盘固定 こてい 在 ざい 木 き 架 か 下 か ,这就成 なり 了 りょう 最初 さいしょ 的 てき 车子。
古代 こだい 埃及 えじぷと 人 ひと 认为:圆,是 ぜ 神 しん 赐给人的 じんてき 神 しん 圣图形 がた 。一直到两千多年前中国的墨 ぼく 子 こ 给圆下 か 了 りょう 一 いち 个定义:圆,一 いち 中 ちゅう 同 どう 长也。意思 いし 是 ぜ 说:圆有一 いち 个圆心 ,圆心到 いた 圆周 上 うえ 各 かく 点 てん 的 てき 距离(即 そく 半径 はんけい )都 と 相等 そうとう 。[4]
直角 ちょっかく 坐 すわ 标系中 なか 的 てき 定 てい 义:
(
x
−
x
m
)
2
+
(
y
−
y
m
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}}
,其中r是 ぜ 半径 はんけい ,
(
x
m
,
y
m
)
{\displaystyle (x_{m},y_{m})}
是 ぜ 圆心坐 すわ 标。
参 まいり 数 すう 方 ぽう 程 ほど 的 てき 定 てい 义:
x
=
x
m
+
a
cos
θ しーた
{\displaystyle x=x_{m}+a\cos \theta }
,
y
=
y
m
+
a
sin
θ しーた
{\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }
。
极坐标 方 かた 程 ほど 的 てき 定 てい 义(圆心在 ざい 原点 げんてん ):
r
=
a
{\displaystyle r=a}
。
圆是在 ざい 同 どう 一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点 ていてん 叫 さけべ 做圆的 てき 圆心(通常 つうじょう 用 よう
O
{\displaystyle O}
表示 ひょうじ )。[6]
圆周上 じょう 任 にん 何 なん 两点相 しょう 连的线段 称 しょう 为圆的 てき 弦 つる (英語 えいご :chord )。如图2,
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
分 ぶん 别为圆上任意 にんい 两点,那 な 么
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
就是圆的弦 つる 。
圆周上 じょう 任意 にんい 两点 てん 间的部分 ぶぶん 叫 さけべ 做弧 こ (英語 えいご :arc ),通常 つうじょう 用 よう 符号 ふごう
⌢
{\displaystyle \frown }
表示 ひょうじ 。弧 こ 分 ぶん 为半圆、优弧、劣 れつ 弧 こ 三 さん 种。[6]
直径 ちょっけい (英語 えいご :diameter ):经过圆心的 てき 弦 つる 稱 しょう 作 さく 直径 ちょっけい (用 よう
d
{\displaystyle d}
表示 ひょうじ )。[2]
半径 はんけい (英語 えいご :radius ):在 ざい 圆中,连接圆心和 わ 圆上任意 にんい 一点的线段叫做圆的半径,半径 はんけい 用 よう 字母 じぼ
r
{\displaystyle r}
表示 ひょうじ 。
k
=
{
X
∈
E
∣
M
X
¯
<=
r
}
{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}
假 かり 如一条直线与圆相交僅有一个交点,那 な 么称这条直 ちょく 线是这个圆的切 きり 线 ,与 あずか 圆相交的点 てん 叫 さけべ 做切点 てん 。[2] 如下图,直 ちょく 线
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
与 あずか 圆只有 ゆう 一 いち 个交点 てん
P
{\displaystyle P}
,那 な 么
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
就是圆的切 きり 线 。过圆上 じょう 一 いち 点 てん 的 てき 切 きり 线:设该点 てん 为
P
(
x
o
,
y
o
)
{\displaystyle P(x_{o},y_{o})}
,圆的方 かた 程 ほど 为
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
,则圆在 ざい 该点的 てき 切 きり 线方程 ほど 为:
(
x
o
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
o
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}
性 せい 质定理 ていり :圆的切 きり 线垂直 ちょく 于经过切点 てん 的 てき 半径 はんけい 。
推论1:经过圆心且垂直 ちょく 于切 きり 线的 てき 直 ちょく 线 必经过切点 てん 。
推论2:经过切点 せってん 且垂直 ちょく 于切线的直 ちょく 线必经过圆心。
一 いち 条 じょう 直 ちょく 线与 あずか 一条弧线有两个公共点,这条直 ちょく 线是这条曲 きょく 线的割 わり 线(英語 えいご :Secant Theorem )。[2] 如图,直 ちょく 线
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
与 あずか 圆有两个公共 こうきょう 点 てん ,那 な 么直 ちょく 线
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
就是圆的割 わり 线。
