数学すうがくの哲学てつがく

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数学すうがくの哲学てつがく（すうがくのてつがく、英えい: philosophy of mathematics）は、哲学てつがく（科学かがく哲学てつがく）の一いち分野ぶんやで、数学すうがくを条件付じょうけんづけている哲学てつがく的てき前提ぜんていや哲学てつがく的てき基礎きそ、そして数学すうがくの哲学てつがく的てき意味いみを研究けんきゅうするものである。

数理すうり哲学てつがく（すうりてつがく、英えい: mathematical philosophy）という用語ようごが、しばしば「数学すうがくの哲学てつがく」と同義語どうぎごとして使つかわれる[1]。しかしながら、「数理すうり哲学てつがく」は、別べつの意味いみを少すくなくとも二ふたつ持もっている。一ひとつは、例たとえばスコラ学がくの神学しんがく者しゃの仕事しごとやライプニッツやスピノザの体系たいけいが目標もくひょうにしていたような、美学びがく、倫理りんり学がく、論理ろんり学がく、形而上学けいじじょうがく、神学しんがくといった哲学てつがく的てき主題しゅだいを、その主張しゅちょうするところでは、より正確せいかくかつ厳密げんみつな形かたちへと形式けいしき化かするプロジェクトを意味いみする。さらに、個々ここの数学すうがくの実践じっせん者しゃや、考かんがえかたの似にた現場げんばの数学すうがく者しゃの共同きょうどう体たいが日頃ひごろ抱だいているものの考かんがえ方かた（＝哲学てつがく）を意味いみする。

テーマ[編集へんしゅう]

数学すうがくの哲学てつがくで繰くり返かえし検討けんとうされているテーマには以下いかのようなものがある。

  • 数学すうがくで扱あつかわれる主題しゅだいの源泉げんせんは何なにか。
  • 数学すうがく的てき実体じったいの存在そんざい論ろん的てき地位ちいは何なにか。
  • 数学すうがく的てき対象たいしょうを指示しじするとはどういうことか。
  • 数学すうがく的てき命題めいだいの特徴とくちょうは何なにか。
  • 論理ろんり学がくと数学すうがくはどんな関係かんけいにあるか。
  • 数学すうがくにおいて解釈かいしゃく学がくはどんな役割やくわりを果はたすか。
  • 数学すうがくではどんな研究けんきゅうが有用ゆうようか。
  • 数学すうがく的てき研究けんきゅうの目的もくてきは何なにか。
  • どうすれば数学すうがくは現実げんじつ世界せかいと関かかわるか。
  • 数学すうがくの背後はいごにはどんな人間にんげん的てき特性とくせいがあるか。
  • 数学すうがくにおける美びとは何なにか。
  • 数学すうがく的てき真理しんりの源泉げんせんは何なにか、数学すうがく的てき真理しんりとは何なにか。
  • 数学すうがくという抽象ちゅうしょう的てきな世界せかいは、物質ぶっしつ世界せかいとどんな関係かんけいをもつか。

数学すうがくの哲学てつがくの歴史れきし概略がいりゃく[編集へんしゅう]

歴史れきし上じょう、多おおくの思想家しそうかが、数学すうがくとは何なにかに関かんして彼かれらの考かんがえを明あきらかにしてきた。今日きょうでも数学すうがくの哲学てつがく者しゃたちの中なかには、この種たねの問といとその成果せいかをあるがまま説明せつめいしようとする人々ひとびともいるが、他方たほうで、単純たんじゅんな解説かいせつに飽あきたらず、批判ひはん的てき分析ぶんせきへと進すすむ役割やくわりをもって任にんじる人々ひとびともいる。

西洋せいよう哲学てつがくと東洋とうよう哲学てつがくの両方りょうほうに、数学すうがく的てき哲学てつがくの伝統でんとうがある。西洋せいようの数学すうがくの哲学てつがくは、ピタゴラス教団きょうだんの教祖きょうそピタゴラスを源流げんりゅうとして、数学すうがく的てき対象たいしょうの存在そんざい論ろん的てき地位ちいを研究けんきゅうしたプラトンと、論理ろんり学がくや無限むげん（実じつ無限むげんと可能かのう無限むげん）に関かんする諸しょ問題もんだいを研究けんきゅうしたアリストテレスにまで遡さかのぼる。数学すうがくに関かんするギリシア哲学てつがくは、彼かれらの幾何きか学がくの研究けんきゅうの強つよい影響えいきょうの下したにあった。かつてギリシア人じんは、1は数かずではなく、むしろ任意にんいの長ながさの単位たんいであるという意見いけんを持もっていた。数かずは、多おお[2]であると定義ていぎされた。それゆえ、例たとえば、3は、単位たんい長ちょうの多おお[2]を表あらわしており、本当ほんとうの意味いみの数かずでは決けっしてなかった。また同様どうようの理由りゆうで、2は数かずではなく、1対たい（つい）という基本きほん概念がいねんであるとする議論ぎろんが行おこなわれた。この理解りかいは、「直線ちょくせん・辺へん・コンパス」という、たぶんに幾何きか学がく的てきなギリシアの視点してんに由来ゆらいしている。その視点してんとは、幾何きか学がく的てき問題もんだいにおいて描えがかれたいくつかの線せんが最初さいしょに描えがいた任意にんいの長ながさの線せんとの比ひで測定そくていされるのと同様どうように、数かずからなる線上せんじょうに置おかれたそれぞれの数かずは、任意にんいの初はじめの「数かず」つまり1との比ひで測定そくていされる、というものである。これらの初期しょきのギリシアの数かずの概念がいねんは、後のちになって、2の平方根へいほうこんが無理むり数すうであるという発見はっけんによって、打うち倒たおされた。ピタゴラスの門人もんじんであるヒッパソスは、単位たんい正方形せいほうけいの対角線たいかくせんは、その辺あたりと通約つうやく不能ふのうであることを示しめした。換言かんげんすると、彼かれは、単位たんい正方形せいほうけいの対角線たいかくせんとその辺あたりの比ひを正確せいかくにあらわす（有理ゆうり）数すうが存在そんざいしないことを証明しょうめいした。これが原因げんいんとなり、ギリシアの数学すうがくの哲学てつがくは再さい検討けんとうされることとなった。伝承でんしょうによれば、この発見はっけんによって傷きずつけられたピタゴラス教団きょうだんの教徒きょうと達たちは、ヒッパソスが彼かれの異端いたんな考かんがえを広ひろめるのを防ふせぐために、彼かれを殺害さつがいした。

ライプニッツとともに、焦点しょうてんは数学すうがくと論理ろんり学がくの関係かんけいへと、強力きょうりょくに移動いどうした。この見方みかたはフレーゲとラッセルの時代じだいを通とおして数学すうがくの哲学てつがくを支配しはいしたが、19世紀せいき終期しゅうきと20世紀せいき初頭しょとうにおける発展はってんによって疑問ぎもんを付ふされるようになった。

20世紀せいきにおける数学すうがくの哲学てつがく[編集へんしゅう]

数学すうがくの哲学てつがくのかわらない課題かだいの一ひとつは、論理ろんり学がくと数学すうがくの双方そうほうの基礎きそにつながる、相互そうごの関係かんけいに関かかわっている。20世紀せいきの哲学てつがく者しゃが本ほん記事きじの冒頭ぼうとうに掲かかげたような様々さまざまな問といを立たてていく中なかで、20世紀せいきの数学すうがくの哲学てつがくは形式けいしき論ろん理学りがく、集合しゅうごう論ろん、基礎きそ付づけの問題もんだいへの目立めだった関心かんしんによって特徴付とくちょうづけられる。

一方いっぽうで数学すうがく的てき真理しんりが避さけがたく必然ひつぜん的てきであるように思おもえるのに、他方たほうでその「真理しんり性せい」の源泉げんせんがとらえどころがないままなのは、なかなか理解りかいしがたい謎なぞと言いえる。この問題もんだいの研究けんきゅうは、数学すうがくの基礎きそ付づけのプログラムとして知しられる。

20世紀せいきの初はじめ、数学すうがくの哲学てつがく者しゃたちはすでに、これら全すべての問題もんだいに関かんして、数学すうがくの認識にんしき論ろんと存在そんざい論ろんをどのように思おもい描えがくかをめぐって、多様たような学派がくはに分わかれていた。3つの学派がくはすなわち形式けいしき主義しゅぎ、直観ちょっかん主義しゅぎ、論理ろんり主義しゅぎがこのとき現あらわれたのは、部分ぶぶん的てきには、それまで当然とうぜんのことと考かんがえられていた確実かくじつ性せいと厳密げんみつ性せいの基準きじゅんを当時とうじの数学すうがく、とくに解析かいせき学がくが満みたしていないのではないかという当時とうじ広ひろがりつつあった懸念けねんへの応答おうとうであった。当時とうじこの問題もんだいは焦眉しょうびの課題かだいであり、問題もんだいの解決かいけつを試こころみるのであれ、数学すうがくには我々われわれの最もっとも信頼しんらいできる知識ちしきという地位ちいを授さずかる資格しかくがないと主張しゅちょうするのであれ、どの学派がくはもこの問題もんだいに取とり組くんだ。

