随伴ずいはん作用素さようそ

数学すうがくの特とくに函数かんすう解析かいせき学がくにおいて、ヒルベルト空間くうかん上うえの各かく有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそは、対応たいおうする随伴ずいはん作用素さようそ（ずいはんさようそ、英えい: adjoint operator）を持もつ。作用素さようその随伴ずいはんは正方まさかた行列ぎょうれつの随伴ずいはん行列ぎょうれつの概念がいねんの無限むげん次元じげんの場合ばあいをも許ゆるすような一般いっぱん化かである。ヒルベルト空間くうかん上じょうの作用素さようそを「一般いっぱん化かされた複素数ふくそすう」と考かんがえれば、作用素さようその随伴ずいはんは複素数ふくそすうに対たいする複素ふくそ共軛きょうやくの役割やくわりを果はたすものである。

作用素さようそ A の随伴ずいはんは、シャルル・エルミートに因ちなんでエルミート共軛きょうやく (Hermitian conjugate) とも呼よばれ、A^* あるいは A^†、また稀まれに A⁺ などで表あらわされる（“†” は特とくにブラケット記法きほうとともに用もちいられる）。

有界ゆうかい作用素さようそに対たいする定義ていぎ

H は内積ないせき ⟨,⟩ を備そなえるヒルベルト空間くうかんとし、連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ A: H → H（線型せんけい作用素さようそに対たいして、連続れんぞく性せいはそれが有界ゆうかい作用素さようそであることと同値どうち）を考かんがえるとき、A の随伴ずいはん作用素さようそ A^∗: H → H は、

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle \quad (\forall x,y\in H)$

を満みたす線型せんけい作用素さようそである。随伴ずいはん作用素さようその存在そんざいと一意いちい性せいはリースの表現ひょうげん定理ていりから従したがう。

これは（標準ひょうじゅん複素ふくそ内積ないせきに関かんして同様どうようの性質せいしつをもつ）複素ふくそ正方せいほう行列ぎょうれつの随伴ずいはん行列ぎょうれつの一般いっぱん化かと見みることができる。

性質せいしつ

有界ゆうかい作用素さようそのエルミート随伴ずいはんは以下いかの性質せいしつを満みたす:

1. 対たい合性あいしょう: A^** = A
2. A が可逆かぎゃくならば A^* も可逆かぎゃくであり、かつ (A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^*
3. 加法かほう性せい: (A + B)^* = A^* + B^*
4. 半はん斉ひとし次じ性せい: (λらむだA)^* = λらむだA^*, ただし λらむだ は複素数ふくそすう λらむだ の複素ふくそ共軛きょうやく
5. 逆転ぎゃくてん性せい: (AB)^* = B^*A^*

加法かほう性せいと半はん斉ひとし次つぎ性せいを合あわせて反はん線型せんけい性せい、逆転ぎゃくてん性せいと対たい合性あいしょうは合あわせて *-環たまきとしての対たい合性あいしょうを表あらわす。

A の作用素さようそノルムを

$\|A\|_{\mathrm {op} }:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}$

で定義ていぎするならば、

$\|A^{*}\|_{\mathrm {op} }=\|A\|_{\mathrm {op} }$

および、さらに

$\|A^{*}A\|_{\mathrm {op} }=\|A\|_{\mathrm {op} }^{2}$

が成なり立たつ。この性質せいしつを満足まんぞくするノルムは、自己じこ随伴ずいはん作用素さようその場合ばあいからの類推るいすいで、「最大さいだい値ち」のように振ふる舞まうということができる。

ヒルベルト空間くうかん H 上うえの有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、随伴ずいはんをとる操作そうさと作用素さようそノルムに関かんして C^* 環たまきの原型げんけい的てきな例れいである。

密みつ定義ていぎ作用素さようその随伴ずいはん

ヒルベルト空間くうかん H 上うえの密みつ定義ていぎ作用素さようそ A は、その定義ていぎ域いき D(A) が H において稠密ちゅうみつで、かつその終おわり域いきが H であるようなものを言いう。 その随伴ずいはん A^* はその定義ていぎ域いき D(A^*)が

