認識にんしき論理ろんり

認識にんしき論理ろんり（にんしきろんり、英えい: Epistemic logic）は、様相ようそう論理ろんりの一種いっしゅであり、知識ちしきについての推論すいろんを扱あつかう。認識にんしき論ろんは古代こだいギリシアにまで遡さかのぼる哲学てつがくの主題しゅだいの1つだが、認識にんしき論理ろんりは比較的ひかくてき最近さいきんのもので、哲学てつがく、理論りろん計算けいさん機き科学かがく、人工じんこう知能ちのう、経済けいざい学がく、言語げんご学がくなど多数たすうの分野ぶんやに応用おうようされている。アリストテレス以来いらい、哲学てつがく者しゃは様相ようそう論理ろんりを論ろんじ、オッカムやドゥンス・スコトゥスがそれを発展はってんさせてきたが、認識にんしき論理ろんりを初はじめて体系たいけい的てきに定式ていしき化かしたのは C.I. Lewis であった（1912年ねん）。その後ご発展はってんしていき、1963年ねんにソール・クリプキによって今いまの形式けいしきが完成かんせいされた。

1950年代ねんだいには知識ちしきを扱あつかう論理ろんり体系たいけいに関かんする論文ろんぶんが多数たすう書かかれたが、その元もととなったのは1951年ねんに Georg Henrik von Wright が書かいた論文ろんぶん An Essay in Modal Logic である。1962年ねんには、ヤーッコ・ヒンティッカの Knowledge and Belief が発表はっぴょうされた。これは、知識ちしきの意味いみ論ろんを様相ようそう性せいで捉とらえることを示唆しさした最初さいしょの書籍しょせきである。これはそれまでの先人せんじんの築きずいたものの上うえに成なり立たっていたが、研究けんきゅうが本格ほんかく化かしたのはこれ以降いこうであった。例たとえばその後ご、認識にんしき論理ろんりに動的どうてき論理ろんりの考かんがえ方かたを導入どうにゅうすることで公開こうかい的てき告知こくちの論理ろんり (public announcement logic) や product update logic が生うまれ、会話かいわにおける認識にんしきの微妙びみょうな点てんをモデル化かしようとした。

標準ひょうじゅん可能かのう世界せかいモデル

知識ちしきをモデル化かしようとする試こころみの多おおくは可能かのう世界せかいモデルに基もとづいている。そのためには、可能かのう世界せかいをエージェントの持もつ知識ちしきと一致いっちするものと一致いっちしないものに分わける必要ひつようがある。本ほん項目こうもくでは論理ろんりに基もとづくアプローチを論ろんじるが、もう1つ重要じゅうような手法しゅほうとして事象じしょうに基もとづくアプローチがある。その場合ばあい、事象じしょうは可能かのう世界せかいの集合しゅうごうであり、知識ちしきは事象じしょうに対たいする作用素さようそである。2つのアプローチは戦略せんりゃく的てきには密接みっせつに関連かんれんするが、以下いかの2点てんが重要じゅうような違ちがいとなっている。

• 論理ろんりに基もとづくアプローチを支ささえる数学すうがく的てきモデルはクリプキ構造こうぞうだが、事象じしょうに基もとづくアプローチの場合ばあいはオーマン構造こうぞうが関連かんれんする。
• 事象じしょうに基もとづくアプローチでは論理ろんり式しきは全まったく使つかわれないが、論理ろんりに基もとづくアプローチでは様相ようそう論理ろんりの体系たいけいを使つかう。

一般いっぱんに論理ろんりに基もとづくアプローチは哲学てつがく・論理ろんり学がく・人工じんこう知能ちのうで使つかわれ、事象じしょうに基もとづくアプローチはゲーム理論りろんや数理すうり経済けいざい学がくで使つかわれる。論理ろんりに基もとづくアプローチでは、以下いかで示しめすように、統語とうご論ろんと意味いみ論ろんは様相ようそう論理ろんりの言語げんごを使つかって構築こうちくされる。