20世紀せいきの初はじめに形式けいしき論ろん理学りがくと集合しゅうごう論ろんが驚おどろくべき、そして反はん直感ちょっかん的てきな発展はってんを遂とげた結果けっか、「数学すうがくの基礎きそ」と伝統でんとう的てきに呼よばれてきたものに関係かんけいする新あらたな疑問ぎもんが生しょうじた。紀元前きげんぜん300年ねん前後ぜんこうのユークリッドの時代じだい以来いらい、公理こうりに基もとづく手法しゅほうは、数学すうがくの自然しぜんな基点きてんだと受うけ止とめられていたが、20世紀せいきが進すすむにつれ、当初とうしょの関心かんしんの焦点しょうてんが拡張かくちょうされ、数学すうがくの基礎きそ的てきな公理こうりに対たいする制限せいげんのない探求たんきゅうへと至いたるようになった。公理こうり、命題めいだい、そして証明しょうめいといった観念かんねん、そしてまた数学すうがく的てき対象たいしょうの命題めいだいの真理しんりについての観念かんねんが、形式けいしき化かされ、数学すうがく的てきに扱あつかうことが許ゆるされるようになった。ツェルメロ＝フレンケルの公理系こうりけいは、多おおくの数学すうがく的てき議論ぎろんを解釈かいしゃくする概念的がいねんてき枠組わくぐみを提供ていきょうするものとして集合しゅうごう論ろんを定式ていしき化かした。物理ぶつり学がくにおけるのと同様どうように数学すうがくにおいても、新あたらしい、予期よきしないアイデアが登場とうじょうし、特筆とくひつすべき変化へんかが訪おとずれた。ゲーデル数すうによって、数学すうがく理論りろんの無矛盾むむじゅん性せいの研究けんきゅうが可能かのうとなった。検討けんとうされている数学すうがく的てき理論りろんが「それ自体じたい、数学すうがく的てき研究けんきゅうの対象たいしょうとなる」という反省はんせい的てき批判ひはんを、ヒルベルトは「超ちょう数学すうがく」（メタ数学すうがく）（英えい: metamathematics）又または「証明しょうめい論ろん」（英えい: proof theory）と呼よんだ[3]。

20世紀せいきの中なかごろ、圏けん論ろんとして知しられる新あらたな数学すうがく理論りろんが、自然しぜん言語げんごによる数学すうがく的てき思考しこうに対たいする新あらたな競争きょうそう者しゃとして登場とうじょうした（Mac Lane 1998）。しかしながら、20世紀せいきが進すすむにつれ、まさに当初とうしょ提起ていきされた基礎きそ付づけに関かんする疑問ぎもん自体じたいが如何いかによく基礎きそ付つけられるのか、というところへ哲学てつがく的てき関心かんしんは広ひろがっていった。ヒラリー・パトナムは、20世紀せいき後半こうはんの35年間ねんかんの状況じょうきょうについての一ひとつの共通きょうつう見解けんかいを、次つぎのように要約ようやくした。

哲学てつがくが科学かがくにおける誤あやまりを発見はっけんしたときは、しばしば、科学かがくは変かわらざるを得えない。例たとえばラッセルのパラドックスがあるし、バークリーの現実げんじつ的てき無限むげん小しょうへの批判ひはんも思おもい浮うかぶ。しかし、それよりも変かわらなければならないのは哲学てつがくであることのほうが多おおい。私わたしには、哲学てつがくが今日きょうの古典こてん的てき数学すうがくに見出みいだしている困難こんなんが、真しんの困難こんなんとは思おもえない。そして、私わたしは、我々われわれが四方八方しほうはっぽうから提案ていあんされている数学すうがくについての数々かずかずの哲学てつがく的てき解釈かいしゃくは誤あやまっており、「哲学てつがく的てき解釈かいしゃく」はまさに数学すうがくが必要ひつようとしていないものだ、と考かんがえている。 — Putnam, 169-170.

今日きょう、数学すうがくの哲学てつがくは、数学すうがくの哲学てつがく研究けんきゅう者しゃ、論理ろんり学者がくしゃ、数学すうがく者しゃによっていくつもの異ことなる研究けんきゅうの方向ほうこうに進すすんでおり、この主題しゅだいに関かんする多おおくの学派がくはが存在そんざいする。次つぎの節ふしで、これらの学派がくはを個別こべつに取とり上あげ、彼かれらの仮説かせつを説明せつめいする。

現代げんだいの学派がくは[編集へんしゅう]

数学すうがく的てき実在じつざい論ろん[編集へんしゅう]

実在じつざい論ろんが一般いっぱんにそうであるように、数学すうがく的てき実在じつざい論ろんもまた、数学すうがく的てき実体じったいが人間にんげんの心しんとは離はなれたところに実在じつざいしていると考かんがえている。それゆえ、人間にんげんが数学すうがくを発明はつめいしたのではなく、数学すうがくを発見はっけんしたのだ、ということになる。宇宙うちゅうに別べつに知的ちてき生命せいめいがいるとすれば、それがどんな存在そんざいであっても同おなじように数学すうがくを発見はっけんするであろう。この観点かんてんから言いえば、発見はっけんされうる数学すうがくはたった一いち種類しゅるいだけである。例たとえば、三角形さんかっけいは真しんの実体じったいであり、人間にんげんの心しんが生うみだしたものではない。

現場げんばの多おおくの数学すうがく者しゃは数学すうがく的てき実在じつざい論ろん者しゃであった。彼かれらは、彼かれら自身じしんを自然しぜんに発生はっせいする対象たいしょうの発見はっけん者しゃだとみなしている。数学すうがく的てき実在じつざい論ろん者しゃの例れいには、ポール・エルデシュやクルト・ゲーデルも含ふくまれる。ゲーデルは、ある意味いみで感覚かんかく的てき知覚ちかくと同様どうように知覚ちかくされうる客観きゃっかん的てきな数学すうがく的てき実在じつざいを信しんじていた。彼かれらによれば、無む媒介ばいかいに真しんであると考かんがえられる確実かくじつな原理げんり（例たとえば、任意にんいの二ふたつの対象たいしょうについて、正確せいかくにその二ふたつの対象たいしょうによって構成こうせいされる対象たいしょうのコレクションが存在そんざいする）というものがいくつかある。しかし、連続れんぞく体たい仮説かせつのように、そのような原理げんりだけをもとにしては決定的けっていてきに証明しょうめいすることができない仮説かせつもある。ゲーデルによれば、このような仮説かせつを合理ごうり的てきに仮定かていするのに十分じゅうぶんな証拠しょうこを提供ていきょうするために、準じゅん経験けいけん的てきな方法ほうほう論ろんを用もちいることができる。

どんな存在そんざいが数学すうがく的てき実体じったいであるのか、また、どうすれば我々われわれはそれらを知しるのかをめぐって、実在じつざい論ろんの内部ないぶにいくつもの異ことなる立場たちばがある。

プラトニズム[編集へんしゅう]

実在じつざい論ろんの一いち形態けいたいとしてのプラトニズムは、数学すうがく的てき実体じったいが抽象ちゅうしょう的てきであり、空間くうかん的てき時間じかん的てきないし因果いんが的てきな性質せいしつをもたず、永遠えいえん不変ふへんのものであると考かんがえている。数かずというものについて、多おおくの人々ひとびとがこのような見解けんかいを抱だいているとしばしば主張しゅちょうされる。プラトニズムという用語ようごが使つかわれる理由りゆうは、このような観点かんてんが、不変ふへんかつ究極きゅうきょく的てきな実在じつざいに対たいして日常にちじょう的てき世界せかいがその不完全ふかんぜんな近似きんじであるに過すぎないとする、プラトンの（「プラトンの洞窟どうくつ」のたとえで表あらわされる）「イデア界かい」の教きょう説せつとパラレルであるように見みえることに由来ゆらいする。「プラトンの洞窟どうくつ」とか「プラトニズム」というい方いかたには表面ひょうめん的てきというにとどまらない深ふかい意味いみがある。なぜなら、古代こだいギリシアではピタゴラス教団きょうだんが広範こうはんな人気にんきを誇ほこっていたが、この学派がくはによれば世界せかいは文字通もじどおり数かずから生うまれたのであり、そしてこの学派がくはは時間じかん的てきにプラトンの思想しそうに先行せんこうしており、おそらくプラトンの考かんがえはこれに影響えいきょうを受うけているからである。

数学すうがく的てきプラトニズムの主要しゅような問題もんだいは、次つぎのようなものである。数学すうがく的てき実体じったいは、正確せいかくにどこに、またどのように存在そんざいするのか？ また、我々われわれはそれをどのように知しりうるのか？ 我々われわれの物理ぶつり的てき世界せかいと完全かんぜんに分離ぶんりされ、数学すうがく的てき実体じったいによって占有せんゆうされた世界せかいがあるのか？ どうすれば我々われわれはその分離ぶんりされた世界せかいに接近せっきんでき、数学すうがく的てき実体じったいについての真理しんりを発見はっけんできるのか？ 一ひとつの答こたえは数学すうがく的てき宇宙うちゅう仮説かせつ（究極きゅうきょく集合しゅうごう）の理論りろんであろう。この理論りろんに従したがえば、数学すうがく的てきに存在そんざいするすべての構造こうぞうは、それ固有こゆうの世界せかいにおいて物理ぶつり的てきにも存在そんざいするものとされる。