θ しーた 的 てき 正 せい 割 わり 是 ぜ 从O到 いた Q的 てき 距离。
圆的一周的长度称为圆的周 しゅう 长 (记作
C
{\displaystyle C}
)。圆的周 しゅう 长与半径 はんけい 的 てき 关系是 ぜ :
C
=
π ぱい
d
{\displaystyle C=\pi d}
或 ある
C
=
2
π ぱい
r
{\displaystyle C=2\pi r}
,
其中
π ぱい
{\displaystyle \pi }
是 これ 圆周率 りつ 。
圆的面 めん 积 与 あずか 半径 はんけい 的 てき 关系是 ぜ :
A
=
π ぱい
r
2
{\displaystyle A=\pi r^{2}}
。
圆既是 ぜ 轴对称 しょう 图形 又 また 是 これ 中心 ちゅうしん 对称图形 ,圆的对称轴为经过圆心
O
{\displaystyle O}
的 てき 任意 にんい 直 ちょく 线 ,圆的对称中心 ちゅうしん 为圆心 こころ
O
{\displaystyle O}
。[6]
图2:弦 つる 、圆周角 かく 、圆心角 かく
圆心角 かく :顶点 在 ざい 圆心的 てき 角 かく 叫 さけべ 圆心角 かく ,圆心角 かく 的 てき 度数 どすう 等 とう 于它所 しょ 对的弧 こ 的 てき 度数 どすう ,公式 こうしき 表示 ひょうじ 为
θ しーた
=
L
2
π ぱい
r
⋅
2
π ぱい
=
L
r
{\displaystyle \theta ={\frac {L}{2\pi r}}\cdot 2\pi ={\frac {L}{r}}}
。[a] [2] 如右图,
M
{\displaystyle M}
为圆的 てき 圆心,那 な 么
∠
A
M
B
{\displaystyle \angle AMB}
为圆心 しん 角 かく 。
圆周角 かく :顶点 在 ざい 圆周上 じょう ,角 かく 两边和 わ 圆相交的角 かく 叫 さけべ 圆周角 かく 。如右图,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的 てき 顶点
C
{\displaystyle C}
在 ざい 圆周上 じょう ,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的 てき 两边
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
、
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
分 ぶん 别交在 ざい 圆周上 じょう ,那 な 么
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
就是圆周角 かく 。
同 どう 圆或等 とう 圆中,相等 そうとう 的 てき 圆心角所 かくしょ 对的弦 つる 相等 そうとう ,所 しょ 对的弧 こ 相等 そうとう ,弦 げん 心 こころ 距[b] 相等 そうとう ,此定理 ていり 也称“一 いち 推三 さん 定理 ていり ”。[6]
圆周角 かく 定理 ていり :同 どう 弧 こ 所 しょ 对的圆周角 かく 等 とう 于它所 しょ 对的圆心的 てき 角 かく 的 てき 一半 いっぱん 。[6]
如上 じょじょう 图,
M
{\displaystyle M}
为圆心 しん ,
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
分 ぶん 别为圆周上 じょう 的 てき 点 てん ,那 な 麼:
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
证明:
∵
B
M
=
C
M
,
A
M
=
C
M
{\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}
∵
∠
B
C
M
=
∠
C
B
M
,
∠
A
C
M
=
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
=
∠
B
C
M
+
∠
C
B
M
{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}
∵
∠
A
M
S
=
∠
A
C
M
+
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
+
∠
A
M
S
=
2
(
∠
B
C
M
+
∠
A
C
M
)
{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}
即 そく :
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
圆周角 かく 定理 ていり 的 てき 推论:
同 どう 弧 こ 或 ある 等 ひとし 弧 こ 所 ところ 对的圆周角 かく 相等 そうとう ;同 どう 圆或等 とう 圆中,相等 そうとう 的 てき 圆周角 かく 所 ところ 对的弧 こ 是 ぜ 等 とう 弧 こ 。
半 はん 圆或直径 ちょっけい 所 しょ 对的圆周角 すみ 是 ただし 直角 ちょっかく ;圆周角 すみ 是 ただし 直角 ちょっかく 所 ところ 对的弧 こ 的 てき 半 はん 圆,所 しょ 对的弦 つる 是 ぜ 直径 ちょっけい 。
若 わか 三角形 さんかっけい 一 いち 边上的 てき 中 ちゅう 线等 とう 于这边的一半 いっぱん ,那 な 么这个三角形 さんかっけい 是 ぜ 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 。
