微分びぶん作用素さようそ

数学すうがくにおける微分びぶん作用素さようそ（びぶんさようそ、differential operator）は、微分びぶん演算えんざん ( $D = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d⁄dx$ ) の函数かんすうとして定義ていぎされた作用素さようそである。ひとまずは表記ひょうき法ほうの問題もんだいとして、微分びぶん演算えんざんを（計算けいさん機き科学かがくにおける高階たかしな函数かんすうと同おなじ仕方しかたで）入力にゅうりょく函数かんすうを別べつの函数かんすうを返かえす抽象ちゅうしょう的てきな演算えんざんと考かんがえるのが有効ゆうこうである。

本ほん項こうでは、最もっともよく扱あつかわれる種類しゅるいである線型せんけい作用素さようそを主おもに扱あつかう。しかし、シュヴァルツ微分びぶん（英語えいご版ばん）のような非ひ線型せんけい微分びぶん作用素さようそも存在そんざいする。

定義ていぎ

函数かんすう空間くうかん ${\mathcal {F}}_{1}$ から他たの函数かんすう空間くうかん ${\mathcal {F}}_{2}$ への写像しゃぞう $A$ が存在そんざいし、 $u\in {\mathcal {F}}_{1}$ の像ぞうとなるような函数かんすう $f\in {\mathcal {F}}_{2}$ （つまり $f=A(u)$ ）が存在そんざいすることを仮定かていする。

微分びぶん作用素さようそは、 $u$ およびその

P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }

なる形かたちを含ふくむ高階たかしな微分びぶんによって有限ゆうげん生成せいせいされる作用素さようそを言いう。ここに、非負ひふの整数せいすうの列れつ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ は多重たじゅう指数しすうと呼よばれ、 $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ は長ながさと呼よばれ、 $a_{\alpha }(x)$ は n-次元じげん空間くうかん内ないの開ひらき領域りょういき上じょうの函数かんすうであり、 $D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}$ である。上記じょうきは、函数かんすうとしての微分びぶんであるが、シュヴァルツ超ちょう函数かんすうや佐藤さとう超ちょう函数かんすうの意味いみでの微分びぶんとしたり、またもとにする微分びぶん演算えんざんも ${\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$ や時折ときおり ${\textstyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$ と選えらぶこともある。

記法きほう

最もっともよくある微分びぶん作用素さようそは、微分びぶんをとる操作そうさ。変数へんすう $x$ について一いち階かい微分びぶんをとる作用素さようそのよくある記法きほうとして

{d \over dx},\quad D,\quad D_{x},\quad \partial _{x}

などが挙あげられる。より高次こうじの、 $n$ -階かい微分びぶんをとる作用素さようそは

{d^{n} \over dx^{n}},\quad D^{n},\quad D_{x}^{n}

などで書かかれる。変数へんすう $x$ の函数かんすう $f$ の微分びぶんを

[f(x)]'\quad f'(x)

などで表あらわすこともある。記号きごう $D$ を使つかうことは、ヘヴィサイドにより始はじめられ、彼かれは微分びぶん方程式ほうていしきの研究けんきゅうの中なかで

\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

の形かたちの微分びぶん作用素さようそを考かんがえた。最もっとも良よく見みかける微分びぶん作用素さようそのひとつに、

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}

で定義ていぎされるラプラス作用素さようそがある。他たの微分びぶん作用素さようそとして、オイラー作用素さようそ $ϑ$ ^[1] は

\vartheta =z{d \over dz}

で定義ていぎされる。この作用素さようその固有こゆう函数かんすうは $z$ の単項式たんこうしき

\vartheta (z^{k})=kz^{k},\quad (k=0,1,2,\ldots )

であり、homogeneity operator とも呼よばれる。 $n$ -変数へんすうのテータ作用素さようそは、

\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}

により与あたえられる。一変いっぺん数すうと同様どうように、 $Θ しーた$ の固有こゆう空間くうかんは、斉ひとし次じ多項式たこうしき全体ぜんたいの成なす空間くうかんである。

よくある数学すうがくの記法きほうに従したがえば、微分びぶん作用素さようその引数ひきすうは作用素さようそ自身じしんの右側みぎがわに書かくのが通常つうじょうであるが、別べつの記法きほうを用もちいることもある。作用素さようそを作用素さようその左側ひだりがわにある函数かんすう、作用素さようその右側みぎがわにある函数かんすうに施ほどこした結果けっかや、両側りょうがわに施ほどこした結果けっかの差さを、以下いかのような矢印やじるしで記しるす:

f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f

f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g

f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.