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad (\forall x\in H)$

を満みたす z ∈ H が存在そんざいするような y ∈ H 全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうで与あたえられ、かつ A^*(y) = z となるものとして定義ていぎされる。

上記じょうき性質せいしつ 1.–5. は（定義ていぎ域いきと終おわり域いきが適当てきとうな条件じょうけんを満みたせば）成立せいりつする。例たとえば最後さいごの性質せいしつについて、随伴ずいはん作用素さようそ (AB)^* は（A, B, AB が密みつ定義ていぎ作用素さようそならば）作用素さようそB^*A^* の延長えんちょうで与あたえられる。

作用素さようそ A の像ぞうとその随伴ずいはん A^* の核かくとの間あいだの関係かんけい性せいは、

${\begin{aligned}&\ker A^{*}=(\operatorname {im} A)^{\bot }\\&(\ker A^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {im} A}}\end{aligned}}$

で与あたえられる（ここで上うえ付つき横よこ棒ぼうは集合しゅうごうの閉包へいほうを表あらわす。直交ちょっこう補ほ空間くうかんも参照さんしょう）。一ひとつ目めの式しきの証明しょうめいは

${\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad (\forall y\in H)\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad (\forall y\in H)\\&\iff x{\mathrel {\bot }}\operatorname {im} A\end{aligned}}$

で、二ふたつの式しきは一ひとつ目めの式しきの両辺りょうへんの直交ちょっこう補ほ空間くうかんをとることでわかる。一般いっぱんに、像ぞうは閉とは限かぎらないが連続れんぞく線型せんけい作用素さようその核かくは常つねに閉である。

エルミート作用素さようそ

有界ゆうかい作用素さようそ A: H → H が自己じこ随伴ずいはんであるとは

$A=A^{*}$

あるいは同おなじことだが

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad (\forall x,y\in H)$

を満みたすことを言いう。

適当てきとうな意味いみにおいて、エルミート作用素さようそは実数じっすう（自身じしんとその複素ふくそ共軛きょうやくが等ひとしい複素数ふくそすう）の役割やくわりを果はたし、実みのるベクトル空間くうかんを成なす。エルミート作用素さようそは量子力学りょうしりきがくにおいて観測かんそく可能かのう量りょうのモデルを提供ていきょうする。エルミート作用素さようそに関かんする詳細しょうさいは自己じこ随伴ずいはん作用素さようその項こうを参照さんしょうせよ。

反はん線型せんけい作用素さようその随伴ずいはん

反はん線型せんけい作用素さようそに対たいする随伴ずいはんの定義ていぎは、複素ふくそ共軛きょうやくを相殺そうさいするために調整ちょうせいが必要ひつようである。ヒルベルト空間くうかん H 上うえの反はん線型せんけい作用素さようそ A の随伴ずいはんは、反はん線型せんけい作用素さようそ A^∗: H → H で

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\langle x,A^{*}y\rangle }}\quad (\forall x,y\in H)$

を満みたすものを言いう（上うえ付つき横よこ棒ぼうは複素ふくそ共軛きょうやくを意味いみする）。

その他たの随伴ずいはん

等式とうしき

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$

は形がたの上うえでは圏けん論ろんにおける随伴ずいはん対たいを定義ていぎする性質せいしつと同おなじ形がたをしている。そしてこれは随伴ずいはん函はこ手しゅの名なの由来ゆらいでもある。

関連かんれん項目こうもく

• 数学すうがく的てき概念がいねん
  • 内積ないせき
  • ヒルベルト空間くうかん
  • エルミート作用素さようそ
  • ノルム
  • 作用素さようそノルム
  • 転置てんち写像しゃぞう
• 物理ぶつり学がくへの応用おうよう
  • ブラケット記法きほう
  • 演算えんざん子こ (物理ぶつり学がく)
  • 観測かんそく可能かのう量りょう

参考さんこう文献ぶんけん

• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8 .
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (second ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 .

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Adjoint". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• adjoint - PlanetMath.（英語えいご）
• Definition:Adjoint at ProofWiki
• Sobolev, V.I. (2001), “Adjoint operator”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Adjoint_operator