ゲーデルのプラトニズムは、我々われわれを数学すうがく的てき対象たいしょうの直接的ちょくせつてきな知覚ちかくへと導みちびく、特別とくべつな種類しゅるいの数学すうがく的てき直観ちょっかんを前提ぜんていにしている。この考かんがえかたは、フッサールが数学すうがくについて語かたった多おおくのことと類似るいじしており、数学すうがく的てき知識ちしきは総合そうごう的てきかつアプリオリであるとするカントの考かんがえを支持しじしている。フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは共著きょうちょ『数学すうがく的てき経験けいけん』The Mathematical Experienceにおいて、多おおくの数学すうがく者しゃは日頃ひごろはまるでプラトニストであるかのように振舞ふるまっているのに、慎重しんちょうにその立場たちばを表明ひょうめいせざるをえないときには形式けいしき主義しゅぎ（後述こうじゅつ）に後退こうたいすることがある、と指摘してきした。

数学すうがく者しゃの中なかには、さらに微妙びみょうに異ことなるバージョンのプラトニズムに帰着きちゃくする見解けんかいを抱いだく者ものもいる。こういう考かんがえ方かたは、ネオ・プラトニズムと呼よばれることもある。

論理ろんり主義しゅぎ[編集へんしゅう]

論理ろんり主義しゅぎは、数学すうがくは論理ろんり学がくに還元かんげん可能かのうで、ゆえに数学すうがくは論理ろんり学がくの一部いちぶ以外いがいの何者なにものでもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。論理ろんり主義しゅぎ者しゃの考かんがえでは、数学すうがくはアプリオリに知しることができるが、我々われわれの数学すうがくの知識ちしきは我々われわれが論理ろんり学がく全般ぜんぱんについてもっている知識ちしきの一部分いちぶぶんにすぎない。そのためわれわれの数学すうがく知識ちしきにとって、いかなる数学すうがく的てき直観ちょっかんの特別とくべつな能力のうりょくも不要ふようで、命題めいだいの分析ぶんせきをすればよい。論理ろんり主義しゅぎに従したがえば、論理ろんり学がくが数学すうがくの固有こゆうの基礎きそであり、全すべての数学すうがく的てき言明げんめいは必然ひつぜん的てきな論理ろんり的てき真理しんりである。

ルドルフ・カルナップ（1931年ねん）は、論理ろんり主義しゅぎの論点ろんてんを2点てん提示ていじしている。

  1. 数学すうがくの概念がいねんは、論理ろんり学がく的てき概念がいねんから明示めいじ的てきな定義ていぎをとおして導みちびきうる。
  2. 数学すうがくの定理ていりは、論理ろんり学がく的てき公理こうりから純粋じゅんすいに論理ろんり学がく的てきな演繹えんえきによって導みちびきうる。

ゴットロープ・フレーゲが論理ろんり主義しゅぎの創始そうし者しゃであった。独創どくそう的てきな論文ろんぶん『算術さんじゅつの基本きほん法則ほうそく』Die Grundgesetze der Arithmetik の中なかで、彼かれは内包ないほう性せいの一般いっぱん原理げんりを用もちいて、一ひとつの論理ろんり学がく体系たいけいから数学すうがくを作つくりあげている。この内包ないほう性せいの一般いっぱん原理げんりを彼かれは「基本きほんルールV」と呼よんでいる（概念がいねん F と G において、全すべての対象たいしょう a について Ga のときかつそのときに限かぎり Fa であるならば、そのときに限かぎって、F の外延がいえんと G の外延がいえんは等ひとしい）。彼かれはこの原理げんりを論理ろんり学がくの一部いちぶとして受うけ入いれることができると考かんがえた。

しかし、フレーゲの構成こうせいには欠陥けっかんがあった。ラッセルが「基本きほんルールV」に矛盾むじゅんがあることを発見はっけんしたのである。これがラッセルのパラドックスである。この後のちすぐフレーゲは彼かれの論理ろんり主義しゅぎのプログラムを捨すてたが、ラッセルとホワイトヘッドが後継こうけい者しゃとなった。彼かれらは、このパラドックスを「悪循環あくじゅんかん」に由来ゆらいするものとし、これを扱あつかうために「分岐ぶんきタイプ理論りろん」（英えい: ramified type theory）なるものを作つくり上あげた。この理論りろんを用もちいれば最終さいしゅう的てきに近代きんだい数学すうがくの多おおくの部分ぶぶんを作つくり上あげることができるが、しかしその数学すうがくは部分ぶぶん的てきに変更へんこうされており、また非常ひじょうに複雑ふくざつな形式けいしきとなる（例たとえば、それぞれのタイプに異ことなる自然しぜん数すうがあり、無限むげんに多おおくのタイプが存在そんざいする）。彼かれらはまた、数学すうがくの大だい部分ぶぶんを構築こうちくするために、「還元かんげん公理こうり」（英えい: axiom of reducibility）をはじめとするいくつかの妥協だきょうをしなくてはならなかった。ラッセルでさえ、この公理こうりは実際じっさいには論理ろんり学がくに属ぞくするものではない、と述のべたほどであった。

現代げんだいの論理ろんり主義しゅぎ者しゃは（ボブ・ヘイル（Bob Hale）やクリスピン・ライト（Crispin Wright）、おそらくは他たの人々ひとびとも）、フレーゲのものに近ちかいプログラムに回帰かいきしている。彼かれらは基本きほん法則ほうそくVを捨すててしまって、ヒュームの原理げんり（概念がいねん F に帰属きぞくする対象たいしょうの数かずは、概念がいねん G に帰属きぞくする対象たいしょうの数かずと、F の外延がいえんと G の外延がいえんが一対一いちたいいち対応たいおうさせられるとき、かつそのときに限かぎり、等ひとしい。）のような抽象ちゅうしょう原理げんりを支持しじしている。フレーゲは数かずの明示めいじ的てきな定義ていぎのために基本きほん法則ほうそくVを必要ひつようとしたが、数かずの全すべての性質せいしつはヒュームの原理げんりから導みちびき出だせる。これはフレーゲにとって不満ふまんの残のこる原理げんりであっただろう。（彼かれの言葉ことばを換言かんげんすれば）実際じっさいのところ、数すう3がジュリアス・シーザーと同一どういつである可能かのう性せいを排除はいじょしないからである。加くわえて、彼かれらが基本きほん法則ほうそくVを置おき換かえるために採用さいようせざるをえなかった弱よわめられた原理げんりの多おおくは、もほやそれほど明白めいはくに命題めいだい分析ぶんせき的てきではなく、したがって純粋じゅんすいに論理ろんり学がく的てきでもないように思おもえる。

もし数学すうがくが論理ろんり学がくの一部分いちぶぶんであるならば、数学すうがく的てき対象たいしょうに関かんする疑問ぎもんは、論理ろんり学がく的てき対象たいしょうへの疑問ぎもんへと還元かんげんされる。しかしそれでは、論理ろんり的てき概念がいねんの対象たいしょうとは何なになのか？ この視点してんからは、論理ろんり主義しゅぎは、完全かんぜんな回答かいとうを与あたえることなく、数学すうがくの哲学てつがくに関かんする疑問ぎもんを論理ろんり学がくに関かんする疑問ぎもんに移動いどうさせたようにみえるかもしれない。

経験けいけん主義しゅぎ[編集へんしゅう]

経験けいけん主義しゅぎは実在じつざい論ろんの一種いっしゅであるが、数学すうがくがアプリオリに知しられうるということを全まったく否定ひていするものである。経験けいけん主義しゅぎは、ちょうどすべての他ほかの科学かがくの事実じじつがそうであるように、我々われわれは経験けいけん的てきな探求たんきゅうによって数学すうがく的てき事実じじつを発見はっけんする、とする。経験けいけん主義しゅぎは、20世紀せいき初頭しょとうに唱導しょうどうされた古典こてん的てきな3つの立場たちばとは別べつに、同どう世紀せいき中葉ちゅうように最初さいしょに成立せいりつした。ただし同様どうようの見解けんかいは先駆せんく的てきにはジョン・スチュワート・ミルが提起ていきしていた。ミルの見解けんかいは広ひろく批判ひはんされた。なぜなら、その見解けんかいに従したがえば、「2 + 2 = 4」のような言明げんめいでも不ふ確実かくじつで偶然ぐうぜん的てきな真理しんりにすぎず、2個この事物じぶつが2組くみ合あわさると4つとなることを観察かんさつすることによってしか学まなぶことができないものとされてしまうからである。

クワインとパトナムによって定式ていしき化かされた現代げんだいの数学すうがく的てき経験けいけん主義しゅぎの主おもな論拠ろんきょは、不可欠ふかけつ性せい論法ろんぽう（英えい: indispensability argument）である。これは、数学すうがくは全すべての経験けいけん科学かがくにとって不可欠ふかけつであり、もし我々われわれがその科学かがくによって記述きじゅつされる現象げんしょうの実在じつざい性せいを信しんじたいのであれば、我々われわれはその記述きじゅつのために必要ひつようとされるそれらの事物じぶつの実在じつざい性せいもまた信しんじなくてはならない。つまり、電球でんきゅうがあのように振舞ふるまうのは何故なぜなのか述のべるために物理ぶつり学がくは電子でんしに言及げんきゅうしなければならないのだから、電子でんしは実在じつざいしているはずである。科学かがくがその説明せつめいを提供ていきょうするのに数かずについて語かたる必要ひつようがあるのだから、数かずは実在じつざいしているはずである。クワインとパトナムの哲学てつがく全体ぜんたいからは、これは自然しぜん主義しゅぎ的てきな議論ぎろんである。この立場たちばは数学すうがく的てき対象たいしょうの存在そんざいを経験けいけんの最善さいぜんの説明せつめいとして論ろんじ、そのようにして、数学すうがくからそれを他たの科学かがくから区別くべつしているものを剥はぎ取とる。

