基本きほん多た边形

在ざい数学すうがく上うえ，每まい个闭曲面きょくめん在ざい几何拓つぶせ扑的てき意い义下，可か以由一个偶数条边的有向ゆうこう多た边形，把わ它的边成对地粘ねば合ごう构造出来でき，这样的てき多た边形称しょう之の为基本きほん多た边形（fundamental polygon）。

这个构造可か以表示ひょうじ成なり一いち个长为2n的てき字じ符ふ串くし，一いち共どもn个不同ふどう的てき符号ふごう，每まい个符号ごう出で现两次じ带有指数しすう +1或ある -1。指数しすう -1的てき符号ふごう对应于该边的定てい向こう与あずか基本きほん多た边形的てき定じょう向こう相反あいはん。

例れい子こ[编辑]

曲面きょくめん的てき基本きほん多た边形
球面きゅうめん	实球射影しゃえい平面へいめん	克かつ莱因瓶びん	环面

上うえ图中标有相しょう同どう字母じぼ的てき两条边，沿着箭や头方向ほうこう粘ねば合ごう。

球面きゅうめん： $AA^{-1}$ 或ある $ABB^{-1}A^{-1};$
实射影しゃえい平面へいめん： $AA$ 或ある $ABAB;$
克かつ莱因瓶びん： $ABAB^{-1}$ 或ある $AABB;$
环面： $ABA^{-1}B^{-1}$ 或ある $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.$

群ぐん生成せいせい元もと[编辑]

对标准じゅん对称形状けいじょう，多た边形的てき边可以理解りかい为一个群ぐん的てき生成せいせい元もと。然しか后きさき这个多た边形，写うつし成なり群ぐん元素げんそ形式けいしき，成なり为由这些边生成せいせい的てき自由じゆう群ぐん上うえ一いち个约束，给出有ゆう一いち个约束たば的てき群ぐん呈示ていじ。

因いん此，例れい如给定てい欧おう几里得とく平面へいめん $\mathbb {R} ^{2}$ ，设群元素げんそ $A$ 在ざい这个平面へいめん上じょう有ゆう作用さよう $A(x,y)=(x+1,y)$ 而 $B(x,y)=(x,y+1)$ 。则 $A,B$ 生成せいせい格かく $\Gamma =\mathbb {Z} ^{2}$ ，而环面めん由ゆかり商しょう空そら间给出（一いち个齐性空そら间） $T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ 。更さら一般いっぱん地ち，两个生成せいせい元もと $A,B$ 可用かよう来らい生成せいせい一いち个基本きほん平行へいこう四よん边形的てき平行へいこう四よん边形镶嵌。

对环面めん，在ざい两个字母じぼ的てき自由じゆう群ぐん上じょう的てき约束由ゆかり $ABA^{-1}B^{-1}=1$ 给出。这个约束平凡へいぼん地ち包含ほうがん在ざい如上じょじょう给出的てき平面へいめん上じょう的てき作用さよう中ちゅう。另外，平面へいめん可用かよう六ろく边形铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将しょう六边形的相对等同，又また得え到いた了りょう环面。这一いち回かい约束是ぜ $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1$ ，刻こく划了六ろく边形格かく生成せいせい元もと在ざい平面へいめん上じょう的てき作用さよう。

在ざい实际中ちゅう，大部おおぶ分有ぶんゆう趣おもむき的てき情じょう形がた是ぜ具有ぐゆう负曲きょく率りつ的てき曲面きょくめん，由よし群ぐん $PSL(2,\mathbb {R} )$ 中ちゅう一个离散格作用在上うえ半平はんぺん面めん实现。这样的てき格かく称しょう为富とみ克かつ斯群（Fuchsian group）。

标准基本きほん多た边形[编辑]

亏格n可か定じょう向こう闭曲面めん有ゆう如下标准基本きほん多た边形：

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

（不可ふか定てい向むこう）亏格n的まと不可ふか定てい向こう闭曲面めん有ゆう如下标准基本きほん多た边形：

A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}.\,

或ある者もの，不可ふか定てい向こう曲面きょくめん能のう由よし两种形式けいしき给出，亏格n 克かつ莱因瓶びん与あずか亏格n 实射影しゃえい平面へいめん。亏格2n克かつ莱因瓶びん由よし一いち个4n边形给出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}=1,\,

