平方根へいほうこん

aの平方根へいほうこん（へいほうこん、英えい: square root）とは、数かずに対たいして平方へいほうするとaになる数かずのことである。

概要がいよう

複素数ふくそすうの平方根へいほうこんは、代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりより、0 を除のぞいて2個こだけ存在そんざいする。　

特とくに実数じっすうの範囲はんいでは、正せいの実数じっすうの平方根へいほうこんは、互たがいに反はん数かずである2個この実数じっすうとなる。幾何きか学がく的まとには、正せいの実数じっすうに対たいする正せいの平方根へいほうこんは、与あたえられた正方形せいほうけいの面積めんせきに対たいするその一いち辺へんの長ながさのことである。

二乗根じじょうこん（にじょうこん）、自乗根じじょうこん（じじょうこん）とも呼よばれる。

0 の平方根へいほうこんは 0 のみであり、平方根へいほうこんが一意いちいに定さだまるのはこのときに限かぎられる。

任意にんいの a に対たいして、a の正せいの平方根へいほうこんの長ながさは、単位たんい長ちょうが与あたえられれば、定規じょうぎとコンパスだけで作図さくずすることができる。

定義ていぎ

数かず a に対たいして、x² = a を満みたす x を a の平方根へいほうこんという。元もとの数かず a がどのような数かずの範囲はんいであるかによって、この概念がいねんは、意味いみを持もつかどうかということを含ふくめ、さまざまな点てんで差異さいが生しょうじるということに注意ちゅういが必要ひつようである。

0 の平方根へいほうこんは 0 のみである。元もとの数かず a が正せいの数かずである場合ばあいは、その平方根へいほうこんは正せいと負まけの2つ存在そんざいするが、それらの絶対ぜったい値ちは等ひとしい。そのうち正せいである方ほうを根号こんごう（こんごう、radical symbol）${\sqrt {\;}}$ を用もちいて

${\sqrt {a}}$

と表あらわす。これは a の「正せいの（あるいは非負ひふの）平方根へいほうこん」（principal square root; 主しゅ平方根へいほうこん）である（文脈ぶんみゃく上じょう紛まぎれのおそれの無ないと思おもわれるときは「正せいの」を省略しょうりゃくすることもある）。このとき、他方たほうの「負まけの平方根へいほうこん」は $-{\sqrt {a}}$ である。また、2つの平方根へいほうこんを併あわせて $\pm {\sqrt {a}}$ と表記ひょうきすることもできる。例たとえば、9 の平方根へいほうこんは ±3、すなわち +3 と −3 の2つであり、${\sqrt {9}}$ は正せいである 3 の方ほうを表あらわす。${\sqrt {0}}$ は、0 の唯一ゆいいつの平方根へいほうこん 0 を意味いみすると約束やくそくする。

a＜0 のときは、a の平方根へいほうこんは実数じっすうにはならず、2つある平方根へいほうこんを数かずの大小だいしょうで区別くべつすることはできなくなる。

また、数かずとは限かぎらず、もっと一般いっぱんにいくつかの数学すうがく的てき対象たいしょうについても、それぞれに意味いみのある仕方しかたで平方根へいほうこんが定義ていぎされるものがある（正せい定値ていち行列ぎょうれつなど）。