パトナムは「プラトニスト」という言葉ことばを、いかなる本当ほんとうのいみでの数学すうがく的てき実践じっせんにも必要ひつようとされない特定とくていの存在そんざい論ろんを示唆しさする言葉ことばとして、強つよく拒否きょひした。彼かれは一種いっしゅの「純粋じゅんすいな実在じつざい論ろん」（英えい: pure realism）を擁護ようごした。それは、真理しんりについての神秘しんぴ的てきな考かんがえ方かたを拒否きょひし、数学すうがくにおける準じゅん経験けいけん主義しゅぎを大おおいに受うけ入いれるものであった。彼かれは、「純粋じゅんすいな実在じつざい論ろん」という言葉ことばを生うみ出だすことにかかわった（後述こうじゅつ）。

数学すうがくについての経験けいけん主義しゅぎ的てきな見解けんかいへのもっとも重要じゅうような批判ひはんは、ミルに対たいして提起ていきされたものとおおよそ同おなじである。もし数学すうがくが他たの科学かがくと同おなじだけ経験けいけん的てきならば、そのことは数学すうがくの結果けっかも他たの科学かがくの結果けっかと同おなじだけ誤あやまりやすく、同おなじだけ偶然ぐうぜん的てきであることを意味いみしている。ミルの場合ばあいは経験けいけん的てき正当せいとう化かは無む媒介ばいかい的てきになされたが、クワインの場合ばあいは間接かんせつ的てきで、科学かがく理論りろん全体ぜんたいの整合せいごう性せい（エドワード・オズボーン・ウィルソンのいうところのコンシリエンス）を通とおしてなされる。クワインが指摘してきするところでは、数学すうがくが完全かんぜんに確実かくじつなようにみえるのは、数学すうがくが演えんじている役割やくわりが我々われわれの信念しんねんの網あみの非常ひじょうに中央ちゅうおうにあるからであり、それを修正しゅうせいすることは我々われわれにとって不可能ふかのうではないまでもとてつもなく困難こんなんだからである。 クワインとゲーデルのアプローチの欠点けってんをそれぞれの面めんから克服こくふくしようと試こころみる数学すうがくの哲学てつがくについては、ペネロプ・マディー (Penelope Maddy) の著書ちょしょ『数学すうがくにおける実在じつざい論ろん』Realism in Mathematicsを参照さんしょうせよ。

形式けいしき主義しゅぎ[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「形式けいしき主義しゅぎ (数学すうがく)」を参照さんしょう

形式けいしき主義しゅぎとは、数学すうがく的てき言明げんめいはいくつかの記号きごう列れつの操作そうさルールの帰結きけつについての言明げんめいとみなしてよいと考かんがえるものである。例たとえば、ユークリッド幾何きか学がくという「ゲーム」（つまり、「公理こうり」という名なのいくつかの記号きごう列れつと、与あたえられた記号きごう列れつから新あたらしい記号きごう列れつを生成せいせいする「推理すいり規則きそく」からなるものとみなすということ）において、ピタゴラスの定理ていりが成立せいりつする（すなわち、ピタゴラスの定理ていりに対応たいおうする記号きごう列れつを生成せいせいできる）ということは証明しょうめい可能かのうである。形式けいしき主義しゅぎによるなら、数学すうがく的てき真理しんりとは、数かずとか集合しゅうごうとか三角形さんかっけいといったものについての真理しんりではない。実みのところ、なにものかに「ついての」真理しんりなどでは全まったくない。

別べつの種類しゅるいの形式けいしき主義しゅぎはしばしば演繹えんえき主義しゅぎ（英えい: deductivism）という名前なまえで知しられている。演繹えんえき主義しゅぎによれば、ピタゴラスの定理ていりは絶対ぜったい的てきな真理しんりではなく、相対そうたい的てきな真理しんりである。「もし」ゲームの規則きそくが真しんになるような仕方しかたで文字もじ列れつに意味いみが与あたえられるなら、「そのとき」定理ていりを真しんと認みとめなくてはいけない。あるいはむしろ、それに与あたえられた解釈かいしゃくが真しんなる言明げんめいであるとしなければならない。他たのすべての数学すうがく的てき言明げんめいについても同おなじことが真しんとされる。それゆえ、形式けいしき主義しゅぎでは、数学すうがくは意味いみのない記号きごうゲームにすぎないと考かんがえる必要ひつようはない。ゲームの規則きそくが妥当だとうするなんらかの解釈かいしゃくが存在そんざいするということが通常つうじょう期待きたいされているからである（この立場たちばを構造こうぞう主義しゅぎと比較ひかくせよ）。しかし、形式けいしき主義しゅぎによって現場げんばの数学すうがく者しゃたちは仕事しごとを続つづけることができるし、いくつかの問題もんだいを哲学てつがく者しゃや自然しぜん科学かがく者しゃに委ゆだねることができる。多おおくの形式けいしき主義しゅぎ者しゃは、どんな公理系こうりけいを研究けんきゅうすべきかは、実際じっさい上じょう、自然しぜん科学かがくや他たの数学すうがく領域りょういきの要求ようきゅうによって示唆しさされると言いうであろう。

ダフィット・ヒルベルト

形式けいしき主義しゅぎを唱となえた初期しょきの最もっとも有名ゆうめいな人物じんぶつはダフィット・ヒルベルトであった。ヒルベルトのプログラムとは、数学すうがく全体ぜんたいを完全かんぜんかつ無矛盾むむじゅんな仕方しかたで公理こうり化かしようとするものであった。ここで無矛盾むむじゅんとは、体系たいけい上じょういかなる矛盾むじゅんも生しょうじないということである。ヒルベルトは、「有限ゆうげん算術さんじゅつ」（通常つうじょうの算術さんじゅつの下位かい体系たいけいで、自然しぜん数すうについて哲学てつがく的てきに議論ぎろんしようもないよう選えらばれたもの）は無矛盾むむじゅんであるという仮定かてい条件じょうけんのもとで、数学すうがくの体系たいけい的てき無矛盾むむじゅん性せいを示しめそうとしたのである。しかし、完全かんぜんかつ無矛盾むむじゅんな数学すうがく体系たいけいを作つくりだそうというヒルベルトの目標もくひょうは、ゲーデルの第だい2不完全性ふかんぜんせい定理ていりによって完全かんぜんに潰ついえた。不完全性ふかんぜんせい定理ていりによれば、十分じゅうぶんな表現ひょうげん力りょくを持もつ無矛盾むむじゅんな公理こうり体系たいけいは自身じしんの無矛盾むむじゅん性せいを決けっして証明しょうめいできないからである。このような公理こうり体系たいけいはかならず有限ゆうげん算術さんじゅつを下位かい体系たいけいとして含ふくむことになるから、ゲーデルの定理ていりは、有限ゆうげん算術さんじゅつに関かんする体系たいけいの無矛盾むむじゅん性せいが証明しょうめい不可能ふかのうであることも含意がんいしている（自己じこの無矛盾むむじゅん性せいを証明しょうめいすることになるが、ゲーデルによってそれが不可能ふかのうであることが証明しょうめいされている）。それゆえ、無矛盾むむじゅんであると証明しょうめいしようとしている体系たいけいよりもある意味いみで強力きょうりょくな無矛盾むむじゅん性せいを数学すうがく体系たいけいが備そなえているのだということをまず前提ぜんていしておかなければ、数学すうがくのどんな公理こうり体系たいけいも実際じっさいに無矛盾むむじゅんであることを示しめすことはできないことになる。

初期しょきのヒルベルトは演繹えんえき主義しゅぎ者しゃであったが、上記じょうきのように、メタ数学すうがく的てき方法ほうほうが本質ほんしつ的てきに有意ゆうい味あじな結果けっかを生うみ出だすと考かんがえ、有限ゆうげん算術さんじゅつに関かんして実在じつざい論ろんの立場たちばに立たっていた。後年こうねんには、どんな解釈かいしゃくを取とろうとも有意ゆうい味あじな数学すうがくは他たに一切いっさいありえないという見解けんかいをもつようになった。

ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーら他たの形式けいしき主義しゅぎ者しゃたちは、数学すうがくとは形式けいしき公理系こうりけいの研究けんきゅうのことであると考かんがえた。数理すうり論理ろんり学者がくしゃは形式けいしき体系たいけいを研究けんきゅうしているが、形式けいしき主義しゅぎの立場たちばに立たつ研究けんきゅう者しゃも実在じつざい論ろんの立場たちばに立たつ研究けんきゅう者しゃも同どう程度ていどにいる。

