有 ゆう 一 いち 角 かく 直角 ちょっかく 的 てき 三角形 さんかっけい 称 しょう 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 英語 えいご 在 ざい 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 中 ちゅう 直角 ちょっかく 相 しょう 边 称 しょう 直角 ちょっかく 邊 べ 直角 ちょっかく 所 しょ 斜 はす 直角 ちょっかく 弦 つる 若 わか 兩 りょう 條 じょう 直角 ちょっかく 邊 べ 不 ふ 一樣 いちよう 長 ちょう 短 たん 的 てき 那 な 條 じょう 邊 あたり 叫 さけべ 作 さく 長 ちょう 的 てき 那 な 條 じょう 邊 あたり 叫 さけべ 作 さく 股 また [1]
直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 畢氏定理 ていり （勾股定理 ていり 即 そく 角 かく 平方 へいほう 和 かず 等 ひとし 的 てき 平方 へいほう 直角 ちょっかく 三角 みすみ 學 まなぶ 的 てき 基礎 きそ
直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 外 そと 心 こころ 是 ぜ 斜 はす 点 てん 垂心 すいしん 是 ぜ 直角 ちょっかく 顶点 。
若 わか 直角 ちょっかく 稱 しょう 為 ため 畢氏三角形 さんかっけい ，其邊長 ちょう 稱 たたえ 為 ため 勾股數 すう 。
埃及 えじぷと 將 はた 邊 あたり 長 ちょう 比例 ひれい 為 ため 的 てき 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 称 しょう 埃及 えじぷと 三角形 さんかっけい [2]
主要 しゅよう 性質 せいしつ [ 编辑 ] 面積 めんせき [ 编辑 ] 和 かず 三 さん 角 かく 形相 ぎょうそう 同 どう 直角 ちょっかく 底邊 ていへん 乘 じょう 應 おう 高 だか 的 てき 一半 いっぱん 在 ざい 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 中 ちゅう 若 わか 股 また 直角 ちょっかく 邊 べ 為 ため 底邊 ていへん 因 いん 面積 めんせき 為 ため 面積 めんせき T 的 てき 公式 こうしき 為 ため
T
=
1
2
a
b
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}
其中a 和 わ b 是 ぜ 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 二股 ふたまた
若 わか 內切圓 えん 和 かず 斜邊 しゃへん 相 あい 切 きり 點 てん 令 れい 半周 はんしゅう 長 ちょう
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}
為 ため s ，則 のり
P
A
=
s
−
a
{\displaystyle PA=s-a}
P
B
=
s
−
b
{\displaystyle PB=s-b}
面積 めんせき 可 か 表示 ひょうじ 為 ため
T
=
PA
⋅
PB
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
.
{\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}
此公式 しき 只 ただ 適用 てきよう 在 ざい 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい [3]
高 こう [ 编辑 ] 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 高 だか 若 わか 在 ざい 直角 ちょっかく 可 か 兩 りょう 者 しゃ 均 ひとし 和 かず 原 げん 三角形 さんかっけい 相似 そうじ 二 に 個 こ 小 しょう 三角形 さんかっけい 彼此 ひし 相似 そうじ 因 よし
高 こう 為 ため 斜線 しゃせん 切 きり 割出 わりだし 的 てき 二 に 線 せん 段 だん 的 てき 幾何 きか 平均 へいきん 數 すう 各 かく 股 また 是 ぜ 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 高和 こうわ 斜線 しゃせん 切 きり 割出 わりだし 的 てき 若 わか 方程式 ほうていしき 表示 ひょうじ
f
2
=
d
e
,
{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}
有 ゆう 時 じ 稱 たたえ 為 ため 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 高 だか 定理 ていり
b
2
=
c
e
,
{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}
a
2
=
c
d
{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}
其中
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
e
{\displaystyle e}
f
{\displaystyle f}
均 ひとし 所 しょ 示 しめせ [4] :p.156 。
三角形的面積等於底邊乘高除二，也等於二股乘積除二，兩 りょう 者 しゃ 相等 そうとう 因 いん
f
=
a
b
c
.