垂 たれ 径 みち 定理 ていり 示 しめせ 意 い 图
垂 たれ 径 みち 定理 ていり 是 ぜ 一 いち 种常用 じょうよう 的 てき 几何学 がく 的 てき 定理 ていり 。
定理 ていり 定 てい 义:垂直 すいちょく 于弦的 てき 直径 ちょっけい 平分 へいぶん 这条弦 つる ,并且平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 对的两条弧 こ 。[7]
一条 いちじょう 直 ただし 线,在 ざい 下 した 列 れつ 5条 じょう 中 ちゅう 只 ただ 要具 ようぐ 备其中 ちゅう 任意 にんい 两条作 さく 为条件 じょうけん ,就可以推出 で 其他三 さん 条 じょう 结论。称 しょう 为“知 ち 二 に 推三”。
平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 对的优弧
平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 对的劣 れつ 弧 こ (前 ぜん 两条合 あい 起 おこり 来 らい 就是平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 对的两条弧 こ )
平分 へいぶん 弦 つる (不 ふ 是 ぜ 直径 ちょっけい )
垂直 すいちょく 于弦
经过圆心
BE过圆心 O,AD=DC,则BE垂直 すいちょく AC并平分 ぶん AC、AEC两条弧 こ 。即 そく “平分 へいぶん 非 ひ 直径 ちょっけい 的 てき 弦 つる 的 てき 直径 ちょっけい 垂直 すいちょく 于弦并平分 ぶん 弦 つる 所 しょ 对的两弧。”
AD=DC且BE垂直 すいちょく AC,则BE过圆心 しん O且平分 ぶん AC、AEC两条弧 こ 。即 そく “弦 つる 的 てき 垂直 すいちょく 平分 へいぶん 线过圆心且平分 ぶん 弦 つる 所 しょ 对的两弧。”
BE是 ぜ 直径 ちょっけい ,
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
(
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
)=
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
(
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
),则BE过圆心 しん O,
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
(
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
)=
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
(
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
)。即 そく “平分 へいぶん 弦 つる 所 しょ 对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”
兩個 りゃんこ 不同 ふどう 大小 だいしょう 的 てき 圓 えん (半徑 はんけい 分別 ふんべつ 為 ため
r
{\displaystyle r}
及
R
{\displaystyle R}
,圓心 えんしん 距為
d
{\displaystyle d}
,其中
r
<
R
{\displaystyle r<R}
)之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 如下:[2]
d
=
0
{\displaystyle d=0}
:兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 交(內含),互為同心圓 どうしんえん 。
0
<
d
<
R
−
r
{\displaystyle 0<d<R-r}
:兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 交(內含,亦 また 稱 たたえ 「內離」)。
d
=
R
−
r
{\displaystyle d=R-r}
:兩 りょう 圓 えん 相 しょう 交於一 いち 點 てん (內切),有 ゆう 1條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん 。
d
=
R
+
r
{\displaystyle d=R+r}
:兩 りょう 圓 えん 相 しょう 交於一 いち 點 てん (外切 がいせつ ),有 ゆう 3條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん 。
R
−
r
<
d
<
R
+
r
{\displaystyle R-r<d<R+r}
:兩 りょう 圓 えん 相 しょう 交於兩 りょう 點 てん ,有 ゆう 2條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん 。
d
>
R
+
r
{\displaystyle d>R+r}
:兩 りょう 圓 えん 不 ふ 相 あい 交(外 そと 離 はなれ ),有 ゆう 4條 じょう 共同 きょうどう 切線 せっせん 。
