Μιγαδικός αριθμός

Γραφική παράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού x + i y = r e^iφふぁい χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα.

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, οおみくろんιいおた μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー προσθήκη τたうοおみくろんυうぷしろん στοιχείου $i$, πぱいοおみくろんυうぷしろん λέγεται φανταστική μονάδα, κかっぱαあるふぁιいおた έχει τたうηいーたνにゅー ιδιότητα:

$i^{2}=-1$

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μορφή $a+bi$, όπου τたうαあるふぁ $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί κかっぱαあるふぁιいおた λέγονται πραγματικό μέρος κかっぱαあるふぁιいおた φανταστικό μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん $3+2i$ είναι ένας μιγαδικός, μみゅーεいぷしろん πραγματικό μέρος $3$ κかっぱαあるふぁιいおた φανταστικό μέρος $2$.

Γがんまιいおたαあるふぁ τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οおみくろんιいおた πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, τたうοおみくろんυうぷしろん πολλαπλασιασμού κかっぱαあるふぁιいおた της διαίρεσης, όπως κかっぱαあるふぁιいおた στους πραγματικούς αριθμούς. Σしぐまτたうηいーたνにゅー ορολογία τたうωおめがνにゅー μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μιγαδικών είναι σώμα.

Ηいーた βασική διαφορά τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών μみゅーεいぷしろん τους πραγματικούς είναι ηいーた ύπαρξη τたうοおみくろんυうぷしろん στοιχείου i κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー πολλαπλασίων τたうοおみくろんυうぷしろん, πぱいοおみくろんυうぷしろん όταν υψωθούν σしぐまτたうοおみくろん τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δでるたεいぷしろんνにゅー ορίζεται ηいーた διάταξη, δηλαδή δでるたεいぷしろんνにゅー έχει έννοια νにゅーαあるふぁ συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε νにゅーαあるふぁ πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό

Οおみくろんιいおた μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές σしぐまτたうηいーた λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής κかっぱαあるふぁιいおた ηλεκτρονικής.

Ιστορικό

Οおみくろんιいおた μιγαδικοί αριθμοί επινοήθηκαν από τたうοおみくろんνにゅー Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Καρντάνο, οおみくろん οποίος τους χαρακτήριζε ως φανταστικούς, σしぐまτたうηいーたνにゅー προσπάθειά τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ βべーたρろーεいぷしろんιいおた αναλυτικές λύσεις σしぐまεいぷしろん κυβικές εξισώσεις. Ηいーた διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οおみくろんιいおた οποίοι μπορεί νにゅーαあるふぁ περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κかっぱιいおた όταν ηいーた ρίζα είναι πραγματικός αριθμός. Τたうοおみくろん γεγονός αυτό οδήγησε τελικά σしぐまτたうοおみくろん Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, πぱいοおみくろんυうぷしろん δείχνει ότι σしぐまτたうοおみくろん σώμα τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών κάθε μみゅーηいーた μηδενικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μみゅーιいおたαあるふぁ ρίζα.

Ορισμοί

Συμβολισμοί κかっぱαあるふぁιいおた πράξεις

Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως ως C, ή $\mathbb {C}$ κかっぱαあるふぁιいおた ορίζεται ως εξής: $\mathbb {C} =\lbrace a+ib~\vert \ a,b\in \mathbb {R} ,\ i^{2}=-1\rbrace$

Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί ως ένας μιγαδικός μみゅーεいぷしろん μηδενικό φανταστικό μέρος$:\ a+0i$.

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μηδέν, τότε αυτός οおみくろん μιγαδικός ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー πραγματικό αριθμό $a$.

Τたうοおみくろん πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού $z=a+ib$ συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $Re(z)$ ενώ τたうοおみくろん φανταστικό μέρος μみゅーεいぷしろん $Im(z)$, δηλαδή ισχύει:

• $Re(z)=a$
• $Im(z)=b$

Δύο μιγαδικοί αριθμοί $,z_{1}=x_{1}+iy_{1},\ z_{2}=x_{2}+iy_{2}$, είναι ίσοι μεταξύ τους αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー τたうαあるふぁ πραγματικά τους μέρη κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ φανταστικά τους μέρη είναι μεταξύ τους ίσα. Δηλαδή, αあるふぁνにゅー $x_{1}=x_{2},\ y_{1}=y_{2}$.

Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται μみゅーεいぷしろん βάση τους γνωστούς κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμού κかっぱαあるふぁιいおた επιμερισμού, της Άλγεβρας:

• $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$
• $(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)$
• $(a+ib)(c+id)=ac+ibc+iad+i^{2}bd=(ac-bd)+i(bc+ad)$

Πぱいιいおたοおみくろん αυστηρά, οおみくろんιいおた μιγαδικοί αριθμοί ορίζονται ως τたうοおみくろん σώμα $\mathbb {C} =\left\{(a,b),\oplus ,\otimes \right\}$ μみゅーεいぷしろん $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ κかっぱαあるふぁιいおた

$\oplus :$ προσθετική πράξη $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}:(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$

$\otimes :$ πολλαπλασιαστική πράξη $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}:(a,b)\otimes (c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+c\cdot b)$

όπου + κかっぱαあるふぁιいおた $\cdot$ ηいーた κοινή πρόσθεση κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん κοινός πολλαπλασιασμός τたうωおめがνにゅー πραγματικών.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι τたうοおみくろん υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {C}$

$\mathbf {R} =\lbrace (a,0)\vert a\in \mathbb {R} \rbrace$

είναι υπόσωμα τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {C}$ κかっぱαあるふぁιいおた είναι ισόμορφο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん $\mathbb {R}$. Μみゅーεいぷしろん βάση αυτό, πολλές φορές συμβολίζουμε τたうοおみくろん $(a,0)$ μみゅーεいぷしろん $a$, έτσι πぱい.χかい. συμβολίζουμε τたうοおみくろん $(3,0)=3,\ \left({\tfrac {5}{11}},0\right)={\tfrac {5}{11}}$ κかっぱτたうλらむだ.

Τたうοおみくろん στοιχείο $(0,1)\in \mathbb {C}$ τたうοおみくろん συμβολίζουμε $i$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ονομάζουμε φανταστική μονάδα.

Τたうοおみくろん αυστηρά ορισμένο αυτό σώμα έχει όλες τις ιδιότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん προαναφέρθηκαν γがんまιいおたαあるふぁ τους μιγαδικούς κかっぱαあるふぁιいおた αποφεύγει τたうηいーたνにゅー "αντιδιαισθητική" αναφορά σしぐまτたうοおみくろん ${\sqrt {-1}}$. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σώμα αυτό ισχύει:

$i^{2}=(0,1)\otimes (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 0+0\cdot 1)=(-1,0)=-1$

όπου όμως τたうοおみくろん $-1$ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι οおみくろん πραγματικός $-1$ αλλά οおみくろん εναλλακτικός συμβολισμός τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού $(-1,0)$, κかっぱιいおた έτσι δでるたεいぷしろんνにゅー δημιουργείται πρόβλημα. Οおみくろんιいおた μιγαδικοί δηλαδή δでるたεいぷしろんνにゅー είναι μみゅーιいおたαあるふぁ αυθαίρετη επίκληση σしぐまτたうηいーたνにゅー ύπαρξη ριζών αρνητικών πραγματικών, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σώμα τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τουλάχιστον ένα υπόσωμα είναι ισόμορφο μみゅーεいぷしろん τους πραγματικούς.

Μιγαδικό επίπεδο

Ένας μιγαδικός $z=a+ib$ παριστάνεται κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん διάνυσμα μみゅーεいぷしろん αρχή τたうοおみくろん κέντρο τたうωおめがνにゅー αξόνων κかっぱαあるふぁιいおた πέρας τたうοおみくろん σημείο $(a,b)$.

Κάθε μιγαδικός αριθμός $z=a+ib$ μπορεί νにゅーαあるふぁ αντιστοιχιστεί σしぐまεいぷしろん ένα σημείο $M(a,b)$ ενός δισδιάστατου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Κάθε τέτοιο σημείο $M$ λέγεται "εικόνα" τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστοιχου μιγαδικού αριθμού $z$ κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $M(z)$ ή $M(a,b)$. Σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση, τたうοおみくろん καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων λέγεται "μιγαδικό επίπεδο" (ή "διάγραμμα Argand").