（注意ちゅうい最さい后きさき的てき $B_{n}$ 没ぼつ有ゆう上じょう标 -1；与あずか可か定じょう向こう情じょう形がた比ひ较，这个翻こぼし转是不可ふか定てい向性こうせい的てき缘故）。亏格2n+1射影しゃえい平面へいめん由よし一いち个4n+2边形给出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}C^{2}=1.\,

最さい后きさき两类情じょう形がた穷尽了りょう所有しょゆう可能かのう的てき不可ふか定てい向こう曲面きょくめん，这是昂のぼる利り·庞加莱证明的てき。

紧黎曼曲面めん的てき基本きほん多た边形[编辑]

一いち个（双そう曲きょく）紧黎はじむ曼曲面めん的てき基本きほん多た边形有ゆう许多重要じゅうよう的てき性せい质，将はた曲面きょくめん与あずか它的富とみ克かつ斯模型がた（Fuchsian model）联系起おこり来らい。即そく一个双曲紧黎曼曲面可以上うえ半平はんぺん面めん做为万有ばんゆう覆くつがえ叠，从而可か以表示ひょうじ为一个商しょう流ながれ形がたH/Γがんま，这里 Γがんま是ぜ一いち个非ひ阿おもね贝尔群ぐん同どう构于曲面きょくめん的てき甲板かんぱん变换群ぐん（deck transformation group）。商しょう空そら间的陪集有ゆう标准多た边形做为代表だいひょう元素げんそ。在ざい下面かめん，注意ちゅうい所有しょゆう黎はじむ曼曲面めん都と是ぜ可か定てい向むこう的てき。

度量どりょう基本きほん多た边形[编辑]

给定上うえ半平はんぺん面めんH中ちゅう一いち点てん $z_{0}$ ，以及PSL(2,R)一いち个离散子こ群ぐんΓがんま自由じゆう不ふ连续作用さよう在ざい上うえ半平はんぺん面めん，则我们可定てい义度量どりょう基本きほん多た边形（metric fundamental polygon）为点集しゅう

F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,

这里d是ぜ上じょう半平はんぺん面めん的てき双そう曲きょく度量どりょう。度量どりょう基本きほん多た边形有ゆう时也称しょう为狄里克かつ雷かみなり区域くいき（Dirichlet region）或ある沃罗诺伊多た边形（Voronoi polygon）。

这个基本きほん多た边形是ぜ一いち个基本きほん区く（fundamental domain）。
这个基本きほん多た边形是ぜ凸とつ集しゅう，连接这个多た边形的てき任にん何なん两点的てき测地线完全かんぜん包含ほうがん在ざい多た边形内部ないぶ。
F的てき直径ちょっけい小しょう于或等とう于H/Γ的てき直径ちょっけい。特とく别地，F的てき闭包紧。
如果Γがんま在ざいH中ちゅう没ぼつ有ゆう不ふ动点且H/Γがんま紧，则F的てき边数有限ゆうげん。
多た边形的てき每ごと条じょう边是一いち个测地ち线。
对多边形的てき每ごと条じょう边s，恰有另外一いち条じょう边s' 使つかい得とくgs=s' 对某个g属ぞく于Γがんま。从而这个多た边形有ゆう偶数ぐうすう条じょう边。
将はた边两两连接せっ的てき群ぐん元素げんそ集合しゅうごうg是ぜΓがんま的てき生成せいせい元もと，没ぼつ有ゆう更さら小しょう的てき集合しゅうごう可か生成せいせいΓがんま。
F的てき闭包在ざいΓ的てき作用さよう下か铺满上じょう半平はんぺん面めん。即そく $H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}$ 这里 ${\overline {F}}$ 是これF的てき闭包。

标准基本きほん多た边形[编辑]

给定任にん何なん度量どりょう基本きほん多た边形F，用よう有限ゆうげん步ふ可か以构造づくり另一个基本多边形，标准基本きほん多た边形（standard fundamental polygon），它具有ぐゆう额外一组值得注意的性质：