基本きほん的てきな性質せいしつ

実数じっすうの平方根へいほうこん

a が正せいの整数せいすうでも、a の平方根へいほうこんが整数せいすうとは限かぎらない。

元もとの数かずが平方へいほう数すうでない正せいの整数せいすうだと、その平方根へいほうこんは無理むり数すうであることが証明しょうめいされている。

（例れい）：${\sqrt {10}}=3.162277660168\cdots$

証明しょうめいは、例たとえば、2の平方根へいほうこん#無理むり数すうであることの証明しょうめいを参照さんしょう

簡略かんりゃく化か

a > 0, b > 0 のとき、

${\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}$

が成なり立たつ。例たとえば、

${\sqrt {8}}={\sqrt {2^{2}\times 2}}=2{\sqrt {2}}$

${\sqrt {12}}={\sqrt {2^{2}\times 3}}=2{\sqrt {3}}$

${\sqrt {54}}={\sqrt {3^{2}\times 6}}=3{\sqrt {6}}$

…

である。

したがって特とくに、正せいの整数せいすう x が平方へいほう因子いんしを持もたなければ、${\sqrt {x}}$ は無理むり数すうである。

概数がいすうとその求もとめ方かた

有理数ゆうりすうの平方へいほうでない正せいの実数じっすうの平方根へいほうこんは、その小数しょうすう部分ぶぶんが循環じゅんかんしない。その小数しょうすう表示ひょうじを効率こうりつ的てきに求もとめる方法ほうほうとして、開平かいへい法ほうが知しられている。

比較的ひかくてき小ちいさな数かずの平方根へいほうこんについては、概数がいすうを知しる必要ひつようがしばしばあることから、以下いかのような小数しょうすう部分ぶぶんの数すう桁けた目めまでの語呂合ごろあわせが知しられている。

• ${\sqrt {2}}=1.41421356\cdots$ 一夜いちや一いち夜やに人見ひとみ頃ごろ（ひとよひとよにひとみごろ）
• ${\sqrt {3}}=1.7320508075\cdots$ 人並ひとなみに奢おごれや女子じょし（ひとなみにおごれやおなご）
• ${\sqrt {5}}=2.2360679\cdots$ 富士山ふじさん麓ふもと鸚鵡おうむ鳴なく（ふじさんろくおうむなく）
  • 「富士ふじ山麓さんろくに 鸚鵡おうむ鳴なく」と誤あやまって覚おぼえる向むきも多おおい。
  • ${\sqrt {5}}=2.236067977\cdots$ なので、小数点しょうすうてん以下いか 8 桁けたならば、切きり捨すてた「 2.2360679 」よりは、四捨五入ししゃごにゅうした「 2.2360680 」の方ほうが近ちかい。
• ${\sqrt {6}}=2.4494897\cdots$ ツヨシ串くし焼やくな（つよしくしやくな）、煮によ良よく弱よわくな（によよくよわくな）
  000≈ 2.44949 似によ良よく良よく（によよくよく）、二に夜やしくしく（によしくしく）
• ${\sqrt {7}}=2.64575\cdots$ 菜さい (7) に虫むし来こない（（な）にむしこない）、「菜さいに虫むしいない」とも。
• ${\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2.828427\cdots$ ニヤニヤ呼よぶな（にやにやよぶな）
• ${\sqrt {10}}=3.162277\cdots$ 父ちち (10) さん一いち郎ろう兄にいさん（とうさんいちろうにいさん）

絶対ぜったい値ち

任意にんいの実数じっすう x に対たいして

${\sqrt {x^{2}}}=|x|\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)$

が成なり立たつ。

積せき・商しょうに関かんする計算けいさん法則ほうそく

a＞0、 b＞0 のとき、

${\begin{aligned}{\sqrt {ab}}&={\sqrt {a}}{\sqrt {b}},\\{\sqrt {\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\end{aligned}}$

が成なり立たつ。

累乗るいじょう根ねによる表記ひょうき

x ≥ 0 に対たいして、その冪べき乗じょうと冪べき根ねについて

$x=\left({\sqrt {x}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{4}]{x^{2}}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{6}]{x^{3}}}\right)^{2}=\cdots$

が成なり立たち、特とくに

$x^{1/2}:={\sqrt {x}}$

と定さだめることは（指数しすうの表示ひょうじ 1/2 = 2/4 = 3/6 = … に依よらずに一定いっていという意味いみで）well-defined で、指数しすう法則ほうそくとも整合せいごうする。