Λόγω της παραπάνω αντιστοίχισης μιγαδικού μみゅーεいぷしろん σημείο, κάθε μιγαδικός αριθμός $z$ μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん διάνυσμα ${\overrightarrow {OM}}$, πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει αρχή τたうοおみくろん κέντρο $O$ τたうωおめがνにゅー αξόνων κかっぱαあるふぁιいおた τέλος τたうοおみくろん σημείο $M(a,b)$.

Τたうοおみくろん μέτρο τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως τたうοおみくろん μέτρο τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος ${\overrightarrow {OM}}$ ή, ισοδύναμα, ως ηいーた απόσταση τたうοおみくろんυうぷしろん $M$ από τたうοおみくろん κέντρο $O$ τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού επιπέδου: $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0$

Συζυγής μιγαδικός

Οおみくろん συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού $z=a+ib$ ορίζεται ως $a-ib$, κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται ${\bar {z}}$. Γεωμετρικά, οおみくろん ${\bar {z}}$ αποτελεί τたうοおみくろんνにゅー κατοπτρισμό τたうοおみくろんυうぷしろん $z$ ως προς τたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうωおめがνにゅー πραγματικών (βべーたλらむだ. σχήμα). Γがんまιいおたαあるふぁ ένα μιγαδικό αριθμό $z$, τたうοおみくろんνにゅー συζυγή κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん μέτρο τたうοおみくろんυうぷしろん ισχύουν οおみくろんιいおた ακόλουθες σχέσεις:

• $|z|^{2}=z{\bar {z}}$

• $|z|=|{\bar {z}}|=|-z|=|{\bar {-z}}|$

• ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

• ${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$

• ${\bar {z}}=z$ αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー $Im(z)=0$

• ${\bar {z}}=-z$ αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー $Re(z)=0$

• ${\overline {\left({\bar {z}}\right)}}=z$

• ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},\ z\neq 0$

Τριγωνομετρική μορφή

Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες τたうοおみくろんυうぷしろん, ένας μιγαδικός μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Οおみくろんιいおた πολικές συντεταγμένες ενός μιγαδικού $z$ είναι τたうοおみくろん ζευγάρι $(r,\phi )$, όπου $r=\left|z\right|$, είναι τたうοおみくろん μέτρο τたうοおみくろんυうぷしろん μιγαδικού κかっぱαあるふぁιいおた $\phi$, τたうοおみくろん πρωτεύον όρισμα τたうοおみくろんυうぷしろん $z$.

Όρισμα ενός μιγαδικού $z$ είναι κάθε μία από τις γωνίες πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζει οおみくろん θετικός οριζόντιος ημιάξονας $\mathbb {R}$ μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αντίστοιχο διάνυσμα τたうοおみくろんυうぷしろん $z$. Πρωτεύον όρισμα είναι ηいーた γωνία εκείνη πぱいοおみくろんυうぷしろん βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん διάστημα $\left(-\pi ,\pi \right\rbrack$, κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $Arg(z)$. Οπότε κάθε άλλο όρισμα τたうοおみくろんυうぷしろん $z$, διαφέρει κατά $2\kappa \pi$ από τたうοおみくろん $Arg(z)$, όπου $\kappa \in \mathbb {Z}$ (ακέραιος).

Ισχύει ότι:

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

όπου: $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0$

κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん όρισμα $\phi$ προσδιορίζεται μみゅーεいぷしろん προσθετέο $2\kappa \pi$, δηλαδή ορίσματα πぱいοおみくろんυうぷしろん διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο τたうοおみくろんυうぷしろん $2\pi$ είναι ισοδύναμα.

Εκθετική μορφή

Χρησιμοποιώντας τたうηいーたνにゅー εξίσωση τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ, ηいーた τριγωνομετρική μορφή μετατρέπεται σしぐまεいぷしろん:

$z=|z|e^{i\phi }$

πぱいοおみくろんυうぷしろん λέγεται εκθετική μορφή.