統語とうご論ろん

認識にんしき論理ろんりの基本きほんの様相ようそう作用素さようそは、通常つうじょう K と表記ひょうきされ、「-ということが既知きちである」、「-ということが認識にんしき論ろん的てきに必須ひっすである」、「-でないということは既知きちのことと一致いっちしない」と解釈かいしゃくされる。知識ちしきを表現ひょうげんすべきエージェントが複数ふくすう存在そんざいする場合ばあい、作用素さようそに添そえ字じを付与ふよし（${\mathit {K}}_{1}$、${\mathit {K}}_{2}$ など）、どのエージェントの知識ちしきを扱あつかっているかを示しめす。したがって $K_{a}\varphi$ は「エージェント $a$ は $\varphi$ ということを知しっている」と解釈かいしゃくされる。以上いじょうのように認識にんしき論理ろんりは、知識ちしき表現ひょうげんに適用てきようされる多重たじゅう様相ようそう論理ろんりの一種いっしゅである。$\Diamond$ と $\Box$ の関係かんけいのように K と双対そうついをなす作用素さようそには決きまった表記ひょうき法ほうがないが、$\neg K_{a}\neg \varphi$ で表あらわされ、「$a$ は $\varphi$ でないということを知しらない」または「$a$ は $\varphi$ という可能かのう性せいを保持ほじする」と解釈かいしゃくされる。「$a$ は $\varphi$ か否ひかを知しらない」という文ぶんは $\neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi$ と表あらわせる。

共有きょうゆう知識ちしきや分散ぶんさん知識ちしきを表現ひょうげんするには、さらに3種類しゅるいの様相ようそう作用素さようそを追加ついかする。${\mathit {E}}_{\mathit {G}}$ は「グループ G に属ぞくする全ぜんエージェントが - を知しっている」と解釈かいしゃくされる。${\mathit {C}}_{\mathit {G}}$ は「- は G に属ぞくする全ぜんエージェントの共有きょうゆう知識ちしきである」と解釈かいしゃくされる。${\mathit {D}}_{\mathit {G}}$ は「- は G に属ぞくする全ぜんエージェントの分散ぶんさん知識ちしきである」と解釈かいしゃくされる。$\varphi$ をこの言語げんごにおける論理ろんり式しきとしたとき、${\mathit {E}}_{G}\varphi$ と ${\mathit {C}}_{G}\varphi$ と ${\mathit {D}}_{G}\varphi$ もこの言語げんごの論理ろんり式しきである。${\mathit {K}}$ の添そえ字じはエージェントが1つしかない場合ばあいには省略しょうりゃくできるが、同様どうように ${\mathit {E}}$、${\mathit {C}}$、${\mathit {D}}$ についても、全ぜんエージェントの集合しゅうごうとなる唯一ゆいいつのグループしかない場合ばあいには添そえ字じを省略しょうりゃくできる。

意味いみ論ろん

先述せんじゅつした通とおり、論理ろんりに基もとづくアプローチは可能かのう世界せかいモデルに基もとづいて構築こうちくされ、その意味いみ論ろんはクリプキ構造こうぞうまたはクリプキモデルの中なかで明確めいかくな形式けいしきを与あたえられる。$\Phi$ に対たいする n 個このエージェントについてのクリプキ構造こうぞう M はタプル $(S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})$ で表あらわされ、ここでの S は「状態じょうたい」または「可能かのう世界せかい」の空そらでない集合しゅうごう、$\pi$ は「解釈かいしゃく」（S に属ぞくする各かく状態じょうたいと $\Phi$ に含ふくまれる命題めいだいの真理しんり値ちの対応たいおう）、${\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}$ は n 個このエージェントについての S 上うえの二に項こう関係かんけいである。なお、様相ようそう作用素さようそ $K_{i}$ とアクセス可能かのう性せい関係かんけい ${\mathcal {K}}_{i}$ は異ことなる概念がいねんである。