そのような、双方向そうほうこうの矢印やじるし記法きほうは、量子力学りょうしりきがくの確率かくりつ流りゅう束たば（英語えいご版ばん）を記述きじゅつすることによく使つかわれる。

ナブラ

詳細しょうさいは「ナブラ」を参照さんしょう

微分びぶん作用素さようそ ∇ は、ナブラ作用素さようそとも呼よばれ、重要じゅうようなベクトル微分びぶん作用素さようそである。物理ぶつり学がくにおいて頻繁ひんぱんに、マックスウェルの方程式ほうていしきの微分びぶん形がたのようなところに現あらわれる。三さん次元じげん直交ちょっこう座標ざひょう系けいでは ∇ は

\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial  \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial  \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial  \over \partial z}

で定義ていぎされる。∇ は様々さまざまな対象たいしょうの勾配こうばい、回転かいてん、発散はっさんおよびラプラシアンの計算けいさんに使つかわれる。

随伴ずいはん作用素さようそ

「随伴ずいはん作用素さようそ」も参照さんしょう

与あたえられた線型せんけい微分びぶん作用素さようそ

Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u

に対たいし、その随伴ずいはん作用素さようそとは

\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle

を満みたす作用素さようそ $T*$ を言いう。ここに、記号きごう $⟨, ⟩$ はスカラー積せきまたは内積ないせきである。つまり、この定義ていぎはスカラー積せきの定義ていぎのしかたに依存いぞんする。

一変いっぺん数すうの形式けいしき随伴ずいはん

自乗じじょう可か積分せきぶん函数かんすう全体ぜんたいの成なす函数かんすう空間くうかんにおいて、標準ひょうじゅん的てきなスカラー積せきが

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx

で定義ていぎされる。ここに $g (x)$ 上うえの横よこ棒ぼうは、 $g (x)$ の複素ふくそ共役きょうやくを表あらわしている。さらに $f$ または $g$ が $x \to a$ および $x \to b$ において消きえているという条件じょうけんを加くわえれば、 $T$ の随伴ずいはんを

T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u]

により定義ていぎすることができる。この定義ていぎ式しきは上記じょうきのスカラー積せきの定義ていぎに陽ひに依存いぞんしていない。それゆえに、これを随伴ずいはん作用素さようその定義ていぎとして採用さいようすることもある。この定義ていぎ式しきに従したがって定義ていぎされた $T*$ は $T$ の形式けいしき随伴ずいはんと呼よばれる。

（形式けいしき）自己じこ随伴ずいはん作用素さようそとは、自身じしんの（形式けいしき）随伴ずいはん作用素さようそに等ひとしい作用素さようそを言いう。

多た変数へんすうの随伴ずいはん作用素さようそ

Ωおめがを Rⁿ の中なかの領域りょういきとし、P を Ωおめが上うえの微分びぶん作用素さようそとすると、P の随伴ずいはん作用素さようそは、同様どうような方法ほうほうで双対そうつい性せいにより L²(Ωおめが) が定義ていぎされる。すべての滑なめらかな L² 函数かんすう f, g について、

\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}

が成なり立たつ。滑なめらかな函数かんすうは L² の中なかで稠密ちゅうみつであるので、これは L² の稠密ちゅうみつな部分ぶぶん集合しゅうごう上じょうの随伴ずいはん作用素さようそを定義ていぎする。P^* は稠密ちゅうみつに定義ていぎされた作用素さようそである。

例れい

ストゥルム･リウヴィル作用素さようそは、よく知しられた形式けいしき自己じこ随伴ずいはん作用素さようそである。この 2階かいの線型せんけい微分びぶん作用素さようそ L は次つぎの形かたちで書かくことができる。

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.

この性質せいしつは、上うえの形式けいしき随伴ずいはんの定義ていぎを使つかい証明しょうめいすることができる。

{\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}

この作用素さようそは、ストゥルム･リウヴィル理論りろんで中心ちゅうしん的てきな役割やくわりを果はたし、そこではこの作用素さようその固有こゆう函数かんすう（固有こゆうベクトルに対応たいおう）が考かんがえられている。

微分びぶん作用素さようその性質せいしつ

微分びぶん演算えんざん $D$ は線型せんけい（英語えいご版ばん）である。すなわち、

D(f+g)=(Df)+(Dg),

D(af)=a(Df)

を満みたす。ここに f と g は函数かんすうであり、a は定数ていすうである。

函数かんすう係数けいすうの $D$ を変数へんすうとする任意にんいの多項式たこうしきも、微分びぶん作用素さようそである。また、微分びぶん作用素さようその合成ごうせいは

(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f))

