Τετραγωνική ρίζα

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά ηいーた τετραγωνική ρίζα (ή δευτέρα ρίζα) ενός μみゅーηいーた αρνητικού αριθμού αあるふぁ είναι οおみくろん μみゅーηいーた αρνητικός αριθμός βべーた, αあるふぁνにゅー $\beta ^{2}=\alpha$. Ηいーた τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού αあるふぁ συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん ${\sqrt {\alpha }}$, τたうοおみくろん σύμβολο ${\sqrt {}}$ λέγεται ριζικό, οおみくろん αριθμός αあるふぁ υπόρριζο κかっぱαあるふぁιいおた γράφεται ${\sqrt {\alpha }}=\beta$ εάν $\beta ^{2}=\alpha$. Ηいーた τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん 2 είναι οおみくろん πρώτος αριθμός πぱいοおみくろんυうぷしろん ανακαλύφθηκε ότι δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ρητός. Επιπλέον, ηいーた ιδέα της τετραγωνικής ρίζας έχει επεκταθεί σしぐまεいぷしろん όλους τους αριθμούς, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん αυστηρός ορισμός της τたうηいーたνにゅー περιορίζει στους θετικούς. Αποτελεί ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου, δηλαδή της εξίσωσης $x^{2}=\alpha$ (τたうοおみくろん x² ονομάζεται δεύτερη δύναμη τたうοおみくろんυうぷしろん x, ή τετράγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん x, γιατί παραπέμπει σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τύπο εμβαδού τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου).

Ιστορία

Ηいーた τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん 2 είναι πιθανόν οおみくろん πρώτος αριθμός πぱいοおみくろんυうぷしろん ανακαλύφθηκε χωρίς νにゅーαあるふぁ είναι ρητός. Ηいーた ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασσο, οおみくろん οποίος μάλλον δολοφονήθηκε μみゅーεいぷしろん πνιγμό γがんまιいおたαあるふぁ αυτήν τたうηいーたνにゅー ανακάλυψη. Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί σしぐまεいぷしろん μορφή κλάσματος, ηいーた ανακάλυψη τたうοおみくろんυうぷしろん Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οおみくろんιいおた Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο νにゅーαあるふぁ περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε νにゅーαあるふぁ μοιάζουν μみゅーεいぷしろん κλάσματα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん 2 μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί σしぐまτたうηいーたνにゅー εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

${\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}$

Οおみくろんιいおた μαθηματικοί κατά τたうηいーたνにゅー Αλεξανδρινή εποχή ασχολήθηκαν μみゅーεいぷしろん τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν σしぐまτたうηいーた μελέτη τους κかっぱαあるふぁιいおた τις κυβικές.

Οおみくろん συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιείται τたうοおみくろん 1525 από τたうοおみくろんνにゅー Christoff Rudolf. Από τότε, οおみくろん συμβολισμός έχει επεκταθεί κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, μみゅーεいぷしろん τたうηいーた διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται τたうοおみくろん νにゅー.

Ηいーた τετραγωνική ρίζα εμφανίζεται στους τύπους επίλυσης δευτεροβάθμιων, τριτοβάθμιων κかっぱαあるふぁιいおた τεταρτοβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων. Οおみくろんιいおた τύποι μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν υπό τたうηいーたνにゅー προϋπόθεση ότι τたうαあるふぁ υπόρριζα είναι θετικά. Ωστόσο, μερικοί τύποι ισχύουν αあるふぁνにゅー κάποιες ρίζες αντικατασταθούν από λύσεις τις εξίσωσης $x^{2}=\alpha$, όπου αあるふぁ τたうοおみくろん υπόρριζο. Αυτή ηいーた διαπίστωση οδήγησε σしぐまτたうηいーた θεώρηση τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών. Τたうοおみくろん βασικό στοιχείο τους i είναι λύση της εξίσωσης $x^{2}=-1$. Συχνά τたうοおみくろん i αποκαλείται τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん -1, αλλά αυτή ηいーた έκφραση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι σωστή από αυστηρή μαθηματική άποψη, γιατί τたうοおみくろん i δでるたεいぷしろんνにゅー είναι πραγματικός αριθμός.

Ιδιότητες

Επειδή τたうοおみくろん γινόμενο δύο μみゅーηいーた αρνητικών αριθμών είναι πάντα ένας μみゅーηいーた αρνητικός αριθμός, ηいーた τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた αρνητικούς αριθμούς.