真理しんり値ちを割わり当あてることで、命題めいだい p がある状態じょうたいで真しんか偽にせかを示しめす。したがって $\pi (s)(p)$ により、モデル ${\mathcal {M}}$ において s という状態じょうたいでの p の真理しんり値ちがわかる。真理しんり値ちは構造こうぞうにのみ依存いぞんするのではなく、現在げんざいの世界せかいにも依存いぞんする。ある世界せかいで真しんとされていることが別べつの世界せかいでも真しんとは限かぎらない。ある世界せかいで論理ろんり式しき $\varphi$ が真しんであることを示しめすには、$(M,s)\models \varphi$ と記述きじゅつし、「$\varphi$ は (M,s) で真しんである」または「(M,s) は $\varphi$ を満足まんぞくする」などと解釈かいしゃくする。

二に項こう関係かんけい ${\mathcal {K}}_{i}$ は、エージェント i がその事象じしょうが可能かのうだと考かんがえる世界せかいや状態じょうたいを捉とらえることを意味いみしているので、それを「可能かのう性せい」関係かんけいと考かんがえることもできる。また ${\mathcal {K}}_{i}$ は同値どうち関係かんけいと考かんがえることもでき、多おおくの応用おうようではそれが適切てきせつでもある。同値どうち関係かんけいは反射はんしゃ的てきで対称たいしょう的てきで推移すいい的てきな二に項こう関係かんけいである。アクセス可能かのう性せい関係かんけいはそのような性質せいしつを持もたないこともある。知識ちしきではなく信念しんねんをモデル化かする場合ばあいなど、可能かのうな選択せんたくが他ほかにも確たしかに存在そんざいする。

知識ちしきの属性ぞくせい

${\mathcal {K}}_{i}$ を同値どうち関係かんけいと仮定かていし、エージェントの理解りかいが完璧かんぺきだと仮定かていしたとき、知識ちしきのいくつかの属性ぞくせいを導出どうしゅつできる。以下いかの属性ぞくせいは「S5属性ぞくせい」と呼よばれる。

周延しゅうえん公理こうり

この公理こうりは歴史れきし的てき経緯けいいから K と呼よばれている。認識にんしき論ろん的てきに言いえば、エージェントが $\varphi$ を知しっていて $\varphi \implies \psi$ も知しっているとき、そのエージェントは $\psi$ も必かならず知しっているということになる。これを以下いかのように記述きじゅつする。

$(K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi$

知識ちしき一般いっぱん化か規則きそく

$\varphi$ が妥当だとうなら $K_{i}\varphi$ が成なり立たつという属性ぞくせいも導出どうしゅつできる。これは、$\varphi$ が真しんなら、エージェント i が $\varphi$ を知しっているという意味いみではない。これが意味いみするのは、$\varphi$ がエージェントが考慮こうりょする全ぜん可能かのう世界せかいで真しんなら、そのエージェントは全ぜん可能かのう世界せかいで $\varphi$ を知しっているはずだということである。

もし $M\models \varphi$ なら $M\models K_{i}\varphi$

ここで$M\models \varphi$は任意にんいの$s\in S$について$(M,s)\models \varphi$となることを表あらわす。

知識ちしき公理こうりまたは真理しんり公理こうり

この公理こうりは T と呼よばれている。すなわち、あるエージェントがある事実じじつを知しっているなら、その事実じじつは真しんに違ちがいないというものである。これは、知識ちしきと信念しんねんの大おおきな違ちがいとされることが多おおい。偽にせである何なにかを信しんじることはできるが、偽にせである何なにかを「知しる」ことはできない。