{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}
斜邊 しゃへん 上 じょう 的 てき 高和 こうわ 兩 りょう 股 また 還 かえ 有 ゆう 以下 いか 的 てき 關係 かんけい [5] [6]
1
a
2
+
1
b
2
=
1
f
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}
勾股定理 ていり [ 编辑 ] 勾股定理 ていり 的 てき 示 しめせ 意圖 いと 勾股定理 ていり 也稱為 ため 定理 ていり
在 ざい 任意 にんい 直角 ちょっかく 的 てき 三角形 さんかっけい 中 ちゅう 邊 あたり 長等 ながら 邊 べ 的 てき 正方形 せいほうけい 面積 めんせき 等 とう 長等 ながら 股 また 的 てき 二 に 個 こ 正方形 せいほうけい 的 てき 和 わ
可 か 表示 ひょうじ 為 ため 以下 いか 的 てき 公式 こうしき 表示 ひょうじ
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
其中
c
{\displaystyle c}
為 ため 斜邊 しゃへん 長 ちょう
a
{\displaystyle a}
和 わ
b
{\displaystyle b}
為 ため 剩 あま 下 しも 二股 ふたまた 的 てき 長 ちょう 度 ど
內切圓 えん 外接 がいせつ 圓 えん [ 编辑 ] 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 圓 えん 直角 ちょっかく
a
{\displaystyle a}
和 わ
b
{\displaystyle b}
斜邊 しゃへん 長 ちょう 度 ど 為 ため
c
{\displaystyle c}
內切圓 えん 的 てき 半徑 はんけい 為 ため
r
=
a
+
b
−
c
2
=
a
b
a
+
b
+
c
.
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}
外接 がいせつ 圓 えん 的 てき 半徑 はんけい 為 ため 斜邊 しゃへん 的 てき 一半 いっぱん
R
=
c
2
.
{\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}
直角 ちょっかく
a
=
2
r
(
b
−
r
)
b
−
2
r
.
{\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}
性 せい [ 编辑 ] 一 いち 三角形 さんかっけい
A
B
C
{\displaystyle ABC}
邊 べ 為 ため
a
≤
b
<
c
{\displaystyle a\leq b<c}
半周 はんしゅう 長 ちょう
s
{\displaystyle s}
面積 めんせき
T
{\displaystyle T}
斜邊 しゃへん 的 てき 高 こう
h
{\displaystyle h}
外接 がいせつ 圓 えん 半徑 はんけい
R
{\displaystyle R}
內切圓 えん 半徑 はんけい
r
{\displaystyle r}
旁 つくり 切 きり 圓 えん 半徑 はんけい
r
a
{\displaystyle r_{a}}
r
b
{\displaystyle r_{b}}
r
c
{\displaystyle r_{c}}
分別 ふんべつ 和 わ
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
邊 あたり 相 しょう 切 きり 中 ちゅう 線 せん
m
a
{\displaystyle m_{a}}
m
b
{\displaystyle m_{b}}
m
c
{\displaystyle m_{c}}
三角形 さんかっけい 為 ため 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 若 わか 若 わか 以下 いか 以下 いか 的 てき 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 性質 せいしつ
邊 あたり 長和 おさわ 半周 はんしゅう 長 ちょう [ 编辑 ]
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
勾股定理 ていり ）
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
=
s
(
s
−
c
)
{\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
s
=
2
R
+
r
.
{\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
[7]
a
2
+
b
2
+
c
2
=
8
R
2
.
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}
[8] 角 かく [ 编辑 ] 角 かく
A
{\displaystyle A}
和 わ 角 かく
B
{\displaystyle B}
餘 よ 角 かく
cos
A
cos
B
cos
C
=
0.
{\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}
[8] [9]
sin
2
A
+
sin
2
B
+
sin
2
C
=
2.
{\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}
[8] [9]
cos
2
A
+
cos
2
B
+
cos
2
C
=
1.
{\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}
[9]
sin
2
A
=
sin
2
B
=
2
sin
A
sin
B
.