という規則きそくに基もとづいて扱あつかうことができるが、いくつかの注意ちゅういが必要ひつようである。まず、作用素さようそ $D 2$ に関かんする任意にんいの函数かんすう係数けいすうは、 $D 1$ を適用てきようするのに必要ひつようなだけの何なん倍ばいも微分びぶん可能かのうでなければならないことである。そのような（函数かんすう係数けいすうの）作用素さようその環たまきを得えるには、全すべての係数けいすうの任意にんい階数かいすうの導しるべ函数かんすうを用もちいることを仮定かていせねばならない。第だい二にに、この環たまきは可か換かわにはならないことである。作用素さようそ $gD$ は一般いっぱんには $Dg$ に等ひとしくない。事実じじつとして、量子力学りょうしりきがくの基本きほん的てきな関係かんけい式しき

Dx-xD=1

を例れいに挙あげることができる。 $D$ を変数へんすうとする定数ていすう係数けいすう多項式たこうしきであるような作用素さようそ全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん環たまきは、対照たいしょう的てきに可か換かわである。この部分ぶぶん環たまきは、別べつな方法ほうほうで特徴付とくちょうづけることができる。この環たまきは平行へいこう移動いどう不変ふへんな作用素さようそのすべてからなる。

微分びぶん作用素さようそにシフト定理ていり（英語えいご版ばん）(shift theorem)も従したがう。

多た変数へんすうの場合ばあい

同おなじ構成こうせい法ほうは、偏へん微分びぶんに対たいしても持もち込こむことができる。異ことなる変数へんすうに関かんする微分びぶん演算えんざんは、可か換かわな作用素さようそを定さだめる（二に階かい微分びぶんの対称たいしょう性せいの項こうを参照さんしょう）。

多項式たこうしき係数けいすう微分びぶん作用素さようその環たまき

詳細しょうさいは「ワイル代数だいすう」を参照さんしょう

一変数多項式係数微分作用素環

$R$ を環たまきとする。 $R$ 上うえの $X$ および $D$ を変数へんすうとする非ひ可か換かわ多項式たこうしき環たまき $R ⟨ X; D ⟩$ の両側りょうがわイデアル $I$ を $[D, X] - 1$ で生成せいせいされるもの;

I=([D,X]-1)=(DX-XD-1)

とするとき、剰余じょうよ環たまき $R ⟨ X; D ⟩ / I$ を $R$ 上うえの一変数多項式係数微分作用素環と呼よぶ。この環たまきは非ひ可か換かわ単純たんじゅん環たまきである。その任意にんいの元もとは $X a D b (mod I)$ の形かたちの単項式たんこうしきの $R$ -線型せんけい結合けつごうとして一意いちいに書かくことができる。これにより、この環たまきの上うえで多項式たこうしきのユークリッド除法じょほうに対応たいおうする演算えんざんが保証ほしょうされる。

$R [X]$ 上うえの（標準ひょうじゅん微分びぶんに対たいする）微分びぶん加か群ぐんは、 $R ⟨ X; D ⟩$ 上うえの加か群ぐんと同一どういつ視しすることができる。

多た変数へんすうの多項式たこうしき係数けいすう微分びぶん作用素さようそ環たまき

$R$ を環たまきとする。 $X 1, \dots, X n$ および $D 1, \dots, D n$ を変数へんすうとする $2 n$ -変数へんすうの非ひ可か換かわ多項式たこうしき環たまき $R ⟨ X 1, \dots, X n; D 1, \dots, D n ⟩$ のイデアル $I$ を

I=\left({\begin{matrix}[D_{i},X_{j}]-\delta _{i,j},\\[2pt][D_{i},D_{j}],\\[2pt][X_{i},X_{j}]\end{matrix}}{\Bigg |}\;1\leq i,j\leq n\right)

（ここに $δ でるた$ はクロネッカーのデルタ）とするとき、剰余じょうよ環たまき $R ⟨ X 1, \dots, X n; D 1, \dots, D n ⟩/ I$ を $n$ -変数へんすうの多項式たこうしき係数けいすう微分びぶん作用素さようそ環たまきと呼よぶ。この環たまきは非ひ可か換かわな単純たんじゅん環たまきである。任意にんいの元もとは $mod I$ で