$K_{i}\varphi \implies \varphi$

正せいの内省ないせい公理こうり

次つぎの属性ぞくせい（負まけの内省ないせい公理こうり）と共ともに、エージェントが自己じこの知識ちしきについて内省ないせいを持もつことを意味いみし、これらをそれぞれ 4 および 5 と呼よぶ。正せいの内省ないせい公理こうりは KK 公理こうりとも呼よばれ、エージェントは「自分じぶんが知しっているということを知しっている」(knows what they knows) ということを意味いみする。これまで挙あげた公理こうりに比くらべると自明じめいではなく、Timothy Williamson は著書ちょしょ Knowledge and Its Limits の中なかでこれを公理こうりに含ふくめることに対たいして論駁ろんばくしている。

$K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi$

負まけの内省ないせい公理こうり

負まけの内省ないせい公理こうりは、エージェントは「知しらないということを知しっている」ということを意味いみする。

$\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi$

公理系こうりけい

これら公理こうりのどの部分ぶぶんを採用さいようするかによって様々さまざまな様相ようそう論理ろんりが導出みちびきだされ、採用さいようした重要じゅうような公理こうりを表あらわす記号きごうを付与ふよして呼よばれるのが一般いっぱん的てきである。ただし、常つねにそう呼よばれるわけではない。KT45 は K, T, 4, 5 および知識ちしき一般いっぱん化か公理こうりを組くみ合あわせた様相ようそう論理ろんりを意味いみし、S5と呼よばれることが多おおい。このため、上述じょうじゅつしたようにこれらの知識ちしきの属性ぞくせいをS5属性ぞくせいと呼よぶ。

認識にんしき論理ろんりは知識ちしきだけでなく信念しんねんも扱あつかう。この場合ばあいの基本きほんの様相ようそう作用素さようそは K ではなく B と記述きじゅつされる。ただし、信念しんねんでは上述じょうじゅつの知識ちしき公理こうりは成なりたない（エージェントが信しんじることが真しんとは限かぎらない）。そこで、これを以下いかの一貫いっかん性せい公理こうりで置換ちかんするのが一般いっぱん的てきで、この公理こうりを D と称しょうする。

$\neg B_{i}\bot$

これはすなわち、エージェントが矛盾むじゅんすることを信しんじない、または偽にせと判断はんだんされることを信しんじない、ということを意味いみする。S5 において T を D で置換ちかんした体系たいけいは KD45 となる。この場合ばあい、${\mathcal {K}}_{i}$ も異ことなる性質せいしつを持もつ。例たとえば、あるエージェントが実際じっさいには真しんでないことを真しんであると「信しんじ」ている体系たいけいでは、アクセス可能かのう性せい関係かんけいは反射はんしゃ的てきでない。信念しんねんを扱あつかう論理ろんりを信念しんねん論理ろんり（Doxastic logic）と呼よぶ。

参考さんこう文献ぶんけん

• Fagin, Ronald et al. Reasoning about Knowledge. Cambridge: MIT Press, 2003.
• Meyer, J-J C., 2001, "Epistemic Logic," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Anderson, A. and N. D. Belnap. Entailment: The Logic of Relevance and Necessity. Princeton: Princeton University Press, 1975.
• Fagin et al. "A nonstandard approach to the logical omniscience problem." Artificial Intelligence, Volume 79, Number 2, 1995, p. 203-40.
• Hintikka, J. Knowledge and Belief. Ithaca: Cornell University Press, 1962.
• Montague, R. "Universal Grammar". Theoretica, Volume 36, 1970, p. 373-398.

関連かんれん項目こうもく

• 認識にんしき論ろん

外部がいぶリンク

• スタンフォード哲学てつがく百科ひゃっか事典じてん:
  • "Epistemic Logic" -- Hendricks, Vincent and John Symons
  • "Modal logic" -- by James Garson.
  • "Common Knowledge" -- Vanderschraaf, Peter.
• Ho Ngoc Duc のホームページ:
  • "Epistemic modal logic" -- Ho Ngoc Duc.