在 ざい 解析 かいせき 几何中 ちゅう ,符合 ふごう 特定 とくてい 条件 じょうけん 的 てき 某 ぼう 些圆构成一 いち 个圆系 ,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例 れい 如求半径 はんけい 到 いた 直 ちょく 线距离的方 かた 程 ほど 就可以叫圆系方 かた 程 ほど 。[2]
在方 ざいかた 程 ほど
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
中 なか ,若 わか 圆心
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
为定点 てん ,
r
{\displaystyle r}
为参变数,则它表示 ひょうじ 同心 どうしん 圆的 てき 圆系方 かた 程 ほど 。若 わか
r
{\displaystyle r}
是 ぜ 常 つね 量 りょう ,
a
{\displaystyle a}
(或 ある
b
{\displaystyle b}
)为参变数,则它表示 ひょうじ 半径 はんけい 相 しょう 同 どう ,圆心在 ざい 同一 どういつ 直 ちょく 线上(平行 へいこう 于
x
{\displaystyle x}
轴或
y
{\displaystyle y}
轴)的 てき 圆系方 かた 程 ほど 。
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
与 あずか
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交点 こうてん 的 てき 圆系方 かた 程 ほど 为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ らむだ
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0
(
λ らむだ
≠
−
1
)
.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0\quad (\lambda \neq -1).}
过直线
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
与 あずか 圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
交点 こうてん 的 てき 圆系方 かた 程 ほど 为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ らむだ
(
A
x
+
B
y
+
C
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (Ax+By+C)=0.}
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
与 あずか
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交点 こうてん 的 てき 直 ちょく 线方程 ほど 为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
−
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0.}
椭圆 是 これ 平面 へいめん 上 うえ 到 いた 两个固定 こてい 点 てん 的 てき 距离之 の 和 わ 为常数 じょうすう 的 まと 点 てん 之 の 轨迹,椭圆的 てき 形状 けいじょう 可 か 以用离心率 りつ 来 らい 表示 ひょうじ ;圆可以看作 さく 是 ぜ 一种特殊的椭圆,即 そく 当 とう 椭圆的 てき 两个焦点 しょうてん 重合 じゅうごう ,离心率 りつ
ε いぷしろん
=
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
的 てき 情 じょう 况。
在 ざい 三 さん 維空間 あいだ ,球面 きゅうめん 被 ひ 設定 せってい 為 ため 是 ぜ 在 ざい
R
3
{\displaystyle R^{3}}
空間 くうかん 中 ちゅう 與 あずか 一 いち 個 こ 定點 ていてん 距離 きょり 為 ため
r
{\displaystyle r}
的 てき 所有 しょゆう 點 てん 的 てき 集合 しゅうごう ,此處 ここら r是 ぜ 一 いち 個 こ 正 せい 的 てき 實數 じっすう ,稱 しょう 為 ため 半徑 はんけい ,固定 こてい 的 てき 點 てん 稱 しょう 為 ため 球心 きゅうしん 或 ある 中心 ちゅうしん ,並 なみ 且不屬 ぞく 於球面 めん 的 てき 範圍 はんい 。
r
=
1
{\displaystyle r=1}
是 ぜ 球 だま 的 てき 特例 とくれい ,稱 しょう 為 ため 單位 たんい 球 だま 。
在 ざい 測度 そくど 空間 くうかん 中 ちゅう ,圓 えん 的 てき 定義 ていぎ 仍舊指 ゆび 距離 きょり 一 いち 定點 ていてん 等 とう 距(在 ざい 該測度 そくど 下 か )的 てき 點 てん 的 てき 集合 しゅうごう 。
截面 為 ため 圓 えん 的 てき 三 さん 維形狀 けいじょう 有 ゆう :
當 とう 多邊形 たへんけい 的 てき 每 ごと 條 じょう 邊 あたり 固定 こてい ,以有外接 がいせつ 圓 えん 的 てき 圖形 ずけい 面 めん 积最大 さいだい 。[8]
^ L为扇形 せんけい 弧 こ 长,变形公式 こうしき
L
=
r
⋅
θ しーた
{\displaystyle L=r\cdot \theta }
^ 弦 つる 心 こころ 距指的 てき 是 ぜ 圆心 到 いた 弦 つる 的 てき 距离