形式けいしき主義しゅぎの信奉しんぽう者しゃは、論理ろんり学がくや非ひ標準ひょうじゅん的てき数すう系けい、新あたらしい集合しゅうごう論ろんなどといった新あらたなアプローチに対たいして比較的ひかくてき寛容かんようであり、これらのアプローチを推進すいしんしている。われわれが研究けんきゅうするゲームが多おおければ多おおくほどよい。もっとも、例れいに挙あげたこの3つのアプローチの動機どうきづけになっているのは、すべて現在げんざいの数学すうがく的てきないし哲学てつがく的てき関心かんしんである。「ゲーム」は通常つうじょう恣意しい的てきなものではないのである。

形式けいしき主義しゅぎに対たいする主要しゅような批判ひはんは、数学すうがく者しゃたちの念頭ねんとうにある現在げんざいの数学すうがく的てき概念がいねんは、前述ぜんじゅつした記号きごう列れつ操作そうさゲームとは縁えんもゆかりもないということである。例たとえば形式けいしき主義しゅぎはどんな公理系こうりけいを研究けんきゅうすべきかという問といに対たいしては沈黙ちんもくする。形式けいしき主義しゅぎ的てき観点かんてんからはどの公理系こうりけいも同等どうとうに有ゆう意味いみだからである。

近年きんねんでは、形式けいしき主義しゅぎの立場たちばに立たつ数学すうがく者しゃたちの中なかには、われわれの「形式けいしき的てき」な数学すうがく知識ちしきのすべてをコンピュータ読よみ取とり可能かのうな形態けいたいで体系たいけい的てきにコード化かすることを提案ていあんした者ものたちもいる。これによって数学すうがく的てき証明しょうめいの自動じどう検証けんしょうが容易よういに行おこなえるようになり、数学すうがく理論りろんとコンピュータ・ソフトウェアの発展はってんのために双方向そうほうこう定理ていり証明しょうめいを用もちいることができるようになるというのである。 この考かんがえ方かたはコンピュータサイエンスと密接みっせつに結むすびついているので、「計算けいさん可能かのう性せい」研究けんきゅうの流ながれのもとで数学すうがく的てき直観ちょっかん主義しゅぎと数学すうがく的てき構築こうちく主義しゅぎを擁護ようごすることにもなった（後述こうじゅつ）。概略がいりゃくはQEDプロジェクトを参照さんしょう。

直観ちょっかん主義しゅぎ[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「直観ちょっかん主義しゅぎ (数学すうがくの哲学てつがく)」を参照さんしょう

数学すうがくにおける直観ちょっかん主義しゅぎとは、「非ひ経験けいけん的てきな数学すうがく的てき真理しんりはありえない」（L・E・J・ブラウワー）をモットーとする方法ほうほう論ろん的てき改革かいかくのプログラムである。直観ちょっかん主義しゅぎの信奉しんぽう者しゃはこのモットーを出発しゅっぱつ点てんに、彼かれらが矯正きょうせい可能かのうであると考かんがえた数学すうがくの一部分いちぶぶんについて、存在そんざい、生成せいせい、直観ちょっかん、知識ちしきといったカント的てき概念がいねんに従したがって再さい構築こうちくしようとした。運動うんどうの創始そうし者しゃであるブラウワーは、数学すうがく的てき対象たいしょうは「アプリオリ」な形式けいしきの意思いし作用さようから生しょうじるのであり、この意思いし作用さようが経験けいけん的てき対象たいしょうの知覚ちかくを活気かっきづけるのだとした（CDP, 542）。

レオポルト・クロネッカーは「自然しぜん数すうは神かみに由来ゆらいし、他たのすべては人間にんげんの産物さんぶつである」と述のべている。直観ちょっかん主義しゅぎ擁護ようご派はの主要しゅよう人物じんぶつは、いかなる種類しゅるいの形式けいしき化かされた論理ろんり学がくも数学すうがくにとって有益ゆうえきでないとしたブラウワーであった。彼かれの学生がくせいであったアレン・ハイティングは直観ちょっかん論理ろんりを定式ていしき化かした。これは、古典こてん的てきなアリストテレス論ろん理学りがくとは異ことなるものである。直観ちょっかん論理ろんりは排中律はいちゅうりつを含ふくまず、従したがって背理法はいりほうを認みとめない。また直観ちょっかん主義しゅぎ的てき集合しゅうごう論ろんの多おおくにおいては、若干じゃっかんの例外れいがいを除のぞいて選択せんたく公理こうりも斥しりぞけられている。直観ちょっかん主義しゅぎに基もとづいて後年こうねん行おこなわれた重要じゅうような研究けんきゅうとしてはエレット・ビショップによるものがある。ビショップは実じつ解析かいせきの主要しゅよう公理こうりを直観ちょっかん主義しゅぎ的てき観点かんてんから定義ていぎし直なおし、その証明しょうめいを行おこなおうとした。

直観ちょっかん主義しゅぎの「明白めいはくな構成こうせい」という用語ようごの定義ていぎは曖昧あいまいであり、批判ひはんを浴あびた。この欠陥けっかんを補おぎなうため チューリングマシーンや計算けいさん可能かのう関数かんすうといった概念がいねんを用もちいることが試こころみられ、有限ゆうげんなアルゴリズムのふるまいに関かんする問題もんだいだけが有意ゆうい味あじであり、数学すうがく的てき研究けんきゅうの対象たいしょうであるべきであるといった主張しゅちょうがなされた。アラン・チューリングによって提案ていあんされた計算けいさん可能かのう数すうの研究けんきゅうも行おこなわれた。従したがって、直観ちょっかん主義しゅぎのアプローチがしばしばコンピュータサイエンスの理論りろんと結むすびついているのも不思議ふしぎなことではない。

構成こうせい主義しゅぎ[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「構成こうせい主義しゅぎ (数学すうがく)」を参照さんしょう

直観ちょっかん主義しゅぎと同様どうよう、構成こうせい主義しゅぎもまた、一定いっていの意味いみで明白めいはくに構成こうせいすることのできる数学すうがく的てきなものだけが数学すうがく的てき言説げんせつにおいて認みとめられるべきであるという規制きせい原理げんりを主張しゅちょうする。この考かんがえ方かたによれば、数学すうがくとは人間にんげんの直観ちょっかんの営いとなみであって、有意ゆうい味あじな記号きごうを用もちいたゲームなどではない。そうではなく、数学すうがくとは、われわれが心的しんてき活動かつどうを通つうじて直接ちょくせつ作つくり出だせるものに関係かんけいしている。また、構成こうせい主義しゅぎの支持しじ者しゃたちの中なかには、非ひ構成こうせい的てき証明しょうめい（背理法はいりほうなど）を拒否きょひする者ものもいる。

フィクショナリズム[編集へんしゅう]

数学すうがくにおけるフィクショナリズム（英えい: Fictionalism）は、1980年ねんにハートリー・フィールドが『数かずを用もちいない科学かがく』Science Without Numbersを出版しゅっぱんし、その中なかでクワインの不可欠ふかけつ性せい論法ろんぽうを退しりぞけ、実際じっさいに覆くつがえしたときに有名ゆうめいとなった。クワインは、数学すうがくは私わたしたちのもっとも優すぐれた科学かがく的てきな諸しょ理論りろんのために不可欠ふかけつであり、したがって独立どくりつに存在そんざいする事物じぶつについて言及げんきゅうする真理しんりの主要しゅよう部ぶとして受うけ入いれなくてはならないとしたが、フィールドは不可欠ふかけつではなく、したがって実在じつざい的てきな何者なにものにも言及げんきゅうすることのない虚偽きょぎであると指摘してきした。彼かれはこれを、まったく数かずと関数かんすうを用もちいることのないニュートン力学りきがくの完全かんぜんな公理系こうりけいを提供ていきょうすることによって行いった。ヒルベルトの公理系こうりけい（英えい: Hilbert's axioms）の「間あいだにある」（英えい: betweenness）という概念がいねんを使つかって座標ざひょうを付つけることなく空間くうかんを特徴とくちょうづけることをはじめ、それまではベクトル場じょうによって行おこなわれていたことをするために点てんの間あいだのさらなる関係かんけいを加くわえる。ヒルベルトの幾何きか学がくは、それが抽象ちゅうしょう的てきな点てんについて述のべるため、数学すうがく的てきである。しかし、フィールドの理論りろんにおいては、これらの点てんは物理ぶつり的てき空間くうかんにおける具体ぐたい的てきな点てんであって、そのため特別とくべつな数学すうがく的てき対象たいしょうはまったく必要ひつようない。

どのように数学すうがくを使つかうことなく科学かがくを行おこなうかを明あきらかにして、彼かれは、数学すうがくを役やくに立たつフィクションという地位ちいに復権ふっけんさせた。彼かれの示しめしたところによれば、数学すうがく的てき物理ぶつり学がくは、彼かれの非ひ数学すうがく的てき物理ぶつり学がくの保守ほしゅ的てきな拡大かくだい（英えい: conservative extension）の一ひとつであり（つまり、数学すうがく的てき物理ぶつり学がくで証明しょうめい可能かのうなすべての物理ぶつり的てき事実じじつは、彼かれの非ひ数学すうがく的てき物理ぶつり学がく体系たいけいですでに証明しょうめい可能かのうであり）、数学すうがくはその物理ぶつり的てき現象げんしょうへの応用おうようがすべて真しんであるような信頼しんらいできるプロセスではあるが、それ自体じたいの言明げんめいは偽にせなのである。したがって、私わたしたちが数学すうがくを行おこなうとき、万まんが一いち、数かずが存在そんざいするならばと、私わたしたちは自分じぶんたちがある種しゅの物語ものがたりを語かたっているにすぎない。フィールドにとって、ちょうど「シャーロック・ホームズはベーカー街がい221Bに住すんでいる」という言明げんめいが偽にせなのと同おなじように、「2 + 2 = 4」といった言明げんめいは偽にせなのである —もっとも、これらの両方りょうほうの言明げんめいとも、適切てきせつなフィクションにもとづけば真しんではあるが。