Μみゅーεいぷしろん βάση τたうηいーたνにゅー εκθετική μορφή τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών, μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν οおみくろん πολλαπλασιασμός ή ηいーた διαίρεσή τους ως εξής:

$r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}$

κかっぱαあるふぁιいおた

${\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}$

Κατά αυτό τたうοおみくろんνにゅー τρόπο, ηいーた πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん πρόσθεση διανυσμάτων ενώ οおみくろん πολλαπλασιασμός μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως μία στροφή (κかっぱαあるふぁιいおた ομοιοθεσία, δでるたηいーたλらむだ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος. Οおみくろん πολλαπλασιασμός μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー φανταστικό αριθμό $i$ αντιστοιχεί σしぐまεいぷしろん μία στροφή $90^{\circ }$ (μみゅーεいぷしろん φορά αντίθετη τたうωおめがνにゅー δεικτών τたうοおみくろんυうぷしろん ρολογιού). Ηいーた γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης $i^{2}=-1$, πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζει τたうηいーた φανταστική μονάδα, είναι πως δύο διαδοχικές στροφές $90^{\circ }$ ταυτίζονται μみゅーεいぷしろん μία στροφή $180^{\circ }$.

Δείτε επίσης

• Μιγαδική ανάλυση
• Ταυτότητα τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ
• Τたうοおみくろん Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Μία εφαρμογή σしぐまτたうοおみくろん Geogebra γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ισότητα κかっぱαあるふぁιいおた πράξεις μιγαδικών

Ελληνικά άρθρα

• Μαυρογιάννης, Νにゅー. Σしぐま. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Τσαπακίδης, Γがんま. (Ιουλίου 2013). «Μιγαδικοί αριθμοί κかっぱαあるふぁιいおた γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (89): 65-68. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T89.pdf. 
• Βべーた. Γιαννακόπουλος; Νにゅー. Ζανής (1979). «Γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた Βべーた'Τάξη: Μιγαδικοί Αριθμοί». Ευκλείδης Β΄ (1): 193-194. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3563. 
• Γがんま. Θωμαΐδης (1987). «Εισαγωγή τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών σしぐまτたうαあるふぁ Μαθηματικά». Ευκλείδης Β΄ (2): 67-71. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3007. 
• Βάθης Δημήτριος (1991). «Οおみくろんιいおた Μιγαδικοί αριθμοί σしぐまτたうηいーた Γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (2): 33-36. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3072. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Temple, G. (Ιουλίου 1937). «The Theory of Complex Numbers». The Mathematical Gazette 21 (244): 220–225. doi:10.2307/3605402. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1937-07_21_244/page/220. 
• Diamond, Louis E. (1 Μαΐου 1957). «Introduction to Complex Numbers». Mathematics Magazine 30 (5): 233. doi:10.2307/3029166. 
• Jones, Phillip S. (1954). «Complex numbers: an example of recurring themes in the development of mathematics—III». The Mathematics Teacher 47 (5): 340-345. https://www.jstor.org/stable/27954624. 
• Willson, William Wynne (Δεκεμβρίου 1970). «An Approach to Complex Numbers». The Mathematical Gazette 54 (390): 342–346. doi:10.2307/3613848. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1970-12_54_390/page/342. 
• Green, D. R. (Ιουνίου 1976). «The historical development of complex numbers». The Mathematical Gazette 60 (412): 99–107. doi:10.2307/3616235. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1976-06_60_412/page/99. 

Βιβλιογραφία

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (σしぐまτたうαあるふぁ γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Gauss, C. F. (1831). «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.» (σしぐまτたうαあるふぁ la). Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores 7: 89–148. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=292. 
• Solomentsev, E.D. (2001), «Complex number», σしぐまτたうοおみくろん: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c024140 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4. 
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. 
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: en:John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, W.H.· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «Section 5.5 Complex Arithmetic». Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd έκδοση). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 13 Μαρτίου 2020. Ανακτήθηκε στις 27 Μαΐου 2023. 
• Solomentsev, E.D. (2001), «Complex number», σしぐまτたうοおみくろん: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c024140 
• Bourbaki, Nicolas (1998). «Foundations of mathematics § logic: set theory». Elements of the history of mathematics. Springer. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd έκδοση). New York: en:McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. en:Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.  — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.· Hermes, H.· Hirzebruch, F.· Koecher, M.· Mainzer, K.· Neukirch, J.· Prestel, A.· Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover έκδοση). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.  — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Βικιβιβλίο σしぐまτたうηいーたνにゅー αγγλική έκδοση (Wikibooks)