平方根へいほうこん関数かんすう

入力にゅうりょく x に対たいしてその非負ひふの平方根へいほうこん ${\sqrt {x}}$ を返かえす函数かんすう $f(x)={\sqrt {x}}$ を非負ひふ実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごう R⁺ ∪ {0} 上うえで定義ていぎされていると考かんがえた正せいの平方根へいほうこん函数かんすう

${\sqrt {\bullet }}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {\sqrt {x}}\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$

は（函数かんすうとして well-defined で）、それ自身じしんへの全ぜん単たん射しゃになる。正せいの平方根へいほうこん函数かんすうのグラフと負まけの平方根へいほうこん函数かんすう

${-{\sqrt {\bullet }}}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {-{\sqrt {x}}}\in \mathbb {R} ^{-}\cup \{0\}$

のグラフの和わ集合しゅうごうは、二に次じ函数かんすう y = x² のグラフと直線ちょくせん y = x に関かんして線せん対称たいしょうな放物線ほうぶつせんに等ひとしい。

正せいの平方根へいほうこん函数かんすうのグラフ。これは放物線ほうぶつせんの半分はんぶんになっている。

正せいの平方根へいほうこん函数かんすう √ は連続れんぞくかつ x > 0 で微分びぶん可能かのうであり、導しるべ関数かんすうは

${\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

不定ふてい積分せきぶんは

$\int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt {x}})^{3}+C={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+C$　（ C は積分せきぶん定数ていすう）

で与あたえられる。また、収束しゅうそく冪べき級数きゅうすうとしての二に項こう展開てんかい

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}x^{n}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}$

が |x| < 1 で成なり立たつ。

x > 0, 自然しぜん数すう n に対たいして帰納的きのうてきに

$f_{n}(x)={\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+...}}}}}}}}$

（x および根号こんごうの個数こすうは n）と定さだめると、函はこ数列すうれつ (f_n) は漸やや化か式しき

$f_{n+1}(x)^{2}=x+f_{n}(x)$

に従したがい、(f_n) は αあるふぁ(x) > 0 に収束しゅうそくするならば αあるふぁ(x)² − αあるふぁ(x) − x = 0 でなければならないから、

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\sqrt {x+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {1}{2}}$

が成なり立たつ。

負まけの数かずの平方根へいほうこん

負まけの数かずの平方根へいほうこんは実数じっすうでない（つまり虚数きょすうとなる）が、虚数きょすう単位たんい i (i² = −1) を用もちいて表あらわすことができる。a > 0 のとき、 −a の平方根へいほうこんは ${\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i$ と $-{\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i$で、 x² = −a の解かいは、$x=\pm {\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i$である。 a > 0 のとき、${\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}$ を

${\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}={\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i$

で定義ていぎする。例たとえば、−3 の平方根へいほうこんは ${\sqrt {3}}i$ と $-{\sqrt {3}}i$ で、 x² = −3 の解かいは $\pm {\sqrt {3}}i$である。また、${\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}i$である。

二に次じ体たい

有理数ゆうりすう体からだ Q（有理数ゆうりすう全体ぜんたい（負まけの数かずも含ふくむ））上じょうで定義ていぎされる函数かんすう

$\mathbb {Q} \ni x\mapsto {\sqrt {x}}\in \mathbb {A}$

において、その値域ちいきは（虚数きょすうも含ふくめた）代数だいすう的てき数すう（の一部いちぶ）からなる。有理数ゆうりすうの平方根へいほうこんが再ふたたび有理数ゆうりすうとなるならば、その有理数ゆうりすうは（有理数ゆうりすうの範囲はんいでの）平方へいほう数すうであるという。有理数ゆうりすう内ないで平方へいほう数すうとならない有理数ゆうりすう d に対たいして √d は二に次じの無理むり数すうであって、Q に √d を付つけ加くわえて得えられる体からだ（たい）は二に次じ体たいと総称そうしょうされる。