この説明せつめいによれば、数学すうがくだけに特有とくゆうの形而上学けいじじょうがく的てきまたは認識にんしき論ろん的てきな問題もんだいは存在そんざいしない。残のこされた問題もんだいは、非ひ数学すうがく的てき物理ぶつり学がくについての一般いっぱん的てきな問題もんだいと、フィクション一般いっぱんについての問題もんだいだけなのである。フィールドのアプローチは非常ひじょうに影響えいきょう力りょくがあったが、今日きょうでは広ひろく拒絶きょぜつされている。これは、一ひとつには、フィールドの還元かんげんを行おこなうために二に階かいの論理ろんりの強つよい断片だんぺん（英えい: strong fragments）が必要ひつようとされるからであり、また彼かれの保守ほしゅ的てきな理論りろんの言明げんめいは抽象ちゅうしょう的てきなモデルや演繹えんえきに対たいして量りょう化かを必要ひつようとするように思おもえるからである。他たの異議いぎとしては、量子りょうし論ろんや周期しゅうき表ひょうのようないくつかの科学かがくの成果せいかを、数学すうがくなしでどのように得えることができるのかはっきりしない、というものがある。もし、ある元素げんそを他たの元素げんそと区別くべつするものが電子でんしや中性子ちゅうせいし、陽子ようしの数かずに他たならないならば、どのようにして数すうの概念がいねんなしに元素げんそを区別くべつすればよいのだろうか？[要よう出典しゅってん]

身体しんたい化か理論りろん[編集へんしゅう]

身体しんたい化か理論りろん（英えい: Embodied mind theories）によれば、数学すうがく的てき思考しこうは我々われわれの物理ぶつり的てき世界せかいに存そんする認知にんち器官きかんの自然しぜんな派生はせい物ぶつである。例たとえば、数かずという抽象ちゅうしょう的てきな概念がいねんは、離散りさん的てきな対象たいしょうを数かぞえるという経験けいけんに源みなもとを持もつ。数学すうがくは普遍ふへん的てきではないし、いかなる本当ほんとうの意味いみでも人間にんげんの脳のうの中なか以外いがいには存在そんざいするわけではない、とする。数学すうがくは、人間にんげんによって発見はっけんされたのではなく、人間にんげんによって構築こうちくされたのである。

したがって、この観点かんてんにおいては、物理ぶつり的てき宇宙うちゅうはまた数学すうがくの究極きゅうきょく的てきな基礎きそと見みなされる。それは、脳のうの進化しんかを導みちびき、脳のうがどのような問題もんだいについて調査ちょうさする価値かちを見出みいだすのかを決定けっていした。しかし、人間にんげんの心しんには殊ことさら実在じつざい性せいを要求ようきゅうする傾向けいこうも、数学すうがくをもとにして作つくり出だされた実在じつざい性せいへの特別とくべつな接近せっきん法ほうも持もってはいない。オイラーの等式とうしきのような構成こうせい物ぶつが真しんであるとすれば、それらは人間にんげんの心しんと認識にんしきの写像しゃぞうとして真まなのである。

したがって、身体しんたい化か理論りろんは、数学すうがくの有効ゆうこう性せいを、数学すうがくは脳のうによってこの宇宙うちゅうで有効ゆうこうであるようにと構築こうちくされたからであると説明せつめいする。

この視点してんによる有名ゆうめいな論述ろんじゅつは、ジョージ・レイコフとラファエル・ヌニェス（英語えいご版ばん）（Rafael E. Núñez）の『数学すうがくの認知にんち科学かがく』Where Mathematics Comes Fromである。加くわえて、数学すうがく者しゃキース・デヴリン（Keith Devlin）も、著書ちょしょ『数学すうがく的てき本能ほんのう』The Math Instinctにおいて、似にたようなコンセプトを検討けんとうした。この視点してんから喚起かんきされたさらなる哲学てつがく的てきなアイデアについては、数学すうがくの認知にんち科学かがく（英えい: cognitive science of mathematics）を参照さんしょうのこと。

社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎ・社会しゃかい的てき実在じつざい主義しゅぎ[編集へんしゅう]

社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎや社会しゃかい的てき実在じつざい論ろんの理論りろんでは、数学すうがくをなによりまず社会しゃかい的てき構築こうちく物ぶつとして見みる。つまり、文化ぶんかによって変化へんかや変更へんこうが行おこなわれる生産せいさん物ぶつと見みる。自然しぜん科学かがくの他ほかの部門ぶもんと同おなじく、数学すうがくもまたひとつの経験けいけん的てき試こころみであり、その成果せいかは絶たえず検証けんしょうされ、場合ばあいによっては放棄ほうきされるかもしれないとされる。とはいえ、経験けいけん主義しゅぎ的てきには検証けんしょうとは「現実げんじつ」とある種しゅの比較ひかくを行おこなうことであるのに対たいして、社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎが強調きょうちょうするのは、社会しゃかい集団しゅうだんにおける研究けんきゅう上じょうの流行りゅうこうや研究けんきゅうに資金しきん供給きょうきゅうする社会しゃかいの必要ひつように応おうじて数学すうがく研究けんきゅうの方針ほうしんが決定けっていされるこということである。ただし、こうした外部がいぶ的てきな力ちからによってある種しゅの数学すうがく研究けんきゅうが変かえられてしまうということがあるにせよ、数学すうがく的てきな伝統でんとう、方法ほうほう、問題もんだい、意味いみや価値かちといった数すう学者がくしゃたちが文化ぶんか適応てきおうしているさまざまな内的ないてき制約せいやくもまた、数学すうがくという歴史れきし的てきに決定けっていされた学問がくもん分野ぶんやを保持ほじしていく上うえで、強力きょうりょくに働はたらいている。

以上いじょうの考かんがえ方かたは、現場げんばの数学すうがく者しゃたちが従来じゅうらい感かんじてきた、数学すうがくとはいずれにせよ純粋じゅんすいないし客観きゃっかん的てきなものであるという信念しんねんとは相容あいいれない。しかし、社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎの立場たちばからすれば、数学すうがくの基礎きそには実際じっさいにはかなり不ふ確実かくじつなものがある。数学すうがく的てき実践じっせん (mathematical practice) が変化へんかすると、かつての数学すうがくの地位ちいに疑問ぎもんが投なげかけられ、現在げんざいの数学すうがく者しゃたちの共同きょうどう体たいによって要求ようきゅうないし要望ようぼうされる水準すいじゅんに変更へんこうされる。解析かいせき学がくの発達はったつがライプニッツやニュートンの微積分びせきぶん法ほうの再さい検討けんとうから生うまれたとき、こういう変化へんかが起おこったと言いえる。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎの立場たちばからは、さらに、完成かんせいされた数学すうがくが大おおきすぎる地位ちいを与あたえられていることが多おおいのに対たいして、まだしっかりとした証明しょうめいをされていないいわゆるフォーク数学すうがく (folk mathematics) の方ほうは、公理こうり的てき証明しょうめいや数学すうがく的てき実践じっせんにおけるピア・レビューに重おもきを置おきすぎているせいで、十分じゅうぶんに評価ひょうかされない。しかしそれでは、厳密げんみつに証明しょうめいされた成果せいかが強調きょうちょうされすぎていると言いっているだけに思おもえるかもしれない。残のこりはすべて混乱こんらんして不ふ確実かくじつだ、というわけである。

数学すうがくが社会しゃかい的てきなものであるということが最もっとも明白めいはくなのは、数学すうがくのサブカルチャーに当あたる分野ぶんやである。主要しゅような発見はっけんがある数学すうがく部門ぶもんで行おこなわれ、他たの数学すうがく部門ぶもんにも関連かんれんしているということがありうる。それでも、数学すうがく者しゃたちの間あいだに社会しゃかい的てき繋つながりがなければ、関係かんけいは発見はっけんされないままになる。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎの立場たちばからは、それぞれの部門ぶもんはそれぞれ認識にんしき共同きょうどう体たい (epistemic community) を形成けいせいしており、コミュニケーションをしたり数学すうがくの様々さまざまな分野ぶんやを横断おうだんする統一とういつ理論りろん (unifying theories) を研究けんきゅうしようと考かんがえたりするのは大変たいへん難むずかしいと言いえる。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎの立場たちばからは「数学すうがくをする」というプロセスは現実げんじつに意味いみを作つくりだすことなのである。他方たほう、社会しゃかい実在じつざい論ろんの立場たちばからは、人間にんげんの抽象ちゅうしょう化か能力のうりょくや人間にんげんの認知にんちバイアスや数学すうがく者しゃたちの集団しゅうだん的てき知性ちせいの不足ふそくによって、数学すうがく的てき対象たいしょうという実在じつざい世界せかいの理解りかいが妨さまたげられているとされる。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎでは、数学すうがくの基礎きその探求たんきゅうは失敗しっぱいせざるを得えないし、無駄むだかつ無意味むいみであるとして拒絶きょぜつされることもある。社会しゃかい科学かがく者しゃによっては、人種じんしゅ差別さべつやエスノセントリズムの影響えいきょうを受うけているとする説せつもある。これらの考かんがえ方かたの中なかにはポストモダニズムに近ちかいものもある。