{\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}
面積 めんせき [ 编辑 ]
T
=
a
b
2
{\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
T
=
r
a
r
b
=
r
r
c
{\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
T
=
r
(
2
R
+
r
)
{\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}
T
=
P
A
⋅
P
B
,
{\displaystyle T=PA\cdot PB,}
P 為 ため 圓 えん 和 わ 最長 さいちょう 邊 べ AB 相 あい 切 きり 的 てき 點 てん [10] 內切圓 えん 切 きり 圓 えん 半徑 はんけい [ 编辑 ]
r
=
s
−
c
{\displaystyle \displaystyle r=s-c}
[11]
r
a
=
s
−
b
{\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b}
[11]
r
b
=
s
−
a
{\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a}
[11]
r
c
=
s
{\displaystyle \displaystyle r_{c}=s}
[11]
r
a
+
r
b
+
r
c
+
r
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
[11]
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
+
r
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
[11]
r
=
r
a
r
b
r
c
{\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}
[11] 高 こう 線 せん 和 わ 中 ちゅう 線 せん [ 编辑 ]
h
=
a
b
c
{\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
m
a
2
+
m
b
2
+
m
c
2
=
6
R
2
.
{\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}
[12] 中 ちゅう 線 せん 中有 ちゅうう 外接 がいせつ 圓 えん 半徑 はんけい 高 こう 線 せん 中 ちゅう 最短 さいたん 的 てき 通過 つうか 由 よし 最大 さいだい 角 かく 頂點 ちょうてん 的 てき 高 だか 線 せん 將 はた 對邊 たいへん 分 ぶん 為 ため 二 に 個 こ 線 せん 段 だん 高 こう 線 せん 二 に 線 せん 段 だん 的 てき 幾何 きか 平均 へいきん 數 すう 即 そく 為 ため 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 高 だか 定理 ていり 內切參 さん 圓 えん 和 わ 外接 がいせつ 圓 えん [ 编辑 ] 三角形 さんかっけい 可 か 在 ざい 一 いち 個 こ 半圓 はんえん 中 なか 一 いち 邊 へん 直徑 ちょっけい 完全 かんぜん 重合 じゅうごう 外接 がいせつ 圓 えん 圓心 えんしん 最長 さいちょう 邊 べ 的中 てきちゅう 點 てん 最長 さいちょう 邊 べ 的 てき 邊 あたり 長 ちょう 外接 がいせつ 圓 えん 的 てき 直徑 ちょっけい
(
c
=
2
R
)
.
{\displaystyle \displaystyle (c=2R).}
外接 がいせつ 圓 えん 和 わ 九 きゅう 點 てん 圓 えん 相 あい 切 きり [8] 垂心 すいしん 在 ざい 外接 がいせつ 圓 えん 的 てき 圓周 えんしゅう 上 じょう [12] 內切圓 えん 圓心 えんしん 和 かず 垂心 すいしん 的 てき 距離 きょり 為 ため
2
r
{\displaystyle {\sqrt {2}}r}
[12] 各 かく 邊 あたり 的 てき 比例 ひれい [ 编辑 ] a, b, h為 ため 角 かく 的 てき 和 わ 斜 はす 銳角 えいかく 的 てき 三角 さんかく 函數 かんすう 可 か 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 各 かく 邊 あたり 的 てき 比例 ひれい 來 らい 定義 ていぎ 針 はり 對 たい 一 いち 特定 とくてい 銳角 えいかく 可 か 製 せい 一 いち 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 各 かく 邊 あたり 分別 ふんべつ 是 ぜ 角 かく 的 てき 對邊 たいへん 邊 べ 所有 しょゆう 有 ゆう 相 しょう 同 どう 大小 だいしょう 銳角 えいかく 的 てき 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 都 と 為 ため 相似 そうじ 形 がた 因 いん 照 あきら 上面 うわつら 的 てき 定義 ていぎ 各 かく 邊 あたり 的 てき 比例 ひれい 只 ただ 和 わ 角 かく 的 てき 角度 かくど 有 ゆう 關 せき 若 わか 一 いち 角度 かくど
θ しーた
{\displaystyle \theta }
邊 あたり 邊 べ 分別 ふんべつ 是 ぜ
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
則 のり 三 さん 角 かく 函數 かんすう 為 ため
sin
θ しーた =
a
h
,
cos
θ しーた =
b
h
,
tan
θ しーた =
a
b
,
sec
θ しーた =
h
b
,
cot
θ しーた =
b
a
,
csc
θ しーた =
h
a
.