複素数ふくそすうの平方根へいほうこん

a が 0 でない複素数ふくそすうのとき、z² = a を満みたす複素数ふくそすう z は2個こ存在そんざいする。a の極ごく形式けいしきを

$a=re^{i\theta }\ (r>0,\,-\pi <\theta \leq \pi )$

とすると、z の動どう径みちの2乗じょうが r、z の偏へん角かくの2倍ばいが θしーた であるから、

${\sqrt {a}}={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}$

と定義ていぎすると、これは a に対たいして一意いちいに定さだまり、(√a)² = a を満みたす。これを a の平方根へいほうこんの主おも値ち（しゅち、principal value）という。この主おも値ちにより定義ていぎされる平方根へいほうこん函数かんすう

$\mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {z}}\in \mathbb {C}$

は、実じつ軸じくの負まけの部分ぶぶんを除のぞくガウス平面へいめん C の全域ぜんいきで至いたる所ところ正則せいそくである。しかし実じつ軸じくの負まけの部分ぶぶん上じょうでは連続れんぞくでさえない。これを2枚まいのガウス平面へいめんを実じつ軸じくの負まけの部分ぶぶんで張はり合あわせた平方根へいほうこん函数かんすうのリーマン面めん上うえで考かんがえるならば、至いたる所ところ解析かいせき的てきである。

• 
  ガウス平面へいめん上じょうの平方根へいほうこん函数かんすうを色いろで示しめしたもの。原点げんてんの周まわりを偏へん角かくが正せいの方向ほうこう（反はん時計とけい回まわり）に回まわって、実じつ軸じくの負まけの部分ぶぶんを跨またぐときもう一いち枚まいのガウス平面へいめんへ跳とぶ（緑みどり→緑みどり）。
• 
  もう一いち枚まいのガウス平面へいめん上じょうの平方根へいほうこん函数かんすう。こちらもやはり原点げんてんを正せいの方向ほうこうに回まわると、実じつ軸じくの負まけの部分ぶぶんを境さかいに最初さいしょのガウス平面へいめんに帰かえる（紫むらさき→紫むらさき）。
• 
  原点げんてん付近ふきんでの平方根へいほうこん函数かんすうのリーマン面めん（2つのガウス平面へいめんを張はり合あわせたときの様子ようす）
  平方根へいほうこん関数かんすう Re z^1/2
  ここで、z は複素数ふくそすう。

数すう以外いがいの平方根へいほうこん

行列ぎょうれつの平方根へいほうこん

詳細しょうさいは「行列ぎょうれつの平方根へいほうこん」を参照さんしょう

一般いっぱんに、正方まさかた行列ぎょうれつ A に対たいして、X² =A を満みたす正方せいほう行列ぎょうれつ X を A の平方根へいほうこん行列ぎょうれつと呼よび、記号きごうで √A あるいは A^1⁄2 と表あらわす。平方根へいほうこん行列ぎょうれつは存在そんざいするとは限かぎらず、存在そんざいしても1つだけの場合ばあいや複数個ふくすうこの場合ばあい、無限むげん個こ存在そんざいする場合ばあいがある。例たとえば、二に次じ単位たんい行列ぎょうれつ I₂ は無数むすうの平方根へいほうこんを持もつ。ただしその中なかで正せい定値ていちとなるのはただ一ひとつ I₂ 自身じしんである。