Ηいーた τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ είναι εいぷしろんξくしー ορισμού ίδια μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ½ δύναμη τたうοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ, δηλαδή γがんまιいおたαあるふぁ κάθε $\alpha \geq 0$ ισχύει ${\sqrt {\alpha }}\equiv \alpha ^{\frac {1}{2}}$

Ηいーた τετραγωνική ρίζα είναι ηいーた μοναδική λύση της εξίσωσης $x^{2}=\alpha$, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー αあるふぁ=0 (ωστόσο έχει αποδειχθεί ότι μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν αριθμοί τέτοιοι, ώστε κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ=0 νにゅーαあるふぁ υπάρχουν παραπάνω από μία λύσεις). Σしぐまεいぷしろん κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει πάντα κかっぱαあるふぁιいおた άλλη μία λύση. Στους μιγαδικούς αριθμούς ηいーた εξίσωση πάντα έχει λύση, ίσως υπάρχουν πολλές λύσεις ή καμία από αυτές δでるたεいぷしろんνにゅー είναι τετραγωνική ρίζα. Ωστόσο, ισχύει:

$x^{2}=\alpha \Rightarrow |x|={\sqrt {|\alpha |}}$

Ηいーた συνάρτηση τετραγωνική ρίζα

Ηいーた συνάρτηση $f(x)={\sqrt {x}}$ καλείται τετραγωνική ρίζα. Ηいーた γραφική της παράστασης είναι τたうοおみくろん άνω τμήμα της παραβολής μみゅーεいぷしろん διευθετούσα τたうηいーたνにゅー ευθεία $x=-{\frac {1}{2}}$ κかっぱαあるふぁιいおた εστία τたうοおみくろん σημείο $\left({\frac {1}{2}},0\right)$.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης της τετραγωνικής ρίζας

Πεδίο ορισμού

Μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της τετραγωνικής ρίζας πεδίο ορισμού είναι όλοι οおみくろんιいおた θετικοί πραγματικοί αριθμοί κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん 0.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Ηいーた τετραγωνική ρίζα είναι συνεχής σしぐまεいぷしろん όλο τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της, ενώ είναι παραγωγίσιμη σしぐまεいぷしろん όλους τους θετικούς αριθμούς (στο 0 ηいーた παράγωγος τείνει σしぐまτたうοおみくろん $+\infty$ από τたうαあるふぁ δεξιά.) Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει $({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$, ενώ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた νιοστή παράγωγο $({\sqrt {x}})^{(\nu )}={\frac {(-1)^{\nu -1}\cdot \prod _{i=1}^{\nu }(2i-1)}{2^{\nu }x^{\nu -1}{\sqrt {x}}}}$.

Μονοτονία-Κοιλοκυρτότητα

Ηいーた τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

Ηいーた τετραγωνική ρίζα έχει μόνο ένα ελάχιστο 0 στο 0. Δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει ασύμπτωση, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた παράγωγός της τείνει σしぐまτたうοおみくろん 0.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Τたうοおみくろん σύνολο τιμών της τετραγωνικής ρίζας είναι όλοι οおみくろんιいおた θετικοί αριθμοί κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん 0, είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん πεδίο ορισμού. Ηいーた τετραγωνική ρίζα δでるたεいぷしろんνにゅー έχει παράμετρο, άρα όλες τις οおみくろんιいおた τιμές είναι συγκεκριμένες. Σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τις άλλες νιοστές ρίζες, όλες τους ξεκινάνε από τたうοおみくろん (0,0).

Σύνοψη μεταβολών της τετραγωνικής ρίζας

Ηいーた τετραγωνική ρίζα ορίζεται στους μみゅーηいーた αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, είναι συνεχής, παραγωγίσιμη εκτός τたうοおみくろんυうぷしろん 0 κかっぱαあるふぁιいおた κάθε παράγωγός της παραγωγίσιμη. Είναι κοίλη συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた γνησίως αύξουσα. Παρουσιάζει ελάχιστο τたうοおみくろん (0,0), δでるたεいぷしろんνにゅー έχει ασύμπτωτες.

Δείτε επίσης

• $\nu$-οστή ρίζα πραγματικού αριθμού
• Τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού 2
• Τετραγωνική ρίζα τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού 5

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Μαραγκάκης, Στυλιανός; Τριανταφύλλου, Ανδρέας (Ιούλιος 2020). «Μέθοδοι υπολογισμού τετραγώνων κかっぱαあるふぁιいおた τετραγωνικών ριζών». Ευκλείδης Α΄ (117): 14-18. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_117_EYKLEIDHS_2020.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Jackson, Terence (Ιουλίου 2011). «95.42 Irrational square roots of natural numbers — a geometrical approach». The Mathematical Gazette 95 (533): 327–330. doi:10.1017/S0025557200003193. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-07_95_533/page/327. 
• Brown, L. M. (Νοεμβρίου 1997). «81.41 An algorithm for square roots : an episode in the campaign against dotage». The Mathematical Gazette 81 (492): 428–429. doi:10.2307/3619622. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1997-11_81_492/page/428. 
• Maynard, Philip; Zhou, Yinghui (Μαρτίου 2004). «88.12 Rationally Approximating Square Roots». The Mathematical Gazette 88 (511): 112-114. https://www.jstor.org/stable/3621354. 
• Anderson, D. V. (Νοεμβρίου 1996). «80.49 Iterations for the square root». The Mathematical Gazette 80 (489): 574–575. doi:10.2307/3618531. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/574. 
• Austin, A. K. (Ιουνίου 1971). «3302. On square roots». The Mathematical Gazette 55 (393): 326–326. doi:10.2307/3615031. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1971-06_55_393/page/326.