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {a}{h}},\,\cos \theta ={\frac {b}{h}},\,\tan \theta ={\frac {a}{b}},\,\sec \theta ={\frac {h}{b}},\,\cot \theta ={\frac {b}{a}},\,\csc \theta ={\frac {h}{a}}.}
特殊 とくしゅ 的 てき 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい [ 编辑 ] 特定 とくてい 角度 かくど 的 てき 因 いん 應 おう 直角 ちょっかく 例 れい 三角形 さんかっけい 可 か 來 らい 計算 けいさん 角度 かくど 為 ため π ぱい 倍 ばい 數 すう 的 てき 三角 さんかく 函數 かんすう 45°-45°-90°三角形 さんかっけい ，可 か 來 らい 計算 けいさん 角度 かくど 為 ため π ぱい 倍 ばい 數 すう 的 てき 三角 さんかく 函數 かんすう 都 と 屬 ぞく 特殊 とくしゅ 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい
泰 たい 定理 ていり [ 编辑 ] 直角 ちょっかく 斜邊 しゃへん 中點 ちゅうてん 為 ため 心 こころ 泰 たい 定理 ていり 提 ひっさげ 到 いた 若 わか A 點 てん 是 ぜ 直徑 ちょっけい 的 てき BC 的 てき 一 いち 圓 えん 上 じょう 的 てき 一 いち 點 てん 不和 ふわ B 點 てん C 點 てん 共 ども 點 てん ABC 為 ため 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 角 かく A 為 ため 直角 ちょっかく 定理 ていり 為 ため 若 わか 一 いち 三角形 さんかっけい 一 いち 圓 えん 則 のり 斜邊 しゃへん 長 ちょう 度 ど 即 そく 為 ため 的 てき 直徑 ちょっけい 因 よし 論 ろん 由 よし 直角 ちょっかく 頂 いただき 邊 あたり 到 いた 斜邊 しゃへん 的中 てきちゅう 線 せん 外接 がいせつ 圓 えん 半徑 はんけい 為 ため 斜邊 しゃへん 的 てき 一半 いっぱん 角 かく 直徑 ちょっけい 的 てき 一半 いっぱん
中 ちゅう 線 せん [ 编辑 ] 直角 ちょっかく
m
a
2
+
m
b
2
=
5
m
c
2
=
5
4
c
2
.
{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}
因 いん 為 ため 直角 ちょっかく 會 かい 將 はた 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 分 ぶん 為 ため 二 に 個 こ 等 とう 腰 こし 三角形 さんかっけい
不同 ふどう 平均 へいきん 和 わ 黃金 おうごん 比例 ひれい 的 てき 關係 かんけい [ 编辑 ] 令 れい
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
和 わ
A
{\displaystyle A}
是 ぜ 二 に 個 こ 正 せい 整數 せいすう
a
{\displaystyle a}
和 わ
b
{\displaystyle b}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
的 てき 調和 ちょうわ 平均 へいきん 幾何 きか 平均 へいきん 算術 さんじゅつ 平均 へいきん 若 わか 一 いち 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 的 てき 二股 ふたまた 為 ため
H
{\displaystyle H}
和 わ
G
{\displaystyle G}
邊 べ 為 ため
A
{\displaystyle A}
則 のり [13]
A
H
=
A
2
G
2
=
G
2
H
2
=
ϕ
{\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}
及
a
b
=
ϕ
3
,
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}
其中
ϕ
{\displaystyle \phi }
為 ため 黃金 おうごん 比例 ひれい
1
+
5
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}
其他性質 せいしつ [ 编辑 ] 若 わか 長 ちょう 度 ど 為 ため
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
通過 つうか 頂點 ちょうてん 的 てき 線 せん 段 だん 將 はた 斜邊 しゃへん 分 ぶん 為 ため 三 さん 等分 とうぶん 則 のり [14] :pp. 216-217
p
2
+
q
2
=
5
(
c
3
)
2
{\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}}
除 じょ 直角 ちょっかく 但 ただし 直角 ちょっかく [15]
令 れい
h
{\displaystyle h}
和 わ
k
{\displaystyle k}
h
>
k
{\displaystyle h>k}
為 ため 一 いち 斜邊 しゃへん 長 ちょう 為 ため
c
{\displaystyle c}
的 てき 直角 ちょっかく 則 のり
1
c
2
+
1
h
2
=
1
k
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}
直角 ちょっかく 旁 つくり 切 きり 圓 えん 的 てき 半徑 はんけい 和 わ
參看 さんかん [ 编辑 ] 參考 さんこう 資料 しりょう [ 编辑 ]
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a
−
2
+
b
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2
=
d
−
2
{\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}
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