また、半はん正せい定値ていち複素ふくそ（resp. 実み）正方まさかた行列ぎょうれつ A に対たいして、A = BB*（あるいは A = B*B. ここに ∗ はエルミート共軛きょうやく）を満みたす（正方せいほうとは限かぎらない）任意にんいの行列ぎょうれつ B をしばしば、 A の非ひエルミート (resp. 非対称ひたいしょう) 平方根へいほうこん (non-Hermitian (resp. symmetric) square root) と呼よぶ（とくに適当てきとうな三角さんかく行列ぎょうれつとなるときコレスキー因子いんし (Cholesky factor)とも呼よぶ）。B がそれ自身じしんエルミート（実じつ係数けいすうの場合ばあいは対称たいしょう）ならば、これは上うえで述のべた平方根へいほうこんの概念がいねんと一致いっちする。任意にんいの正せい定値ていちエルミート行列ぎょうれつ P に対たいし、それ自身じしん正せい定値ていちエルミートとなる平方根へいほうこんは一意いちいであり、これを主しゅ平方根へいほうこん (unique square root, principal square root)と呼よぶが、しばしば記号きごう √P や P^1/2 は専もっぱら主しゅ平方根へいほうこんを表あらわすために予約よやくされることに注意ちゅういすべきである。また、正せい定値ていちエルミート行列ぎょうれつの任意にんいの非ひエルミート平方根へいほうこんは、ユニタリ行列ぎょうれつを掛かける分ぶんの不定ふてい性せいを持もつが、これは正せい実数じっすうの場合ばあいに、（正せい値ちの主しゅ平方根へいほうこんが一意いちいに決きまること、および）主しゅ平方根へいほうこんに ±1 を掛かけたものがその平方根へいほうこんのすべてであることと対応たいおうしている。

このような半はん正せい定値ていち行列ぎょうれつの平方根へいほうこんの計算けいさんおよび一意いちい性せいの証明しょうめいには、エルミート作用素さようそに関かんするスペクトル論ろん（固有値こゆうち分解ぶんかい）や特異とくい値ち分解ぶんかいあるいはコレスキー分解ぶんかいなどが利用りようできる。

可か換かわ整せい域いきおよび可か換かわ体からだの場合ばあい

（可か換かわ）整せい域いきの各かく元もとが二ふたつより多おおくの平方根へいほうこんを持もつことはない。実際じっさい、乗法じょうほうの可か換かわ性せいにより二に平方へいほう数すうの差さの公式こうしき u² − v² = (u − v)(u + v) が成なり立たつことに注意ちゅういすれば、u, v が同おなじ元もとの平方根へいほうこんであるとき u² − v² = 0, ゆえに零れい因子いんしを持もたないことから u = v または u + v = 0 であることが従したがう。後者こうしゃは、二ふたつの平方根へいほうこんが互たがいに加法かほう逆ぎゃく元もとの関係かんけいにあることを言いっているのだから、すなわち一ひとつの元もとの平方根へいほうこんは（存在そんざいすれば）符号ふごうの違ちがいを除のぞいて一意いちいである。特とくに、整せい域いきにおいて零れい元げん 0 の平方根へいほうこんは 0 自身じしんのみである。

標しるべ数すう 2 の可か換かわ体からだにおいて、各かく元もとの平方根へいほうこんは一ひとつ持もつ（各かく元もとが自身じしんを加法かほう逆ぎゃく元もとにもつことに注意ちゅういせよ）か、全まったく持もたないかの何いずれかとなる（標しるべ数すう 2 の有限ゆうげん体たいにおいては任意にんいの元もとが一意いちいな平方根へいほうこんを持もつ）。それ以外いがいの任意にんいの標しるべ数すうの体からだにおいては、先さきの段落だんらくのとおり任意にんいの非ひ零れい元げんが二ふたつの平方根へいほうこんを持もつか全まったく持もたないかの何いずれかとなる。

奇き素数そすう p と適当てきとうな正せい整数せいすう e に対たいし q = p^e と置おく。q-元もと体からだ F_q の非ひ零れい元げんが平方へいほう剰余じょうよであるとは、その平方根へいほうこんが F_q に属ぞくすることを言いい、さもなくば平方へいほう非ひ剰余じょうよであるという。この体からだにおいて (q − 1)/2 個この元もとが平方へいほう剰余じょうよであり、(q − 1)/2 個こが非ひ剰余じょうよである（零れい元げんはいずれのクラスにも属ぞくさないことに注意ちゅうい）。平方へいほう剰余じょうよ元もとの全体ぜんたいは乗法じょうほうに関かんして群ぐんを成なす。この性質せいしつは代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおいて広ひろく用もちいられる。