社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎへの寄与きよはイムレ・ラカトシュやトマス・ティモチコ (Thomas Tymoczko) によって行おこなわれてきたが、両者りょうしゃを社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎ者しゃと呼よんでよいかは異論いろんもある。もっと最近さいきんではポール・エルネストが社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎ的てきな数学すうがくの哲学てつがくを明白めいはくに定式ていしき化かしている[1]。ポール・エルデシュの仕事しごとが全体ぜんたいとして社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎを進歩しんぽさせたと考かんがえる者ものもいる（ただし本人ほんにんは社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎを否定ひていしている）。エルデシュ数すうなどを通つうじて、「数学すうがくが社会しゃかい的てき活動かつどうである」ということの研究けんきゅうへと人々ひとびとを促うながしたという点てんで、エルデシュの広範こうはんな寄与きよは唯一ゆいいつ無二むにのものだからである。ルーベン・ハーシュもまた社会しゃかい的てきな数学すうがく観かんを奨励しょうれいし、それを「人文じんぶん主義しゅぎ的てき」(humanistic) アプローチと呼よんだ[2]。これはアルヴィン・ホワイトのアプローチに似にているが、細部さいぶは異ことなる[3]。ハーシュと共著きょうちょを記しるしたフィリップ・J・デイヴィスもまた社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎ的てきな数学すうがく観かんに賛同さんどうしていることを表明ひょうめいしている。

社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎアプローチへの批判ひはんは、それが些事さじにばかり執着しゅうちゃくし、数学すうがくが人間にんげんの営いとなみであるという当あたり前まえの説せつを基礎きそにしているということである。厳密げんみつでない推測すいそくや実験じっけんや考察こうさつをしてからでなければ厳密げんみつな証明しょうめいはできないという指摘してきは正ただしいが、それは自明じめいのことであって、誰だれも否定ひていしようとはしない。だとすれば、そんな仕方しかたで、陳腐ちんぷな真実しんじつに基もとづいて数学すうがくの哲学てつがくを特徴とくちょうづけるのは筋違すじちがいというものである。カール・ワイエルシュトラスのような数学すうがく者しゃたちが諸しょ定理ていりを一いちから証明しょうめいしようとしたとき、ライプニッツやニュートンの微積分びせきぶん法ほうが再さい検討けんとうされた。そこには一切いっさい特別とくべつなことも興味深きょうみぶかいこともない。それはもっと一般いっぱん的てきな、厳密げんみつでないものの考かんがえ方かたのトレンドと合致がっちしているからであり、こうした考かんがえ方かたが後のちになって厳密げんみつ化かされる。数学すうがく研究けんきゅうの対象たいしょうと、数学すうがく研究けんきゅうの対象たいしょうの研究けんきゅうとを明確めいかくに区別くべつすべきである。おそらく前者ぜんしゃは大幅おおはばに変化へんかしない。後者こうしゃは絶たえず変動へんどうしている。社会しゃかい理論りろんが論ろんじるのは後者こうしゃであり、プラトニズム等ひとしが論ろんじるのは前者ぜんしゃである。

しかし、社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎ的てきな立場たちばの支持しじ者しゃからはこういう批判ひはんは門前払もんぜんばらいされている。なぜならそうした批判ひはんは、数学すうがくの対象たいしょうそのものが社会しゃかい的てき構築こうちく物ぶつであることに気きづいていないからである。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎによれば、こうした対象たいしょうはなによりまず、人間にんげんの文化ぶんかの領域りょういきに存在そんざいする記号きごう学がく的てきな対象たいしょうなのであり、（ウィトゲンシュタイン的てきに言いえば）物理ぶつり的てき形態けいたいを与あたえられた記号きごうを用もちいて個体こたい内ないに（心的しんてきな）構築こうちく物ぶつを生しょうじさせるという社会しゃかい的てき実践じっせんによって維持いじされる。社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎが考察こうさつしているのは、人間にんげんの文化ぶんかの領域りょういきがプラトニズムの王国おうこくやその他たの物理ぶつり世界せかいを超こえた天国てんごく的てきな存在そんざい領域りょういきに物もの化かされるということなのであり、それは長ながらく慣習かんしゅう的てきに続つづいてきたカテゴリー錯誤さくごなのである。

伝統でんとう的てき学派がくはを超こえて[編集へんしゅう]

1960年代ねんだいから1990年代ねんだいになると、数学すうがくがなぜ役やくに立たつのかということに対たいして基礎きそ付づけや正ただしい解答かいとうを探さがそうとする考かんがえ方かたが本当ほんとうは違ちがうのではないか、と考かんがえる運動うんどうが、数学すうがくにおける真理しんりが何なにを意味いみするのかをめぐる精密せいみつな議論ぎろんや証明しょうめいのような数学すうがく者しゃに特有とくゆうの営いとなみに焦点しょうてんを当あてることに代かわって成長せいちょうした。出発しゅっぱつ点てんとなったのは、物理ぶつり学者がくしゃのユージン・ウィグナーの名高なだかい1960年ねんの論文ろんぶん「自然しぜん科学かがくにおける数学すうがくの不合理ふごうりな有効ゆうこう性せい」The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciencesであった。ウィグナーはこの論文ろんぶんにおいて、数学すうがくと物理ぶつり学がくの幸福こうふくな合致がっちは、大変たいへんよく調和ちょうわしているが、不合理ふごうりであり説明せつめいしがたいと思おもわれると述のべている。

生得しょうとく理論りろんや認知にんち言語げんご学がくといった学派がくははこうした疑義ぎぎに対たいする返答へんとうであるが、提起ていきされた議論ぎろんをこれらの学派がくはに限定げんていすることは難むずかしい。

準じゅん経験けいけん論ろん[編集へんしゅう]

同様どうようの事柄ことがらのうち、実際じっさいには既存きそんの学派がくはに直接ちょくせつ反対はんたいしているわけではないが、既存きそん学派がくはが焦点しょうてんにしている考かんがえ方かたに疑義ぎぎを唱となえているのが、数学すうがくにおける準じゅん経験けいけん論ろんの観念かんねんである。この観念かんねんは、数学すうがくの基礎きそ付づけが存在そんざいするという証明しょうめいは決けっしてできないであろうという20世紀せいき後半こうはんに次第しだいに一般いっぱん的てきになっていた確信かくしんから生うまれた。これは数学すうがくにおけるポストモダニズムと呼よばれることもあるが、この用語ようごは論者ろんしゃによって濫用らんようされていたり中傷ちゅうしょうの的まとになっていることは否いなめない。準じゅん経験けいけん論ろんによれば、数学すうがく者しゃは研究けんきゅうを行おこなう際さいに、定理ていりの証明しょうめいだけではなく仮説かせつの検証けんしょうも行おこなっている。数学すうがく的てき論証ろんしょうは、前提ぜんていから結論けつろんに至いたる真理しんりを伝つたえることもできるし、結論けつろんから前提ぜんていに至いたる虚偽きょぎを伝つたえることもある。イムレ・ラカトシュはカール・ポパーの科学かがく哲学てつがくに示唆しさを受うけて、準じゅん経験けいけん論ろんを発展はってんさせた。

イムレ・ラカトシュの数学すうがくの哲学てつがくは、一種いっしゅの社会しゃかい構築こうちく主義しゅぎと見みられることもあるが、本人ほんにんはそれを意図いとしていたわけではなかった。

こうした方法ほうほうはつねにフォーク数学すうがくの一部いちぶであった。フォーク数学すうがくによって偉大いだいな計算けいさん・測定そくていの作業さぎょうが行おこなわれることがある。実際じっさい、文化ぶんかによっては証明しょうめいとはこうした方法ほうほうのことである場合ばあいもある。

かつてヒラリー・パトナムは、数学すうがく的てき実在じつざい論ろんの立場たちばにたつなら、どんな理論りろんでも準じゅん経験けいけん論ろん的てき方法ほうほうを含ふくまざるをえないと述のべたことがある。パトナムによれば、はじめて数学すうがくをしてみた宇宙うちゅう人じんは、まず準じゅん経験けいけん論ろん的てき方法ほうほうに頼たよるのであって、できれば厳密げんみつで公理こうり的てきな証明しょうめいは差さし控ひかえたいと思おもうのではないか、そして、それでもなお数学すうがくを行おこなっていることになるのではないか、と想像そうぞうしている。ことによると、彼かれらが計算けいさんを誤あやまる危険きけんはほんの少すこし大おおきいかもしれないが。この点てんの詳細しょうさいな論証ろんしょうはThomas Tymockzo (ed), New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology, 1998に掲載けいさいされたパトナムの論文ろんぶん"What Is Mathematical Truth?"を参照さんしょう。