X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}

の形かたちの単項式たんこうしきの $R$ -線型せんけい結合けつごうとして一意いちいに書かくことができる。

座標ざひょうに依存いぞんしない記述きじゅつ

微分びぶん幾何きか学がくや代数だいすう幾何きか学がくにおいて、二ふたつのベクトル束たばの間あいだの微分びぶん作用素さようその座標ざひょうに非ひ依存いぞんな記述きじゅつをすることが便利べんりなことがある。 $E$ および $F$ は可か微分びぶん多様たよう体たい $M$ 上うえのベクトル束たばとする。切断せつだんの空間くうかん上じょうの $R$ -線型せんけい写像しゃぞう $P : Γ がんま (E) \to Γ がんま (F)$ が $k$ -階かいの線型せんけい微分びぶん作用素さようそであるとは、ジェット束たば（英語えいご版ばん） $J k (E)$ を通とおして分解ぶんかいするときに言いう。即すなわち、ベクトル束つかの間まの線型せんけい写像しゃぞう

i_{P}:J^{k}(E)\to F

が存在そんざいして、

P=i_{P}\circ j^{k}

が成なり立たつ。ここに $j k : Γ がんま (E) \to Γ がんま (J k (E))$ は、 $E$ の任意にんいの切断せつだんにその $k$ -次つぎのジェット（英語えいご版ばん）を対応付たいおうづける延長えんちょう (prolongation) 写像しゃぞうである。

これはちょうど、与あたえられた $E$ の切断せつだん $s$ に対たいし、点てん $x \in M$ における $P (s)$ の値ねは $x$ における $s$ の $k$ -階かいの無限むげん小しょうの振ふる舞まいにより完全かんぜんに決定けっていされることを意味いみする。特とくにこのことから、 $P (s)(x)$ は $s$ の芽めにより決定けっていされることが従したがい、またこれは微分びぶん作用素さようそが局所きょくしょ的てきであるということで表あらわされる。基本きほん的てき結果けっかは、このステートメントの逆ぎゃくである任意にんいの（線型せんけい）局所きょくしょ作用素さようそは微分びぶん作用素さようそであるというペートルの定理ていり（英語えいご版ばん）(Peetre theorem)である。

可か換かわ環たまき論ろんとの関係かんけい

「可か換かわ環かん上うえの微分びぶん法ほう」も参照さんしょう

同おなじことではあるが、線型せんけい微分びぶん作用素さようその純じゅん代数だいすう的てきな記述きじゅつは、次つぎのようになる。 $R$ -線型せんけい写像しゃぞう $P$ は、任意にんいの $k + 1$ 個この滑なめらかな函数かんすう $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ に対たいして

[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0

が成なり立たつときに、 $k$ -次じ線型せんけい微分びぶん作用素さようそである。ここに、括弧かっこ積せき $[f,P]\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)$ は、交換こうかん子こ

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)

として定義ていぎされる。この線型せんけい微分びぶん作用素さようその特徴とくちょう付づけは、線型せんけい微分びぶん作用素さようそが可か換かわ代数だいすう上うえの加か群ぐんの間あいだの特別とくべつな写像しゃぞうであり、この概念がいねんを可か換かわ環たまき論ろんの一部いちぶと見みなせることを示しめしている。

例れい

物理ぶつり科学かがくへの応用おうようにおいて、ラプラス作用素さようそのような作用素さようそは、偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを解といたり、設定せっていしたりすることに重要じゅうような役割やくわりを果はたす。
微分びぶん位相いそう幾何きか学がくにおいて、外そと微分びぶんやリー微分びぶん作用素さようそは、内在ないざい的てきな意味いみを持もっている。
抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおける導しるべ分ぶん（英語えいご版ばん）の概念がいねんは、微積分びせきぶん学がくを用もちいることを要ようしない微分びぶん作用素さようその一般いっぱん化かを可能かのうとする。頻繁ひんぱんにそのような一般いっぱん化かが代数だいすう幾何きか学がくや可か換かわ代数だいすうで扱あつかわれる。ジェット（英語えいご版ばん）(jet)を参照さんしょう。
複素ふくそ変数へんすう $z = x + iy$ に関かんする正則せいそく函数かんすうの研究けんきゅうにおいて、複素ふくそ函数かんすうを二ふたつの実じつ変数へんすう $x, y$ の函数かんすうであると考かんがえることがある。これはヴィルティンガー微分びぶん ( $\partial= \partial ⁄ \partial z, \partial = \partial ⁄ \partial z$ ) の構成こうせいに利用りようできる。このアプローチは、多た変数へんすう複素ふくそ函数かんすうや分解ぶんかい型がた複素ふくそ変数へんすう函数かんすう（英語えいご版ばん）の研究けんきゅうにも使つかわれる。

参考さんこう文献ぶんけん

^ Weisstein, Eric W. "Theta Operator". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

外部がいぶリンク

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Differential operator”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Differential Operator". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
differential operator - PlanetMath.（英語えいご）
differential operator in nLab
Definition:Partial Differential Operator at ProofWiki

[1] Weisstein, Eric W. "Theta Operator". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[1]