非ひ可か換かわまたは零れい因子いんしを持もつ環たまきの場合ばあい

一般いっぱんの環たまきにおいて、a の平方根へいほうこん b を b² = a のことと定さだめるならば、一般いっぱんには平方根へいほうこんは符号ふごうを除のぞいて一意いちいとは限かぎらない。

たとえば合同ごうどう類るい環たまき Z/8Z を考かんがえれば、この環たまきにおいて単位たんい元もと 1 は相あい異ことなる四よっつの平方根へいほうこんを持もつ（具体ぐたい的てきには ±1, ±3）。他方たほう、元もと 2 は平方根へいほうこんを持もたない。詳細しょうさいは平方へいほう剰余じょうよの項こうを参照さんしょうされたい。

他たの例れいとして四よん元げん数すう体からだ H において、−1 は ±i, ±j, ±k を含ふくむ無数むすうの平方根へいほうこんを持もつ。実じつは −1 の平方根へいほうこんの全体ぜんたいはちょうど集合しゅうごう

$\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}$

であり、したがって各かく平方根へいほうこんは絶対ぜったい値ちが等ひとしく、この集合しゅうごうは三さん次元じげん空間くうかん内ないの二に次元じげん単位たんい球面きゅうめんを描えがく。四よん元げん数すう#−1 の平方根へいほうこんも参照さんしょう。

零れい元げん 0 の平方根へいほうこんは、定義ていぎにより、0 自身じしんまたは零れい因子いんしである。四よん元げん数すう体たいのような可か除じょ環たまきでは零れい因子いんしが存在そんざいしないから、一般いっぱんに 0 の平方根へいほうこんは 0 のみである。しかし、零れい因子いんしが存在そんざいしうる一般いっぱんの環たまきでは必かならずしもそうでないことは、反例はんれいとして任意にんいの自然しぜん数すう n に対たいするZ/n²Z を考かんがえればよい（この場合ばあい、n は零れい因子いんしであり、実際じっさいに n² = 0 を満みたす）。

参考さんこう文献ぶんけん

• 一松いちまつ信しん『${\sqrt {2}}$の数学すうがく―無理むり数すうを見直みなおす』海鳴社かいめいしゃ ISBN 4875250568

関連かんれん項目こうもく

• 2の平方根へいほうこん
• 3の平方根へいほうこん
• 5の平方根へいほうこん
• 6の平方根へいほうこん
• 7の平方根へいほうこん
• 平方へいほう数すう
• 素因数そいんすう分解ぶんかい
• 冪べき根ね
• 立方根りっぽうこん
• 多重たじゅう根号こんごう
• 二に次じ体たい
• リーマン面めん
• ド・モアブルの定理ていり

外部がいぶリンク

• 数かずの泉いずみ - ウェイバックマシン（2016年ねん10月がつ19日にちアーカイブ分ぶん）（${\sqrt {2}}$や${\sqrt {3}}$などを小数点しょうすうてん以下いか100万まん桁けたまで掲載けいさいしているサイト）
• 資料しりょう庫こ（平方根へいほうこん） - ウェイバックマシン（2019年ねん3月がつ30日にちアーカイブ分ぶん）（${\sqrt {1}}$から${\sqrt {100}}$までを小数点しょうすうてん以下いか30桁けたまで掲載けいさいしている）
• Japanese soroban techniques - 加藤かとう福太郎ふくたろう教授きょうじゅが考案こうあんした計算けいさん法ほう（英語えいご）
• 2の平方根へいほうこんの求もとめ方かたをまとめたサイト
• 『平方根へいほうこん』 - コトバンク