数学すうがくと哲学てつがくの統一とういつ[編集へんしゅう]

数学すうがく的てき記号きごう法ほうや数学すうがく的てき文化ぶんかをよく理解りかいして、旧来きゅうらいの形而上学けいじじょうがく的てき観念かんねんを上記じょうきの学派がくはの特殊とくしゅな形而上学けいじじょうがく的てき観念かんねんと結むすびつけることができるまでになる哲学てつがく者しゃは多おおくない。ややもすればこのことは数学すうがく者しゃと哲学てつがく者しゃの断絶だんぜつを生うんでしまう。この断絶だんぜつゆえに、数学すうがく者しゃたちの中なかには信用しんように値あたいしない哲学てつがくをいつまでも公言こうげんし続つづける者ものもいる。そうした方ほうが、おのれの仕事しごとを活性かっせい化かしてくれる世界せかい観かんがあるはずだと信しんじる彼かれら数すう学者がくしゃたちの不断ふだんの信念しんねんに適かなうからであろう。

社会しゃかい理論りろんや準じゅん経験けいけん論ろん、中なかでも生得しょうとく理論りろんは、現場げんばの数学すうがく者しゃの営いとなみが包含ほうがんしている特有とくゆうの認識にんしきの仕方しかたにもっと目めを向むけようと試こころみたのであったが、実際じっさいのところ、この認識にんしき論ろんを日常にちじょう的てきな人間にんげんの知覚ちかくや日々ひび行おこなわれる知識ちしき習得しゅうとくと関連かんれんづけるまでは行いかなかった。

数学すうがくの言語げんごと自然しぜん言語げんご[編集へんしゅう]

20世紀せいきの言語げんご哲学てつがくの革新かくしんは、数学すうがくがしばしば言いわれるように科学かがくの「言語げんご」であるかどうかという問題もんだいへの関心かんしんを新あらたにさせた。数学すうがく者しゃや物理ぶつり学者がくしゃの多おおくは（また多おおくの哲学てつがく者しゃも）「数学すうがくは言語げんごである」という言明げんめいを正ただしいものと認みとめているが、言語げんご学者がくしゃは、この種たねの言明げんめいの意味いみを検討けんとうしなければならないと考かんがえている。例たとえば、言語げんご学がくが用もちいる道具どうぐは数学すうがくの記号きごう体系たいけい全般ぜんぱんには適用てきようされない。すなわち数学すうがくは他たの言語げんごとは著いちじるしく異ことなる仕方しかたで研究けんきゅうされる。たとえ数学すうがくが言語げんごであるとしても、それは自然しぜん言語げんごとは異ことなるタイプの言語げんごである。実際じっさい、数学すうがくという言語げんごは明確めいかくかつ特定とくていの意味いみを担になわなくてはいけないから、言語げんご学者がくしゃが研究けんきゅうする自然しぜん言語げんごよりも遥はるかに窮屈きゅうくつである。しかしながら、フレーゲとタルスキが数学すうがく的てき言語げんごの研究けんきゅうのために案出あんしゅつした方法ほうほうが、タルスキの学生がくせいであったリチャード・モンタギューや形式けいしき意味いみ論ろんの分野ぶんやで研究けんきゅうしている他ほかの言語げんご学者がくしゃたちによって大幅おおはばに発展はってんし、数学すうがく的てき言語げんごと自然しぜん言語げんごとの違ちがいは見みかけほど大おおきくないかもしれないということを明あきらかにしている。

「言語げんご哲学てつがく」も参照さんしょう

数学すうがくの美学びがく[編集へんしゅう]

多おおくの現場げんばの数学すうがく者しゃは、自分じぶんが課題かだいとするテーマに対たいしてある種しゅの美的びてき感覚かんかくを感かんじるがゆえに、そのテーマに惹ひき付づけられている。哲学てつがくは哲学てつがく者しゃに任まかせ、数学すうがく者しゃは数学すうがくに帰かえろうという意見いけんを時折ときおり聞きくが、それはおそらく、数学すうがくの美びがそこにあるからなのである。

H・E・ハントリーは著書ちょしょ『黄金おうごん比ひ』で、他人たにんによって数学すうがく上じょうの定理ていりが証明しょうめいされるのを読よんだり理解りかいしたりしたいという感情かんじょうは、芸術げいじゅつの傑作けっさくを鑑賞かんしょうしたいという気持きもちに通つうじると述のべている。証明しょうめいを読よむ読者どくしゃは、その証明しょうめいを行おこなった元々もともとの著者ちょしゃと同おなじように理解りかいできたとき、著者ちょしゃに負まけない爽快そうかいさを感かんじる。ハントリーによればそれは、芸術げいじゅつの鑑賞かんしょう者しゃが、その作品さくひんを描えがいた画家がかや造形ぞうけいした彫刻ちょうこく家かと同様どうようの爽快そうかいさを感かんじるのと同おなじようなものなのである。実際じっさい、数学すうがくや科学かがくの著作ちょさくを文学ぶんがくに対たいするような仕方しかたで研究けんきゅうすることができる。

フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは、数学すうがく的てき美びの感覚かんかくは現場げんばの数学すうがく者しゃたちにとって普遍ふへん的てきなものであると述のべている。例たとえば、数学すうがく者しゃたちが√2が無理むり数すうであることを証明しょうめいする仕方しかたには2種類しゅるいある。第だい1のやり方かたはエウクレイデス（ユークリッド）によって始はじめられた伝統でんとう的てきな証明しょうめい法ほうで、背理法はいりほうを用もちいる。第だい2のやり方かたは算術さんじゅつの基本きほん定理ていりに関連かんれんするもっと直接的ちょくせつてきな証明しょうめい法ほうであるが、デイヴィスとハーシュによれば、これが問題もんだいの核心かくしんを衝つくものである。つまり、第だい1の証明しょうめい法ほうより第だい2の証明しょうめい法ほうの方ほうが問題もんだいの本質ほんしつに近ちかいがゆえに、数学すうがく者しゃたちは後者こうしゃの方ほうを美的びてき関心かんしんをそそられる。

ポール・エルデシュの有名ゆうめいな例れいでは、最もっともエレガントないし最もっとも美的びてきな数学すうがく的てき証明しょうめいが掲載けいさいされた一いち冊さつの「本ほん」があると仮定かていされている。結果けっかとして「最もっともエレガント」な証明しょうめいが一ひとつであるかどうかは、意見いけんが分わかれる。グレゴリー・チャイティンはこの考かんがえに反対はんたいしている。

数学すうがく者しゃの美的びてき感覚かんかくやエレガントさの感覚かんかくはどう見みても曖昧あいまい模糊もことしているという批判ひはんが哲学てつがく者しゃたちによって何なん度ども行おこなわれてきた。とはいえ、数学すうがくの哲学てつがく者しゃも同様どうように、2つの証明しょうめいがどちらも論理ろんり的てきに正ただしい場合ばあい、どちらかが他方たほうより望のぞましいと言いえる理由りゆうは何なにかを探さがし求もとめてきた。

数学すうがくに関かんする美学びがくのもう一ひとつの側面そくめんは、非ひ倫理りんり的てきとか不穏当ふおんとうとされる目的もくてきのために数学すうがくを使つかうことができるということに対たいする数学すうがく者しゃの見解けんかいである。この見解けんかいを説明せつめいしたものの中なかで最もっとも有名ゆうめいなのは、G・H・ハーディの著書ちょしょ『一いち数すう学者がくしゃの弁明べんめい』に見出みいだされる。ハーディによれば、純粋じゅんすい数学すうがくは戦争せんそうその他たの目的もくてきのために用もちいることができないがゆえに、応用おうよう数学すうがくよりも美的びてきに優すぐれている。

哲学てつがくの数学すうがく[編集へんしゅう]

哲学てつがくの数学すうがくとは、数学すうがくの一いち分野ぶんやで、数学すうがく的てき方法ほうほうを用もちいて哲学てつがく的てき問題もんだいにアプローチしようとするものである。

例たとえば功利こうり主義しゅぎでは、様々さまざまな状況じょうきょうのもとで行おこなうべき最善さいぜんの行動こうどうが何なにかを明あきらかにするために、快楽かいらくと苦痛くつうという名なの計測けいそく単位たんいを用もちいて、いろいろな複雑ふくざつな公式こうしきを作つくったりする。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]
  1. ^ 例たとえば、Edward Maziarsが1969年ねんに記しるした書評しょひょう（Maziars, Edward A. (1969). “Problems in the Philosophy of Mathematics (Book Review)”. Philosophy of Science 36 (3): 325. ）において、「哲学てつがく的てき数学すうがく（これは主しゅとして数学すうがく者しゃが行おこなう仕事しごとである）と数理すうり哲学てつがく（これは通常つうじょう哲学てつがく者しゃの専門せんもん分野ぶんやである）とを区別くべつ」しようと提案ていあんするとき、彼かれは、「数理すうり哲学てつがく」を「数学すうがくの哲学てつがく」の同義語どうぎごとして使つかっている。
  2. ^ a b 単位たんいがいくつあるかということ。
  3. ^ Kleene, Stephen (1971). Introduction to Metamathematics. Amsterdam, Netherlands: North-Holland Publishing Company. p. 5 

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

より詳くわしく[編集へんしゅう]

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