标准多た边形的てき顶点都みやこ是ただし等とう价的。“顶点”是ぜ说两条じょう边相交的点てん。“等とう价”意味いみ着ぎ每ごと个顶点てん可か以由Γがんま中ちゅう某ぼう个g变到任にん何なん其它一いち个顶点てん。
边数可か被ひ4整除せいじょ。
Γがんま中ちゅう一いち个给定てい元素げんそg至いたり多おお将はた多た边形的てき一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来でき。由よし于Γがんま的てき作用さよう保持ほじ定てい向むかい，如果一いち条じょう边为 $A$ ，则这一对中另一个可以标记为相反的方向 $A^{-1}$ 。
可か以安排はい标准多た边形的てき边，使つかい得とく相しょう邻边取形式けいしき $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}$ 。这就是ぜ说边对可安やす排はい成なり以这样的方式ほうしき相しょう间出现。
标准多た边形是ぜ凸とつ集しゅう。
边可以安排はい成なり测地线。

上面うわつら的てき构造足あし够保证多边形的てき每ごと条じょう边在流りゅう形がたH/Γがんま中ちゅう是ぜ一いち个闭（非ひ平凡へいぼん）环路。就其本身ほんみ而言，每まい条じょう边可以为基本きほん群ぐん $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 中ちゅう一いち个元素げんそ。特とく别地，基本きほん群ぐん $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 有ゆう2n个生成せいせい元素げんそ $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{n}B_{n}$ ，由よし一个约束定义，

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

所得しょとく流りゅう形がたH/Γ的てき亏格是ぜn。

例れい子こ[编辑]

度量どりょう基本きほん多た边形与あずか标准多た边形通常つうじょう有ゆう不同ふどう的てき边数。比ひ如，环面的てき标准基本きほん多た边形是ぜ一いち个基本きほん平行へいこう四よん边形（fundamental parallelogram）。相そう比ひ而言，度量どりょう基本きほん多た边形有ゆう六ろく条じょう边，是ぜ一いち个六ろく边形。只ただ需注意ちゅうい到いた六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是ぜ，取と格かく中ちゅう一いち点てん，然しか后きさき考こう虑连接せっ这点与あずか邻点的てき直ちょく线之集合しゅうごう。每まい个这样的线被另一いち条じょう垂直すいちょく线平分ぶん，被ひ这样的てき第だい二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事こと实后，上うえ一个构造一般都可行：取と一いち点てんx，然しか后きさき对Γがんま中なかg，考こう虑x与あずかgx之これ间的测地线。平分へいぶん这些测地线是另一个曲线集合しゅうごう，这些点てん的てき轨迹与あずかx和わgx距离相等そうとう。由よし第だい二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

面めん积[编辑]

标准基本きほん多た边形的てき面めん积是 $4\pi (n-1)$ ，这里n是ぜ黎はじむ曼曲面めん的てき亏格（等とう价于4n是ぜ多た边形的てき边数）。由よし于标准なぞらえ多た边形是ぜH/Γ的てき一いち个代表だいひょう，黎はじむ曼曲面めん的てき整せい个面积等于标准なぞらえ多た边形的てき面めん积。这个面めん积公式しき由ゆかり高こう斯-博はく内ない定理ていり得とく出で，在ざい某ぼう种意义下黎はじむ曼-赫尔维茨公式こうしき（Riemann-Hurwitz formula）是ぜ其推广。

标准多た边形的てき具体ぐたい形式けいしき[编辑]

对标准なぞらえ多た边形可か以给出で具体ぐたい表ひょう达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群 $\Gamma$ 。对一个亏格かくn定てい向こう曲面きょくめん，群ぐん可か由よし2n格かく生成せいせい元もと $a_{k}$ 给出。这些生成せいせい元もと由よし下か列れつ分ぶん式しき线性变换作用さよう在ざい上うえ半平はんぺん面めん给出。

对 $0\leq k<2n$ ：

a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)

参さん数すう由ゆかり

\alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)

和わ

\beta ={\frac {\pi }{4n}}

以及

p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}

给出。可か以验证这些生成せいせい元服げんぷく从约束たば

a_{0}a_{1}\cdots a_{2n-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2n-1}^{-1}=1,\,

这给出で整せい个群ぐん呈示ていじ。

推广[编辑]

在高ありだか維，基本きほん多た变形的てき想そう法体ほうたい现为齐性空そら间。

另见[编辑]

参考さんこう文献ぶんけん[编辑]

Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.